Индукционные счетчики: Индукционный счетчик электроэнергии: принцип работы, конструкция

Индукционный счетчик электроэнергии: принцип работы, конструкция

Для учета электроэнергии в бытовых и производственных целях используются электросчётчики. Приборы учёта электроэнергии имеют два вида:

1. Индукционные.
2. Электронные.

В статье будет рассмотрен такой прибор учёта, как индукционный счётчик электроэнергии.

Конструкция индукционного счётчика

В устройство индукционного прибора учёта заложены катушки, одна из которых тока, а другая – напряжения. Катушка тока имеет последовательное подключение, а катушка напряжения – параллельное. С помощью этих катушек образуется электромагнитное поле. Катушка тока имеет пропорциональный по силе тока электромагнитный поток, а катушка напряжения – пропорционально сетевого напряжения.

Электромагнитный поток заставляет алюминиевый диск вращаться, что соединён с механизмом счёта зубчатой и червячной передачей, приводя в движение счётный механизм, которым обладает индукционный счётчик электроэнергии.

Как работает индукционный счётчик

Суть работы индукционных счетчиков электроэнергии, основан на таком принципе, когда на движущуюся деталь в одно время воздействует крутящийся и затормаживающий момент. Данный момент имеет пропорцию величине учёта, момент торможения имеет пропорцию скорости раскрутки движущейся части. Состоит индукционный однофазный счетчик электроэнергии из нескольких элементов:

• Катушки напряжения, что расположили на магнитопроводе;
• Диск вращения из алюминия;
• Передаточный механизм устройства учёта;
• Катушки тока на магнитопроводе;
• Постоянный магнит.

Сделана катушка из провода с большим сечением, что может выдерживать большую нагрузку. Витки на катушки имеются в небольших количествах, обычно 13-30 витков на катушке. Распределены они в равномерном положении на двух стержнях магнитопровода, что имеет U форму и сделан из электротехнической стали. Сердцевина работает для создания определённой концентрации магнитного потока, который пересекает счётный диск и вращает его.

Подсоединяется обмотка напряжения на фазу напряжения сети и всегда имеет работоспособное состояние, наравне с потребителем, из-за этого она имеет название параллельной цепи. Катушка напряжения требуется для производства магнитного потока, который будет пропорционален сетевому напряжению. Она имеет определённые конструктивные отличия от катушки тока тем, что имеет больше витков, около 8000 – 12 000 и небольшим сечением проводника 0.1 – 0.15 мм2. В большом количестве витки создают более высокое индуктивное сопротивление, чем имеет активное сопротивление обмотки, что является довольно важным для соблюдения правила сдвига на 90° и даёт возможность уменьшит потребление электроэнергии, на однофазном счётчике.

Магнитный поток катушки тока и катушки напряжения, что проходят по диску, образуют в нём трансформационные токи, за счёт чего создаётся вращающийся момент. Чтобы создать противодействующий момент, что будет пропорционален скорости движения диска, используются постоянные тормозные магниты, чей магнитный поток пересекает крутящийся диск из электропроводящего материала.

Образующиеся в диске токи резания, всегда соблюдают скорость вращения пропорционально диска. То есть когда счётчик работает, он соблюдает определённую закономерность,чем большая мощность потребления, тем более быстро будет происходить вращение диска по его оси. Момент противодействия, что образуется при взаимодействии магнитного потока с дисковым током, всегда будет пропорционален скорости вращения. Когда диск проходит волну, что создаёт тормозной магнит, на нём наводится ЭДС резания, что идёт от середины диска. Потоковая сила тормозного магнита при взаимодействии с током диска имеет прямую пропорциональность ЭДС резания и имеет направление против движения диска. Замедляющий процесс зависит от дальности магнита от центра диска, определяется как произведение плеча на значение силы. То есть регулировка быстроты кручения происходит путём перемещения магнита, что позволяет настроить его в зависимости от передаточного числа.

Для более точной настройки на счётчиках используют специальные устройства для регулировки. Данные приборы – это короткозамкнутые медные, алюминиевые витки, или обмотка из витков провода из меди, что замкнут на настраиваемое сопротивление.

Плюсы и минусы индукционных счётчиков

Приборы учёта электроэнергии бывают только однотарифными, потому как в них отсутствует система дистанционного снятия показаний в автоматическом режиме, то есть счётчик не может работать по дневному и ночному тарифу. Это существенный недостаток, которым обладает индукционный электросчетчик, так как оплата за ток будет намного больше, чем у электронных.

Индукционные счётчики имеют ряд своих преимуществ и недостатков. Из преимуществ можно отметить:

1. Обладают относительно низкой ценой.
2. Высокий уровень надёжности.
3. Не зависимы к перепадам электроэнергии.
4. Имеют длительный срок эксплуатации.
5. Подходит для таких манипуляций, как отмотка показаний и остановка счётчика.
6. Продаётся в большинстве точек по продаже электротоваров.

Однако на фоне этого имеются и негативные моменты, а в частности:

1. Низкий класс точности.
2. Большой процент погрешности на маленьких нагрузках.
3. Можно использовать всего один тариф.

Производители индукционных счётчиков работают над улучшением своей продукции, увеличивая класс точности и срок службы, но конструкция, которой обладают индукционные электросчетчики, не позволяет существенно улучшить эти показатели. Именно из-за этого пришли на смену электронные приборы учёта, которые более стабильны и обладают множеством положительных моментов.

индукционные, электронные, одно- и многотарифные

Содержание статьи:

Каждое помещение, в котором проведена электроэнергия, имеет прибор учета электроэнергии. Исключения могут составлять лишь те сооружения, которые оснащены полностью автономной системой, например, ветряки и солнечные батареи.

Виды счетчиков электроэнергии

Однофазные индукционные счетчики электроэнергии

Электросчетчик – это прибор учета расхода электроэнергии переменного и постоянного тока.

Существует два типа данных устройств: электронные и индукционные модели. Все они отличаются принципом своей работы, но это никак не отражается на точности подсчетов, поскольку перед продажей каждое устройство проверяется и при необходимости калибруется сотрудниками соответствующих организаций. Компании независимые, поэтому подвоха в их деятельности ждать не стоит. Чтобы было проще определиться с подходящим видом электрического прибора в конкретном случае, нужно более детально изучить особенности каждого.

Индукционный

Данная разновидность широко распространена благодаря большому количеству преимущественных особенностей. Это традиционная конструкция, оснащенная вращающимся колесом. Работа основывается на принципах магнитного поля. Это поле образует несколько катушек – тока и напряжения. Они приводят диск в движение, который запускает счетный механизм.

Из недостатков стоит отметить точность подсчета. Погрешность находится в зоне допустимой, но результаты могли бы быть и лучше.

Существенное достоинство устройства – длительный срок службы. Некоторые производители дают гарантию на свои приборы 10-15 лет.

Электронный

Модульный трехфазный электронный электросчетчик

Эту разновидность можно считать относительно новой. Принцип работы основывается на измерении напряжения и силы тока в электрической сети. Отсутствуют какие-либо промежуточные механизмы, что обеспечивает высокую точность работы. Все показания отображаются на небольшом дисплее, а также хранятся во встроенной памяти. Более детально о достоинствах приборов:

• Компактные размеры.
• Его нельзя остановить или замедлить с помощью магнита.
• Все модели оснащены многотарифной функцией.
• Имеется встроенная самокорректировка показаний.
• Удобное снятие показаний.
• Точность показаний можно повысить дополнительно, для этого устанавливают специальную микросхему.

Несмотря на большое количество преимуществ, имеются и недостатки.

Самый весомый – высокая стоимость.

Однотарифные и многотарифные виды электросчетчиков

Однотарифные приборы можно назвать традиционными. Это устройства, к которым привыкли все жители постсоветского пространства.

Многотарифные счетчики в России новика, поскольку вошли в обиход потребителей относительно недавно. Основная задача такого прибора – сокращение финансовых расходов потребителей. Суть экономии заключается в разнице стоимости электроэнергии от времени суток. В ночное и утреннее время она меньше, чем вечером.

Счетчик электроэнергии однофазный многотарифный CE102-R5.1

Счетчик электроэнергии однофазный однотарифный Тайпит Нева 103.5 1S0

Автоматический тип электросчетчика

Автоматический тип электросчетчика представляет собой разновидность электронных моделей. Особенность его заключается в автоматической передаче данных без участия домовладельцев.

Процесс происходит своевременно, без потери личного времени. Такие устройства еще не очень распространены в России, но эксперты предполагают, что через 10-15 лет они будут в каждой второй квартире.

Преимущества и недостатки многотарифности

Разделение суток на зоны для контроля электроэнергии многотарифными счетчиками

Новые приборы учета имеют свои конструктивные особенности, а также преимущества и недостатки, которые обязательны к ознакомлению при выборе устройства. К достоинствам следует отнести:

• Экологичность. Снижается количество вредных и отравляющих природу и людей выбросов в атмосферу.
• Ощутимая экономия семейного бюджета. Как показывает опыт, прибор полностью окупается в течение одного года.
• Облегчение работы электрических станций: экономия топлива, снижение стоимости ремонтных работ и обслуживания.

Из недостатков устройств стоит выделить лишь необходимость подстраиваться под тарифы счетчика. Если пренебрегать этим, количество расходов не сократится.

