формулы и примеры определения емкости
Мы все знаем об электрическом токе, проводимости и сопротивлении. Но емкость является еще одной важной частью понимания концепции электричества. Возможно, вы слышали, что ничто не может хранить электричество. Однако это не так — конденсаторы способны накапливать электрический заряд. Давайте подробнее рассмотрим концепцию конденсаторов и емкости. Начнем с конденсатора.
Конденсатор образован двумя обращенными друг к другу проводниками, между которыми вставлен диэлектрик, то есть изолирующий материал. Эти два проводника называются обкладками конденсатора.
Главной характеристикой конденсаторов является величина емкости.
Емкость конденсатора — формула
Определение
Емкость конденсатора — это ничто иное, как умение конденсатора накапливать энергию в виде электрического заряда. Другими словами, емкость — это запоминающая способность конденсатора. Измеряется емкость в фарадах.
Емкость может быть рассчитана, когда известны заряд Q и напряжение V конденсатора:
Емкость используется для описания того, сколько заряда может удерживать любой проводник.
Он представляет собой отношение заряда к приложенному потенциалу.
Любой объект, который может быть электрически заряжен, показывает емкость. Конденсатор с двумя параллельными пластинами — это обычная форма накопителя энергии. Емкость отображается параллельным расположением пластин и определяется с точки зрения накопления заряда. Когда конденсатор заряжен полностью, между его пластинами имеется разность потенциалов, и чем больше площадь пластин и чем меньше расстояние между ними, тем больше будет заряд конденсатора и тем больше будет его Емкость.
Если конденсаторы соединены последовательно, формула емкости выражается следующим образом:
Если конденсаторы подключены параллельно, формула емкости выражается следующим образом:
Где C1, C2, C3 ……. Cn — конденсаторы, а емкость выражается в фарадах.
Примеры решения:
Пример 1
Определите емкость конденсатора, если течет 5 кулонов заряда и приложен потенциал 2 В.
Решение
Приведенные параметры
Заряд Q составляет 5 C,
Приложенное напряжение V равно 2 В.
Формула емкости определяется как
C=Q/V
= 5/2
= 2,5 F
Пример 2
Определите емкость, если подключены конденсаторы 6 Ф и 5 Ф.
a) последовательно;
b) параллельно
Решение
Формула последовательной емкости определяется как
Cs = 1 / C1 + 1 / C2
= C1 + C2 / C1C2
= 6 + 5/30
Cs = 0,367 F
Емкость в параллельной формуле определяется как
Ср = С1 + С2
= 6 + 5
Cp = 11 F
Различают три вида конденсаторов:
- Конденсатор плоский;
- Конденсатор цилиндрический
- Конденсатор сферический.
Конденсатор плоский
Данный конденсатор образован двумя металлическими пластинами, которые мы называем A и B, расположенными на расстоянии d.
Две проводящие пластины A и B являются пластинами конденсатора, d — их расстояние, более того, поскольку две пластины параллельны, их поверхности равны.
Мы знаем, что внутри двух поверхностей электрическое поле однородно, а снаружи равно нулю
Рассчитываем разность потенциалов между двумя пластинами
Как только разность потенциалов известна, мы можем рассчитать емкость плоского конденсатора.
Заменим найденную ранее разность потенциалов
Конденсатор цилиндрический
Конденсатор используется для хранения большого количества электрического тока в небольшом пространстве. Цилиндрический конденсатор включает полый или сплошной цилиндрический проводник, окруженный концентрическим полым сферическим цилиндром. Конденсаторы широко используются в электродвигателях, мельницах, электрических соковыжималках и других электрических инструментах. Разность потенциалов между конденсаторами различна. Существует множество электрических цепей, в которых конденсаторы должны быть сгруппированы соответствующим образом, чтобы получить желаемую емкость. Есть два общих режима, включая конденсаторы, включенные последовательно, и конденсаторы, подключенные параллельно. Единица измерения емкости — Фарад (Ф).
Его часто используют для хранения электрического заряда. Цилиндрический конденсатор — это тип конденсатора, который имеет форму цилиндра, имеющую внутренний радиус как a и внешний радиус как b.
Формула для цилиндрического конденсатора:
C = емкость цилиндра
L = длина цилиндра
a = внутренний радиус цилиндра,
b = внешний радиус
εₒ= диэлектрическая проницаемость свободного пространства (8.85×10ˉ¹²)
Пример
Цилиндрический конденсатор длиной 8 см состоит из двух колец с внутренним радиусом 3 см и внешним радиусом 6 см. Найдите емкость конденсатора.
