1 закон кирхгофа для электрической цепи: Закон Киргофа. 1 и 2 закон Кирхгофа. Определение, формула

Первый и второй законы Кирхгофа для электрической цепи, метод составления уравнений и анализ цепей

Первый закон Кирхгофа для электрической цепи

Любые электрические цепи всегда подчиняются законам Кирхгофа.

Есть для первого закон Кирхгофа два варианта формулировок:
1. Алгебраическая сумма электрических токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.

2. Сумма электрических токов, которые текут в направлении к узлу, равна сумме электрических токов, которые текут из узла.

Токи, направленные к узлам, обычно считают положительными, а выходящие – отрицательными.

Рис. 1. Направление токов в узле.

Для рисунка 1 можно записать по первой формулировке:

По второй формулировке:

Физический смысл для первого закона заключается в том, что заряды в электрической цепи двигаются таким образом, что не скапливаются ни в каком узле.

Второй закон Кирхгофа для электрической цепи

Для второго закона тоже есть две формулировки:
1. В замкнутом контуре абсолютно любой электрической цепи алгебраическая сумма существующих падений напряжений равна сумме ЭДС контура.

Если слагаемое совпадает с направление, по которому происходит обход контура цепи, то оно входит в уравнение со знаком «+», если же оно не совпадает – то со знаком «–».

2. Алгебраическая сумма напряжений вдоль какого-либо замкнутого контура цепи равна нулю.

Рис. 2. Электрическая схема.

Для контура на рисунке 2 можно записать:

Оба закона Кирхгофа являются справедливыми как для линейных, так и для нелинейных электрических цепей при любых изменениях напряжений и токов во времени.

Метод составления уравнений по законам Кирхгофа

Оба закона Кирхгофа совместно применяют для поиска электрических токов в ветвях. Давайте обозначим число всех ветвей через b, число ветвей, где есть источник тока через b_ит, число узлов через y. По каждой из ветвей схемы протекает свой собственный электрический ток. По причине того, что токи, находящиеся в ветвях с источниками электрического тока, известны, число токов, которые неизвестны, равно b–b_ит.

Перед составление уравнения необходимо выбрать произвольно:
1. Положительное направление электрического тока в каждой из ветви, и затем обозначить их на схеме.
2. Положительные направления для обхода каждого из контуров схемы для записи уравнений по второму закону Кирхгофа.

Для удобства рекомендуется положительные направления для обхода каждого из контуров выбирать одинаковыми, допустим, по часовой стрелке.

С целью получения линейно независимых уравнений, которые были составлены по первому закону Кирхгофа, их количество должно быть равно y–1. Для последнего узла уравнение не составляют, потому что оно совпадало бы с уравнением, которое получено в результате суммирования уравнений для y–1 узлов.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа выполняют составление уравнений в количестве, равном количеству ветвей без источника электрического тока (b–b_ит), вычтя те уравнения, которые были составлены по первому закону:

Во время составления уравнения по второму закону Кирхгофа, нужно охватить все ветви, при этом исключив ветви, где есть источник тока, потому что в этом случае в уравнение были бы включены бесконечно большие слагаемые, в связи с чем оно бы не имело смысла.

Есть рекомендуемое, но не обязательное требование, по которому при составлении в соответствии со 2-м законом Кирхгофа линейно независимых уравнений стремятся к тому, чтобы в каждый новый контур, применительно к которому выполняется составление уравнения, входила как минимум одна новая ветвь, которая не вошла в предыдущие контуры, для которых уравнения по 2-му закону уже составлены. Данные контуры называют независимыми контурами.

Анализ электрических цепей с помощью законов Кирхгофа

Произведём анализ электрических цепей для схемы, изображённой на рисунке 3 и составим для неё уравнения.

Рис. 3. Электрическая схема.

Число неизвестных электрических токов для схемы равно числу ветвей. Обозначим число ветвей через m, число узлов через k. Тогда m=6, k=4.

Теперь зададимся произвольным направлением электрических токов отдельных ветвей цепи. Согласно первого закона Кирхгофа составим независимые уравнения в количестве k–1 штук для узлов a, b и c.

a: I₁ + I₅ + I₆ = 0
b: I₂ – I₅ – I₄ = 0
c: I₄ – I₃ – I₆ = 0

Для определения всех токов ветвей недостающие уравнения, количество которых (m–(k–1)), можно составить, если воспользоваться вторым законом для независимых контуров.

Контур I: I₁R₁ – I₂R₂ – I₅R₅ = E₁ – E₂
Контур II: I₂R₂ + I₄R₄ + I₃R₃ = E₂
Контур III: I₅R₅ – I₆R₆ – I₄R₄ = 0

Закон кирхгофа 1 и 2. Законы Кирхгофа простыми словами: определение для электрической цепи

История

Пополнил ряды немецких ученых Кирхгоф в девятнадцатом столетии, когда в стране, находившаяся на пороге революции индустриальной, требовались новейших технологии. Ученые занимались поиском решений, которые могли бы ускорить развитие промышленности.

Активно занимались исследованиями в области электричества, поскольку понимали, что в будущем оно будет широко использоваться. Проблема состояла на тот момент не в том, как составлять электрические цепи из возможных элементов, а в проведении математических вычислений. Тут и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.

Алгебраическая сумма приходящих к узлам токов и исходящих из него равна нулю. Эта одновременно вытекает из другого закона — постоянства энергии.

К узлу подходят 2 провода, а отходит один. Значение тока, текущего от узла, такое же, как сумма его, протекающего по двум остальным проводникам, т.е. идущим к нему. Правило Кирхгофа объясняет, что, при ином раскладе, накапливался бы заряд, но такого не бывает. Все знают, что всякую сложную цепь легко разделить на отдельные участки.