Класс точности приборов и их мощность

Таблица необходимых классов точности для расчетных счетчиков активной электроэнергии

Класс точности устройства в процентном соотношении вычисляет погрешность подсчетов. На сегодняшний день можно использовать электрические счетчики класса точности не менее 2.0.

Еще один важный параметр работы – мощность. Его учитывают еще при выборе прибора, исходя из суточного потребления электроэнергии – общая нагрузка на электрическую цепь в квартире, доме. В ассортименте есть счетчики с нагрузкой по току от 5 до 100 ампер.

Условия использования и методы крепления

Современные приборы учета фиксируются на специальную DIN-рейку или на болты.

С учетом условий работы оборудование делится на всепогодное, предназначенное для работы на улице, и используемое только в отапливаемых и сухих помещениях. Стоимость последних моделей ниже.

Какую модель лучше выбрать

Требования к счетчикам электроэнергии

При выборе прибора для учета потребляемой электроэнергии важно, чтобы были учтены требования ГОСТа:

• Модель должна быть внесена в общий реестр, допущенных в РФ приборов учета, а также иметь непросроченное свидетельство о проверке.
• Класс точности должен соответствовать регламентируемым нормативно-правовым актам (не ниже, чем 2.0).
• Каждый прибор должен иметь пломбу с клеймом государственного образца на кожухе клеммных контактов. Если счетчик устанавливается впервые, нужно убедиться, что пломба не старше 2-3 лет.

Чтобы упростить процесс выбора, следует ознакомиться с рейтингом лучших моделей.

Однотарифный, однофазный	Меркурий 201; Энергомера СЕ-101; АВВ FBU-11200; Нева 101103.
Многотарифный, однофазный	Меркурий 200-2; Энергомера СЕ-102; АВВ FBU-11205; Нева МТ-114.
Трехфазный, однотарифный	Меркурий 231 АМ-01; Энергомера СЕ-300; Нева МТ-324; Нева 303-306.
Трехфазный, многотарифный	Меркурий 231 АТ-01; Энергомера СЕ-301.

Меркурий 201

АВВ FBU-11205

Энергомера СЕ-301

Нева МТ-324

К выбору электрического счетчика следует подойти со всей ответственностью, в противном случае показания могут быть неверными, что приведет к штрафным санкциям от организаций.

Выбор электросчетчика, какой лучше: электронный или индукционный

Какой счетчик электроэнергии лучше поставить в квартире: разделение по типу конструкции

По типу конструкции эти устройства можно разделить на:

• электронные;
• индукционные (электромеханические).

Как же определить, какой электросчетчик лучше поставить в квартире? Рассмотрим подробно возможные варианты.

Положительные и отрицательные стороны электронного электросчетчика

Отличить электронный электросчетчик по внешнему виду несложно – на лицевой панели у него расположен жидкокристаллический дисплей, на который и выводятся данные по расходу. Работа построена на прямом измерении электричества, которое учитывается микросхемой и остается в памяти устройства.

Преимущества	Недостатки
Точное считывание информации, что вкупе с памятью препятствует кражам электричества	Для электронных электросчетчиков губительны сильные перепады напряжения
Минимальная погрешность в показаниях	Высокая стоимость
Возможность установки двух- или трехтарифного устройства	Не слишком надежны и дороги в ремонте

Плюсы и минусы индукционных счетчиков электроэнергии

Здесь затраченное электричество считается при помощи двух индукционных катушек, проходя через которые создает магнитное поле. Именно оно крутит алюминиевый диск, а уже с него (посредством шестеренок) вращение передается на ролики с цифрами. Рассмотрим достоинства и недостатки таких устройств:

Преимущества	Недостатки
Индукционные электросчетчики надежны. Процент поломок низок	Нет возможности приобретения двух- или трехтарифного прибора
Невысокая стоимость	Погрешность в показаниях
Не чувствительны к перепадам напряжения	Позволяют кражи электричества

Критерии выбора электросчетчиков: на что обратить внимание

Разберем, какой электросчетчик лучше поставить в квартире и на что обратить внимание.

Очень важно! Если вы уже приобрели счетчик, а он (по каким-то причинам) не подошел, вернуть его обратно в магазин не получится. Ведь в техническом паспорте продавцом уже проставлена печать о гарантии, а значит, другой покупатель от такого товара откажется.

Приобретение электросчетчиков (с установкой или без неё), рекомендованных НЭСК

Во избежание недоразумений рекомендуем пользоваться только теми счетчиками, которые рекомендованы НЭСК. В их перечень входят счетчики отечественного производства всех типов: однофазные и трехфазные, однотарифные и многотарифные, а также полифункциональные приборы, использующиеся для непрерывного отслеживания показаний.

Электронный счётчик

Все счетчики, имеющие рекомендацию НЭСК:
• Защищены от помех и наведенных Э/М полей.

• Помещены в корпуса из пожаробезопасных материалов.

• Просты в эксплуатации, обслуживании, и установке.

• Надежны и обладают длительным гарантийным сроком эксплуатации (не менее 6-и лет).

• Разумеется, приборы, рекомендуемые компанией, снабжены всеми положенными сертификатами.

Необходимая документация и правила оформления электросчетчиков

Перед тем, как поменять счетчик электроэнергии в квартире, нужно обратиться в обслуживающую организацию с письменным заявлением, приложив копию техпаспорта нового устройства и предоставив паспортные данные. После утверждения заявления есть два пути – электромонтер приходит в квартиру в оговоренное время и производит замену, либо хозяин меняет счетчик, предоставляя снятый в обслуживающую компанию для подтверждения показаний. Там же подписывается акт установки электросчетчика с отметкой о лице ее производившем. Один экземпляр акта остается у владельца, второй у представителя организации, обслуживающей местные электросети.

Индукционный счётчик

После самостоятельного монтажа в оговоренный срок (не позднее месяца с момента установки прибора учета электроэнергии) обслуживающая организация направляет в квартиру контроллера. Он проверяет правильность подключения и опломбирует электросчетчик. Стоимость опломбировки зависит от решения обслуживающей организации. В некоторых регионах такая услуга предоставляется бесплатно.

Стоимость электросчетчиков, их замены и монтажа

Перед тем, как выбрать электросчетчик для квартиры, стоит узнать, какова стоимость его монтажа или замены. Это поможет спланировать общие затраты. Чтобы облегчить читателю решение по этому вопросу, приведем средние расценки по России, по состоянию на январь 2018 года.

Подробнее об услуге по замене счетчика

Переход на современную модель счетчика расхода электроэнергии позволяет существенно сократить ежемесячные расходы на оплату электричества. Для этого надо приобрести многотарифный счетчик и заказать его установку (оформляется как одна услуга). Такие счетчики осуществляют раздельный учет энергии, потребляемый в дневные и ночные периоды. Учитывая, что ночной тариф в 4 раза ниже, чем дневной, абонент получает возможность экономии своих средств за счет использования особенно энергоемких электроприборов преимущественно в ночное время.Оформление заказа на замену счетчика не займет много времени. Нужно просто выбрать нужный раздел меню в ЛКК и затем заполнить формы в открывшемся окне.Стоимость данной услуги зависит от выбора конкретной модели счетчика и места (адреса) его установки.

Срок эксплуатации электросчетчика в квартире

Дополнения в Постановление № 442 от 2017 г. внесли корректировку в срок эксплуатации приборов учета. Сегодня она составляет 6 лет. Это касается старых устройств. Для новых же поверочный интервал составляет 10-30 лет. Данные об этом можно найти в технической документации прибора.

По истечении времени разрешенной эксплуатации счетчика электроэнергии им можно продолжать пользоваться до вынесения предписания энергосбытовой организацией о замене. Вот тогда его придется заменить.

Важно и то, кто должен оплачивать замену прибора учета. Постановлением №442 регламентируется, что замена производится за счет собственника жилья. Это значит, что в приватизированных квартирах она производится на средства владельца, а в помещениях, находящихся в соц. найме – за счет обслуживающей организации.

Еще один вопрос – может ли собственник самостоятельно установить или заменить счетчик электроэнергии в квартире при поломке или желании установить многотарифный вместо однотарифного. Закон это позволяет, но есть нюансы оформления этих действий.

принцип работы, выбор, установка. — datchiki.com

Вы можете поделиться статьёй в социальных сетях и мессенджерах:

Измерение расхода – важная характеристика многих производственных объектов, котельных установок и станций водоподготовки. Среди существующих счетчиков, способных контролировать этот параметр – индукционные расходомеры наиболее распространены.

Рассмотрим подробнее эти изделия: как они работают и особенности их использования.

Принцип действия

В основе принципа работы индукционных расходомеров лежит закон электромагнитной индукции Фарадея.

В момент прохождения токопроводящих жидкостей поперек катушек прибора, в катушках наводится ЭДС. Величина ЭДС прямо пропорционально зависит от скорости потока: чем она выше, тем выше индуцированное напряжение. Электронный милливольтметр измеряет это значение и выводит его на цифровой индикатор, отградуированный в единицах расхода.

Встроенный преобразователь позволяет получать стандартный выходной сигнал 4-20 mA. Это делает возможным создавать на базе измерителей расхода комплексы с автоматическим регулированием.