Дано:
Длина L = 8 см
внутренний радиус a = 3 см
внешний радиус b = 6 см
Решение
Формула для конденсатора цилиндрического:
Конденсатор сферический
Данный конденсатор состоит из сплошного или полого сферического проводника, окруженного другой полой концентрической сферической формой другого радиуса.
Формула для определения емкости сферического конденсатора
Где,
C = емкость
Q = заряд
V = напряжение
r 1 = внутренний радиус
r 2 = внешний радиус
ε 0 = диэлектрический потенциал (8,85 x 10-12 Ф / м)
Значение емкости двух разных конденсаторов может быть одинаковым, а номинальное напряжение двух конденсаторов может быть разным. Возьмем два конденсатора — один с малым номинальным напряжением, а другой с высоким. Если мы заменим конденсатор с меньшим номинальным напряжением на конденсатор с более высоким номинальным напряжением, то получится конденсатор меньшего размера. Это может произойти из-за неожиданного повышения напряжения.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Влияние диэлектрика на емкость
Плотности поверхностного заряда равны σ p и — σ p. Когда мы полностью помещаем диэлектрик между двумя пластинами конденсатора, его диэлектрическая проницаемость увеличивается по сравнению с вакуумным значением.
Внутри конденсатора следующее электрическое поле:
Следовательно, мы имеем:
а именно:
Ɛ — диэлектрическая проницаемость. Разность потенциалов между пластинами задаются
Для линейных диэлектриков:
Где k — диэлектрическая проницаемость вещества, K = 1.
Электрическое поле между пластинами конденсатора прямо пропорционально емкости конденсатора. Напряжение электрического поля снижается из-за наличия диэлектрика. Если общий заряд на пластинах поддерживается постоянным, то уменьшается разность потенциалов на пластинах конденсатора. Таким образом, диэлектрик увеличивает емкость конденсатора.
Электрическая емкость. Конденсаторы. Емкость конденсатора.
Основные ссылки
CSS adjustments for Marinelli theme
Объединение учителей Санкт-Петербурга
Форма поиска
Поиск
Вы здесь
Главная » Электрическая емкость. Конденсаторы. Емкость…
Электрическая емкость. Конденсаторы. | |
Емкость уединенного проводника. Уединенным будем называть проводник, размеры которого много меньше расстояний до окружающих тел. эта величина не зависит ни от заряда, ни от потенциала и определяется только размерами шара (радиусом) и диэлектрической проницаемостью среды. Этот вывод справедлив для проводника любой формы. |
|
Электрической емкостью проводника наз. отношение заряда проводника к его потенциалу: . | |
Емкость определяется геометрической формой, размерами проводника и свойствами среды (от материала проводника не зависит). Чем больше емкость проводника, тем меньше меняется потенциал при изменении заряда. | Емкость шара в СИ: — |
Единицы емкости. Емкостью 1Ф (фарад) обладает такой проводник, у которого потенциал возрастает на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Емкостью 1Ф обладал бы уединенный шар, радиус которого был бы равен 13 радиусам Солнца. Емкость Земли 700 мкФ Если проводник не уединенный, то потенциалы складываются по правилу суперпозиции и емкость проводника меняется. | 1 мкФ=10-6Ф 1нФ=10-9Ф 1пФ=10-12Ф |
Конденсаторы (condensare — сгущение) . Можно создать систему проводников, емкость которой не зависит от окружающих тел. Первые конденсаторы — лейденская банка (Мушенбрук, сер. XVII в.). |
|
Конденсатор представляет собой систему из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Проводники наз. обкладками конденсатора. Если заряды пластин конденсатора одинаковы по модулю и противоположны по знаку, то | |
На рисунке — плоский и сферический конденсаторы. Поле плоского конденсатора почти все сосредоточено внутри (у идеального — все). Усферического — все поле сосредоточено между обкладками. |
|
Электроемкостью конденсатора называют отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками: . | |
При подключении конденсатора к батарее аккумуляторов происходит поляризация диэлектрика внутри конденсатора и на обкладках появляютсязаряды — конденсатор заряжается. | |
Емкость плоского конденсатора. , т.о. емкость плоского конденсатора зависит только от его размеров, формы и диэлектрической проницаемости. Для создания конденсатора большой емкости необходимо увеличить площадь пластин и уменьшить толщину слоя диэлектрика. | |
Емкость сферического конденсатора . Если зазор между обкладками мал по сравнению с радиусами, то формула переходит в формулу емкости плоского конденсатора. | |
Виды конденсаторов | |
При подключении электролитического конденсатора необходимо соблюдать полярность. | |
Назначение конденсаторов
|
|
Теги:
конспект
Таблица преобразования конденсаторов» Примечания по электронике
Значения емкости конденсатора могут быть выражены в мкФ, нФ и пФ, и часто необходимо выполнять преобразование между ними, нФ в мкФ, нФ в пФ и наоборот.