Но, при этом непросто определить путь, по которому он проходит. Тем более, что на различных участках сопротивления не одинаковы, поэтому и распределение энергии не будет равномерным.

В соответствие со Вторым правилом Кирхгофа, энергия электронов на каждом из замкнутых участков электрической цепи равняется нулю – нулю равняется всегда в таком контуре суммарное значение напряжений. Если бы нарушилось данное правило, энергия электронов при прохождении определенных участков, уменьшалась бы или увеличивалась. Но, этого не наблюдается.

Соединения проводников

Есть два основных способа соединения проводников друг с другом — это последовательное и параллельное соединения. Различные комбинации последовательного и параллельного соединений приводят к смешанному соединению проводников.

Резисторы и подводящие провода

Проводник, обладающий сопротивлением R, мы называем резистором и изображаем следующим образом (рис. 1):

Рис. 1 Резистор

Напряжение на резисторе — это разность потенциалов стационарного электрического поля между концами резистора. Между какими именно концами? В общем-то, это неважно, но обычно удобно согласовывать разность потенциалов с направлением тока.

Ток в цепи течёт от «плюса» источника к «минусу». В этом направлении потенциал стационарного поля убывает. Напомним ещё раз, почему это так.

Пусть положительный заряд q перемещается по цепи из точки a в точку b, проходя через резистор R (рис. 2):

Рис.2  U = φa – φb

Стационарное поле совершает при этом положительную работу A = q(φa − φb). Так как q > 0 и A > 0, то и φa − φb > 0, т. е. φa > φb.

Поэтому напряжение на резисторе мы вычисляем как разность потенциалов в направлении тока: U = φa − φb.

Сопротивление подводящих проводов обычно пренебрежимо мало; на электрических схемах оно считается равным нулю. Из закона Ома следует тогда, что потенциал не меняется вдоль провода: ведь если φa − φb = IR и R = 0, то φa = φb (рис. 3):

Рис.3   φa = φb

Таким образом, при рассмотрении электрических цепей мы пользуемся идеализацией, которая сильно упрощает их изучение. А именно, мы считаем, что потенциал стационарного поля изменяется лишь при переходе через отдельные элементы цепи, а вдоль каждого соединительного провода остаётся неизменным. В реальных цепях потенциал монотонно убывает при движении от положительной клеммы источника к отрицательной.

Последовательное соединение

При последовательном соединении проводников конец каждого проводника соединяется с началом следующего за ним проводника.

Рассмотрим два резистора R1 и R2, соединённых последовательно и подключённых к источнику постоянного напряжения U (рис. 4). Напомним, что положительная клемма источника обозначается более длинной чертой, так что ток в данной схеме течёт по часовой стрелке.

Сформулируем основные свойства последовательного соединения и проиллюстрируем их на этом простом примере:

• При последовательном соединении проводников сила тока в них одинакова. В самом деле, через любое поперечное сечение любого проводника за одну секунду будет проходить один и тот же заряд. Ведь заряды нигде не накапливаются, из цепи наружу не уходят и не поступают в цепь извне.
• Напряжение на участке, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно сумме напряжений на каждом проводнике. Действительно, напряжение Uab на участке ab — это работа поля по переносу единичного заряда из точки a в точку b; напряжение Ubc на участке bc — это работа поля по переносу единичного заряда из точки b в точку c. Складываясь, эти две работы дадут работу поля по переносу единичного заряда из точки a в точку c, то есть напряжение U на всём участке: U = Uab + Ubc.

Можно и более формально, без всяких словесных объяснений: U = Uac = φa − φc = (φa − φb) + (φb − φc) = Uab + Ubc.

• Сопротивление участка, состоящего из последовательно соединённых проводников, равно сумме сопротивлений каждого проводника. Пусть R — сопротивление участка ac. По закону Ома имеем:

что и требовалось.

Можно дать интуитивно понятное объяснение правила сложения сопротивлений на одном частном примере. Пусть последовательно соединены два проводника из одинакового вещества и с одинаковой площадью поперечного сечения S, но с разными длинами l1 и l2.

Сопротивления проводников равны:

Но это, повторяем, лишь частный пример. Сопротивления будут складываться и в самом общем случае — если различны также вещества проводников и их поперечные сечения. Доказательство этого даётся с помощью закона Ома, как показано выше. Наши доказательства свойств последовательного соединения, приведённые для двух проводников, переносятся без существенных изменений на случай произвольного числа проводников.

Параллельное соединение

При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а концы — к другой точке.

Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис. 5).

Резисторы подсоединены к двум точкам: a и b. Эти точки называются узлами или точками разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от b к a (по направлению тока) называется неразветвленной частью цепи.

Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого выше случая двух резисторов:

• Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвленной части цепи. В самом деле, оба напряжения U1 и U2 на резисторах R1 и R2 равны разности потенциалов между точками подключения:

U1 = U2 = φa − φb = U.

Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного электрического поля движущихся зарядов.

• Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви. Пусть, например, в точку a за время t из неразветвленного участка поступает заряд q. За это же время t из точки a к резистору R1 уходит заряд q1, а к резистору R2 — заряд q2. Ясно, что q = q1 + q2. В противном случае в точке a накапливался бы заряд, меняя потенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем:

что и требовалось.

• Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме величин, обратных сопротивлениям ветвей. Пусть R — сопротивление разветвлённого участка ab. Напряжение на участке ab равно U; ток, текущий через этот участок, равен I. Поэтому:

Сокращая на U, получим:

1/R = 1/R1 + 1/R2 ,

что и требовалось.

Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила на частном примере, не обращаясь к закону Ома.

Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами l, но разными поперечными сечениями S1 и S2. Тогда это соединение можно рассматривать как проводник той же длины l, но с площадью сечения S = S1 + S2. Имеем:

Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных изменений переносятся на случай любого числа проводников.

