Делители и кратные числа. Определения и примеры
Если одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.
Делитель числа
Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка.
Пример: найдите все делители числа 18.
Это означает, что нужно найти все числа, на которые 18 делится без остатка.
Число всегда можно поделить на 1 и на само себя без остатка. Записываем делители 1 и 18. Подбираем остальные числа. Примерим в качестве делителя 2. 18 : 2 = 9, 18 : 9 = 2, значит нам стали известны еще 2 делителя: 2 и 9. 18 : 3 = 6, 18 : 6 = 3, пишем 6 и 3.
Ответ: 18, 9, 6, 3, 2, 1.
Пусть m и n — натуральные числа, тогда m — делитель числа n , если существует такое натуральное число k , что n=m⋅k .
Например, 5 — делитель числа 120 , т. к. 120 = 5 ⋅ 24 .
Число 1 является делителем любого натурального числа.
Любое целое число делится на себя и на единицу, так как a=a·1 и a=1·a. На основании свойств умножения целых чисел можно записать равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a), из которых следует, что числа −a и −1 также являются делителями целого числа a. Таким образом, числа a, −a, 1 и −1 всегда являются делителями целого числа a. Например, делителями числа 15 являются числа 15, −15, 1 и −1.
Отдельно нужно сказать о делителях целых чисел 0, 1 и −1. Вспомнив свойства делимости, заключаем, что делителем нуля является любое целое число, в том числе и нуль, а делителями единицы и минус единицы являются только числа 1 и −1.
Итак, целое число 0 имеет бесконечно много делителей, ими являются любые целые числа, числа 1 и −1 имеют только два делителя – единицу и минус единицу, а любое другое целое число a (кроме −1, 0 и 1) имеет, по крайней мере, четыре делителя: a, −a, 1 и −1.
Приведем еще примеры делителей целых чисел.
Число −2 является делителем числа 8, так как верно равенство 8=(−2)·(−4). Делителями целого числа 8 являются также числа −8, −4, −1, 1, 2, 4, 8. А вот число −3 не является делителем числа 8, так как не существует целого числа q такого, чтобы выполнялось условие 8=(−3)·k. Иными словами, возможно только деление с остатком целых чисел 8 и −3. Вообще, ни одно целое число, кроме −8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8, не является делителем 8.
Из рассмотренных примеров отчетливо видно, что делителями целого числа могут быть как целые положительные, так и целые отрицательные числа. Это утверждение обосновывается следующим свойством делимости: если целое число b является делителем целого числа a, то −b (b и −b – противоположные числа) также является делителем числа a. Таким образом, мы можем рассматривать лишь положительные делители чисел, но при этом помнить, что все целые числа, противоположные положительным делителям данного числа, также являются делителями этого числа.
Напомним еще одно свойство делимости: если целое число b является делителем целого числа a, то b также является делителем целого числа −a.
Поэтому, отдавая дань краткости и простоте, в школьных учебниках рассматривают лишь делители целых положительных чисел.
Учитывая информацию двух предыдущих абзацев, дальше можно рассматривать лишь положительные делители целых положительных чисел (натуральных чисел).
Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1. Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1. В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа.
Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a, отличного от 1, а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе сравнение трех и большего количества натуральных чисел).
Здесь же заметим, что особую роль в математике имеет наибольший общий делитель – НОД.
Кратное чисел
Кратным натуральному числу b называют число а, которое делится без остатка на b.
Пример: запишите четыре числа, кратных числу 16.
Это означает, что нужно найти 4 числа, которые делятся на 16.
Будем подбирать по порядку множители, начиная с 1. 16 * 1 = 16, значит первое кратное числу 16 — это и есть само число 16. 16 * 2 = 32 — это второе кратное шестнадцати. Далее умножаем на 3 и на 4.
Ответ: 16, 32, 48, 64.
Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
Мы можем умножать число 16 из предыдущего примера на 5, 120, 15678, 999 765 433 и так до бесконечности, получая бесконечное количество чисел, кратных 16-ти.
Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
Почему? Чтобы получить кратное числа а, можно умножить число а на 1, при этом всегда получится само число а.
