2 правило кирхгофа: § 18. Правила Кирхгофа — ЗФТШ, МФТИ

Правила (законы) Кирхгофа простыми словами: формулировки и расчеты

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Рис. 1. Схема контура

Ток I₁ входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический  заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I₁ = I₂ + I₃.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i₁, i₂, i₃, i₄ то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где L_k и C_k – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

В частности: ∑Ф=0.

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i₁, i₂, i₃, i₄. Из них –  два входящие ( i₂, i₃) и два исходящие из узла (i₁, i₄). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i₁ + i₂ + i₃ – i₄ = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

1. 1 и 2.
2. 1 и 3.
3. 2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I₁ +  I₂ –  I₃ = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

• I₁R₁ +  I₃ R₃ = E₁;
• I₂R₂ +  I₃R₃ = E₂.

Решаем систему уравнений:

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Решая эту систему, получим:

1. I₁ = 1,36 (значения в миллиамперах).
2. I₂ = 2,19 мА.;
3. I₃ = 3,55 мА.

Потенциал узла а равен: U_a = I₃*R₃ = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E₁ – E₂ + I₁R₁+ I₂R₂ = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

2. 6. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.

До сих пор нами рассматривались простейшие электрические цепи, состоя­щие из одного замкнутого неразветвленного контура. На всех его участках силы тока оди­наковы. Расчет I, R,  в такой цепи выполняется с помощью законов Ома.

Рис.2.2.Разветвленная электрическая цепь.

Более сложной является разветвленная электри­ческая цепь, состоящая из нескольких замкнутых кон­ту­ров, имеющих общие участки. В каждом контуре мо­жет быть несколько источников тока. Силы тока на от­дельных участках замкнутого контура могут быть раз­личными по величине и направлению (рис.2.2). В 1847 г. Г.Кирхгоф сформулировал два правила, значительно упрощающих расчет разветвленных цепей.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю: . Узел — точка цепи, в которой сходятся не менее трех про­водников. В электрической цепи на рис.

2.2 имеются два узла А и В. Ток, входящий в узел, считается положительным, выходящий — отрицательным. Например, для узла А первое правило Кирх­гофа следует записать .

Первое правило выражает закон сохранения электрического заряда, так как ни в одной точке цепи они не могут возникать или исчезать.

Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру, выде­ленному в разветвленной цепи: алгебраическая сумма произведений токов на со­противления, включая и внутренние, на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре .Контур ‑ это замкнутый участок схемы, по которому можно пройти и вернуться в исходную точку. Второе правило Кирхгофа получается из закона Ома, записанного для всех участков от узла до узла (ветвей) разветвленной схемы. В электрической цепи на рис.2.2 имеются три контура: AMNBA, CABDC, CMNDC. При этом, токи I

i в ветвях контура, совпадающие с произвольно вы­бран­ным направлением обхода контура, считаются положительными, а направлен­ные на­встречу обхода — отрицательными. Э.д.с., проходимые от «+» к «-» считаются поло­жительными и наоборот. В рассматриваемой элек­трической цепи (рис.2.2) выберем обход контуров по часовой стрелке и запишем для них уравнения по II правилу Кирхгофа: для AMNBА ; для CABDС ; для CMNDС . В данном примере внутренними сопротивлениями источников тока пренебрегаем. Первое и второе правила Кирхгофа по­зволяют составить систему линейных алгебраичес­ких уравнений, которые связывают пара­метры (I, R, ) и позволяют, зная одни, найти другие.

Простые электрические цепи имеют очень большое практическое применение. В повседневной жизни полезно знать, как под­ключить динамики или проигрыватель к сте­реосистеме, как подсоединить сигнализацию для охраны или автомобильный кас­сетный п

Рис.2.3. а) Последовательное соеди­нение сопротивлений; б) Параллельное соединение со­противлений.

роигрыватель, как зарядить аккумуляторы или осветить новогоднюю елку.

Большинство электрических цепей содержит комбинацию последовательно или параллельно подключенных резисторов (резистор — это элемент цепи, обла­дающий только сопротивлением). Полное сопротивление участка цепи оп­ределяется отношением падения на­пряжения на нем к величине силы тока . При последовательном соединении (рис.2.3 а) через все резисторы течет один и тот же ток. При параллельном соединении (рис.2.3 б) полный ток равен сумме токов, те­кущих в отдельных резисторах.

При последовательном соединении падение на­пряже­ния на участке АВ равно , т.е. сумме падений напряжения на трех резисторах. Разделим обе части равенства наI и получим , т.е.. Таким образом,полное сопротивление участка цепи, состоящего из последо­ва­тельно соединенных резисторов, равно их алгебраической сумме.

При параллельном соединении (рис..2.3 б) мы имеем . Разделим обе части равенства наU, где U — падение напряжения на участке цепи АВ, причем , и получим. Из этого равенства следует.Величина обратная полному сопротивлению параллельно соединенных резис­торов равна алгебраической сумме величин их обратных сопротивлений .