Из соотношения (1) можно найти R:

R = R1R2/(R1 + R2) .

К сожалению, в общем случае n параллельно соединённых проводников компактного аналога формулы (2) не получается, и приходится довольствоваться соотношением

1/R = 1/R1 + 1/R2 + . . . + 1/Rn .

Тем не менее, один полезный вывод из формулы (3) сделать можно. Именно, пусть сопротивления всех n резисторов одинаковы и равны R1. Тогда:

Мы видим, что сопротивление участка из n параллельно соединённых одинаковых проводников в n раз меньше сопротивления одного проводника.

Смешанное соединение

Смешанное соединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих соединений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки.

Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно.

Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис. 6).

Рис. 6 Смешанное соединение

Пусть U = 14 В, R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 2 Ом. Найдём силу тока в цепи и в каждом из резисторов.

Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков ab и bc. Сопротивление участка ab:

Сопротивление цепи: R = Rab + Rbc = 1,2 + 1,6 = 2,8 Ом.

Теперь находим силу тока в цепи:

I = U/R = 14/2,8 = 5 A.

Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках:

Uab = IRab = 5 · 1,2 = 6 B;

Ubc = IRbc = 5 · 1,6 = 8 B.

(Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна 14 В, т. е. напряжению в цепи, как и должно быть при последовательном соединении.)

Оба резистора R1 и R2 находятся под напряжением Uab, поэтому:

Стало быть, через резистор R5 течёт ток I5 = I − I3 = 5 − 1 = 4 A

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся токи и напряжения в электрических цепях. Эти правила были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. В литературе часто называют законами Кирхгофа, но это не верно, так как они не являются законами природы, а были выведены из третьего уравнения Максвелла при неизменном магнитном поле. Но все же, первое более привычное для них название, поэтому и мы будет их называть, как это принято в литературе – законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа говорит, что сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Существует и другая, аналогичная по смыслу формулировка: сумма значений токов, входящих в узел, равна сумме значений токов, выходящих из узла.

Давайте разберем сказанное более подробно. Узлом называют место соединения трех и более проводников.

Ток, который втекает в узел, обозначается стрелкой, направленной в сторону узла, а выходящий из узла ток – стрелкой, направленной в сторону от узла.

Согласно первому закону Кирхгофа

Условно присвоили знак «+» всем входящим токам, а «-» ‑ все выходящим. Хотя это не принципиально.

1 закон Кирхгофа согласуется с законом сохранения энергии, поскольку электрические заряды не могут накапливаться в узлах, поэтому, поступающие к узлу заряды покидают его.

Убедиться в справедливости 1-го закона Кирхгофа нам поможет простая схема, состоящая из источника питания, напряжением 3 В (две последовательно соединенные батарейки по 1,5 В), три резистора разного номинала: 1 кОм, 2 кОм, 3,2 кОм (можно применять резисторы любых других номиналов). Токи будем измерять мультиметром в местах, обозначенных амперметром.

Если сложить показания трех амперметров с учетом знаков, то, согласно первому закону Кирхгофа, мы должны получить ноль:

I1 – I2 – I3 = 0.

Или показания первого амперметра А1 будет равняться сумме показаний второго А2 и третьего А3 амперметров.

Второй закон Кирхгофа и его определение

В едином замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС будет равняться на значение, которое суммирует изменения напряжения на всеобщее количество резистивных элементов данного контура.

Второе правило Кирхгофа актуально в сетях с постоянным и/или переменным током. В формулировке закона используется именно понятие алгебраическая сумма, так как она может быть указана со знаком плюс или минус. Точное определение возможно в таком случае только посредством простого, но эффективного алгоритма. Для начала надо подобрать какое-то направление для обхода контура, по/против часовой стрелке, на собственное усмотрение. Само направление тока подбирается только через элементы цепи. После следует определить знаки «+» и «-» для напряжениях и ЭДС. Напряжения нужно записывать с отрицательным знаком, когда ток не соответствует обходу контура в плане направления и с плюсом в случае совпадения. То же самое правило нужно использовать и в том случае, когда необходимо отметить ЭДС.

Значение правил Кирхгофа

Законы Кирхгофа выражают фундаментальные принципы физики. Их формулировки кажутся очень простыми и очевидными. Но на самом деле они представляют собой метод, позволяющий рассчитать электрические параметры сетей очень сложной конфигурации.

С помощью законов Кирхгофа можно составить систему независимых уравнений для расчета параметров электрической цепи. Важно, чтобы их количество было не меньше, чем число параметров, которые необходимо определить.

На приведённом рисунке представлена электроцепь, для которой будет проводиться расчёт. Используя первый закон или правило Кирхгофа, для узла A можно записать:

I = I1 + I2.

В этот узел входят два тока, а выходит один. Далее необходимо применить второе правило. Для этого можно выбрать внешний контур. Видно, что здесь имеется два источника тока и два резистора. Поэтому будут получены уравнения:

Здесь приведены 2 эквивалентные формулы. В левой части равенства учтены электродвижущие силы двух источников тока, в правой — падение напряжения на обоих резисторах с учётом направления токов. Ещё одно уравнение можно получить из 2 закона при обходе по правому внутреннему контуру:

В результате получена система, включающая в себя три уравнения с тремя неизвестными:

Используя конкретные данные, можно подставить в систему уравнений численные значения и найти, чему равна сила тока для каждой ветви, относящейся к узлу A. При расчётах важно понимать, что при достаточно сложной конфигурации электроцепи иногда бывает непросто определить направление силы тока для каждой ветви.

Первый и второй законы Густава Кирхгофа позволяют точно определить не только величину тока, но и его знак. Если в приведённом примере после вычисления искомых значений с помощью представленной системы уравнений окажется, что ток с индексом 2 принимает отрицательное значение, то это означает, что на самом деле он имеет направление, противоположное указанному на рисунке.

