Закрыть

Максимальный заряд конденсатора формула: Внеклассный урок — Конденсатор. Заряд, электрическая емкость, энергия электрического поля конденсатора

Содержание

Энергия поля конденсатора

При решении задач, связанных с определением энергии поля, важно помнить, что при отключении конденсатора от источника питания он сохраняет заряд, а если конденсатор остается подключенным к источнику, то напряжение будет постоянно.


Задача 1. Расстояние между пластинами плоского конденсатора уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменятся: заряд на пластинах, напряжение между пластинами, напряженность поля между пластинами и энергия конденсатора. Рассмотреть два случая: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения.

а) Если конденсатор отключен от питания, то он сохраняет заряд. Следовательно, в этом случае заряд не изменится. Емкость же вырастет вдвое, так как

   

Энергия

   

уменьшится вдвое (ведь емкость выросла).

Напряженность поля зависит только от заряда и поэтому тоже не изменится.

б) Если конденсатор подключен к источнику питания, то , и

   

– энергия увеличится вдвое. Так как емкость выросла вдвое, следовательно, вдвое вырос и заряд конденсатора. А это значит, что и напряженность поля также вдвое увеличится.

Задача 2. Заряженный конденсатор подключили параллельно к такому же, незаряженному. Во сколько раз изменилась энергия поля первого конденсатора?

При параллельном подключении заряд поделится между двумя конденсаторами поровну. Поэтому, так как

   

То энергия изменится в 4 раза:

   

 

Задача 3. Плотность энергии заряженного конденсатора Дж/м. С какой силой взаимодействуют обкладки конденсатора, если их площадь м?

Сила взаимодействия пластин:

   

Ответ: 3 Дж

Задача 4. Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным: объем диэлектрика м, относительная диэлектрическая проницаемость , напряженность поля в диэлектрике В/м.

   

Ответ: мДж.

Задача 5. Определить энергию, перешедшую в тепло при соединении конденсаторов одноименно заряженными обкладками. Емкость первого конденсатора мкФ, второго мкФ. Напряжение на первом конденсаторе до соединения В, а на втором – В.

Энергия первого конденсатора:

   

Второго:

   

А после соединения заряд перераспределится и поэтому энергия системы будет равна

   

Где . Заряд первого конденсатора

   

Заряд второго

   

Заряд обоих конденсаторов

   

Тогда энергия системы равна

   

Таким образом, выделившееся тепло равно

   

   

Ответ: 0,5 мДж

физика процессов и формула расчёта

Конденсатор — фундаментальный электронный компонент (наряду с резистором и катушкой индуктивности), предназначенный для накопления электрической энергии. Лучшей аналогией его работы будет сравнение с аккумуляторной батареей. Однако основой устройства последней являются обратимые химические реакции, а накопление заряда на обкладках конденсатора имеет исключительно электрическую природу.

Устройство и принцип работы

В простейшем варианте конструкция состоит из двух электродов в форме проводящих пластин (называемых обкладками), разделённых диэлектриком, толщина которого ничтожно мала по сравнению с размерами обкладок. Практически применяемые радиоэлектронные компоненты содержат много слоёв диэлектрика и электродов. В качестве обозначения конденсатора на схеме используются два параллельных отрезка с пространством между ними. Они символизируют металлические пластины обкладок физического прибора, электрически разделённые между собой.

Многие считают Майкла Фарадея автором изобретения, но на самом деле это не так. Но он сделал главное — продемонстрировал первые практические примеры и способы использования этого прибора для хранения электрического заряда в своих экспериментах. Благодаря Фарадею человечество получило способ измерять возможность накапливать заряд. Эта величина называется ёмкостью и измеряется в Фарадах.