В электрическую цепь может быть включено регулируемое (изменяющееся с помощью специального движка), сопротивление, которое называется реостатом

. По назначению реостаты делятся на пусковые, служащие для ограничения силы тока во время пуска двигателей, и регулирующие — для регулировки силы тока в цепи (по­степенное снижение освещенности в театральных залах), регулировки скорости вращения электродвигателей и т.д. Реостат может быть использован в качестве так называемого датчика пере­мещения. В автоматических регуляторах уровня жидкос­ти в резервуарах применя­ется поплавково-реостатный датчик. Специальный поплавок крепится к движку реостата. Изменение уровня жидкости сдвигает поплавок, изменя­ет сопротивление реостата, и следовательно, силы тока в цепи, величина которого дает информацию об уровне.

правил Кирхгофа | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Анализировать сложную схему, используя правила Кирхгофа, используя соглашения для определения правильных знаков различных членов.

Многие сложные схемы, такие как схема на рис. 1, не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в разделе Резисторы в последовательном и параллельном соединении и Электродвижущая сила: напряжение на клеммах. Однако есть два правила анализа цепей, которые можно использовать для анализа любой схемы, простой или сложной. Эти правила являются частными случаями законов сохранения заряда и сохранения энергии. Правила известны как Правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Рис. 1. Эту схему нельзя свести к комбинации последовательного и параллельного соединений. Для его анализа можно использовать правила Кирхгофа, специальные приложения законов сохранения заряда и энергии. (Примечание: буква E на рисунке обозначает электродвижущую силу, эдс.)

Правила Кирхгофа

• Первое правило Кирхгофа — правило пересечения. Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения.
• Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любой замкнутой цепи (петли) должна быть равна нулю.

Теперь будут даны объяснения двух правил, за которыми следуют советы по решению проблем для применения правил Кирхгофа и рабочий пример, который их использует.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения ) является применением закона сохранения заряда к соединению; это показано на рис. 2. Ток — это поток заряда, а заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, втекающий в соединение, должен вытекать наружу. Первое правило Кирхгофа требует, чтобы I ₁ = I ₂ + I ₃ (см. рисунок). Подобные уравнения могут и будут использоваться для анализа схем и решения схемных задач.

Установление соединений: законы сохранения

Правила Кирхгофа для анализа цепей представляют собой применение законов сохранения к цепям. Первое правило — применение закона сохранения заряда, а второе правило — применение закона сохранения энергии. Законы сохранения, даже используемые в конкретных приложениях, таких как анализ цепей, настолько просты, что составляют основу этого приложения.

Рисунок 22. Правило соединения. На диаграмме показан пример первого правила Кирхгофа, в котором сумма токов, поступающих в соединение, равна сумме токов, выходящих из соединения. В этом случае ток, входящий в переход, разделяется и выходит в виде двух токов, так что I ₁ = I ₂ + I ₃ . Здесь I ₁ должно быть 11 А, так как I ₂ равно 7 А, а I ₃ равно 4 A.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило цикла ) является применением закона сохранения энергии. Правило петли сформулировано с точки зрения потенциала, В , а не потенциальной энергии, но они связаны, поскольку PE _elec  = qV . Напомним, что ЭДС — это разность потенциалов источника при отсутствии тока. В замкнутом контуре любая энергия, поставляемая ЭДС, должна быть переведена в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в контур или из него. На рисунке 3 показаны изменения потенциала в простой последовательной цепи. Второе правило Кирхгофа требует ЭДС − IR — IR ₁ — IR ₂ = 0. перестроенный, это EMF = IR + IR ₁ + IR ₂ = 0, что означает EMF EMF MANGE EMF EMF MANGE EMF MANGE EMF MANGE EMF MANGE EMF MIGE EMF равно сумме IR  (напряжения) падений в контуре.

Рис. 3. Правило цикла. Пример второго правила Кирхгофа, согласно которому сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура должна быть равна нулю. (a) На этой стандартной схеме простой последовательной цепи ЭДС подает напряжение 18 В, которое сводится к нулю сопротивлениями, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки, для всего 18 В. (b) Этот вид в перспективе представляет потенциал как что-то вроде американских горок, где потенциал повышается за счет ЭДС и снижается за счет сопротивления. (Обратите внимание, что буква E означает ЭДС.)

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы получаем уравнения, позволяющие находить неизвестные в цепях. Неизвестными могут быть токи, ЭДС или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, создается уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то задача решаема. При применении правил Кирхгофа вы должны принять два решения. Эти решения определяют знаки различных величин в уравнениях, которые вы получаете, применяя правила.

1. Применяя первое правило Кирхгофа, правило соединения, вы должны пометить ток в каждой ветви и решить, в каком направлении он течет. Например, на рис. 1, рис. 2 и рис. 3 токи обозначены I ₁ , I ₂ , I ₃ и I , а стрелки указывают их направления. Здесь нет никакого риска, потому что, если вы выберете неправильное направление, ток будет правильной величины, но отрицательным.
2. Применяя второе правило Кирхгофа, правило петли, вы должны определить замкнутую петлю и решить, в каком направлении ее обойти, по часовой или против часовой стрелки. Например, на рисунке 3 петля была пройдена в том же направлении, что и ток (по часовой стрелке). Опять же, нет никакого риска; Обход цепи в противоположном направлении меняет знак каждого члена в уравнении, что похоже на умножение обеих частей уравнения на -1.

Рисунок 4 и следующие пункты помогут вам правильно расставить знаки плюс или минус при применении правила цикла. Обратите внимание, что резисторы и ЭДС пересекаются при переходе от a к b. Во многих схемах будет необходимо построить более одного контура. При обходе каждой петли необходимо следить за знаком изменения потенциала. (См. пример 4.)