Использование закона Кирхгофа о напряжениях в сложной цепи

Закон Кирхгофа о напряжениях можно использовать для определения неизвестного напряжения в сложной цепи, где известны все другие напряжения вдоль определенного «контура». В качестве примера возьмем следующую сложную схему (на самом деле две последовательные цепи, соединенные одним проводом внизу):

Рисунок 10 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи

Чтобы упростить задачу, я опустил значения сопротивлений и просто указал падение напряжения на каждом резисторе. Две последовательные цепи имеют между собой общий провод (провод 7-8-9-10), что делает возможными измерения напряжения между этими двумя цепями. Если бы мы хотели определить напряжение между точками 4 и 3, мы могли бы составить уравнение правила напряжений Кирхгофа с напряжением между этими точками как неизвестным:

E4-3 + E9-4 + E8-9 + E3-8 = 0

E4-3 + 12 + 0 + 20 = 0

E4-3 + 32 = 0

E4-3 = -32 В

Рисунок 11 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 4 и 3Рисунок 12 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 9 и 4Рисунок 13 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 8 и 9Рисунок 14 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 3 и 8

Обойдя контур 3-4-9-8-3, мы записываем значения падений напряжения так, как их регистрировал бы цифровой вольтметр, измеряя с красным измерительным проводом в точке впереди и черным измерительным проводом на точке позади, когда мы продвигаемся вперед по контуру. Следовательно, напряжение в точке 9 относительно точки 4 является положительным (+) 12 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 9, а «черный провод» – в точке 4.

Напряжение в точке 3 относительно точки 8 составляет положительные (+) 20 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 3, а «черный провод» – в точке 8. Напряжение в точке 8 относительно точки 9, конечно, равно нулю, потому что эти две точки электрически общие.

Наш окончательный ответ для напряжения в точке 4 относительно точки 3 – это отрицательные (-) 32 вольта, говорящие нам, что точка 3 на самом деле положительна относительно точки 4, именно это цифровой вольтметр показал бы при красном проводе в точке 4 и черном проводе в точке 3:

Рисунок 15 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 4 и 3

Другими словами, первоначальное размещение наших «измерительных щупов» в этой задаче правила напряжений Кирхгофа было «обратным». Если бы мы сформировали наше уравнение второго закона Кирхгофа, начиная с E3-4, вместо E4-3, обходя тот же контур с противоположной ориентацией измерительных проводов, окончательный ответ был бы E3-4 = +32 вольта:

Рисунок 16 – Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 3 и 4

Важно понимать, что ни один из подходов не является «неправильным». В обоих случаях мы приходим к правильной оценке напряжения между двумя точками 3 и 4: точка 3 положительна по отношению к точке 4, а напряжение между ними составляет 32 вольта.

Правило Кирхгофа применительно к синусоидальным токам

Правила для синусоидального, такие же, как для тока постоянного. Правда, учитываются величины напряжений с комплексными токами.

Первое звучит: «в электрической цепи нулю равна сумма алгебраическая комплексных токов в узле».

Второе правило выглядит так: «алгебраическая сумма ЭДС комплексных в контуре замкнутом равняется сумме алгебраической значений комплексных напряжений, имеющихся на пассивных составляющих данного контура.

Источники

• https://motocarrello.ru/jelektrotehnologii/1510-zakon-kirhgofa-dlja-jelektricheskoj-cepi.html
• http://razmishlyajem.ru/o-raznom-vsyakom/prochee/dlya-studentov/zakony-kirxgofa
• https://faultan.ru/simulation/toe/kirchhoffs_laws/
• https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/postojannyj-elektricheskij-tok/pravila-kirhgofa-dlja-razvetvlennyh-tsepej/
• https://diodov. net/zakony-kirhgofa-prostymi-slovami/
• https://reshit.ru/vtoroj-zakon-kirxgofa
• https://ProFazu.ru/knowledge/electrical/zakon-kirhgofa.html
• https://radioprog.ru/post/1005

 

 

Как вам статья?

Павел

Бакалавр «210400 Радиотехника» – ТУСУР. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Написать

Пишите свои рекомендации и задавайте вопросы

Электрические схемы 1 — Урок второй

20.06.2015

1 Комментарий

Фундаментальные законы, которые регулируют электрические схемы:
○ Закон OHM’s
○ Законы Кирххоффа

Закон OHM

Ом. Закон о том, что напряжение v по сравнению с сопротивлением. i  течет через резистор.

То есть

, что является математической формой закона Ома. R является константой пропорциональности и обладает способностью сопротивляться протеканию электрического тока, который измеряется в единицах омов, обозначаемых Ω.

Линейный резистор — это резистор, который подчиняется закону Ома и имеет постоянное сопротивление.

Короткое замыкание (R=0)

Точно так же элемент с R равен бесконечности известен как разомкнутая цепь — это элемент цепи с сопротивлением, приближающимся к бесконечности.

Разомкнутая цепь (R= ∞)

Проводимость (G) – Сименс (S)


Проводимость – это способность элемента проводить электрический ток, которая измеряется в мОм или Сименсах. Проводимость также является обратной величиной сопротивления R.

Пример:

Определите напряжение (v), проводимость (G) и мощность (p) по рисунку ниже.

I = 10k Ом

Решение:

Используя формулу закона Ома, V=IR

V = IR
V = 2MA (10 кОм)

V = 20 В

Узел, ветви и петли

Элементы электрической схемы могут быть взаимосвязаны несколькими способами, которые нам необходимы, чтобы понять основные понятия топологии сети.

Отвод – представляет один элемент (т. е. напряжение, резистор)

Узел — место встречи двух или более ветвей.

Петля — любой замкнутый путь в цепи.

На картинке выше определите, сколько ветвей, узлов и режимов имеет данная картинка.