Емкость Учебное пособие Включает:
Емкость
Формулы конденсаторов
Емкостное реактивное сопротивление
Параллельные и последовательные конденсаторы
Диэлектрическая проницаемость и относительная диэлектрическая проницаемость
Коэффициент рассеяния, тангенс угла потерь, ESR
Таблица преобразования конденсаторов
Конденсаторы являются очень распространенной формой электронного компонента, и номиналы конденсаторов обычно выражаются в микрофарадах, мкФ (иногда в мкФ, если микросимвол недоступен), нанофарадах, нФ и пикофарадах, пФ.
Часто эти множители перекрываются. Например, 0,1 мкФ также можно выразить как 100 нФ, и есть еще много примеров такого рода путаницы в обозначениях.
Кроме того, в некоторых областях использование нанофарад, нФ, менее распространено, поскольку значения выражаются в долях мкФ и больших кратных пикофарадах, пФ. В этих обстоятельствах может потребоваться преобразование в нанофарды, нФ, когда доступны компоненты, отмеченные в нанофарадах.
Иногда может возникнуть путаница, когда на принципиальной схеме или в списке электронных компонентов значение может быть указано, например, в пикофарадах, а в перечнях дистрибьютора электронных компонентов или в магазине электронных компонентов оно может упоминаться в другом.
Также при проектировании электронных схем необходимо обеспечить, чтобы номиналы электронных компонентов были указаны в текущих значениях, кратных десяти. Отставание в десять раз может быть катастрофическим!
Приведенная ниже диаграмма преобразования конденсаторов показывает эквиваленты µF, nF и pF в удобном для использования табличном формате.
могут находиться в диапазоне от 10 9 и даже больше, поскольку в настоящее время используются суперконденсаторы. Чтобы избежать путаницы с большим количеством нулей, присоединенных к значениям различных конденсаторов, широко используются общие префиксы пико (10 -12 ), нано (10 -9 ) и микро (10 -6 ). При преобразовании между ними иногда полезно иметь диаграмму преобразования конденсаторов или таблицу преобразования конденсаторов для различных значений конденсаторов.
Еще одним требованием для преобразования емкости является то, что для некоторых схем маркировки конденсаторов фактическое значение емкости указывается в пикофарадах, а затем требуется преобразование значения в более обычные нанофарады или микрофарады.
Также другие формы электронных компонентов используют те же формы множителя. Резисторы, как правило, не измеряются, поскольку их значения измеряются в Ом и более высоких кратных единицах, таких как кОм или &МОм, но катушки индуктивности измеряются в Генри, и их значения намного меньше. Поэтому широко используются милли-Генри и микро-Генри, и поэтому могут потребоваться аналогичные преобразования.
Калькулятор преобразования емкости
Приведенный ниже калькулятор преобразования значения емкости обеспечивает простой перевод между значениями, выраженными в микрофарадах: мкФ, нанофарадах: нФ и пикофарадах: пФ. Просто введите значение и то, в чем оно выражается, и значение будет отображаться в мкФ, нФ и пФ, а также значение в фарадах!
Калькулятор преобразования емкости
Преобразование электростатической емкости.
Преобразовать из:
pFµFnFFРезультат:
пФ
мкФ
нФ
Ф
Таблица преобразования конденсаторов
Диаграмма или таблица, показывающая простой перевод между микрофарадами, мкФ; нанофарады, нФ и пикофарады, пФ приведены ниже. Это помогает уменьшить путаницу, которая может возникнуть при переключении между различными множителями значений.
| Таблица преобразования стоимости конденсатора пФ в нФ, мк в нФ и т. д. . | ||
|---|---|---|
| микрофарад (мкФ) | Нанофарады (нФ) | Пикофарад (пФ) |
| 0,000001 | 0,001 | 1 |
| 0,00001 | 0,01 | 10 |
| 0,0001 | 0,1 | 100 |
| 0,001 | 1 | 1000 |
| 0,01 | 10 | 10000 |
| 0,1 | 100 | 100000 |
| 1 | 1000 | 1000000 |
| 10 | 10000 | 10000000 |
| 100 | 100000 | 100000000 |
Эта диаграмма преобразования конденсаторов или таблица преобразования конденсаторов позволяет быстро и легко найти различные номиналы, указанные для конденсаторов, и преобразовать их между пикофарадами, нанофарадами и микрофарадами.