Рисунок 4. Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от a до b. Возможные изменения показаны под каждым элементом и пояснены в тексте. (Обратите внимание, что буква E означает ЭДС.)

• Когда резистор перемещается в том же направлении, что и ток, изменение потенциала составляет  −IR . (См. рис. 4.)
• Когда резистор перемещается в направлении, противоположном току, изменение потенциала составляет + IR . (См. рис. 4.)
• Когда ЭДС перемещается от – к + (в том же направлении, что и положительный заряд), изменение потенциала составляет +ЭДС. (См. рис. 4.)
• Когда ЭДС перемещается от + к — (противоположно направлению, в котором движется положительный заряд), изменение потенциала равно — ЭДС. (См. рис. 4.)

Пример 1. Расчет силы тока: использование правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи на рисунке 5.

Рисунок 5. Эта цепь аналогична схеме на рисунке 1, но сопротивления и ЭДС заданы. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви помечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема настолько сложна, что токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. Токи были обозначены на рисунке I ₁ , I ₂ и I ₃ , и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам найти три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения первого правила Кирхгофа или правила соединения в точке а. This gives

I ₁  =  I ₂  +  I ₃ ,

since I ₁ flows into the junction, while I ₂ and I ₃ слив. Применение правила соединения в точке e дает точно такое же уравнение, так что никакой новой информации не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — нужны три независимых уравнения, поэтому необходимо применить правило цикла. Теперь рассмотрим петлю abcdea. Переходя от a к b, мы проходим R ₂ в том же (предполагаемом) направлении тока I ₂ , поэтому изменение потенциала равно − I ₂ R 8 ₂ . Затем, переходя от b к c, мы переходим от – к +, так что изменение потенциала равно +ЭДС ₁ . Пересечение внутреннего сопротивления r ₁ от c к d дает − I ₂ r ₁ . Завершение цикла путем перехода от d к a снова пересекает резистор в том же направлении, что и его ток, что дает изменение потенциала на — I ₁ R ₁ . Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Thus,

− I ₂ R ₂  + emf ₁  −  I ₂ r ₁  −  I ₁ R ₁  = − I ₂ ( R ₂ + r ₁ ) + ЭДС ₁ − I 1 0011 R ₁  = 0,

Подставляя значения сопротивления и ЭДС из принципиальной схемы и исключая единицу измерения ампер, получаем 0.

Now applying the loop rule to aefgha (we could have chosen abcdefgha as well) similarly gives

+ I ₁ R ₁  + I ₃ R ₃  + я ₃ r ₂  − emf ₂  = + I ₁ R ₁  + I ₃ ( R ₃  +  r ₂ ) − ЭДС ₂  = 0,

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим контуром, потому что элементы проходятся в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

+6 I ₁  + 2 I ₃   – 45 = 0,

Этих трех уравнений достаточно, чтобы решить для трех неизвестных токов. Сначала решим второе уравнение для I ₂ :

I ₂ = 6 − 2 I ₁ .

Теперь решите третье уравнение для I ₃ :

I ₃  = 22,5 − 3 I ₁ .

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для I ₁ :

I ₁ = I ₂ + I ₃ = (6–2 I ₁ ) + (2 I ₁ ) + (21111112 ₁ ) + (211111112 ₁ ) + (2 I ₁ ) + (2 I ₁ ) + (6-2 I ₁ ) + (6-2 I ₁ ) + (6-2 I ₁ ). 1 ) = 28,5 − 5 I ₁ .

Комбинирующие условия приведены

6 I ₁ = 28,5 и

I ₁ = 4,75 A.

Заменить это значение для I ₁ назад в четырех.0005

I ₂ = 6 — 2 I ₁ = 6 — 9,50

I ₂ = −3.50 A.

направление, противоположное предполагаемому на рис. 5. Наконец, подставляя значение I ₁ в пятое уравнение, мы получаем 25

I ₃ = 8,25 A.

Обсуждение

Как только чек, мы отмечаем, что действительно I ₁ = I ₂ + I ₃ . Результаты также можно проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Стратегии решения задач по правилам Кирхгофа

1. Убедитесь, что имеется четкая принципиальная схема, на которой вы можете отметить все известные и неизвестные сопротивления, ЭДС и токи. Если ток неизвестен, вы должны присвоить ему направление. Это необходимо для определения признаков потенциальных изменений. Если вы зададите направление неправильно, то обнаружится, что ток имеет отрицательное значение — никакого вреда не будет.
2. Примените правило соединения к любому соединению в цепи. Каждый раз, когда применяется правило соединения, вы должны получать уравнение с током, которого не было в предыдущем приложении — если нет, то уравнение является избыточным.
3. Примените правило цикла к такому количеству циклов, которое необходимо для поиска неизвестных в задаче. (Независимых уравнений должно быть столько же, сколько и неизвестных.) Чтобы применить правило цикла, вы должны выбрать направление обхода цикла. Затем тщательно и последовательно определите знаки потенциальных изменений для каждого элемента, используя четыре маркированных пункта, рассмотренных выше в сочетании с рис. 4.9.0008
4. Решите уравнения для неизвестных. Это может включать в себя множество алгебраических шагов, требующих тщательной проверки и перепроверки.
5. Проверить разумность и последовательность ответов. Числа должны быть правильного порядка, ни чрезмерно большими, ни исчезающе малыми. Признаки должны быть разумными — например, отсутствие сопротивления не должно быть отрицательным. Убедитесь, что полученные значения удовлетворяют различным уравнениям, полученным в результате применения правил. Например, токи должны удовлетворять правилу соединения.