Рекомендации к выбору

Конкретная модель устройства выбирается на основании параметров технологического участка, в котором он будет применен. Разберем 4 аспекта, на которые нужно обратить внимание.

1. Технические характеристики. Это главный принцип выбора индукционного расходомера – необходимо соотнести параметры прибора со свойствами системы. Учитывается диаметр трубопровода, тип измеряемой среды, максимальный проток жидкости, наличие предполагаемых цифровых, импульсных и аналоговых выходных сигналов и т.д. На больших предприятиях, для соблюдения однородности оборудования выбирают модели с широкой вариабельностью. В качестве примера здесь можно назвать «ТехноМАГ-31», выпускаемый в самых разных вариантах.
2. Магнитное поле. Для измерения расхода расплавленных металлов используются индукционные расходомеры с постоянным магнитным полем. Для определения общего объемного расхода жидкостей, обладающих ионной проводимостью: вода недистилированная, пищевые жидкости (соки, молочные продукты), спирты, шампуни, химическое сырье, фармакологическая продукция, минеральные воды и т.п. используется индукционный расходомер с переменным магнитным полем. Именно для таких сред используют ТехноМаг-31.
   Разумеется, индукционный расходомер нельзя применять  для контроля непроводящих сред — дистиллированной воды, масла, нефти…
   
3. Конструктивные разновидности. К этому пункту относят габаритные размеры изделия и способы его монтажа.  Кроме того, в труднодоступных зонах производства устанавливают узлы учета с выносной панелью индикации.
   
4. Наличие дополнительных устройств. Производители современных индукционных расходомеров снабжают оборудование дополнительными устройствами, которые увеличивают удобство эксплуатации и повышают функционал с учетом новых технологий сбора, хранения, передачи результатов замеров. При необходимости создания систем диспетчеризации на отдаленных друг от друга участках, удобными будет оборудование со встроенными GSM-модулями. Беспроводное подключение датчика со вторичным прибором возможно при наличии Bluetooth. Некоторые производители используют внешние модемы передачи данных. Другие, например MagX предлагают встроенные модули передачи данных.

Особенности использования индукционных расходомеров

Эксплуатация индукционных расходомеров имеет важные нюансы. Их следует учитывать при разработке новой измерительной системы.

• Точность показаний узлов учета напрямую связана с наполненностью системы измеряемой жидкостью. Пузырьки воздуха могут вызвать погрешность измерения.
• Индукционные расходомеры требуют периодической очистки электродов. При измерении расхода агрессивных сред с высоким содержанием солей или примесей, откладывающихся на внутренних стенках трубопровода, целесообразно использовать модели с функцией автоочистки. Пример такого счетчика – Arkon MAGX2
• Монтаж индукционных расходомеров не должен производиться возле насосов со стороны забора. На этих участках может возникать вакуум, из-за которого работа оборудования будет не стабильной.

• Опыт эксплуатации говорит, что, несмотря на наличие фторопластовых уплотнителей на фланцах прибора, лучше использовать дополнительные прокладки из паронита. Это облегчит демонтаж при обслуживании, продлит срок службы устройства.

Звоните нам по телефону +7 (812) 45-40-666 и специалисты нашей компании помогут подобрать и купить индукционный расходомер, подходящий именно под вашу задачу. Или отправьте заявку.

Вы можете поделиться статьёй в социальных сетях и мессенджерах:

Появились вопросы?

Спросите опытного эксперта сейчас и получите варианты решения!

Емкостной и индукционный измеритель лучшего качества — Отличные предложения на емкостный и индукционный измеритель от мировых продавцов емкостных и индукционных измерителей

Отличные новости !!! Вы находитесь в нужном месте для емкостного и индукционного измерителя. К настоящему времени вы уже знаете, что что бы вы ни искали, вы обязательно найдете это на AliExpress. У нас буквально тысячи отличных продуктов во всех товарных категориях.Ищете ли вы товары высокого класса или дешевые и недорогие оптовые закупки, мы гарантируем, что он есть на AliExpress.

Вы найдете официальные магазины торговых марок наряду с небольшими независимыми продавцами со скидками, каждый из которых предлагает быструю доставку и надежные, а также удобные и безопасные способы оплаты, независимо от того, сколько вы решите потратить.

AliExpress никогда не уступит по выбору, качеству и цене.Каждый день вы будете находить новые онлайн-предложения, скидки в магазинах и возможность сэкономить еще больше, собирая купоны. Но вам, возможно, придется действовать быстро, так как этот лучший емкостный и индукционный измеритель в кратчайшие сроки станет одним из самых популярных бестселлеров. Подумайте, как вам будут завидовать друзья, когда вы скажете им, что приобрели свой емкостной и индукционный измеритель на AliExpress. Благодаря самым низким ценам в Интернете, дешевым тарифам на доставку и возможности получения на месте вы можете еще больше сэкономить.

Если вы все еще не уверены в емкостном и индукционном измерителях и думаете о выборе аналогичного товара, AliExpress — отличное место для сравнения цен и продавцов. Мы поможем вам разобраться, стоит ли доплачивать за высококачественную версию или вы получаете столь же выгодную сделку, приобретая более дешевую вещь. И, если вы просто хотите побаловать себя и потратиться на самую дорогую версию, AliExpress всегда позаботится о том, чтобы вы могли получить лучшую цену за свои деньги, даже сообщая вам, когда вам будет лучше дождаться начала рекламной акции. , а также ожидаемую экономию.AliExpress гордится тем, что у вас всегда есть осознанный выбор при покупке в одном из сотен магазинов и продавцов на нашей платформе. Реальные покупатели оценивают качество обслуживания, цену и качество каждого магазина и продавца. Кроме того, вы можете узнать рейтинги магазина или отдельных продавцов, а также сравнить цены, доставку и скидки на один и тот же продукт, прочитав комментарии и отзывы, оставленные пользователями. Каждая покупка имеет звездный рейтинг и часто имеет комментарии, оставленные предыдущими клиентами, описывающими их опыт транзакций, поэтому вы можете покупать с уверенностью каждый раз.Короче говоря, вам не нужно верить нам на слово — просто слушайте миллионы наших довольных клиентов.

А если вы новичок на AliExpress, мы откроем вам секрет. Непосредственно перед тем, как вы нажмете «купить сейчас» в процессе транзакции, найдите время, чтобы проверить купоны — и вы сэкономите еще больше. Вы можете найти купоны магазина, купоны AliExpress или собирать купоны каждый день, играя в игры в приложении AliExpress.Вместе с бесплатной доставкой, которую предлагают большинство продавцов на нашем сайте, вы сможете приобрести емкостный индукционный измеритель по самой выгодной цене.

У нас всегда есть новейшие технологии, новейшие тенденции и самые обсуждаемые лейблы. На AliExpress отличное качество, цена и сервис всегда в стандартной комплектации. Начните самый лучший шоппинг прямо здесь.

Лучший индукционный измеритель емкости — Отличные предложения на индукционный измеритель емкости от мировых продавцов индукционных измерителей емкости

Отличные новости !!! Вы попали в нужное место для индукционного измерителя емкости. К настоящему времени вы уже знаете, что что бы вы ни искали, вы обязательно найдете это на AliExpress.У нас буквально тысячи отличных продуктов во всех товарных категориях. Ищете ли вы товары высокого класса или дешевые и недорогие оптовые закупки, мы гарантируем, что он есть на AliExpress.

Вы найдете официальные магазины торговых марок наряду с небольшими независимыми продавцами со скидками, каждый из которых предлагает быструю доставку и надежные, а также удобные и безопасные способы оплаты, независимо от того, сколько вы решите потратить.

AliExpress никогда не уступит по выбору, качеству и цене. Каждый день вы будете находить новые онлайн-предложения, скидки в магазинах и возможность сэкономить еще больше, собирая купоны. Но вам, возможно, придется действовать быстро, поскольку этот индукционный измеритель емкости должен в кратчайшие сроки стать одним из самых востребованных бестселлеров. Подумайте, как вам будут завидовать друзья, когда вы скажете им, что приобрели индукционный измеритель емкости на AliExpress.Благодаря самым низким ценам в Интернете, дешевым тарифам на доставку и возможности получения на месте вы можете еще больше сэкономить.

Если вы все еще не уверены в измерителе емкости и думаете о выборе аналогичного товара, AliExpress — отличное место для сравнения цен и продавцов. Мы поможем вам разобраться, стоит ли доплачивать за высококачественную версию или вы получаете столь же выгодную сделку, приобретая более дешевую вещь.И, если вы просто хотите побаловать себя и потратиться на самую дорогую версию, AliExpress всегда позаботится о том, чтобы вы могли получить лучшую цену за свои деньги, даже сообщая вам, когда вам будет лучше дождаться начала рекламной акции. и ожидаемая экономия.AliExpress гордится тем, что у вас всегда есть осознанный выбор при покупке в одном из сотен магазинов и продавцов на нашей платформе. Реальные покупатели оценивают качество обслуживания, цену и качество каждого магазина и продавца.Кроме того, вы можете узнать рейтинги магазина или отдельных продавцов, а также сравнить цены, доставку и скидки на один и тот же продукт, прочитав комментарии и отзывы, оставленные пользователями. Каждая покупка имеет звездный рейтинг и часто имеет комментарии, оставленные предыдущими клиентами, описывающими их опыт транзакций, поэтому вы можете покупать с уверенностью каждый раз. Короче говоря, вам не нужно верить нам на слово — просто слушайте миллионы наших довольных клиентов.