Популярные преобразователи конденсаторов
Существует несколько популярных способов записи номиналов конденсаторов. Часто, например, керамический конденсатор может иметь значение 100 нФ. При использовании в схемах с электролитическими конденсаторами часто бывает интересно понять, что это 0,1 мкФ. Эти полезные преобразования могут помочь при проектировании, построении или обслуживании схем.
| 100 пФ = 0,1 нФ |
| 1000 пФ = 1 нФ |
| 100 нФ = 0,1 мкФ |
При проектировании схем или использовании конденсаторов часто полезно иметь в виду эти преобразования конденсаторов, поскольку значения переходят от пикофарад к нанофарадам, а затем от нанофарад к микрофарадам.
Более полная таблица коэффициентов преобразования для преобразования различных значений, нФ в пФ, мкФ в нФ и т. д. приведена ниже.
| Таблица коэффициентов пересчета между мкФ, нФ и пФ | |
|---|---|
| Преобразование | Умножить на: |
| пФ до нФ | 1 x 10 -3 |
| пФ от мкФ | 1 x 10 -6 |
| нФ до пФ | 1 x 10 3 |
| нФ от до мкФ | 1 x 10 -3 |
| мкФ от до пФ | 1 х 10 6 |
| мкФ от до нФ | 1 x 10 3 |
Номенклатура преобразования конденсаторов
Хотя в большинстве современных описаний цепей и компонентов используется номенклатура мкФ, нФ и пФ для детализации номиналов конденсаторов, часто в более старых принципиальных схемах, описаниях цепей и даже самих компонентах может использоваться множество нестандартных сокращений, и они не всегда могут быть понятными. именно то, что они означают.
Основные вариации для различных долей емкости приведены ниже:
- Микрофарад, мкФ : Значения для конденсаторов большей емкости, таких как электролитические конденсаторы, танталовые конденсаторы и даже некоторые бумажные конденсаторы, измеренные в микрофарадах, могли быть указаны в мкФ, мФд, MFD, MF или UF. Все они относятся к значению, измеренному в мкФ. Эта терминология обычно ассоциируется с электролитическими конденсаторами и танталовыми конденсаторами.
- Нано-Фарад, нФ: Терминология нФ или нано-Фарад не использовалась широко до стандартизации терминологии, и поэтому у этого дольного числа не было разнообразных сокращений. В последние годы термин нанофарад стал использоваться гораздо шире, хотя в некоторых странах его использование не так широко распространено, а значения выражаются в большом количестве пикофарад, например. 1000 пФ для 1 нФ или доли микрофарад, например. 0,001 мкФ, опять же для нанофарад.
Эта терминология обычно ассоциируется с керамическими конденсаторами, металлизированными пленочными конденсаторами, включая многослойные керамические конденсаторы для поверхностного монтажа, и даже с некоторыми современными конденсаторами из серебряной слюды. - Пикофарад, пФ: Опять же, для обозначения значения в пикофарадах, пФ, использовались различные сокращения. Используемые термины включали: микромикрофарады, ммфд, ммфд, мкф, мкФ. Все они относятся к значениям в пФ. Значения конденсаторов, измеряемые в пикофарадах, часто используются в радиочастотных, радиочастотных цепях и оборудовании. Соответственно, эта терминология используется в основном для керамических конденсаторов, но она также используется для конденсаторов из серебряной слюды и некоторых пленочных конденсаторов.
Стандартизация терминологии помогла преобразовать значения одного дольного числа в другое. Это означает, что значительно меньше места для недопонимания. Легче преобразовать мкФ в нФ и пФ. Это часто полезно, когда на принципиальной схеме номинал конденсатора может упоминаться одним способом, а в списках дистрибьюторов электронных компонентов — другим.
Таблица преобразования емкости очень полезна, потому что разные производители электронных компонентов могут маркировать компоненты по-разному, иногда маркируя их как кратные нанофарадам, тогда как другие производители могут маркировать свои эквивалентные конденсаторы как доли микрофарад и так далее. Очевидно, что дистрибьюторы электронных компонентов и магазины электронных компонентов будут склонны использовать номенклатуру производителей.
Точно так же на принципиальных схемах компоненты могут быть отмечены по-разному, часто для сохранения общности и т. д. Соответственно, это помогает иметь возможность конвертировать пикофарад в нанофарад и микрофарад и наоборот. Это может помочь идентифицировать компоненты, помеченные значениями, выраженными в нанофарадах, когда в спецификации или списке деталей для схемы могут быть указаны значения, выраженные в микрофарадах, мкФ, и пикофарадах, пФ.