Материал в этом разделе теоретически верен. Мы должны быть в состоянии проверить это, произведя измерения тока и напряжения. На самом деле, некоторые из устройств, используемых для таких измерений, являются прямым применением принципов, рассмотренных до сих пор, и рассматриваются в следующих модулях. Как мы увидим, отсюда вытекает очень простой, даже глубокий факт: проведение измерения изменяет измеряемую величину.

Проверьте свое понимание

Можно ли применять правила Кирхгофа к простым последовательным и параллельным цепям, или они ограничены для использования в более сложных цепях, которые не являются комбинацией последовательной и параллельной?

Решение

Правила Кирхгофа можно применить к любой схеме, поскольку они являются приложениями к схемам двух законов сохранения. Законы сохранения являются наиболее широко применимыми принципами в физике. Обычно математически проще использовать правила для последовательной и параллельной схемы в более простых схемах, поэтому мы подчеркиваем правила Кирхгофа для использования в более сложных ситуациях. Но правила последовательностей и параллелей можно вывести из правил Кирхгофа. Кроме того, правила Кирхгофа могут быть распространены на устройства, отличные от резисторов и ЭДС, такие как конденсаторы, и являются одним из основных устройств анализа в анализе цепей.

Резюме раздела

• Правила Кирхгофа можно использовать для анализа любой схемы, простой или сложной.
• Первое правило Кирхгофа — правило соединения: сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения.
• Второе правило Кирхгофа — правило петли: алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого замкнутого контура (петли) должна быть равна нулю.
• Два правила основаны соответственно на законах сохранения заряда и энергии.
• При расчете потенциала и тока по правилам Кирхгофа необходимо соблюдать ряд правил для определения правильных знаков различных членов.
• Простые ряды и параллельные правила являются частными случаями правил Кирхгофа.

Концептуальные вопросы

1. Могут ли все токи, входящие в соединение на рисунке 6, быть положительными? Объяснять.

Рисунок 6.

2. Примените правило соединения к соединению b на рис. 7. Получена ли какая-либо новая информация при применении правила соединения в точке e? (На рисунке каждая ЭДС представлена ​​буквой Е.)

Рисунок 7.

3. (a) Какова разность потенциалов при переходе из точки a в точку b на рис. 7? б) Чему равна разность потенциалов при переходе от c к b? в) От е до g? (г) От е до d?

4. Примените правило цикла к циклу afedcba на рисунке 7.

5. Примените правило цикла к циклам abgefa и cbgedc на рисунке 7.

Задачи и упражнения

1. Примените правило цикла к циклу abcdefgha на рисунке 5 (показанном ниже).

Рис. 5. Эта схема аналогична схеме на рис. 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви помечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

2. Примените петлевое правило к петле aedcba на рисунке 5.

3. Проверьте второе уравнение в Пример 1 Расчет тока: с использованием правил Кирхгофа  (в тексте выше), путем подстановки найденных значений токов I ₁ и I ₂ .

4. Проверьте третье уравнение в  Пример 1 Расчет тока: с использованием правил Кирхгофа  (в тексте выше), подставив найденные значения токов  I ₁ и I ₃ .

5. Примените правило соединения в точке a на рисунке 8.

Рисунок 8.

6. Примените правило цикла к кольцу abcdefghija на рисунке 8.

7. Примените правило цикла к кольцу akledcba на рисунке 8.

8. Найдите токи, протекающие в цепи на рисунке 8. В явном виде покажите, как вы выполняете шаги, описанные в Стратегии решения проблем для последовательных и параллельных резисторов выше.

9. Решите  Пример 1 Расчет тока: с использованием правил Кирхгофа (в тексте выше), но используйте цикл abcdefgha вместо цикла akledcba. Явно покажите, как вы следуете шагам, описанным в Стратегии решения проблем для последовательных и параллельных резисторов .

10. Найдите токи, протекающие в цепи на рисунке 7 (показанном ниже).

Рисунок 7.

11. Необоснованные результаты Рассмотрим схему на рисунке 9 и предположим, что ЭДС неизвестны, а токи заданы равными I ₁  = 5,00 А, I ₂  = 3,0 А и I ₃  = –2,00 А. а) Не могли бы вы найти ЭДС? б) Что неверно в предположениях?

Рисунок 9.