ЗАКОН КИРХГОФА

Закон Кирхгофа о токах (KCL)

   Закон Кирхгофа о токах, определяемый как алгебраическая сумма токов, входящих или выходящих из узла (или замкнутой границы), равна нулю.

   Текущие входы = +ve

   Текущие листья = -ve

Пример:

Закон Кирхгофа для напряжения (KVL)

Закон Кирхгофа для напряжения определяется как алгебраическая сумма напряжения (нарастание и падение в контуре равно нулю.)
 

KVL может применяться двумя способами:

• Путем обхода петли по или против часовой стрелки.

• В любом случае алгебраическая сумма напряжений вокруг контура равна нулю.

Сумма падений напряжения = Сумма повышений напряжения.

 

Чтобы проиллюстрировать KVL в этой схеме, знак каждого напряжения представляет собой полярность терминала, встречающегося первым, когда мы перемещаемся по контуру. Мы можем начать с любой ветки и пройти цикл по часовой или против часовой стрелки. Предположим, мы начинаем с источника напряжения (Vs) и идем по часовой стрелке по контуру.

+Vs — V1 — V2 — V3 =0  (уравнение 1)

или вы также можете выполнить цикл против часовой стрелки

-Vs + V1 +V2 + V3 =0 (уравнение 2)

Оба уравнения можно использовать для определения напряжений в цепи.

Пример:

                Используйте KVL для получения V1, V2 и V3


1 Комментарий

4.3 Правила Кирхгофа | Техасский шлюз

Цели обученияПервое правило КирхгофаВторое правило КирхгофаПрименение правил Кирхгофа

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Анализ сложной схемы с использованием правил Кирхгофа, применяя соглашения для определения правильных знаков различных термов

Информация, представленная в этом разделе, поддерживает следующие цели обучения и научные практики AP®:

• 5. B.9.1 Учащийся может построить или интерпретировать график изменения энергии в электрической цепи только с одной батареей и последовательно соединенными резисторами и/или максимум с одной параллельной ветвью в качестве приложения. Закон сохранения энергии (правило петли Кирхгофа). (СП 1.1, 1.4)
• 5.B.9.2 Учащийся может применить концепцию сохранения энергии к планированию эксперимента, который продемонстрирует справедливость правила Кирхгофа для контура в цепи только с батареей и резисторами либо последовательно, либо, не более , одна пара параллельных ветвей. (Ст. 4.2, 6.4, 7.2)
• 5.B.9.3 Учащийся может применять закон сохранения энергии (правило петли Кирхгофа) в расчетах, включающих полную разность электрических потенциалов для полных цепей с одной батареей и последовательно соединенными резисторами и/или не более чем , одна параллельная ветвь. (СП 2.2, 6.4, 7.2)
• 5.B.9.4 Учащийся способен анализировать экспериментальные данные, включая анализ экспериментальной неопределенности, который продемонстрирует справедливость правила цикла Кирхгофа.
  (Ст.5.1)
• 5.B.9.5 Учащийся может использовать принципы сохранения энергии (правило петли Кирхгофа) для описания и прогнозирования разности электрических потенциалов, заряда и тока в установившихся цепях, состоящих из различных комбинаций резисторов и конденсаторов. . (П. 6.4)
• 5.C.3.1 Учащийся может применить закон сохранения электрического заряда (правило соединения Кирхгофа) для сравнения электрического тока в различных сегментах электрической цепи с одной батареей и последовательно соединенными резисторами и, самое большее, одну параллельную ветвь и предсказать, как эти значения изменятся при изменении конфигурации схемы.
  (ПП 6.4, 7.2)
• 5.C.3.2 Учащийся может разработать исследование электрической цепи с одним или несколькими резисторами, в котором можно собрать и проанализировать доказательства сохранения электрического заряда. (п. 4.1, 4.2, 5.1)
• 5.C.3.3 Учащийся может использовать описание или принципиальную схему электрической цепи для расчета неизвестных значений тока в различных сегментах или ответвлениях цепи. (СП 1.4, 2.2)
• 5.C.3.4 Учащийся может предсказать или объяснить значения тока при последовательном и параллельном расположении резисторов и других разветвленных цепей, используя правило соединения Кирхгофа, и связать это правило с законом сохранения заряда.
  (СП 6.4, 7.2)
• 5. C.3.5 Учащийся может определять недостающие значения и направление электрического тока в ветвях цепи с резисторами и НО конденсаторами по значениям и направлениям тока в других ветвях цепи путем соответствующего выбора узлов и применения правила соединения. (СП 1.4, 2.2)

Многие сложные схемы, такие как схема на рис. 4.23, не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в разделе Резисторы в последовательном и параллельном соединении и Электродвижущая сила: напряжение на клеммах. Однако есть два правила анализа цепей, которые можно использовать для анализа любой схемы, простой или сложной. Эти правила являются частными случаями законов сохранения заряда и сохранения энергии. Эти правила известны как правила Кирхгофа в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Рисунок 4.23 Эту схему нельзя свести к комбинации последовательного и параллельного соединений. Для его анализа можно использовать правила Кирхгофа, специальные приложения законов сохранения заряда и энергии. (Примечание. Буква E на рисунке обозначает электродвижущую силу, эдс.)

Правила Кирхгофа

• Первое правило Кирхгофа — правило пересечения. Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения.
• Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любой замкнутой цепи (петли) должна быть равна нулю.

Теперь будут даны объяснения двух правил, за которыми следуют советы по решению проблем для применения правил Кирхгофа и рабочий пример, который их использует.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) представляет собой применение закона сохранения заряда к соединению; это показано на рис. 4.24. Ток — это поток заряда, а заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, втекающий в соединение, должен вытекать наружу. Первое правило Кирхгофа требует, чтобы I1=I2+I3I1=I2+I3 size 12{I rSub { size 8{1} } =I rSub { size 8{2} } +I rSub { size 8{3} } } {} ( см рисунок). Подобные уравнения могут и будут использоваться для анализа схем и решения схемных задач.