А если вы новичок на AliExpress, мы откроем вам секрет.Непосредственно перед тем, как вы нажмете «купить сейчас» в процессе транзакции, найдите время, чтобы проверить купоны — и вы сэкономите еще больше. Вы можете найти купоны магазина, купоны AliExpress или собирать купоны каждый день, играя в игры в приложении AliExpress. Вместе с бесплатной доставкой, которую предлагают большинство продавцов на нашем сайте, вы сможете приобрести индукционный измеритель емкости по самой выгодной цене.

У нас всегда есть новейшие технологии, новейшие тенденции и самые обсуждаемые лейблы.На AliExpress отличное качество, цена и сервис всегда в стандартной комплектации. Начните самый лучший шоппинг прямо здесь.

Что такое индукционный нагрев? | Inductoheat Inc

Компании группы Inductotherm используют электромагнитную индукцию для плавления, нагрева и сварки в различных отраслях промышленности. Но что такое индукция? И чем он отличается от других способов нагрева?

Для типичного инженера индукция — увлекательный метод нагрева. Наблюдение за тем, как кусок металла в катушке становится вишнево-красным за считанные секунды, может удивить тех, кто не знаком с индукционным нагревом. Оборудование для индукционного нагрева требует понимания физики, электромагнетизма, силовой электроники и управления технологическим процессом, но основные концепции индукционного нагрева просты для понимания.

Основы

Обнаружил Майкл Фарадей, индукция начинается с катушки из проводящего материала (например, меди). Когда ток течет через катушку, создается магнитное поле внутри и вокруг катушки. Способность магнитного поля выполнять работу зависит от конструкции катушки, а также от величины тока, протекающего через катушку.

Направление магнитного поля зависит от направления тока, поэтому переменный ток через катушку приведет к изменению направления магнитного поля с той же скоростью, что и частота переменного тока. Переменный ток 60 Гц заставит магнитное поле менять направление 60 раз в секунду. Переменный ток 400 кГц вызовет переключение магнитного поля 400 000 раз в секунду.

Когда проводящий материал, заготовка, помещается в изменяющееся магнитное поле (например, поле, генерируемое переменным током), в заготовке индуцируется напряжение (закон Фарадея). Индуцированное напряжение приведет к потоку электронов: току! Ток, протекающий через заготовку, будет идти в направлении, противоположном току в катушке.Это означает, что мы можем контролировать частоту тока в заготовке, контролируя частоту тока в катушке.

Когда ток течет через среду, движение электронов будет сопротивляться. Это сопротивление проявляется в виде тепла (эффект нагрева Джоуля). Материалы, которые более устойчивы к потоку электронов, будут выделять больше тепла, когда через них протекает ток, но, безусловно, можно нагревать материалы с высокой проводимостью (например, медь) с помощью индуцированного тока. Это явление критично для индукционного нагрева.

Что нам нужно для индукционного нагрева?

Все это говорит нам о том, что для индукционного нагрева необходимы две основные вещи:

1. Изменяющееся магнитное поле
2. Электропроводящий материал, помещенный в магнитное поле

Чем отличается индукционный нагрев от других методов нагрева?

Есть несколько методов нагрева объекта без индукции.Некоторые из наиболее распространенных промышленных практик включают газовые печи, электрические печи и соляные бани. Все эти методы основаны на передаче тепла продукту от источника тепла (горелки, нагревательного элемента, жидкой соли) посредством конвекции и излучения. Когда поверхность продукта нагревается, тепло передается через продукт с теплопроводностью.

Продукты с индукционным нагревом не используют конвекцию и излучение для доставки тепла к поверхности продукта. Вместо этого тепло генерируется на поверхности продукта за счет протекания тока. Затем тепло от поверхности продукта передается через продукт за счет теплопроводности. Глубина, на которую тепло генерируются непосредственно с помощью индуцированного тока зависит от того, что называется в электрических опорной глубины .

Электрическая опорная глубина сильно зависит от частоты переменного тока, протекающего через заготовку. Более высокая частота ток приведет к мельче электрических эталонной глубины и более низкая частота ток приведет к более глубокой электрическим эталонной глубине .Эта глубина также зависит от электрических и магнитных свойств детали.

Опорная электрическая глубина высоких и низких частот Компании группы

Inductotherm используют преимущества этих физических и электрических явлений, чтобы адаптировать решения для обогрева для конкретных продуктов и приложений. Тщательный контроль мощности, частоты и геометрии катушек позволяет компаниям группы Inductotherm проектировать оборудование с высоким уровнем управления технологическим процессом и надежностью независимо от области применения.

Индукционная плавка

Для многих процессов плавление является первым шагом в получении полезного продукта; индукционная плавка происходит быстро и эффективно. Изменяя геометрию индукционной катушки, индукционные плавильные печи могут удерживать заряды, размер которых варьируется от объема кофейной кружки до сотен тонн расплавленного металла. Кроме того, регулируя частоту и мощность, компании группы Inductotherm могут обрабатывать практически все металлы и материалы, включая, помимо прочего: железо, сталь и сплавы нержавеющей стали, медь и сплавы на ее основе, алюминий и кремний.Индукционное оборудование разрабатывается специально для каждого приложения, чтобы обеспечить его максимальную эффективность.

Основным преимуществом индукционной плавки является индукционное перемешивание. В индукционной печи металлическая шихта плавится или нагревается током, генерируемым электромагнитным полем. Когда металл расплавляется, это поле также заставляет ванну двигаться. Это называется индуктивным перемешиванием. Это постоянное движение естественным образом перемешивает ванну, образуя более однородную смесь, и способствует легированию.Объем перемешивания определяется размером печи, мощностью, подаваемой на металл, частотой электромагнитного поля и типом / количеством металла в печи. При необходимости количество индукционного перемешивания в любой печи можно регулировать для специальных применений.

Индукционная вакуумная плавка

Поскольку индукционный нагрев осуществляется с помощью магнитного поля, заготовка (или нагрузка) может быть физически изолирована от индукционной катушки огнеупором или другой непроводящей средой.Магнитное поле будет проходить через этот материал, вызывая напряжение в находящейся внутри нагрузке. Это означает, что груз или заготовку можно нагревать в вакууме или в тщательно контролируемой атмосфере. Это позволяет обрабатывать химически активные металлы (Ti, Al), специальные сплавы, кремний, графит и другие чувствительные проводящие материалы.

Индукционный нагрев

В отличие от некоторых методов сжигания, индукционный нагрев точно регулируется независимо от размера партии. Изменение тока, напряжения и частоты через индукционную катушку приводит к точно настроенному инженерному нагреву, идеально подходящему для точных применений, таких как упрочнение, закалка и отпуск, отжиг и другие формы термообработки.Высокий уровень точности важен для таких критически важных приложений, как автомобилестроение, аэрокосмическая промышленность, волоконная оптика, соединение боеприпасов, закалка проволоки и отпуск пружинной проволоки. Индукционный нагрев хорошо подходит для специальных применений в металлах, включая титан, драгоценные металлы и современные композиты. Точный контроль нагрева, доступный с помощью индукции, не имеет себе равных. Кроме того, при использовании тех же принципов нагрева, что и при нагреве в вакуумных тиглях, индукционный нагрев может осуществляться в атмосфере для непрерывного использования. Например, светлый отжиг труб и труб из нержавеющей стали.

Высокочастотная индукционная сварка

Когда индукция осуществляется с использованием высокочастотного (HF) тока, возможна даже сварка. В этом приложении очень малая электрическая опорная глубина может быть достигнута с помощью высокочастотного тока. В этом случае металлическая полоса формируется непрерывно, а затем проходит через набор точно спроектированных валков, единственная цель которых — прижать кромки сформированной полосы друг к другу и создать сварной шов.Непосредственно перед тем, как сформированная полоса достигает комплекта валков, она проходит через индукционную катушку. В этом случае ток течет вниз по геометрической «форме», образованной краями полосы, а не только вокруг внешней части сформированного канала. По мере того как ток течет по краям ленты, они нагреваются до подходящей температуры сварки (ниже температуры плавления материала). Когда кромки прижимаются друг к другу, весь мусор, оксиды и другие примеси вытесняются, что приводит к образованию твердотельного кузнечного шва.

Будущее

С наступлением эпохи высокотехнологичных материалов, альтернативных источников энергии и необходимости расширения возможностей развивающихся стран уникальные возможности индукции предлагают инженерам и конструкторам будущего быстрый, эффективный и точный метод нагрева.

Индукция

Раздел 2.5 Введение

¶

Математическая индукция — это метод доказательства, мало чем отличающийся от прямого доказательства или доказательства от противоречия или комбинаторного доказательства.Другими словами, индукция — это стиль аргументации, который мы используем, чтобы убедить себя и других в том, что математическое утверждение всегда верно. Многие математические утверждения можно доказать, просто объяснив, что они означают. Другие очень трудно доказать — на самом деле есть относительно простые математические утверждения, которые еще никто не знает, как доказать. Чтобы облегчить поиск доказательств, важно знать некоторые стандартные стили аргументов. Индукция — один из таких стилей. Начнем с примера:

Подраздел Марки

¶

Расследуй! 22

Вам нужно отправить посылку по почте, но вы еще не знаете, сколько вам потребуется.У вас есть большой запас марок по 8 центов и марок по 5 центов. Какие именно почтовые расходы вы можете получить, используя эти марки? Какие суммы сделать невозможно?