Часто полезно иметь возможность использовать калькулятор преобразования емкости, подобный приведенному выше, но часто приходится знакомиться с преобразованиями и популярными эквивалентами, такими как 1000 пФ — это нанофарад, а 100 нФ — 0,1 мкФ.
При использовании электронных компонентов и разработке электронных схем эти преобразования быстро становятся второй натурой, но даже в этом случае таблицы преобразования емкости и калькуляторы часто могут быть очень полезными. Эти преобразования, очевидно, полезны для конденсаторов, а также других электронных компонентов, таких как катушки индуктивности.
Дополнительные основные понятия и руководства по электронике:
Напряжение
Текущий
Власть
Сопротивление
Емкость
Индуктивность
Трансформеры
Децибел, дБ
Законы Кирхгофа
Q, добротность
РЧ-шум
Сигналы
Вернуться в меню основных понятий электроники . . .
Емкость
Емкость* Содержание
- 1 Емкость: заряд как функция напряжения
- 1. 1 Определение емкости
- 1.2 Простой пример: 2×2
- 1.3 Некоторые количественные значения
- 1.4 Фундаментальная физика, отраженная в емкости Матрица
- 1,5 Другой пример: 3×3
- 1.6 Численный расчет емкости
- 1.
- 2 Эластичность: напряжение как функция заряда
- 2.1 Основы
- 2.2 Инверсия уменьшенных матриц
- 2.3 Энергия
- 3 Номер по каталогу
1 Емкость: заряд как функция напряжения
1 Определение емкости
Предположим, у нас есть N объектов, каждый из которых представляет собой кусок проводящего материал. i-й объект имеет напряжение V i и несет заряд Q i
Предположим, что если у нас есть заряд в определенном
равновесное расположение, мы можем (скажем) удвоить количество заряда и
новое расположение также будет в равновесии. Это не
в целом верно, например, если варакторы или другие слегка легированные
задействованы полупроводники, или если электроды могут свободно двигаться (как
в позолоченном электроскопе) … но разумно
приближение для неподвижных металлических электродов.
На основании этого предположения и линейности основных уравнений электростатики, мы ожидаем, что будет линейная зависимость между переменными заряда и переменными напряжения. Мы пишем это отношение как:
| Q i = C ij V j (1) |
, где C ij называется матрицей емкости . Это определяет, что мы подразумеваем под емкостью .
На диагонали каждый элемент матрицы C ii называется собственная емкость i-го объекта. Вне диагонали каждый матричный элемент C ij называется взаимной емкостью между i-й объект и j-й объект.
1.2 Простой пример: 2×2
Рассмотрим простой случай, когда есть только два проводника. Это могут быть, например, две пластины идеальной параллельной пластины. конденсатор. По причинам, которые будут объяснены позже, полный матрица емкостей должна иметь вид:
| C = | ⎡ ⎢ ⎣ |
| ⎤ ⎥ ⎦ | (2) |
мы определяем напряжение дифференциального режима
| ΔV := V 2 − V 1 (3) |
и синфазное напряжение
| V c := V 2 + V 1 (4) |
Обращая эти отношения, мы находим
| (5) |
Затем мы просто делаем алгебру:
| (6) |
Итак, что мы узнали?
Для начала заметим, что для каждой из двух пластин заряд
зависит только от дифференциального напряжения ΔV и составляет
не зависит от синфазного напряжения V c . Нечувствительность к
V c является примером калибровочной инвариантности, как обсуждалось в
раздел 1.4
Во-вторых, мы видим, что заряд на первой пластине конденсатора равен равен и противоположен заряду на второй обкладке конденсатора. Этот является следствием нейтральности глобального заряда и того факта, что нет других объектов во Вселенной. Какой бы заряд ни появился на объект №1 должен быть взят из объекта №2 и наоборот. Дополнительную информацию см. в разделе 1.4.
В-третьих, вследствие этих двух фундаментальных физических принципов (калибровочная инвариантность и сохранение заряда), как только вы узнаете матричный элемент в матрице емкости 2×2, вы знаете все другие. Это самая простая в мире головоломка судоку.
Важное предостережение. Простой анализ в этом разделе применяется только
когда два объекта имеют одинаковый и противоположный заряд. Если ты
интересует случай двух объектов с несбалансированным зарядом, нужно
рассматривать это как задачу 3×3, как обсуждается в
раздел 1. 5.