Глоссарий

Правила Кирхгофа:

набор из двух правил, основанных на сохранении заряда и энергии, управляющих током и изменениями потенциала в электрической цепи

правило соединения:

первое правило Кирхгофа, применяющее закон сохранения заряда к соединению; ток — это поток заряда; таким образом, любой заряд, втекающий в соединение, должен вытекать наружу; правило может быть указано [latex]{I}_{1}={I}_{2}+{I}_{3}[/latex]

правило цикла:

Второе правило Кирхгофа, которое гласит, что в замкнутом контуре любая энергия, поставляемая ЭДС, должна быть переведена в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в контур или из него. Таким образом, ЭДС равна сумме падений [латекс]\текст{IR}[/латекс] (напряжения) в контуре и может быть сформулирована следующим образом: [латекс]\текст{ЭДС}=\текст{Ir}+{\ text{IR}}_{1}+{\text{IR}}_{2}\\[/латекс]

законов сохранения:

требуют сохранения энергии и заряда в системе

Избранные решения задач и упражнений

1.  [латекс]-{I}_{2}{R}_{2}+{\text{emf}}_{1}-{\text{I}} _{2}{r}_{1}+{\text{I}}_{3}{R}_{3}+{\text{I}}_{3}{r}_{2}- {\text{emf}}_{2}=\text{0}\\[/latex]

5. I ₃ = I ₁ + I ₂

7. [латекс] {\ text {ЭДС}} _ {2} — {\ text {I}} _ {2} {r} _ {2} — {\ text {I}} _ {2} {R} _ {2} + {\ text {I}} _ {1} {R} _ {5} + {I} _ {1} {r} _ {1} — {\ text {ЭДС}} _ {1} + {\ text { I}}_{1}{R}_{1}=0\\[/латекс]

9.(a) I ₁  = 4.75 A (b) I ₂  = −3.5 A (c) I ₃  = 8.25 A

11. (a) No, вы получите противоречивые уравнения для решения. (б) I ₁  ≠ I ₂  + I ₃ . Предполагаемые токи нарушают правило соединения.

10.3 Правила Кирхгофа. Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Государственное правило пересечения Кирхгофа
• Государственное правило петли Кирхгофа
• Анализ сложных цепей с использованием правил Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно анализировать, сводя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Многие сложные схемы невозможно проанализировать с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно остановимся на использовании правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рис. 10.19.называется многоконтурной схемой, состоящей из соединений. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы расположены последовательно или параллельно, и их можно уменьшить. Попробуйте. Резисторы R1R1 и R2R2 включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое и с резисторами R4R4 и R5R5. Но что вы делаете тогда?

Несмотря на то, что эту цепь нельзя проанализировать с помощью уже изученных методов, для анализа любой цепи, простой или сложной, можно использовать два правила анализа цепей. Эти правила известны как правила Кирхгофа в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Рисунок 10.19 Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединений. Однако мы можем использовать правила Кирхгофа для его анализа.

Правила Кирхгофа

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по решению проблем по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рис. 10.20). Как указывалось ранее, узел или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, а заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, втекающий в соединение, должен вытекать наружу.

Рисунок 10.20 Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в соединении должна быть равна сумме токов вне соединения.

Хотя это упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в сантехническом узле. Если бы провода на рис. 10.20 были заменены водопроводными трубами, а вода считалась несжимаемой, то объем воды, поступающей в соединение, должен был бы равняться объему воды, вытекающей из соединения.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли) применимо к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциала В , а не потенциальной энергии, но они связаны, поскольку U=qV.U=qV. В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поставлялась источником напряжения, энергия должна передаваться в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжения, подаваемые источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простую петлю без соединений, как на рис. 10.21.

Рисунок 10.21 Простая петля без соединений. Правило цикла Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Этикетки a , b , c и d служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Полезность этих ярлыков скоро станет очевидной. Петля обозначена как Loop abcda , а метки помогают отслеживать разность напряжений, когда мы перемещаемся по цепи. Начните с точки a и доехать до точки b . В уравнение добавляется напряжение источника напряжения и вычитается падение потенциала на резисторе R1R1. От точки b до c вычитается падение потенциала на R2R2. От c до d вычитается падение потенциала на R3R3. От точек d до a ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 10.22 показан график изменения напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, тогда как напряжение уменьшается, когда мы пересекаем резистор. Падение потенциала или изменение электрического потенциала равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Рисунок 10.22 График напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор. Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило цикла Кирхгофа утверждает

В-IR1-IR2-IR3=0. V-IR1-IR2-IR3=0.

Уравнение контура можно использовать для определения тока через контур:

I=VR1+R2+R2=12,00В1,00Ом+2,00Ом+3,00Ом=2,00A.I=VR1+R2+R2=12,00В1,00Ом+2,00Ом+3,00Ом=2,00А.

Эту петлю можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем возможности метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы получаем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в цепях. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления. Каждый раз, когда правило применяется, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то задача решаема.

Использование метода анализа Кирхгофа требует выполнения нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем

Правила Кирхгофа

1. Обозначьте точки на электрической схеме строчными буквами a , b , c , …. Эти метки просто помогают с ориентацией.
2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов. Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток указывает на соединение и по крайней мере один ток указывает на соединение.
3. Выберите петли в цепи. Каждый компонент должен содержаться по крайней мере в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
4. Применить правило соединения. Опять же, некоторые соединения не должны быть включены в анализ. Вам нужно только использовать достаточное количество узлов, чтобы включить каждый текущий.
5. Применить правило цикла. Используйте карту на рис. 10.23.

Рисунок 10.23 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до до б . (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном течению тока, добавьте падение потенциала. (c) При перемещении через источник напряжения от отрицательной клеммы к положительной клемме добавьте падение потенциала. (d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной клемме вычтите падение потенциала.