Работу конденсатора можно проиллюстрировать на примере событий, проходящих во вспышке цифровой фотокамеры за отрезок времени между нажатием кнопки и тем моментом, когда вспышка погаснет. Основой электронной схемы этого осветительного устройства является конденсатор, в котором происходит следующее:

  • Зарядка. После нажатия кнопки поток электронов приходит в конденсатор и останавливается на одной из его пластин благодаря диэлектрику. Этот поток называется зарядным током.
  • Накопление. Поскольку под действием электродвижущей силы всё больше и больше электронов будут поступать на обкладку и распределяться по ней, отрицательный заряд обкладки может расти до момента, пока накопленный потенциал не будет отталкивать поступающий избыточный поток электронов. Вторая пластина из-за дефицита электронов приобретает положительный заряд, по модулю равный отрицательному на первой. Зарядный ток будет протекать до тех пор, пока напряжение на обеих пластинах не сравняется с приложенным. Сила или скорость тока зарядки будет находиться на максимальном уровне в момент, когда пластины полностью разряжены, и приблизится к нулю в момент, когда напряжение на обкладках и источнике будут равны.
  • Сохранение. Поскольку обкладки заряжены противоположно, ионы и электроны будут притягиваться друг к другу, но не смогут соединиться из-за диэлектрической прослойки, создавая электростатическое поле. Благодаря этому полю конденсатор удерживает и сохраняет заряд.
  • Разряд. Если в цепи появляется возможность для электронов протечь другим путём, то напряжение, накопленное между положительными и отрицательными зарядами обкладок, мгновенно реализуется в электрический ток, импульс которого в лампе вспышки преобразуется в световую энергию.

Таким образом в фотовспышке реализуется способность конденсатора накопить для импульса энергию из батареи питания. Аккумулятор фотокамеры также является устройством, накапливающим энергию, но из-за химической природы накопления генерирует и отдаёт её медленно.

Ёмкость, заряд и напряжение

Свойство конденсатора сохранять заряд на пластинах в виде электростатического поля называется ёмкостью. Чем больше площадь обкладок и меньше расстояние между ними, тем большее количество заряда они способны накопить и, соответственно, обладают большей ёмкостью. При подаче напряжения на конденсатор отношение заряда Q к напряжению V даст значение ёмкости С. Формула заряда конденсатора будет выглядеть так:

Q=C*V.

Мера электрической ёмкости — фарад (Ф). Эта единица всегда положительная и не имеет отрицательных значений. 1 Ф равен ёмкости конденсатора, который способен сохранить заряд в 1 кулон на пластинах с напряжением в 1 вольт.

Фарад — очень большая единица измерения, для удобства использования применяют в основном её дольные меры:

  • Микрофарад (мкФ): 1мкФ=1/1000000 Ф.
  • Нанофарад (нФ): 1нФ=1/1000000000 Ф.
  • Пикофарад (пФ): 1пФ=1/000000000000 Ф.

Значение диэлектрика

Кроме общего размера обкладок и расстояния между ними, существует ещё один параметр, влияющий на ёмкость — используемый тип изолятора. Фактор, по которому определяется способность диэлектрика повышать ёмкость конденсатора в сравнении с вакуумом, называется диэлектрической проницаемостью и описывается для разных материалов постоянной величиной от 1 и до бесконечности (теоретически):

  • вакуум: 1,0000;
  • воздух: 1,0006;
  • бумага: 2,5—3,5;
  • стекло: 3—10;
  • оксиды металлов 6—20;
  • электротехническая керамика: до 80.

Кроме конденсаторов с твёрдым диэлектриком (керамических, бумажных, плёночных) существуют также электролитические. В последних используют алюминиевые или танталовые пластины с оксидным изолирующим слоем в качестве одного электрода и раствор электролита в качестве другого.

Главные особенности этой конструкции состоят в том, что она позволяет накапливать сравнительно внушительный заряд при небольших габаритах и является полярным электрическим накопителем. То есть включается в электрическую цепь с соблюдением полярности.

Энергия, которую способны накопить большинство конденсаторов, обычно невелика — не больше сотен джоулей. К тому же она не сохраняется долго из-за неизбежной утечки заряда. Поэтому конденсаторы не могут заменить, например, аккумуляторные батареи в качестве источника питания. И хотя они способны эффективно выполнять только одну работу (сохранение заряда), их применение весьма многообразно в электрических цепях. Конденсаторы используются как фильтры, для сглаживания сетевого напряжения, в качестве устройств синхронизации и для других целей.

Время разряда конденсатора формула. Формулы для конденсаторов

Конденсатор – это элемент электрической цепи, который способен накапливать электрический заряд. Важной особенностью конденсатора является его свойство не только накапливать, но и отдавать заряд, причем практически мгновенно.

Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Эта особенность активно используется в различных фильтрах, стабилизаторах, интегрирующих цепях, колебательных контурах и тд.