Возможно, исследуя вышеупомянутую проблему, вы выбрали определенное количество почтовых расходов, а затем выяснили, сможете ли вы заработать эту сумму, используя только 8-центовые и 5-центовые марки. Возможно, вы сделали это по порядку: можно ли заработать 1 цент с почтовых расходов? Вы можете заработать 2 цента? 3 цента? И так далее. Если это то, что вы сделали, вы на самом деле отвечали на последовательность вопросов и вопросов.У нас есть методы работы с последовательностями. Посмотрим, поможет ли это.

Собственно, мы будем составлять не последовательность вопросов, а последовательность утверждений. Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «вы можете заработать \ (n \) центов почтовых расходов, используя только 8-центовые и 5-центовые марки». Поскольку каждое значение \ (n \ text {,} \) \ (P (n) \) является утверждением, оно либо истинно, либо ложно. Итак, если мы сформируем последовательность операторов

\ begin {уравнение *} P (1), P (2), P (3), P (4), \ ldots \ end {уравнение *}

последовательность будет состоять из \ (T \) (для истины) и \ (F \) (для ложного).В нашем конкретном случае последовательность начинается с

\ begin {уравнение *} F, F, F, F, T, F, F, T, F, F, T, F, F, T, \ ldots \ end {уравнение *}

, потому что \ (P (1), P (2), P (3), P (4) \) все ложны (вы не можете сделать 1, 2, 3 или 4 цента почтовых расходов), но \ (P (5 ) \) верно (используйте одну марку в 5 центов) и так далее.

Давайте немного подумаем, как мы можем найти значение \ (P (n) \) для некоторого конкретного \ (n \) («значение» будет либо \ (T \), либо \ (F \)). Как мы нашли значение \ (n \) -го члена последовательности чисел? Как мы нашли \ (a_n \ text {?} \). Это можно было сделать двумя способами: либо существовала закрытая формула для \ (a_n \ text {,} \), чтобы мы могли вставить \ (n \) в формулу и получаем наше выходное значение, или у нас было рекурсивное определение последовательности, поэтому мы могли использовать предыдущие члены последовательности для вычисления \ (n \) -го члена.Имея дело с последовательностями операторов, мы также можем использовать любой из этих методов. Может быть, есть способ использовать сам \ (n \), чтобы определить, можем ли мы заработать \ (n \) центов за пересылку по почте. Это было бы что-то вроде закрытой формулы. Или вместо этого мы могли бы использовать предыдущие термины в последовательности (утверждений), чтобы определить, можем ли мы сделать \ (n \) центов почтовых расходов. То есть, если мы знаем значение \ (P (n-1) \ text {,} \), можем ли мы получить от него значение \ (P (n) \ text {?} \) Это будет что-то как рекурсивное определение последовательности.Помните, что поиск рекурсивных определений последовательностей часто бывает проще, чем поиск закрытых формул. То же самое и здесь.

Предположим, я сказал вам, что \ (P (43) \) было правдой (это так). Можете ли вы определить из этого факта значение \ (P (44) \) (истинно оно или ложно)? Да, ты можешь. Даже если мы не знаем, как именно мы заработали 43 цента на 5- и 8-центовых марках, мы знаем, что каким-то образом это можно было сделать. Что, если бы таким образом использовали как минимум три марки по 5 центов (что составляет 15 центов)? Мы могли бы заменить эти три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов (что составляет 16 центов).Общие почтовые расходы увеличились на 1, так что у нас есть способ заработать 44 цента, так что \ (P (44) \) верно. Конечно, мы предполагали, что у нас есть не менее трех 5-центовых марок. Что, если мы этого не сделаем? Тогда у нас должно быть не менее трех марок по 8 центов (что составляет 24 цента). Если мы заменим эти три марки по 8 центов пятью марками по 5 центов (что составляет 25 центов), мы снова увеличим нашу общую сумму на 1 цент, так что мы можем получить 44 цента, так что \ (P (44) \) истинно.

Обратите внимание, что мы не сказали, как заработать 44 цента, просто мы можем, исходя из того, что мы можем заработать 43 цента.Как мы узнаем, что можем заработать 43 цента? Возможно, потому что мы знаем, что можем заработать \ (42 \) цента, а мы знаем, что можем сделать, потому что знаем, что можем заработать 41 цент, и так далее. Это рекурсия! Как и в случае с рекурсивным определением числовой последовательности, мы должны указать наше начальное значение. В этом случае начальное значение — «\ (P (1) \) ложно». Это нехорошо, поскольку наше рекуррентное соотношение просто говорит, что \ (P (k + 1) \) истинно , если \ (P (k) \) также истинно. Нам нужно начать процесс с истинного \ (P (k) \ text {.} \) Так что вместо этого мы могли бы использовать «\ (P (31) \) истинно» в качестве начального условия.

Собирая все это вместе, мы приходим к следующему факту: можно (точно) произвести любую сумму почтовых расходов, превышающую 27 центов, используя только 5-центовые и 8-центовые марки. Другими словами, \ (P (k) \) истинно для любого \ (k \ ge 28 \ text {.} \). Чтобы доказать это, мы могли бы сделать следующее:

1. Продемонстрируйте, что \ (P (28) \) верно.

2. Докажите, что если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) истинно (для любого \ (k \ ge 28 \)).

Допустим, мы это сделали. Тогда мы знаем, что 28-й член приведенной выше последовательности — это \ (T \) (с использованием шага 1, начального условия или базового случая ), и что каждый член после 28-го также является \ (T \) (используя шаг 2, рекурсивная часть или индуктивный корпус ). Вот как могло бы выглядеть доказательство.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «можно сделать ровно \ (n \) центов почтовых расходов, используя 5-центовые и 8-центовые марки.”Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Сначала мы покажем, что \ (P (28) \) истинно: \ (28 = 4 \ cdot 5+ 1 \ cdot 8 \ text {,} \), поэтому мы можем получить \ (28 \) центов, используя четыре 5 марки и одну марку 8 центов.

Теперь предположим, что \ (P (k) \) верно для некоторого произвольного \ (k \ ge 28 \ text {.} \). Тогда можно сделать \ (k \) центов, используя 5-центовые и 8-центовые марки. . Обратите внимание, что, поскольку \ (k \ ge 28 \ text {,} \) не может быть, чтобы мы использовали менее трех марок по 5 центов и менее трех марок по 8 центов: использование двух марок каждой из них даст только 26 центов.Теперь, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 5 центов, замените три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов. Это заменяет 15 центов почтовых расходов на 16 центов, с переходом с \ (k \) центов на \ (k + 1 \) центов. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. С другой стороны, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 8 центов, то мы можем заменить три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов, переместившись с 24 центов на 25 центов, давая всего \ (k + 1 \) центов почтовых расходов. Так что и в этом случае \ (P (k + 1) \) верно.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Подраздел Формирование доказательств

¶

То, что мы сделали в приведенном выше примере штампа, работает для многих типов проблем. Доказательство по индукции полезно при попытке доказать утверждения обо всех натуральных числах или всех натуральных числах, превышающих некоторый фиксированный первый случай (например, 28 в приведенном выше примере), а также в некоторых других ситуациях. В частности, индукцию следует использовать, когда есть способ перейти от одного дела к другому — когда вы можете видеть, как всегда «делать еще один».”

Это большая идея. Индуктивное размышление над проблемой может дать новое понимание проблемы. Например, чтобы по-настоящему понять проблему с маркой, вы должны подумать о том, как может быть произведена любая сумма почтовых расходов (более 28 центов) (это неиндуктивное рассуждение), а также о том, как могут быть произведены почтовые расходы изменения по мере увеличения суммы (индуктивное рассуждение). Когда вас просят предоставить доказательство по индукции, вас просят подумать о проблеме динамически ; как увеличение \ (n \) меняет проблему?

Но у доказательств по индукции есть и другая сторона.В математике недостаточно понимать проблему, вы также должны уметь сообщить о проблеме другим. Как и любая дисциплина, математика имеет стандартный язык и стиль, что позволяет математикам эффективно делиться своими идеями. Доказательства по индукции имеют определенный формальный стиль, и очень важно уметь писать в этом стиле. Это позволяет нам систематизировать наши идеи и может даже помочь нам сформулировать доказательство.

Вот общая структура доказательства математической индукцией:

Индукционная конструкция

Для начала скажите, какое утверждение вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Чтобы доказать, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 0 \ text {,} \) вы должны доказать два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) верно.Вы делаете это напрямую. Часто это легко.

2. Индуктивный случай: докажите, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для всех \ (k \ ge 0 \ text {.} \). То есть докажите, что для любого \ (k \ ge 0 \) если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) также истинно. Это доказательство утверждения if… then…, поэтому вы можете предположить, что \ (P (k) \) истинно (\ (P (k) \) называется индуктивной гипотезой , ). Затем вы должны объяснить, почему \ (P (k + 1) \) также верно с учетом этого предположения.