Создание соединений: законы сохранения

Правила Кирхгофа для анализа цепей представляют собой применение законов сохранения к цепям. Первое правило — применение закона сохранения заряда, а второе правило — применение закона сохранения энергии. Законы сохранения, даже используемые в конкретных приложениях, таких как анализ цепей, настолько просты, что составляют основу этого приложения.

Рисунок 4.24 Правило соединения. На диаграмме показан пример первого правила Кирхгофа, в котором сумма токов, поступающих в соединение, равна сумме токов, выходящих из соединения. В этом случае ток, поступающий в переход, разделяется и выходит в виде двух токов, так что I1=I2+I3.I1=I2+I3. размер 12{I rSub { размер 8{1} } =I rSub { размер 8{2} } +I rSub { размер 8{3} } } {} Здесь I1I1 размер 12{I rSub {размер 8{1}} } {} должен быть 11 А, так как I2I2 размер 12{I rSub { размер 8{2} } } {} равен 7 А, а I3I3 размер 12{I rSub { размер 8{3} } } {} равен 4 А.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило цикла) является применением закона сохранения энергии. Правило цикла сформулировано с точки зрения потенциала, размера VV 12 {V} {}, а не потенциальной энергии, но они связаны, поскольку PEelec = qV. PEelec = qV. size 12{ ital «PE» rSub { size 8{«elec»} } = ital «qV»} {} Напомним, что ЭДС — это разность потенциалов источника, когда ток не течет. В замкнутом контуре любая энергия, поставляемая ЭДС, должна быть переведена в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в контур или из него. На рис. 4.25 показаны изменения потенциала в простой последовательной цепи.

Второе правило Кирхгофа требует, чтобы ЭДС-Ir-IR1-IR2=0.ЭДС-Ir-IR1-IR2=0. size 12{«emf» — ital «Ir» — ital «IR» rSub { size 8{1} } — ital «IR» rSub { size 8{2} } =0} {} Переставлено, это emf=Ir+ IR1+IR2,ЭДС=Ir+IR1+IR2, размер 12{«ЭДС»= ital «Ir»+ ital «IR» rSub { размер 8{1} } + ital «IR» rSub {размер 8{2} } } {} что означает, что ЭДС равна сумме 12{ ital «IR»} {} (напряжение) падений в контуре.

Рисунок 4.25 Правило цикла. Пример второго правила Кирхгофа, согласно которому сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура должна быть равна нулю. (a) В этой стандартной схеме простой последовательной цепи ЭДС подает 18 В, которое сводится к нулю сопротивлениями, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки, в сумме 18 В. (b) Этот вид в перспективе представляет потенциал как что-то вроде американских горок, где заряд увеличивается в потенциале за счет ЭДС и уменьшается за счет сопротивления. (Обратите внимание, что буква E означает ЭДС.)

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы получаем уравнения, позволяющие находить неизвестные в цепях. Неизвестными могут быть токи, ЭДС или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, создается уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то задача решаема. При применении правил Кирхгофа вы должны принять два решения. Эти решения определяют знаки различных величин в уравнениях, которые вы получаете, применяя правила.

1. Применяя первое правило Кирхгофа, правило соединения, вы должны пометить ток в каждой ветви и решить, в каком направлении он течет. Например, на рис. 4.23, рис. 4.24 и рис. 4.25 токи обозначены I1, I1, размер 12{I rSub { размер 8{1} } } {}I2, I2, размер 12{I rSub { размер 8{2 } } } {}I3,I3, размер 12{I rSub {размер 8{3} } } {} и размер II 12{I} {}, и стрелки указывают их направления. Здесь нет никакого риска, потому что, если вы выберете неправильное направление, ток будет правильной величины, но отрицательным.
2. Применяя второе правило Кирхгофа, правило петли, вы должны определить замкнутую петлю и решить, в каком направлении ее обойти, по часовой или против часовой стрелки. Например, на рис. 4.25 петля была пройдена в том же направлении, что и ток (по часовой стрелке). Опять же, нет никакого риска; обход цепи в противоположном направлении меняет знак каждого члена уравнения на противоположное, что похоже на умножение обеих частей уравнения на –1,–1.

Рисунок 4.26 и следующие пункты помогут вам правильно расставить знаки плюс или минус при применении правила цикла. Обратите внимание, что резисторы и ЭДС пересекаются при переходе от a к b. Во многих схемах будет необходимо построить более одного контура. При обходе каждой петли нужно следить за знаком изменения потенциала (см. пример 4.5).

Рисунок 4.26 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от a до b. Возможные изменения показаны под каждым элементом и пояснены в тексте. (Обратите внимание, что буква E означает ЭДС.)

• Когда резистор перемещается в том же направлении, что и ток, изменение потенциала равно −IR−IR size 12{- ital «IR»} {} (см. рис. 4.26).
• При перемещении резистора в направлении, противоположном току, изменение потенциала составляет +IR+IR размер 12{+ ital «IR»} {} (см. рис. 4.26).
• Когда ЭДС перемещается от –– к + (в том же направлении, в котором движется положительный заряд), изменение потенциала равно +ЭДС (см. рис. 4.26).
• Когда ЭДС перемещается от + к –– (противоположно направлению движения положительного заряда), изменение потенциала равно −− величине 12{ — {}} {}ЭДС (см. рис. 4.26).

Пример 4.5 Расчет тока: использование правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи на рис. 4.27.