Общее кратное нескольких целых чисел — число, делящееся на каждое из них в отдельности.
Пример: найдите наименьшее общее кратное чисел 10 и 15.
Найдем числа, кратные числу 10. 10 * 1 = 10, 10 * 2 = 20, 10 * 3 = 30
Найдем числа, кратные числу 15. 15 * 1 = 15, 15 * 2 = 30
Число 30 — самое маленькое из тех, которые делятся и на 10, и на 15, значит это и есть наименьшее общее кратное чисел 10 и 15.
Если a является кратным целого числа b, то говорят, что a кратно b.
Определение кратного и делимого явно указывает на существующую между ними связь. Действительно, по определению если a – кратное числа b, то b – делитель числа a, и наоборот, если b – делитель числа a, то a – кратное числа b.
Приведем примеры кратных. Например, целое число −12 есть кратное числа 3, так как −12=3·(−4). Другими кратными числа 3 являются целые числа 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9 и так далее.
А вот число 7 не является кратным целого числа 3, так как 7 не делится на 3 без остатка, то есть, не существует такого целого числа q, чтобы выполнялось равенство 7=3·q.
Из определения кратного числа понятно, что нуль является кратным любого целого числа b, в том числе и нуля. Равенство 0=b·0 в этом случае выглядит очень доказательно.
Отметим, что существует бесконечно много кратных любого целого числа b, так как целых чисел бесконечно много, и любое целое число, равное произведению b·q, где q – произвольное целое число, является кратным числа b.
Наименьшим положительным кратным данного положительного числа a является само это число a. Здесь же стоит обратить внимание на то, что наименьшее положительное кратное не стоит путать с наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел.
Дальше мы можем рассматривать лишь натуральные кратные целых положительных чисел. Это мы можем делать в силу тех же причин, которые были упомянуты в первом пункте этой статьи, при этом общность изложения не будет нарушена.
Делители и кратные
В этой статье будет рассмотрена тема: «Делители и кратные», привен конспект со всеми необходимыми определениями и правилами, а также разобраны примеры. Итак, поехали. С основными понятиям данной темы принято знакомится в курсе математики за 5 класс.
Если одно число делится на другое, то для описания их взаимосвязи используются слова «делитель» и «кратное».
Делитель и кратноеЕсли одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.
Делитель числа
Если число a делится на число b, то число b называют делителем числа a.
Пример #1. Найдем все делители числа 24.
Два делителя числа 24 очевидны. Это 1 и 24. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2.
Получим еще шесть делителей: 2, 3, 4, 6, 8, 12. Таким образом, число 24 имеет 8 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Этот перебор можно сократить, если отыскав один делитель, записать сразу же и другой, являющийся частным от деления числа 24 на найденный делитель. Такие пары делителей удобно записывать друг под другом
1 2 3 4 24 12 8 6
Часто при решении задач приходится находить общие делители двух и более чисел. Возьмем какие-нибудь два числа, например, 30 и 45. Найдем все делители каждого из них и подчеркнем их общие делители
Делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Видим, что у чисел 30 и 45 есть общие делетели% 1, 3, 5, 15. Самый большой из них — чило 15. Его называют наибольшим общим делителем этих чисел.
С помощью перебора мы устновили, что НОД(30;45) = 15.
Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают так: НОД(a;b).
Кратные числа
Когда одно число делится на другое, то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово «делитель», но и еще слово «кратное».
Если число a делится на число b, то говорят, что число a — кратное числа b (или число a кратно числу b).
Например, число 45 делится на 9. Можно сказать, что число 9 является делителем 45 или что число 45 — кратное числа 9.
«Кратный» — слово русского происхождения. «Кратный» означает «известное число разов» — так говорится в толковом словаре стариных терминов. Но в современном языке мы используем слова с корнем «крат», например: одногратно, многократно.
С помощью перебора можно найти все делители числа. А как обстоит дело с кратным?
Рассмотрим, к примеру, числа, кратные 10. Для этого будем последовательно умножать 10 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 10, 20, 30, 40, 50, … .
Эта последовательность, как и натуральный ряд, бесконечна, и все числа, кратные 10, выписать нельзя.