В том, что напряжение не может измениться мгновенно, можно убедиться из формулы

Если бы напряжение в момент коммутации изменилось скачком, это означало бы, что скорость изменения du/dt = ∞, чего в природе быть не может, так как потребовался бы источник бесконечной мощности.

Процесс заряда конденсатора

На схеме представлена RC – цепь (интегрирующая), запитанная от постоянного источника питания. При замыкании ключа в положение 1 происходит заряд конденсатора. Ток проходит по цепи: “плюс ” источника – резистор – конденсатор - “минус” источника.

Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по экспоненциальному закону. Ток, протекающий через конденсатор, также изменяется по экспоненте. Причем эти изменения взаимообратны, чем больше напряжение, тем меньше ток, протекающий через конденсатор. Когда напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника, процесс заряда прекратится, и ток в цепи перестанет течь.

Теперь, если мы переключим ключ в положение 2, то ток потечет в обратную сторону, а именно по цепи: конденсатор – резистор – “минус” источника. Таким образом, конденсатор разрядится. Процесс будет носить также экспоненциальный характер.

Важной характеристикой данной цепи является произведение RC , которую еще называют постоянной времени τ . За время τ конденсатор заряжается или разряжается на 63%. За 5 τ конденсатор отдает или принимает заряд полностью.

От теории перейдем к практике. Возьмем конденсатор на 0,47 мкФ и резистор номиналом 10 КОм.

Рассчитаем примерное время, за которое должен зарядиться конденсатор.

Теперь соберем данную схему в multisim и попробуем промоделировать

Собранная схема, запитана от батареи 12 В. Меняя положение переключателя S1, мы сначала заряжаем, а затем разряжаем конденсатор через сопротивление R = 10 КОм. Для того чтобы увидеть наглядно работу схемы посмотрите видео ниже.

Конденсатор – элемент, способный накапливать электрическую энергию. Название происход

Схемы соединения конденсаторов — расчет емкости

Содержание:

  1. Последовательное соединение конденсаторов
  2. Параллельное соединение конденсаторов
  3. Смешанное соединение конденсаторов
  4. Пример расчета

В данной статье приведены различные схемы соединения конденсаторов, а так же формулы их расчета с примером.

  1. Последовательное соединение конденсаторов

Если условно разделить выводы каждого из конденсаторов на первый и второй выводы последовательное соединение конденсаторов будет выполняется следующим образом: второй вывод первого конденсатора соединяется с первым выводом второго конденсатора, второй вывод второго конденсатора, соединяется с первым выводом третьего и так далее. Таким образом мы получим группу (блок) последовательно соединенных конденсаторов с двумя свободными выводами — первым выводом первого конденсатора в блоке и вторым выводом последнего конденсатора, через которые данный конденсаторный блок и подключается в электрическую цепь.

Схема последовательного соединения конденсаторов будет иметь следующий вид:

Фактически последовательное соединение конденсаторов имеет следующий вид:

При данной схеме соединения заряды на конденсаторах будут одинаковы:

Qобщ=Q1=Q2=Q3

где: Q1, Q2, Q3 — соответственно заряд на первом, втором, третьем и т.д. конденсаторах

Напряжение на каждом конденсаторе при такой схеме зависит от его емкости:

U1=Q/C1; U2=Q/C2; U3=Q/C3, где:

  • U1, U2, U3 — соответственно напряжение на первом, втором, третьем конденсаторах
  • C1, C2, C3 — соответственно емкости первого, второго, третьего конденсаторов

При этом общее напряжение составит:

Uобщ=U1+U2+U3+…+Un

Рассчитать общую емкость конденсаторов при последовательном соединении можно по следующим формулам:

  • При последовательном соеди

Формула для вычисления энергии электрических полей конденсаторов

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

  • Как любой проводник, несущий заряд, конденсатор имеет энергию, которую находят по формуле:
  •    
  • где q – заряд конденсатора; C – емкость конденсатора; – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Связь энергии конденсатора и силы взаимодействия его пластин

Механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины плоского конденсатора взаимодействуют между собой можно найти, если использовать формулу (1). Допустим, что расстояние между пластинами конденсатора изменяют от x до . В таком случае, сила изменяющая расстояние между пластинами выполняет работу, равную:

  1.    
  2. При этом потенциальная энергия взаимодействия пластин уменьшается на:
  3.    
  4. Тогда силу, которая выполняет работу можно представить как:
  5.    
  6. Емкость плоского конденсатора равна:
  7.    
  8. Значит, формулу энергии плоского конденсатора запишем как:
  9.    
  10. Подставим в (4) выражение для энергии (6), получим:
  11. В выражении (7) минус показывает, что пластины конденсатора притягиваются друг к другу.