Рисунок 4.27 Эта схема аналогична схеме на рисунке 4.23, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви помечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема настолько сложна, что токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. Токи обозначены I1, I1, размер 12{I rSub { размер 8{1} } } {}I2, I2, размер 12{I rSub { размер 8{2} } } {} и I3I3 размер 12{I rSub { размер 8{3} } } {} на рисунке, и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам найти три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения первого правила Кирхгофа или правила соединения в точке а. Это дает

4,54 I1=I2+I3I1=I2+I3 размер 12{I rSub { размер 8{1} } =I rSub { размер 8{2} } +I rSub {размер 8{3} } } {}

, так как I1I1 размер 12{I rSub { размер 8{1} } } {} впадает в соединение, а I2I2 размер 12{I rSub { размер 8{2} } } {} и I3I3 размер 12{I rSub { размер 8{ 3} } } {} вытекают. Применение правила соединения в точке e приводит к точно такому же уравнению, так что никакой новой информации не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — нужны три независимых уравнения, поэтому необходимо применить правило цикла.

Теперь рассмотрим цикл abcdea. Переходя от a к b, мы пересекаем R2R2 размер 12{R rSub { размер 8{2} } } {} в том же (предполагаемом) направлении текущего I2,I2, размер 12{I rSub { размер 8{2} } } {} поэтому изменение потенциала равно −I2R2. −I2R2. size 12{ — I rSub { size 8{2} } R rSub { size 8{2} } } {} Затем, переходя от b к c, мы переходим от –– к +, так что изменение потенциала равно +ЭДС1.+ ЭДС1. size 12{+»emf» rSub { size 8{1} } } {} Переход внутреннего сопротивления r1r1 size 12{r rSub { size 8{1} } } {} от c к d дает -I2r1.-I2r1. size 12{ — I rSub { size 8{2} } r rSub { size 8{1} } } {} Завершение цикла переходом от d к a снова пересекает резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение в потенциал -I1R1.-I1R1. размер 12{ — I rSub { размер 8{1} } R rSub { размер 8{1} } } {}

Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

4,55 −I2R2+emf1−I2r1−I1R1=−I2(R2+r1)+emf1−I1R1=0,−I2R2+emf1−I2r1−I1R1=−I2(R2+r1)+emf1−I1R1=0 . размер 12{ — I rSub { размер 8{2} } R rSub { размер 8{2} } +»emf» rSub { размер 8{1} } — I rSub { размер 8{2} } r rSub { размер 8{ 1} } — I rSub { размер 8 {1} } R rSub { размер 8 {1} } = — I rSub { размер 8 {2} } \( R rSub { размер 8 {2} } +r rSub { размер 8 {1} } \) +»emf» rSub { размер 8{1} } — I rSub { размер 8{1} } R rSub { размер 8{1} } =0} {}

Подстановка значений сопротивления и ЭДС из принципиальной схемы и отмена единицы измерения ампер дает

4,56 −3I2+18−6I1=0,−3I2+18−6I1=0. size 12{ — 3I rSub { size 8{2} } +»18″ — 6I rSub { size 8{1} } =0} {}

Теперь применим правило цикла к aefgha (мы могли бы выбрать и abcdefgha) аналогично дает

4,57 +I1R1+I3R3+I3r2-emf2= +I1R1+I3R3+r2-emf2=0.+I1R1+I3R3+I3r2-emf2= +I1R1+I3R3+r2-emf2=0. размер 12{+I rSub { размер 8{1} } R rSub { размер 8{1} } +I rSub { размер 8{3} } R rSub { размер 8{3} } +I rSub { размер 8{3} } r rSub { размер 8{2} } — «emf» rSub { размер 8{2} } «=+»I rSub { размер 8{1} } R rSub { размер 8{1} } +I rSub { размер 8 {3} } левый (R rSub { размер 8 {3} } +r rSub { размер 8 {2} } правый ) — «emf» rSub { размер 8 {2} } = 0} {}

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

4,58 +6I1+2I3-45=0.+6I1+2I3-45=0. size 12{+6I rSub { size 8{1} } +2I rSub { size 8{3} } — «45»=0} {}

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение для I2.I2. размер 12{I rSub { размер 8{2} } } {}

4,59 I2=6−2I1I2=6−2I1 размер 12{I rSub { размер 8{2} } =6 — 2I rSub { размер 8{1} } } {}

Теперь решите третье уравнение для I3.I3. размер 12{I rSub { размер 8{3} } } {}

4,60 I3=22,5−3I1I3=22,5−3I1 размер 12{I rSub { размер 8{3} } =»22″ «.» 5 — 3I rSub { size 8{1} } } {}

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет найти значение для I1.I1. размер 12{I rSub { размер 8{1} } } {}

4,61 I1=I2+I3=(6−2I1)+(22,5−3I1)=28,5−5I1I1=I2+I3=(6−2I1)+ (22,5−3I1)=28,5−5I1 размер 12{I rSub { размер 8{1} } =I rSub { размер 8{2} } +I rSub { размер 8{3} } = \( 6 — 2I rSub { размер 8{1} } \) + \(«22» «.» 5 — 3I rSub { размер 8{1} } \) =»28″ «.» 5 — 5I rSub {размер 8{1} } } {}

Объединение терминов дает

4,62 6I1=28,5 и 6I1=28,5 и размер 12{6I rSub { размер 8{1} } =»28″ «.» 5} {}

4,63 I1=4,75 A.I1=4,75 A. размер 12{I rSub { размер 8{1} } =4 «.» «75»» A»} {}

Подстановка этого значения для I1I1 size 12{I rSub { size 8{1} } } {} обратно в четвертое уравнение дает

4,64 I2=6−2I1=6−9,50I2 =6−2I1=6−9,50 размер 12{I rSub { размер 8{2} } =6 — 2I rSub { размер 8{1} } =6 — 9 «. » «50»} {}

4,65 I2=-3,50 A.I2=-3,50 A. размер 12{I rSub { размер 8{2} } = — 3 «.» «50» «А»} {}

Знак минус означает, что I2I2 размер 12{I rSub { размер 8{2} } } {} течет в направлении, противоположном предполагаемому на рис. 4.27.