Обратите внимание на то, как строится эта послдовательность: в ней первым идет число 10 и каждое следующее число на 10 больше предыдущего.
Обратите внимание на то, как строится эта послдовательность: в ней первым идет число 10 и каждое следующее число на 10 больше предыдущего.- Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
- Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
Возьмём какие-нибудь два числа, например 8 и 6. Любое число, делящееся на 8, и на 6, является их общим кратным, и таких чисел бесконечного много. Это, например, произведение чисел 8 и 6, равное 48, числа 96, 192, 240. Однако при решении многих задач важно знать наименьшее общее кратное рассматриваемых чисел.
Найдем наименьшее общее кратное 6 и 8. Будем перебирать числа, кратные большему из них, т.е. числу 8, и в кадом случае проверять, делится ли это кратное на 6. Число 8 на 6 не делится, число 16 также не делится, а вот число 24 уже делится на 6. На этом перебор можно закончить, так как число 24 — первое число в натуральнм ряду, которое делтся на 8 и на 6. Итак, НОК(6, 8) = 24.
Примеры и задачи по теме: «Делители и кратные»
Пример #2. Найдем все делители и кратные числа 8.
Решение:
Два делителя числа 8 очевидны. Это 1 и 8. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим еще два делителя: 2, 4. Таким образом, число 8 имеет 4 делителя: 1, 2, 4, 8.
Далее найдем числа кратные 8. Для этого будем последовательно умножать 8 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 8, 16, 24, 32, 40, … — все эти числа являются кратными 8.
Пример #3. Найдем все делители и кратные числа 36.
Решение:
Два делителя числа 36 очевидны. Это 1 и 36. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим следующие делителя: 2, 18, 3, 12, 4, 9, 6. Таким образом, число 36 имеет 9 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Далее найдем числа кратные 36. Для этого будем последовательно умножать 36 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 36, 72, 108, 144, 180, … — все эти числа кратны 36.
Пример #4. Найдем все делители и кратные числа 9.
Решение:
Два делителя числа 9 очевидны. Это 1 и 9. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим следующие делителя: 3. Таким образом, число 9 имеет 3 делителя: 1, 3, 9.
Далее найдем числа кратные 9. Для этого будем последовательно умножать 9 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 9, 18, 27, 36, 45, … — все эти числа кратны 9.
Пример #5. Найдем все делители и кратные числа 2.
Решение:
Два делителя числа 2 очевидны. Это 1 и 2. Больше делителей у числа 2 нет. Таким образом, число 2 имеет 2 делителя: 1, 2.
Далее найдем числа кратные 2. Для этого будем последовательно умножать 2 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 2, 4, 6, 8, 10, … — все эти числа кратны 2.
Пример #6. Найдем число делителей и кратные числа 5.
Решение:
Два делителя числа 5 очевидны.
Это 1 и 5. Больше делителей у числа 5 нет. Таким образом, число 5 имеет 2 делителя: 1, 5.
Далее найдем числа кратные 5. Для этого будем последовательно умножать 5 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 5, 10, 15, 20, 25, … — все эти числа кратны 5.
Пример #7. Выбери все кратные числа 5: 1, 2, 5, 10, 15, 50, 51, 55.
Решение:
Вспомним таблицу умножения на 5
Из представленных числе кратно 5 следующие: 5, 10 ,15, 50, 55.
Итак мы рассмотрели как находить делители и кратные для числа. Если у вас остались вопросы — задавайте их в комментария.
Пример #8. Выбери все кратные числа 10: 1, 2, 5, 10, 15, 50, 70, 85.
Решение:
Вспомним таблицу умножения на 10. Из представленных числу 10 кратны следующие: 10, 50, 70.
Итак мы рассмотрели как находить делители и кратные для числа. Если у вас остались вопросы — задавайте их в комментария.
Пример #9.
Каждый шаг волшебных сапог-скороходов составляет 7 миль. Сколько миль в них можно пройти?
Варианты ответа: 4 мили, 14 миль, 17 миль, 23 мили, 28 миль, 56 миль.
Решение:
Для решения данной задачи следует найти все числа кратные 7. Это 14, 28 и 56.