Рассмотрим некоторые шаги этой процедуры более подробно. При нахождении соединений в цепи не беспокойтесь о направлении токов. Если направление протекания тока неочевидно, достаточно выбрать любое направление, если хотя бы один ток указывает на соединение, а по крайней мере один ток направлен из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному течению тока, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

См. рис. 10.24. В этой цепи есть два соединения: соединение b и соединение e . Точки a , c , d и f не являются соединениями, поскольку соединение должно иметь три или более соединений. Уравнение для соединения b – это I1=I2+I3I1=I2+I3, а уравнение для перекрестка e – это I2+I3=I1I2+I3=I1. Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

Рисунок 10.24 На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение b и соединение e , но следует рассматривать только одно, поскольку уравнения их соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме необходимо столько петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 10.25 показаны четыре варианта циклов для решения примера схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов, чтобы полностью решить схему. Вариант (г) отражает больше циклов, чем необходимо для решения схемы.

Рисунок 10.25 Панели (a)–(c) достаточны для анализа схемы. В каждом случае две показанные петли содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы. На панели (d) показаны три использованные петли, что больше, чем необходимо. Любые два цикла в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла обеспечивает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на рис. 10.26(а). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала пометьте схему, как показано в части (b).

Рисунок 10.26 а) Многоконтурная схема. (b) Подпишите схему, чтобы помочь с ориентацией.

Далее определите развязки. В этой схеме к точкам b и e подключено по три провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа (∑Iin=∑Iout)(∑Iin=∑Iout), нарисовав стрелки, обозначающие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рис. 10.27(b). Развязка b показывает, что I1=I2+I3I1=I2+I3 и развязка e показывает, что I2+I3=I1I2+I3=I1. Поскольку развязка e дает ту же информацию, что и развязка b , ею можно пренебречь. В этой схеме три неизвестных, поэтому для ее анализа нам нужны три линейно независимых уравнения.

Рисунок 10.27 (a) Эта схема имеет два соединения, обозначенных b и e , но в анализе используется только узел b . (б) Маркированные стрелки представляют токи в и из соединений.

Далее нам нужно выбрать петли. На рис. 10.28, цикл 9.0769 абефа включает в себя источник напряжения V1V1 и резисторы R1R1 и R2R2. Цикл начинается в точке a , затем проходит через точки b , e и f , а затем возвращается к точке a . Второй контур, Loop ebcde , начинается в точке e и включает в себя резисторы R2R2 и R3R3 и источник напряжения V2V2.

Рисунок 10.28 Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рис. 10.23. Начиная с точки a и переходя к точке b , резистор R1R1 пересекается в том же направлении, что и ток I1I1, поэтому падение потенциала I1R1I1R1 вычитается. При переходе от точки b к точке e резистор R2R2 пересекается в том же направлении, что и ток I2I2, поэтому падение потенциала I2R2I2R2 вычитается. При переходе от точки e к точке f источник напряжения V1V1 пересекается с отрицательной клеммы на положительную, поэтому добавляется V1V1. Между точками 9 нет компонентов0769 ф и а. Сумма разностей напряжений должна быть равна нулю:

Лупабефа:-I1R1-I2R2+V1=0или V1=I1R1+I2R2. Лупабефа:-I1R1-I2R2+V1=0илиV1=I1R1+I2R2.

Наконец, мы проверяем цикл ebcde . Мы начинаем с точки e и двигаемся к точке b , пересекая R2R2 в направлении, противоположном текущему течению I2I2. Добавляется падение потенциала I2R2I2R2. Далее пересекаем R3R3 и R4R4 в том же направлении, что и ток I3I3 и вычитаем падения потенциала I3R3I3R3 и I3R4.I3R4. Обратите внимание, что ток через резисторы R3R3 и R4R4 одинаков, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную клемму, а источник напряжения V2V2 вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Контур:I2R2-I3(R3+R4)-V2=0. Контур:I2R2-I3(R3+R4)-V2=0.

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить для трех неизвестных.

(1) Соединениеb: I1-I2-I3=0. (2) Loopabefa: I1R1 + I2R2 = V1. (3) Loopebcde: I2R2-I3 (R3 + R4) = V2. (1) Соединениеb: I1-I2- I3=0;

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока I2I2. Сначала добавьте уравнение (1) раз R2R2 к уравнению. (2). Результат помечен как уравнение. (4):

(R1+R2)I1−R2I3=V1.(4)6ΩI1−3ΩI3=24В.(R1+R2)I1−R2I3=V1.(4)6ΩI1−3ΩI3=24В.

Затем вычтите уравнение (3) из уравнения (2). Результат помечен как уравнение. (5):

I1R1+I3(R3+R4)=V1−V2.(5)3ΩI1+7ΩI3=−5V.I1R1+I3(R3+R4)=V1−V2.(5)3ΩI1+7ΩI3=−5V.

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока I1I1. Складывая семь раз уравнение (4) и трижды уравнение. (5) получается 51 Ом I1 = 153 В, 51 Ом I1 = 153 В или I1 = 3,00 А. I1 = 3,00 А. Используя уравнение (4) дает I3=-2,00A.I3=-2,00A. Наконец, уравнение (1) дает I2=I1-I3=5,00 А. I2=I1-I3=5,00 А. Один из способов проверить согласованность решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Контакт = I1V1 + I3V2 = 130 Вт, Pвых = I12R1 + I22R2 + I32R3 + I32R4 = 130 Вт. Контакт = I1V1 + I3V2 = 130 Вт, Pвых = I12R1 + I22R2 + I32R3 + I32R4 = 130 Вт.