Терминология: Для конденсатора с двумя выводами матрица элемент b условно называют «самой» емкостью конденсатор. Его условно обозначают С или с. Здесь у нас есть называл это б, чтобы не путать с полным емкостная матрица C.
1.3 Некоторые количественные значения
В случае конденсатора с плоскими пластинами, где площадь пластин A а зазор между пластинами g, имеем
| б = | (7) |
при условии, что зазор мал по сравнению с наименьшим размером тарелки.
В случае концентрических сфер имеем
| (8) |
1.
4 Фундаментальная физика, отраженная в емкости
МатрицаЛюбая матрица емкости должна иметь следующие свойства:
- В каждом столбце сумма записей равна нулю. Это выражает глобальное нейтральность заряда.
- В каждой строке сумма записей равна нулю. Этот экспресс 9калибр 0360 инвариантность . Общее правило состоит в том, что если мы увеличиваем каждый напряжение в задаче на столько же, физика не затронута, и, в частности, не влияет на распределение заряда.
- Матрица емкости симметрична: C ij = Cji. Это связано с тем, что в электростатике электрическое поле имеет нулевую роторность.
Вы можете убедиться, что примеры в этом разделе (уравнение 2 и уравнение 15) удовлетворяют этим требованиям.
1.5 Другой пример: 3×3
Обратим внимание на ситуацию, показанную на
рисунок 1. Объект №1 и объект №2
полусферы радиуса R, разделенные промежутком размером g. Они есть
окружена клеткой Фарадея (объект № 3), представленной восьмиугольником
нарисовано пунктирной линией.
Рис. 1. Конденсатор с разделенными сферами с тремя выводами
Мы предполагаем, что клетка огромна по сравнению со сферой, которая, в свою очередь, огромный по сравнению с пропастью. Говоря то же самое математически, мы есть
| (9) |
Мы будем рассматривать это устройство как трехконтактное. То есть мы собираются явно учитывать заряд и напряжение на каждом из три объекта.
Чтобы уловить симметрию ситуации, мы выражаем напряжения в члены следующих трех чисел: V 3 , V s и V и . Мнемоника s означает сферически симметричный, а a означает антисимметричный. Значение этих чисел определяется следующим образом:
| (10) |
Обращая уравнение 10, находим
| (11) |
Если V s равно нулю, то два полушария ведут себя как параллельная пластина конденсатор, с
| (12) |
который не зависит от V 3 .
Если V a равно нулю, то у нас просто сферический конденсатор с общим зарядом Q 12 , где
| ( 13) |
который также не зависит от V 3 , за исключением случаев, когда V s зависит от V 3 .
Учитывая эти выражения для суммы сбора в пересчете на
напряжения, существует простая процедура для нахождения всех
матричные элементы матрицы емкости. Хитрость в том, чтобы
дифференцировать определение, уравнение 1. Это дает нам:
| C ij = ∂Q i / ∂V j поддержание постоянной всех V k кроме V j (14) |
Следует подчеркнуть, что уравнение 14 не является определением емкости, а просто следствие определения. Это довольно слабое следствие, потому что если мы сдвинем каждое напряжение на постоянную (V j → V j + сдвиг j ) и подтасовать каждый заряд на a постоянная (Q i → Q i + помадка i ) затем уравнение 14 не может сказать разницу, хотя физика другая.
Используя это следствие, мы находим, что матрица емкости принимает форма
| C = | ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ |
| ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ | (15) |
где y = є 0 πR 2 /г – емкость кругового параллельная пластина конденсатор, а x = є 0 4πR – собственная емкость шара, как мы помним из уравнения 8.
Еще проще проверить уравнение 15, что оно должно было быть получено. Просто введите примерные значения для трех напряжений и посмотрите, как распределение заряда работает.
Мы помним из уравнения 9, что R 3 ≫ R ≫ g.
Рассмотрим предел, при котором g становится чрезвычайно малым по сравнению с
к R. Далее мы предполагаем, что R само по себе умеренно мало, и/или
V s = 0, поэтому нам не нужно беспокоиться о несбалансированном заряде.
Физически это означает, что разделенную сферу можно рассматривать как идеальную. плоскопараллельный конденсатор с незначительными краевыми полями.
Математически это означает, что x становится пренебрежимо малым по сравнению с y, и
мы можем аппроксимировать матрицу емкости как:
| C = | ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ |
| ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ | 2 | 2 | (16) |
, что имеет то же значение (и почти такую же структуру) как уравнение 2.
1.6 Численный расчет емкости
Для любой конкретной геометрии можно легко рассчитать емкости (включая взаимные емкости) численно. Базовый идея состоит в том, чтобы использовать уравнение 14, или, скорее, дискретное приближение к нему.