Ответ: В волшебных сапогах-скороходах можно пройти 14, 28 или 56 миль.
Итак мы рассмотрели как находить делители и кратные для числа. Если у вас остались вопросы — задавайте их в комментария.
Используемая литература:
- Источник: Математика. Арифметика. Геометрия. Учебник. 5 класс. Бунемович Е.А., Дорофеев Г.В. Суворова С.Б и др.
Делитель | измерительный прибор | Британика
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы. - Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
- Студенческий портал
Britannica — лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. - Britannica Beyond
Мы создали новое место, где вопросы находятся в центре обучения. Вперед, продолжать. Просить. Мы не будем возражать. - Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать! - SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!
Содержание
- Введение
Краткие факты
- Связанный контент
Викторины
- Интересные факты об измерениях и математике
Разделитель Определение и значение — Merriam-Webster
делитель də-vī-dər
1
: тот, который делит
2
разделители во множественном числе : инструмент для измерения или разметки (например, для разделительных линий)
3
: нечто, служащее перегородкой между отдельными помещениями или зонами
дорожный разделитель
Иллюстрация разделителя
- разделителя
Синонимы
- подразделение
- раздел
- разделение
- разделитель
Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе
Примеры предложений
В качестве разделителей магистралей используются бетонные ограждения .
Она оказалась делителем людей.
Он говорит, что он объединитель, а не делитель .
Недавние примеры в Интернете
Когда наша колонна въехала в снежную зону на цыпочках мотоциклов, тротуар остался скорее мокрым, чем промерзшим, хотя на некоторых затененных участках по центру была тонкая полоса снега разделитель проезжей части.
— Билл Роберсон, , отчет Робба , 1 декабря 2022 г.
Ду сказал Поиску, что той ночью голос приказал ему врезаться на своей машине в разделитель .
— Сан-Диего Юнион-Трибьюн , 18 ноября 2022 г.
По данным CHP, один из автомобилей пересек центральный разделитель и лоб в лоб врезался в другой автомобиль.
— Cbsla Staff, CBS News , 6 ноября 2022 г.
Сумка имеет мягкую подкладку со всех сторон, а по центру проходит дополнительная мягкая перегородка .
— Кэти Коммер, Popular Mechanics , 23 января 2023 г.
Этот набор разделителей не действует как единое целое и не включает основание, так что имейте это в виду.
— Кэти Мелинн, Peoplemag , 12 января 2023 г.
На протяжении всей игры Сэм периодически появляется в стороне, барабаня огромными руками по краю красной 9.0192 делитель .
— Анна Кауфман, USA TODAY , 8 января 2023 г.
Собаки направлялись из Центра животных Сердце Луизианы в Центр животных Хелен Вудворд в Ранчо Санта-Фе, когда во вторник грузовик, перевозивший их, врезался в центральный разделитель на шоссе Техаса.
— Калеб Лунетта, Сан-Диего Юнион-Трибьюн , 21 декабря 2022 г.
Когда обе стороны стреляли друг в друга, выстрел из Infiniti не попал в цель в Altima и пересек автостраду 9.Прокуратура заявила, что разделитель 0192 на движение в южном направлении.
— Ной Голдбергстафф, писатель, Los Angeles Times , 15 декабря 2022 г.
Узнать больше
Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «разделитель». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов.
Отправьте нам отзыв.
История слов
Первое известное использование
1534, в значении, определенном в смысле 1
Путешественник во времени
Первое известное использование делителя было в 1534 г.
Другие слова того же года дивидендный варрант
делитель
делительная машина
Посмотреть другие записи поблизости
Процитировать эту запись «Разделитель».
Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/divider. По состоянию на 10 марта 2023 г.Copy Citation
Kids Definition
разделитель
существительное
делитель də-vīd-ər
1
: то, что делит
комната перегородка
2
множественное число : инструмент для измерения или маркировки
Medical Definition
делитель
существительное
делитель də-ˈvīd-ər
: второй резец лошади, расположенный между центральным и угловыми резцами с каждой стороны
сравните щипцы 2
Еще от Merriam-Webster о делителе
Нглиш: Перевод делителя для говорящих на испанском языке
Britannica.