Обратите внимание, что решение для текущего I3I3 отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединения, указывает направление, противоположное обычному протеканию тока. Мощность, подаваемая вторым источником напряжения, составляет 58 Вт, а не -58 Вт.

Пример 10,6

Расчет силы тока с помощью правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи на рис. 10.29.

Рисунок 10.29 Эта схема представляет собой комбинацию последовательных и параллельных конфигураций резисторов и источников напряжения. Эту цепь нельзя проанализировать с помощью методов, описанных в книге «Электродвижущая сила», но ее можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы токи не могли быть найдены с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены I1, I1, I2, I2 и I3I3, и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами 9.0769 а по ч . В решении мы применяем правила соединения и петли, ищем три независимых уравнения, которые позволяют нам найти три неизвестных тока.

Раствор

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

Junctionc:I1+I2=I3.Loopabcdefa:I1(R1+R4)−I2(R2+R5+R6)=V1−V3.Loopcdefc:I2(R2+R5+R6)+I3R3=V2+V3. Junctionc :I1+I2=I3.Loopabcdefa:I1(R1+R4)−I2(R2+R5+R6)=V1−V3.Loopcdefc:I2(R2+R5+R6)+I3R3=V2+V3.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Соединениеc:I1+I2−I3=0.Контур abcdefa:I1(3Ω)−I2(8Ω)=0,5V−2,30V.Контурcdefc:I2(8Ω)+I3(1Ω)=0,6V+2,30V.Соединениеc: I1+I2-I3=0.Определение контура:I1(3Ом)-I2(8Ом)=0,5В-2,30В.Определение контура:I2(8Ом)+I3(1Ом)=0,6В+2,30В.

Упростите уравнения. Уравнение первого контура можно упростить, разделив обе части на 3,00. Второе уравнение контура можно упростить, разделив обе части на 6,00.

Junctionc:I1+I2−I3=0.Loopabcdefa:I1(3Ω)−I2(8Ω)=−1,8V.Loopcdefc:I2(8Ω)+I3(1Ω)=2,9V.Junctionc: I1+I2−I3=0.Loopabcdefa:I1(3Ω)−I2(8Ω)=−1,8V.Loopcdefc:I2(8Ω)+I3(1Ω)=2,9V.

Результаты:

I1=0,20A,I2=0,30A,I3=0,50A.I1=0,20A,I2=0,30A,I3=0,50A.

Значение

Метод проверки расчетов состоит в том, чтобы вычислить мощность, рассеиваемую резисторами, и мощность, отдаваемую источниками напряжения:

PR1=I12R1=0,04 Вт. PR2=I22R2=0,45 Вт.PR3=I32R3=0,25 Вт.PR4=I12R4=0,08 Вт.PR5=I22R5=0,09 Вт.PR6=I22R6=0,18 Вт.Pрассеиваемая=1,09 Вт.Pисточник =I1V1+I2V3+I3V2=0,10 Вт+0,69W+0,30Вт=1,09Вт.PR1=I12R1=0,04Вт.PR2=I22R2=0,45Вт.PR3=I32R3=0,25Вт.PR4=I12R4=0,08Вт.PR5=I22R5=0,09Вт.PR6=I22R6=0,18Вт. Pрассеиваемая = 1,09 Вт. Pисточник = I1V1 + I2V3 + I3V2 = 0,10 Вт + 0,69 Вт + 0,30 Вт = 1,09 Вт.

Подводимая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

Проверьте свое понимание 10,6

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой цепью, будет ли источник напряжения всегда обеспечивать питание цепи или источник напряжения может потреблять энергию?

Пример 10,7

Расчет силы тока с помощью правил Кирхгофа

Найдите силу тока в цепи на рис. 10.30.

Рисунок 10.30 Эта схема состоит из трех резисторов и двух батарей, соединенных последовательно. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только одна петля и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки 9.0769 а до пункта б . Рассмотрим Loop abcda и используйте рисунок 10.23, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 10.23, батарея V1V1 будет добавлена, а батарея V2V2 вычтена.

Раствор

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

Loopabcda:-IR1-V1-IR2+V2-IR3=0.Loopabcda:-IR1-V1-IR2+V2-IR3=0.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

I(R1+R2+R3)=V2−V1.I=V2−V1R1+R2+R3=24V−12V10,0Ω+30,0Ω+10,0Ω=0,20A. I(R1+R2+R3)=V2−V1 .I=V2-V1R1+R2+R3=24В-12В10,0Ом+30,0Ом+10,0Ом=0,20А.

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее V1V1 протекает через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет энергию.

PR1=I2R1=0,40WPR2=I2R2=1,20WPR3=I2R3=0,80WPV1=IV1=2,40WPрассеянное=4,80WPисточник=IV2=4,80WPR1=I2R1=0,40WPR2=I2R2=1,20WPR3=I2R3=0,80W2PV40=IV1 WPрассеиваемая=4,80WPисходная=IV2=4,80Вт

Подводимая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей V1.V1.