Предполагая, что вы успешно справились с обеими вышеуказанными частями, вы можете сделать вывод: «Следовательно, по принципу математической индукции утверждение \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \) ”

Иногда утверждение \ (P (n) \) будет истинным только для значений \ (n \ ge 4 \ text {,} \), например, или некоторого другого значения. В таких случаях замените все 0, указанные выше, на 4 (или другое значение).

Другое преимущество формализации индуктивных доказательств состоит в том, что это позволяет нам проверить, верна ли логика, лежащая в основе этого стиля аргументации. Почему работает индукция? Представьте себе ряд домино, стоящих на краях. Мы хотим возразить, что через минуту все костяшки домино упадут.Для этого вам нужно будет толкнуть первое домино. Это базовый вариант. Также должно быть, чтобы домино было достаточно близко друг к другу, чтобы при падении какого-либо конкретного домино выпало следующее домино. Это индуктивный случай. Если оба этих условия выполнены, вы толкаете первое домино, и каждое домино вызывает падение следующего, тогда все домино упадут.

Индукция — это мощно! Подумайте, насколько легче опрокидывать домино, если не нужно самому толкать каждое домино.Вы просто запускаете цепную реакцию, и полагаетесь на относительную близость домино, чтобы позаботиться обо всем остальном.

Подумайте о нашем исследовании последовательностей. Для последовательностей легче найти рекурсивные определения, чем закрытые формулы. Переходить от одного дела к другому легче, чем сразу к конкретному делу. Вот что так хорошо в индукции. Вместо того, чтобы переходить непосредственно к (произвольному) случаю для \ (n \ text {,} \), нам просто нужно сказать, как перейти от одного случая к другому.

Когда вас просят доказать утверждение с помощью математической индукции, вы должны сначала подумать о , почему утверждение истинно, используя индуктивные рассуждения.Объясните, почему индукция — это правильно, и примерно почему индуктивный случай будет работать. Затем сядьте и напишите аккуратное формальное доказательство, используя приведенную выше структуру.

Подраздел Примеры

¶

Вот несколько примеров доказательства с помощью математической индукции.

Пример2.5.1

Докажите для каждого натурального числа \ (n \ ge 1 \), что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Во-первых, давайте индуктивно подумаем об этом уравнении.На самом деле, мы знаем, что это правда, по другим причинам (на ум приходит обратное и сложение). Но почему может применяться индукция? Левая часть складывает числа от 1 до \ (n \ text {.} \). Если бы мы знали, как это сделать, добавить еще один член (\ (n + 1 \)) было бы не так сложно. Например, если \ (n = 100 \ text {,} \) предположим, что мы знаем, что сумма первых 100 чисел равна \ (5050 \) (поэтому \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 = 5050 \ текст {,} \), что верно). Теперь, чтобы найти сумму первых 101 числа, имеет смысл просто прибавить 101 к 5050, вместо того, чтобы заново вычислять всю сумму.У нас было бы \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 + 101 = 5050 + 101 = 5151 \ text {.} \) На самом деле всегда было бы легко добавить еще один член. Вот почему мы должны использовать индукцию.

Теперь формальное доказательство:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 2)} {2} \ text {.} \) Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (1) \) — это утверждение \ (1 = \ frac {1 (1 + 1)} {2} \), которое явно верно.

Индуктивный случай: пусть \ (k \ ge 1 \) — натуральное число. Предположим (для индукции), что \ (P (k) \) истинно. Это означает \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k = \ frac {k (k + 1)} {2} \ text {.} \). Мы докажем, что \ (P (k + 1) \) является правда тоже. То есть мы должны доказать, что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} \ text {.} \) Чтобы доказать это уравнение, начните с добавления \ (k + 1 \) к обеим сторонам индуктивной гипотезы:

\ begin {уравнение *} 1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {k (k + 1)} {2} + (k + 1). \ end {уравнение *}

Теперь, упрощая правую часть, получаем:

\ begin {align *} \ frac {k (k + 1)} {2} + k + 1 \ amp = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ frac {2 (k + 1)} {2} \\ \ amp = \ frac {k (k + 1) + 2 (k + 1)} {2} \\ \ amp = \ frac {(k + 2) (k + 1)} {2}.\ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) истинно, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Обратите внимание, что в той части доказательства, где мы доказали \ (P (k + 1) \) из \ (P (k) \ text {,} \), мы использовали уравнение \ (P (k) \ text { .} \) Это была индуктивная гипотеза. Увидеть, как использовать индуктивные гипотезы, обычно просто при доказательстве факта о такой сумме. В других доказательствах это может быть менее очевидно, где оно подходит.

Пример 2.2 \) на единицу больше, чем 5). Как выглядят числа, которые на единицу больше, чем кратные 5? У них должна быть последняя цифра 1 или 6. Что произойдет, если вы умножите такое число на 6? Зависит от числа, но в любом случае последняя цифра нового числа должна быть 6. А затем, если вы вычесть 1, вы получите последнюю цифру 5, то есть кратное 5.

Дело в том, что каждый раз, когда мы умножаем еще на одну шестерку, мы все равно получаем число с последней цифрой 6, поэтому вычитание 1 дает нам число, кратное 5.{k + 1} \ text {,} \) другими словами, \ (P (k + 1) \ text {.} \) Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для все \ (n \ ge 5 \ text {.} \)

Предыдущий пример может напомнить вам принцип ипподрома из исчисления, который гласит, что если \ (f (a) \ lt g (a) \ text {,} \) и \ (f ‘(x) \ lt g ‘(x) \) для \ (x> a \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt g (x) \) для \ (x> a \ text {.} \) Та же идея: большая функция увеличивается с большей скоростью, чем меньшая функция, поэтому большая функция останется большей.В дискретной математике у нас нет производных, поэтому мы смотрим на различия. Таким образом, индукция — это правильный путь.

Предупреждение:

С большой мощностью приходит большая ответственность. Индукция — это не волшебство. Возможность предположить, что \ (P (k) \) истинна, кажется очень сильной. В конце концов, мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) истинно, и единственная разница заключается в переменной: \ (k \) vs. \ (n \ text {.} \). Предполагаем ли мы, что то, что мы хотите доказать верно? На самом деле, нет. Мы предполагаем, что \ (P (k) \) истинно только ради доказательства того, что \ (P (k + 1) \) истинно.

Тем не менее вы можете начать верить, что с помощью индукции можно доказать что угодно. Рассмотрим это неверное «доказательство» того, что у всех канадцев один и тот же цвет глаз: Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что все \ (n \) канадцы имеют одинаковый цвет глаз. \ (P (1) \) верно, поскольку у всех такой же цвет глаз, как и у них самих. Теперь предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть предположим, что в любой группе \ (k \) канадцев у всех одинаковый цвет глаз. Теперь рассмотрим произвольную группу \ (k + 1 \) канадцев. У первых \ (k \) из них должен быть один и тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно.Кроме того, последний \ (k \) из них должен иметь тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно. Фактически, у всех в группе должен быть один и тот же цвет глаз. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. Итак, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \)

Очевидно, что-то пошло не так. Проблема в том, что доказательство того, что \ (P (k) \) влечет \ (P (k + 1) \), предполагает, что \ (k \ ge 2 \ text {.} \) Мы показали только \ (P (1 )\) правда. На самом деле \ (P (2) \) ложно.

Подраздел Сильная индукция

¶

Расследуй! 23

Начните с квадратного листа бумаги.Вы хотите разрезать этот квадрат на более мелкие квадраты, не оставляя мусора (каждый листок бумаги, который вы получите, должен быть квадратом). Очевидно, что квадрат можно разрезать на 4 квадрата. Вы также можете разрезать его на 9 квадратов. Оказывается, квадрат можно разрезать на 7 квадратов (хотя и не все одинакового размера). Какое еще количество квадратов могло бы получиться?

Иногда, чтобы доказать, что \ (P (k + 1) \) истинно, было бы полезно знать, что \ (P (k) \) и \ (P (k-1) \) и \ (P (k-2) \) все верно.Рассмотрим следующую загадку:

У вас есть прямоугольная плитка шоколада, состоящая из \ (n \) одинаковых квадратов шоколада. Вы можете взять такую ​​планку и разбить ее по любому ряду или столбцу. Сколько раз вам придется ломать плитку, чтобы уменьшить ее до \ (n \) кусочков шоколада?

Поначалу этот вопрос может показаться невозможным. Возможно, я хотел попросить наименьшее количество необходимых перерывов ? Давайте разбираться.

Начнем с небольших случаев.Если \ (n = 2 \ text {,} \), у вас должен быть прямоугольник \ (1 \ times 2 \), который можно уменьшить до отдельных частей за один разрыв. С \ (n = 3 \ text {,} \) у нас должен быть столбик \ (1 \ times 3 \), для которого требуется два разрыва: первый разрыв создает один квадрат и столбик \ (1 \ times 2 \). , который, как мы знаем, занимает один (более) перерыв.