Начнем с назначения подходящего напряжения объектам на
потенциальная сетка и наблюдение индуцированного заряда. Мы находим общее
заряд на каждом объекте путем суммирования занятых ячеек зарядовой сетки
по каждому объекту.
Затем мы удерживаем N−1 объектов при постоянном потенциале и покачиваем напряжение на оставшемся. Наблюдаем, что происходит с зарядом на каждом объекте, поворачивая рукоятку уравнения Лапласа. Это дает нам численные значения частных производных в уравнение 14 и, следовательно, числовые значения для матрицы элементы C ij .
Электронная таблица для этого, т.е. для решения уравнения Лапласа для произвольная двумерная геометрия обсуждается в ссылка 1. (Если вам не нравятся электронные таблицы, столь же просто решить проблему с помощью универсального язык программирования, например C++).
2 Эластичность: напряжение как функция заряда
2.1 Основы
Учитывая систему с N узлами, мы хотим найти N напряжений как функция N количества заряда. В каком-то смысле это обратная задаче, рассмотренной в разделе 1. Принципиально наша текущая задача поставлена некорректно по нескольким причинам:
- Задача чрезмерно ограничена в том смысле, что нам нужно только знать
заряд на N−1 узлов. Мы всегда можем вывести N-й заряд,
используя глобальную нейтральность заряда (уравнение 18).
- Задача недостаточно ограничена, т. к. для любое решение, мы всегда можем найти другое решение с помощью калибровки преобразование: добавление постоянной φ ко всем напряжениям. Так мы можем обобщить ситуацию, сказав, что напряжения N равны определяется N−1 значениями заряда и одним манометром.
Мы видели, что полная матрица емкости C ij дает значения заряда в зависимости от напряжения в соответствии с уравнение 1. Увы, эту функцию нельзя обратить. матрица вырожденная. Сохранение заряда гарантирует, что единственное число. Калибровочная инвариантность также гарантирует его сингулярность.
Лучшее, что мы можем сделать, это написать:
| (17) |
где P называется матрицей эластичности . Обратите внимание, что манометр
φ не зависит от i и j. Вы вольны выбирать
φ=0, но другие люди могут выбирать по-другому.
Калибровочная инвариантность была встроена в матрицу емкости
в уравнении 1, но
здесь нам нужно обрабатывать это отдельно и явно.
То же самое касается нейтральности заряда: она встроена в емкость матрица, но здесь нам нужно обрабатывать ее отдельно и явно. То есть требуем следующее:
| (18) |
2 Инверсия уменьшенных матриц
Имея матрицу емкости, мы можем найти часть упругости
матрицу следующим образом: Сформируйте уменьшенную матрицу емкости с помощью
удаление одной строки и одного столбца полной матрицы емкости. Удаление столбца соответствует установке одного из напряжений на ноль.
Мы всегда можем сделать это по распоряжению, применяя калибровочную инвариантность.
Исключение строки означает, что мы рассматриваем обвинение по одному из
объекты, которые должны быть назначены поглотителем заряда, также известным как противоэлектрод.
заряд на стоке заряда является зависимой, неявной переменной. То есть,
у нас есть N−1 независимый узел заряда и один зависимый узел заряда.
Вы можете удалить любую строку и любой столбец. Им не нужно пересекаются по диагонали.
- Для любой заданной геометрии полная матрица емкости уникальна, калибровочно-инвариантный, явно сохраняющий заряд и симметричный … но не обратимый.
- Напротив, есть несколько неуникальных уменьшенных
емкостные матрицы. Каждую из них можно инвертировать, чтобы создать своего рода Матрица пониженной эластичности . Некоторые из них симметричны, а
некоторые нет. Каждый из них привязан к определенному датчику, поэтому имеет
никакой остаточной свободы калибровки. Никто из них, per se , выражает
нейтральность заряда; вам нужно отдельное уравнение, чтобы выразить это.
Давайте применим эти идеи к раздельно-сферическому конденсатору как показано на рисунке 1. Отбрасывание V 3 и строку Q 3 из уравнения 15, мы получить
| C̸ = | ⎡ ⎢ ⎣ |
| ⎤ ⎥ ⎦ | (19) |
Определитель числа C̸ равен просто xy, как вы можете проверить с помощью
прямой расчет. Мы знаем, что полная матрица емкости C равна
всегда сингулярна, и теперь мы видим, что приведенная матрица емкости C̸ также становится сингулярным, когда x равен нулю. Это говорит нам, что
на данном этапе расчета мы не можем игнорировать x, т.е.