Проверьте свое понимание 10,7

При использовании законов Кирхгофа необходимо решить, какие контуры использовать и направление тока через каждый контур. При анализе схемы в примере 10.7 направление тока было выбрано по часовой стрелке, от точки a до точки b . Как изменились бы результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, начиная с точки 9?0769 b на точку a ?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть соединены последовательно, параллельно или в комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи подключается к отрицательной клемме другой батареи. Любое количество источников напряжения, включая батареи, может быть соединено последовательно. Две батареи, соединенные последовательно, показаны на рис. 10.31. Использование правила цикла Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

ε1-Ir1+ε2-Ir2-IR=0,[(ε1+ε2)-I(r1+r2)]-IR=0,ε1-Ir1+ε2-Ir2-IR=0,[(ε1+ε2) −I(r1+r2)]−IR=0.

Рисунок 10.31 а) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, где каждая батарея смоделирована как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения соединены последовательно, их внутренние сопротивления могут быть сложены вместе, а их ЭДС могут быть сложены вместе, чтобы получить общие значения. Распространены последовательные соединения источников напряжения, например в фонарях, игрушках и др. приборах. Обычно ячейки соединяют последовательно для получения большей общей ЭДС. На рис. 10.31 напряжение на клеммах равно

Vклемма=(ε1−Ir1)+(ε2−Ir2)=[(ε1+ε2)−I(r1+r2)]=(ε1+ε2)+Iтреб.Vтерминал=(ε1−Ir1)+(ε2−Ir2 )=[(ε1+ε2)−I(r1+r2)]=(ε1+ε2)+Iтреб.

Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует один и тот же ток I , поскольку они соединены последовательно. Недостатком последовательного соединения ячеек является аддитивность их внутренних сопротивлений.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь. Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа ААА, каждая с напряжением на клеммах 1,5 В, чтобы обеспечить фонарик напряжением 3,0 В.

Последовательно можно соединить любое количество аккумуляторов. Для последовательно соединенных аккумуляторов N напряжение на клеммах равно

Vterminal=(ε1+ε2+⋯+εN−1+εN)−I(r1+r2+⋯+rN−1+rN)=∑i=1Nεi−IreqVterminal=(ε1+ε2+⋯+εN−1+εN)− I(r1+r2+⋯+rN−1+rN)=∑i=1Nεi−Ireq

10,6

, где эквивалентное сопротивление равно req=∑i=1Nrireq=∑i=1Nri.

Когда нагрузка подключена к источникам напряжения последовательно, как показано на рис. 10.32, мы можем найти ток:

(ε1-Ir1)+(ε2-Ir2)=IR,Ir1+Ir2+IR=ε1+ε2,I=ε1+ε2r1+r2+R.(ε1-Ir1)+(ε2-Ir2)=IR,Ir1 +Ir2+IR=ε1+ε2,I=ε1+ε2r1+r2+R.

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

Рисунок 10.32 Две батареи соединены последовательно со светодиодной лампочкой, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также могут быть подключены параллельно. На рис. 10.33 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к нагрузочному сопротивлению. Когда батареи соединены параллельно, положительные клеммы соединены вместе, а отрицательные клеммы соединены вместе, а сопротивление нагрузки подключено к положительной и отрицательной клеммам. Обычно параллельно подключенные источники напряжения имеют одинаковые ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения параллельны, общая ЭДС такая же, как и отдельные ЭДС каждой батареи.

Рисунок 10.33 а) Две батареи подключены параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея в качестве источника ЭДС и внутреннего резистора. Два источника ЭДС имеют одинаковые ЭДС (обозначенные буквой εε), соединенные параллельно и производящие одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 10.33(b). Есть две петли и узел в точке b и ε=ε1=ε2ε=ε1=ε2.

Узел b : I1+I2-I=0I1+I2-I=0.

Цикл abcfa : ε−I1r1+I2r2−ε=0,I1r1=I2r2.ε−I1r1+I2r2−ε=0,I1r1=I2r2.

Цикл fcdef : ε2-I2r2-IR=0,ε-I2r2-IR=0,ε2-I2r2-IR=0,ε-I2r2-IR=0.

Решение для тока через нагрузочный резистор дает I=εreq+RI=εreq+R, где req=(1r1+1r2)−1req=(1r1+1r2)−1. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе IR=(εreq+R)IR=(εreq+R). Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно соединить любое количество аккумуляторов. Для аккумуляторов N , включенных параллельно, напряжение на клеммах равно

Vterminal=ε−I(1r1+1r2+⋯+1rN−1+1rN)−1=ε−IreqVterminal=ε−I(1r1+1r2+⋯+1rN−1+1rN)−1=ε−Ireq

10,7

, где эквивалентное сопротивление равно req=(∑i=1N1ri)−1req=(∑i=1N1ri)−1.

Например, некоторые дизельные грузовики используют две батареи 12 В параллельно; они создают общую ЭДС 12 В, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют одинаковую ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше отдельных внутренних сопротивлений. Батареи соединены последовательно, чтобы увеличить напряжение на клеммах нагрузки. Батареи соединены параллельно для увеличения тока нагрузки.

Солнечные батареи

Другим примером, связанным с несколькими источниками напряжения, является комбинация солнечных элементов, соединенных как последовательно, так и параллельно для получения желаемого напряжения и тока. Фотоэлектрическая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте. Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этой главы и рассматривается в разделе «Фотоны и волны материи», но в целом фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.