А как насчет \ (n = 4 \ text {?} \) Теперь у нас может быть полоса \ (2 \ times 2 \) или полоса \ (1 \ times 4 \). В первом случае разбейте столбик на два \ (2 \ times 2 \) столбца, для каждого из которых требуется еще один разрыв (всего требуется три разрыва).Если мы начали с бара \ (1 \ times 4 \), у нас есть выбор для нашего первого перерыва. Мы могли бы разбить планку пополам, создав две полосы \ (1 \ times 2 \), или мы можем сломать один квадрат, оставив полосу \ (1 \ times 3 \). Но в любом случае нам нужно еще два перерыва, а всего три.

Это начинает выглядеть так, как будто независимо от того, как мы ломаем планку (и как бы квадраты \ (n \) не выстраивались в прямоугольник), у нас всегда будет одинаковое количество необходимых разрывов. Также похоже, что это число на единицу меньше, чем \ (n \ text {:} \)

Гипотеза 2.5,4

Для \ (n \) квадратной прямоугольной плитки шоколада всегда требуется \ (n-1 \) разрывов, чтобы уменьшить плитку до отдельных квадратов.

Имеет смысл доказать это индукцией, потому что, сломав плитку один раз, у вас останется плиток меньшего размера и плиток шоколада. Сведение к меньшим случаям — вот что такое индукция. Мы можем индуктивно предположить, что уже знаем, как обращаться с этими меньшими барами. Проблема в том, что если мы пытаемся доказать индуктивный случай с \ ((k + 1) \) — квадратным стержнем, мы не знаем, что после первого разрыва на оставшемся баре будет \ (k \) квадратов.Поэтому нам действительно нужно предположить, что наша гипотеза верна для всех случаев, меньших чем \ (k + 1 \ text {.} \)

Верно ли это более сильное предположение? Помните, по индукции мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \). Что, если бы это было не так? Тогда будет некоторый первый \ (n_0 \), для которого \ (P (n_0) \) было ложным. Поскольку \ (n_0 \) является первым контрпримером , мы знаем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ lt n_0 \ text {.} \). Теперь мы переходим к доказательству того, что \ (P (n_0) \) действительно верно, основываясь на предположении, что \ (P (n) \) верно для всех меньших \ (n \ text {.} \)

Это большое преимущество: теперь у нас есть более сильная индуктивная гипотеза. Можно считать, что \ (P (1) \ text {,} \) \ (P (2) \ text {,} \) \ (P (3) \ text {,} \)… \ (P (k) \) верно, просто чтобы показать, что \ (P (k + 1) \) верно. Ранее для этой цели мы просто предполагали \ (P (k) \).

Будет немного проще, если мы изменим наши переменные на сильную индукцию. Вот как могло бы выглядеть формальное доказательство:

Прочная конструкция для защиты от индукции

Опять же, начните с того, что вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Затем установите два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) верно.

2. Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Докажите, что \ (P (n) \) верно.

Сделайте вывод: «Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ gt 0 \ text {.} \)»

Конечно, можно заменить 0 на при необходимости более крупный базовый вариант.

Докажем нашу догадку о загадке плитки шоколада:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, «требуется \ (n-1 \) перерывов, чтобы уменьшить \ (n \) — квадратную плитку шоколада до отдельных квадратов.”

Базовый случай: рассмотрим \ (P (2) \ text {.} \) Квадраты должны быть расположены в прямоугольник \ (1 \ times 2 \), и нам нужны \ (2-1 = 1 \) разрывы, чтобы уменьшить это на отдельные квадраты.

Индуктивный случай: зафиксируйте произвольный \ (n \ ge 2 \) и предположите, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Рассмотрим \ (n \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада. Разорвите полосу один раз вдоль любой строки или столбца. В результате получается две плитки шоколада, скажем, размеров \ (a \) и \ (b \ text {.} \). То есть у нас есть \ (a \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада, a \ (b \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада и \ (a + b = n \ text {.} \)

Мы также знаем, что \ (a \ lt n \) и \ (b \ lt n \ text {,} \), поэтому по нашей индуктивной гипотезе \ (P (a) \) и \ (P (b) \) верны. Чтобы уменьшить полосу \ (a \) — sqaure до отдельных квадратов, требуется \ (a-1 \) разрыв; чтобы уменьшить \ (b \) — квадратную полосу до отдельных квадратов, требуется \ (b-1 \) перерыв. В результате наша исходная полоса уменьшится до отдельных квадратов. Все вместе это взяло начальный перерыв, плюс перерывы \ (a-1 \) и \ (b-1 \), в общей сложности \ (1 + a-1 + b-1 = a + b-1 = n -1 \) ломается. Таким образом, \ (P (n) \) верно.

Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Вот более математически значимый пример:

Пример2.5.5

Докажите, что любое натуральное число больше 1 либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел.

Решение

Во-первых, идея: если мы возьмем какое-то число \ (n \ text {,} \), возможно, оно будет простым. Если так, то все готово. Если нет, то оно составное, то есть произведение двух меньших чисел. Каждый из этих факторов меньше, чем \ (n \) (но не менее 2), поэтому мы можем повторить рассуждение с этими числами.Мы свели к меньшему случаю.

Теперь формальное доказательство:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «\ (n \) либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел». Мы докажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (2) \) верно, потому что \ (2 \) действительно простое число.

Индуктивный случай: предположим, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Мы хотим показать, что \ (P (n) \) истинно. То есть мы хотим показать, что \ (n \) либо простое, либо произведение простых чисел.Если \ (n \) простое число, все готово. Если нет, то \ (n \) имеет более двух делителей, поэтому мы можем записать \ (n = m_1 \ cdot m_2 \ text {,} \) с \ (m_1 \) и \ (m_2 \) меньше \ ( п \) (и больше 1). По предположению индукции, \ (m_1 \) и \ (m_2 \) либо простые, либо могут быть записаны как произведение простых чисел. В любом случае \ (n \) записывается как произведение простых чисел.

Таким образом, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Используете ли вы обычную индукцию или сильную индукцию, зависит от утверждения, которое вы хотите доказать.Если вы хотите быть в безопасности, вы всегда можете использовать сильную индукцию. Это действительно сильнее , так что может сделать все, что «слабая» индукция. Тем не менее, использовать регулярную индукцию часто проще, поскольку есть только одно место, где вы можете использовать гипотезу индукции. Также есть что сказать о elegance в пруфах. Если вы можете доказать утверждение, используя более простые инструменты, это будет хорошо.

В качестве последнего контраста между двумя формами индукции рассмотрим еще раз проблему штампа.Регулярная индукция работала, показывая, как увеличить почтовые расходы на один цент (либо заменяя три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов, либо три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов). Мы могли бы дать несколько иное доказательство, используя сильную индукцию. Во-первых, мы могли бы показать пять базовых случаев : можно получить 28, 29, 30, 31 и 32 цента (мы бы фактически сказали, как создается каждый из них). Теперь предположим, что можно сделать \ (k \) центов почтовых расходов для всех \ (k \ lt n \) до тех пор, пока \ (k \ ge 28 \ text {.2 \ amp \ text {по факторингу} \ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) выполняется, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

4

Докажите, что \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи.

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \ text {.} \). Мы покажем, что \ ( P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \) Во-первых, базовый случай прост, потому что \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \), поэтому \ (F_0 = F_1 — 1 \ text {.} \) Теперь рассмотрим индуктивный случай. Предположим, что \ (P (k) \) истинно, то есть предположим \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k} = F_ {2k + 1} — 1 \ text {.} \), Чтобы установить \ (P (k + 1) \) работаем слева направо:

\ begin {align *} F_0 + F_2 + \ cdots + F_ {2k} + F_ {2k + 2} ~ \ amp = F_ {2k + 1} — 1 + F_ {2k + 2} \ amp \ text {по инд. hyp.} \\ \ amp = F_ {2k + 1} + F_ {2k + 2} — 1 \ amp \\ \ amp = F_ {2k + 3} — 1 \ amp \ text {по рекурсивному определению} \ end {выровнять *}

Следовательно, \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k + 2} = F_ {2k + 3} — 1 \ text {,} \), то есть \ (P (k + 1) \) выполняется .{k + 1} \ lt (k + 1)! \), поэтому мы установили \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) равно верно для всех \ (n \ ge 4 \ text {.} \)

6

Докажите математической индукцией, что \ (F_0 + F_1 + F_2 + \ cdots + F_ {n} = F_ {n + 2} — 1 \ text {,} \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи (\ (F_0 = 0 \ text {,} \) \ (F_1 = 1 \) и \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \)).

7

Зомби Эйлер и Зомби Коши, два известных математика-зомби, только что зарегистрировались в Твиттере.Через день у Зомби Коши больше последователей, чем у Зомби Эйлера. Каждый день после этого количество новых последователей Зомби Коши точно такое же, как количество новых последователей Зомби Эйлера (и ни один из них не теряет последователей). Объясните, как доказательство с помощью математической индукции может показать, что каждый день после первого дня у Зомби Коши будет больше последователей, чем у Зомби Эйлера. То есть объясните, что такое базовый случай и индуктивный случай, и почему они вместе доказывают, что у Зомби Коши будет больше последователей на 4-й день.2 = \ гидроразрыва {n (n + 1) (2n + 1)} {6} \ end {уравнение *}

10

Что не так со следующим «доказательством» того «факта», что \ (n + 3 = n + 7 \) для всех значений \ (n \) (помимо, конечно, того, что оно претендует на доказательство, ложно )?