собственная емкость сферы в целом. Мы увидим, что х
выпадает из некоторых окончательных результатов в некоторых случаях
(уравнение 21), но не другие
(уравнение 22).
При обсуждении электроники на вводном уровне принято игнорируйте x и подобные термины собственной емкости … но физика говорит нам что x всегда отличен от нуля, и существует множество реальных приложения, где такие неидеальности должны быть приняты во внимание счет.
Используя правило Крамера или иначе, находим соответствующие матрица пониженной эластичности:
| P̸ = | ⎡ ⎢ ⎣ |
| ⎤ ⎥ ⎦ | (20) |
Мы можем проверить это в простом случае уравновешенного заряда, где Q 1 = Q, Q 2 = −Q, Q 3 = 0 для некоторого Q. Тогда уравнение 20 в уравнение 17 находим
| (21) |
поэтому падение напряжения на конденсаторе такое, какое должно быть,
в соответствии с известным выражением для параллельной пластины
конденсатор.
Аналогично можно проверить случай полностью несбалансированного заряда, где Q 1 = Q 2 = Q/2, Q 3 = −Q для некоторого заряда Q. Тогда находим
| V 1 = V 2 = 1/x Q + φ (22) |
как и должно быть, в соответствии с известным выражением для собственная емкость шара.
В частичной аналогии с уравнением 14 мы можем записать
| (23) |
, где «плавающий» означает, что заряд объекта поддерживается постоянным.
Предупреждение. В более полной аналогии с уравнением 14 возникает соблазн дифференцировать уравнение 17, чтобы получить что-то вроде:
«P JI = ∂V J /∂Q I 5». (24а) or simply «P ji = ∂V j / ∂Q i » (24б) Уравнение 24b, если оно вообще что-то значит, предположительно означает то же самое, что и уравнение 24a. Увы, уравнение 24а — полная ерунда, потому что вы не можете удерживать постоянными все Q k кроме Q i , из-за сохранение заряда (уравнение 18). Вы были бы поражены количество авторов, которые пишут что-то вроде уравнение 24b, требующее изменения заряда без уточнения откуда идет заряд.
Всякий раз, когда вы записываете частную производную, вы должны указать
направления. То есть вы должны указать, что остается постоянным и
что не так. Иногда направления очевидны из контекста, но даже
тогда это хорошая практика, чтобы указать их в любом случае.
Также рекомендуется тщательно различать полную емкость матрица C из приведенной матрицы емкости C̸ . То же самое для матрица полной эластичности P и матрица приведенной эластичности стр. .
Еще одно предупреждение: сравнение уравнение 23 – уравнение 14, вы можно подумать, что поэлементно каждый элемент матрицы P является обратным соответствующему матричному элементу C, но это определенно неправда. Обратите внимание, что в двух уравнениях разные вещи остаются постоянными.
2.3 Энергия
Энергия системы может быть записана как
| (25) |
где E(0) — некоторая константа.
Возможно, самый простой способ понять этот результат, включая множитель ½ выглядит следующим образом: Предположим, мы начинаем с нулевой заряд и увеличение заряда в симметричном таким образом, что
| (26) |
где λ — некоторая абстрактная безразмерная скалярная величина, идущая от 0
к 1. Уравнение 26 описывает прямолинейный путь в
N-мерное векторное пространство, где N — количество
узлы в цепи. Мы выбираем этот путь, потому что он
самый простой способ перемещать заряд, не нарушая
сохранение заряда.
Мы увеличиваем заряд медленно, поэтому мы можем рассматривать это как
электростатическая ситуация (не электродинамическая). Затем для каждого
λ, напряжения задаются как
| (27) |
Затем мы можем найти напряжение путем интегрирования. Абстрактно мы можем написать:
| (28) |
Более конкретно мы можем написать:
|
В последней строке мы выбросили термин, содержащий φ. Это тождественно нулю из-за сохранения заряда, уравнение 18. Это означает, среди прочего, что постоянная интегрирования E 0 , которая появляется в уравнении 25 и уравнение 29 не связано с калибровкой φ, которая появляется в уравнении 17. То есть калибровочный потенциальной энергии , а не , относящийся к манометру Напряжение.
У вас может возникнуть соблазн написать что -то вроде:
E = ½ Q j . +j . 4 83351 35.35.3535. 40035.35.3535. 2 5 4 8335. Q i
(30а) и затем В к = ∂E/∂Q k плавает все, кроме объекта k (30б) = в соответствии с уравнением 17, но это не работает, потому что сохранения заряда: Невозможно изменить заряд на объект k без изменения заряда в другом месте.