Наконец, подстановка значения I1I1 size 12{I rSub { size 8{1} } } {} в пятое уравнение дает

4,66 I3=22,5−3I1=22,5−14,25I3=22,5−3I1=22,5−14,25 размер 12{I rSub {размер 8{3}} =»22″ «.» 5 — 3I rSub {размер 8{1}} =»22″ «.» 5 — «14» «. «25»} {}

4,67 I3=8,25 A.I3=8,25 A. размер 12{I rSub { размер 8{3} } =8 «.» «25» «А»} {}

Обсуждение

Просто для проверки отметим, что действительно I1=I2+I3.I1=I2+I3. size 12{I rSub { size 8{1} } =I rSub { size 8{2} } +I rSub { size 8{3} } } {} Результаты также можно проверить, введя все значения в поле уравнение для петли abcdefgha.

Стратегии решения задач по правилам Кирхгофа

1. Убедитесь, что имеется четкая принципиальная схема, на которой вы можете отметить все известные и неизвестные сопротивления, ЭДС и токи. Если ток неизвестен, вы должны присвоить ему направление. Это необходимо для определения признаков потенциальных изменений. Если вы зададите направление неправильно, то обнаружится, что ток имеет отрицательное значение — никакого вреда не будет.
2. Примените правило соединения к любому соединению в цепи. Каждый раз, когда применяется правило соединения, вы должны получать уравнение с током, которого не было в предыдущем приложении — если нет, то уравнение избыточно.
3. Примените правило цикла к такому количеству циклов, которое необходимо для поиска неизвестных в задаче. (Независимых уравнений должно быть столько же, сколько и неизвестных.) Чтобы применить правило цикла, вы должны выбрать направление обхода цикла. Затем тщательно и последовательно определите знаки потенциальных изменений для каждого элемента, используя четыре маркированных пункта, рассмотренных выше вместе с рис. 4.26.
4. Решите уравнения для неизвестных. Это может включать в себя множество алгебраических шагов, требующих тщательной проверки и перепроверки.
5. Проверьте, разумны ли и последовательны ли ответы. Числа должны быть правильного порядка, ни чрезмерно большими, ни исчезающе малыми. Признаки должны быть разумными — например, отсутствие сопротивления не должно быть отрицательным. Убедитесь, что полученные значения удовлетворяют различным уравнениям, полученным в результате применения правил. Например, токи должны удовлетворять правилу соединения.

Материал в этом разделе теоретически верен. Мы должны быть в состоянии проверить это, произведя измерения тока и напряжения. На самом деле, некоторые из устройств, используемых для проведения таких измерений, представляют собой прямое применение принципов, рассмотренных до сих пор, и рассматриваются в следующих модулях. Как мы увидим, отсюда вытекает очень простой, даже глубокий факт: проведение измерения изменяет измеряемую величину.

Проверьте свое понимание

Можно ли применять правила Кирхгофа к простым последовательным и параллельным цепям, или они ограничены для использования в более сложных цепях, которые не являются комбинацией последовательной и параллельной?

Решение

Правила Кирхгофа можно применить к любой схеме, поскольку они являются приложениями к схемам двух законов сохранения. Законы сохранения являются наиболее широко применимыми принципами в физике. Обычно математически проще использовать правила для последовательной и параллельной схемы в более простых схемах, поэтому мы подчеркиваем правила Кирхгофа для использования в более сложных ситуациях. Но правила последовательностей и параллелей можно вывести из правил Кирхгофа. Кроме того, правила Кирхгофа могут быть распространены на устройства, отличные от резисторов и ЭДС, такие как конденсаторы, и являются одним из основных устройств анализа в анализе цепей.

Выполнение соединений: параллельные резисторы

Показанная ниже простая схема с двумя параллельными резисторами и источником напряжения реализована в лабораторном эксперименте с ɛ = 6,00 ± 0,02 В и R ₁ = 4,8 ± 0,1 Ом и R ₂ = 9,6 ± 0,1 Ом. Значения включают допуск на экспериментальные погрешности, поскольку их нельзя измерить с полной уверенностью. Например, если вы измерите сопротивление резистора несколько раз, вы можете получить немного разные результаты. Следовательно, значения выражаются с некоторым уровнем неопределенности.

Рисунок 4.28

В ходе лабораторного эксперимента токи, измеренные в двух резисторах, равны I ₁ = 1,27 А и I ₂ = 0,62 А соответственно. Проверим эти значения с помощью законов Кирхгофа.

для двух петель,

E — I _I R _I = 0 или I _I = E/R _I 2

7774 I

9000 2 774 I

9000 2 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777н7н7н7а _. = 0 или I _II = Э/Р _II .

Преобразование заданных неопределенности для напряжения и сопротивления в проценты, мы получаем

E = 6,00 В ± 0,33%

R _I = 4,8 Ом ± 2,08%

9000 2 1377457457457457457457457457457457457457457457457457457457457457037457037457037457037457037457037. Ом ± 1,04%.

Теперь найдем токи двух контуров. В то время как напряжение делится на сопротивление, чтобы найти ток, неопределенности в напряжении и сопротивлении напрямую добавляются, чтобы найти неопределенность в значении тока.

I _I = (6.00/4.8) ± (0.33% + 2.08%)

= 1.25 ± 2.4%

= 1.25 ± 0.03 A

I _II = (6.00/9.6) ± (0,33 % + 1,04 %)

= 0,63 ± 1,4 %

= 0,63 ± 0,01 А

Наконец, вы можете проверить, что два измеренных значения в этом случае находятся в пределах диапазонов неопределенности, найденных для токов.