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что \ (n + 3 = n + 7 \ text {.} \). Мы докажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Предположим для индукции, что \ (P (k) \) верно. То есть \ (k + 3 = k + 7 \ text {.} \) Мы должны показать, что \ (P (k + 1) \) истинно.Теперь, поскольку \ (k + 3 = k + 7 \ text {,} \) прибавьте 1 к обеим сторонам. Это дает \ (k + 3 + 1 = k + 7 + 1 \ text {.} \) Перегруппировка \ ((k + 1) + 3 = (k + 1) + 7 \ text {.} \) Но это просто \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Решение

Единственная проблема в том, что мы никогда не устанавливали базовый вариант. Конечно, когда \ (n = 0 \ text {,} \) \ (0 + 3 \ ne 0 + 7 \ text {.} \)

11

Доказательство в предыдущей задаче не работает. Но если мы изменим «факт», мы сможем получить работающее доказательство.Докажите, что \ (n + 3 \ lt n + 7 \) для всех значений \ (n \ in \ N \ text {.} \). Это доказательство можно провести с помощью алгебры (без индукции), но цель этого упражнения состоит в том, чтобы выписать верное индукционное доказательство.

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что \ (n + 3 \ lt n + 7 \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Во-первых, обратите внимание, что выполняется базовый случай: \ (0 + 3 \ lt 0 + 7 \ text {.} \) Теперь предположим для индукции, что \ (P (k) \) правда. То есть \ (k + 3 \ lt k + 7 \ text {.} \) Мы должны показать, что \ (P (k + 1) \) истинно. Теперь, поскольку \ (k + 3 \ lt k + 7 \ text {,} \) прибавьте 1 к обеим сторонам. Это дает \ (k + 3 + 1 \ lt k + 7 + 1 \ text {.} \) Перегруппировка \ ((k + 1) + 3 \ lt (k + 1) + 7 \ text {.} \) Но это просто \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \ )

12

Найдите изъян в следующем «доказательстве» того «факта», что \ (n \ lt 100 \) для каждого \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (n \ lt 100 \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Сначала мы установим базовый случай: когда \ (n = 0 \ text {,} \) \ (P (n) \) верно, потому что \ (0 \ lt 100 \ text {.} \) Теперь для индуктивного шага предположим, что \ (P (k) \) верно. То есть \ (k \ lt 100 \ text {.} \) Теперь, если \ (k \ lt 100 \ text {,} \), то \ (k \) — это какое-то число, например 80. Конечно \ (80+ 1 = 81 \), что по-прежнему меньше 100. Итак, \ (k +1 \ lt 100 \) тоже. Но это то, что утверждает \ (P (k + 1) \), поэтому мы показали, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Решение

Проблема здесь в том, что пока \ (P (0) \) истинно, а пока \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для , некоторые значений \ (k \ text {, } \) существует хотя бы одно значение \ (k \) (а именно \ (k = 99 \)), когда эта импликация не выполняется. Для правильного доказательства по индукции \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) должно быть истинным для всех значений \ (k \), больших или равных базовому случаю.

13

Хотя приведенное выше доказательство не работает (лучше, поскольку утверждение, которое оно пытается доказать, ложно!), Мы можем доказать нечто подобное.Докажите, что существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, a_3, \ ldots \) ​​чисел (не обязательно целых) такая, что \ (a_n \ lt 100 \) для всех \ (n \ in \ N \ text {. } \) (Под строго возрастающим мы подразумеваем \ (a_n \ lt a_ {n + 1} \) для всех \ (n \ text {.} \), Поэтому каждый член должен быть больше предыдущего.)

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, \ ldots, a_n \) с \ (a_n \ lt 100 \ text {.} \)». Мы докажем \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \) Сначала мы устанавливаем базовый случай: \ (P (1) \) говорит, что существует единственное число \ (a_1 \) с \ (a_1 \ lt 100 \ text {.} \) Это правда — возьмите \ ( a_1 = 0 \ text {.} \) Теперь для индуктивного шага предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, a_3, \ ldots, a_k \) с \ (a_k \ lt 100 \ text {.} \). Теперь рассмотрим эту последовательность плюс еще один член \ (a_ { k + 1} \), которое больше \ (a_k \), но меньше \ (100 \ text {.} \) Такое число существует, например, среднее между \ (a_k \) и 100.2 + n \) четно ».

16

Докажите, что существует последовательность положительных действительных чисел \ (a_0, a_1, a_2, \ ldots \) ​​такая, что частичная сумма \ (a_0 + a_1 + a_2 + \ cdots + a_n \) строго меньше, чем \ (2 \ ) для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Подсказка: подумайте, как вы могли бы определить, что такое \ (a_ {k + 1} \), чтобы заставить работать аргумент индукции.

Решение

Идея состоит в том, чтобы определить последовательность так, чтобы \ (a_n \) было меньше расстояния между предыдущей частичной суммой и 2. Таким образом, когда вы добавляете ее в следующую частичную сумму, частичная сумма все равно меньше 2.Вы можете сделать это заранее или использовать умный \ (P (n) \) в доказательстве индукции.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «существует последовательность положительных действительных чисел \ (a_0, a_1, a_2, \ ldots, a_n \) такая, что \ (a_0 + a_1 + a_2 + \ cdots + a_n \ lt 2 \ text {.} \) ”

Базовый случай: выберите любой \ (a_0 \ lt 2 \ text {.} \)

Индуктивный случай: Предположим, что \ (a_1 + a_2 + \ cdots + a_k \ lt 2 \ text {.} \) Теперь пусть \ (a_ {k + 1} = \ frac {2- a_1 + a_2 + \ cdots + a_k } {2} \ text {.} \) Затем \ (a_1 + a_2 + \ cdots + a_k + a_ {k + 1} \ lt 2 \ text {.} \)

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \)

17

Докажите, что каждое натуральное число является степенью двойки или может быть записано как сумма различных степеней 2.

Решение

Доказательство проводится с помощью сильной индукции.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «\ (n \) является либо степенью двойки, либо может быть записано как сумма различных степеней двойки». Мы покажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.x \) мы записали \ (n \) как сумму различных степеней 2.

Следовательно, по принципу (сильной) математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

18

Докажите, используя сильную индукцию, что каждое натуральное число является либо числом Фибоначчи, либо может быть записано как сумма различных чисел Фибоначчи .

19

Используйте индукцию, чтобы доказать, что если \ (n \) люди пожимают друг другу руки, общее количество рукопожатий равно \ (\ frac {n (n-1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Обратите внимание, мы уже доказали это без использования индукции, но индуктивный взгляд проливает свет на проблему (и это весело).

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «когда \ (n \) люди пожимают друг другу руки, в общей сложности происходит \ (\ frac {n (n-1)} {2} \) рукопожатий. . »

Базовый случай: Когда \ (n = 2 \ text {,} \) будет одно рукопожатие, и \ (\ frac {2 (2-1)} {2} = 1 \ text {.} \) Таким образом \ (P (2) \) верно.

Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для произвольного \ (k \ ge 2 \) (что количество рукопожатий среди \ (k \) людей равно \ (\ frac {k (k-1) } {2} \ text {.} \) Что произойдет, если появится \ (k + 1 \) -й человек? Сколько происходит новых рукопожатий? Новый человек должен обменяться рукопожатием со всеми присутствующими, то есть \ (k \) новых рукопожатий. Таким образом, общая сумма теперь равна \ (\ frac {k (k-1)} {2} + k = \ frac {(k + 1) k} {2} \ text {,} \) по мере необходимости.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

20

Предположим, что конкретное действительное число \ (x \) обладает тем свойством, что \ (x + \ frac {1} {x} \) является целым числом.к) + \ журнал (а) = к \ журнал (а) + \ журнал (а) \ end {уравнение *}

с последним равенством по индуктивной гипотезе. Но это упрощается до \ ((k + 1) \ log (a) \ text {,} \), устанавливающего \ (P (k + 1) \ text {.} \) Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

24

Пусть \ (f_1, f_2, \ ldots, f_n \) — дифференцируемые функции. Докажите с помощью индукции, что

\ begin {уравнение *} (f_1 + f_2 + \ cdots + f_n) ‘= f_1’ + f_2 ‘+ \ cdots + f_n’ \ end {уравнение *}

Вы можете принять \ ((f + g) ‘= f’ + g ‘\) для любых дифференцируемых функций \ (f \) и \ (g \ text {.} \)

Подсказка

Вы можете принять базовый вариант. В индуктивном случае сгруппируйте все функции, кроме последней, как одну сумму функций, затем примените обычное правило суммы производных, а затем индуктивную гипотезу.

25

Предположим, что \ (f_1, f_2, \ ldots, f_n \) — дифференцируемые функции. Используйте математическую индукцию, чтобы доказать обобщенное правило произведения:

\ begin {уравнение *} (f_1 f_2 f_3 \ cdots f_n) ‘= f_1’ f_2 f_3 \ cdots f_n + f_1 f_2 ‘f_3 \ cdots f_n + f_1 f_2 f_3’ \ cdots f_n + \ cdots + f_1 f_2 f_3 \ cdots f_n ‘ \ end {уравнение *}

Вы можете предположить, что правило продукта для двух функций верно.