Энергия электростатического поля плоского конденсатора

  • Если вспомнить, что разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора равна:
  • где расстояние меду пластинами конденсатора мы обозначили d, и приняв во внимание, что для плоского конденсатора емкость определена выражением (5) тогда имеем:

где – объем конденсатора; E – напряженность поля конденсатора. Формула (9) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и напряженностью поля.

Примеры решения задач по теме «Энергия конденсатора»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-fizike/formula-energii-kondensatora/

Энергия конденсатора

Господа, всем приветище! Сегодня речь пойдет про энергию конденсаторов. Внимание, сейчас будет спойлер: конденсатор может накапливать в себе энергию. Причем иногда очень большую. Что? Это не спойлер, это и так было всем очевидно? Здорово если так! Тогда поехали в этом более подробно разбираться!

В прошлой статье мы пришли к выводу, что заряженный конденсатор, отсоединенный от источника напряжения, может сам в течении некоторого времени (пока не разрядится) давать некоторый ток. Например, через какой-то резистор. По закону Джоуля-Ленца если через резистор течет ток, то на нем выделяется тепло. Тепло – значит, энергия.

И берется эта самая энергия из конденсатора – больше, собственно, неоткуда. Значит, в конденсаторе может хранится некоторая энергия. Итак, физика процессов более-менее понятна, поэтому теперь давайте поговорим, как это все описать математически.

Потому что одно дело все описать на словах – это круто, замечательно, это должно быть, но в жизни часто надо что-то рассчитать и тут уже обычных слов не достаточно.

Для начала давайте вспомним определение работы из механики. Работа A силы F это произведение этой самой силы F на вектор перемещения s.

Полагаю, что механику вы изучали когда-то и это знаете . Страшные значки векторов нужны только в случае, если направление силы не совпадает с перемещением: вроде случая, когда сила тянет строго прямо, а перемещение идет под каким-то углом к силе. Такое бывает, например, когда груз перемещается по наклонной плоскости. Если же направление силы и перемещения совпадают, то можно смело отбросить вектора и просто перемножать силу на длину пути, получая таким образом работу:

  • Вспомним теперь статью про закон Кулона. Мы там получили замечательную формулу, которую сейчас самое время вспомнить:
  • То есть, если у нас есть электрическое поле с напряженностью Е и мы в него помещаем некоторый заряд q, то на этот заряд будет действовать сила F, которую можно рассчитать по этой формуле.

Нам никто не мешает подставить эту формулу в чуть выше написанную формулу для работы. И таким образом найти работу, которую совершает поле при перемещении в нем заряда q на расстояние s. Будем полагать, что мы перемещаем наш заряд q точно по направлению силовых линий поля.  Это позволяет использовать формулу работы без векторов:

Теперь, господа, внимание. Напоминаю одну важную штуку из той же механики. Есть такой особый класс сил, которые называются потенциальные.

Если говорить упрощенным языком, то для них верно утверждение, что если эта сила на каком-то отрезке пути совершила работу А, то это значит, что в начале этого пути у тела, над которым совершалась работа, энергия была на это самое А больше, чем в конце. То есть на сколько поработали, на столько и изменилась потенциальная энергия.

Работа потенциальных сил не зависит от траектрии и определяется только начальной и конечной точкой. А на замнкнутом пути она вообще равна нулю. Как раз-таки сила электрического поля относится к этому классу сил.

Вот мы помещаем наш зарядик q в поле. Он под действием этого поля перемещается на некоторое расстояние от точки С до точки D. Пусть для определенности в точке D энергия заряда будет равна 0. При этом перемещении поле совершает работу А. Из этого следует, что в начале пути (в точке C) наш зарядик обладал некоторой энергией W=A. То есть, мы можем записать

Теперь самое время рисовать картинки. Взглянем на рисунок 1. Это немного упрощенная иллюстрация физики процессов плоского конденсатора. Более полное мы рассматривали это в прошлый раз.

Рисунок 1 – Плоский конденсатор

Давайте теперь чуть-чуть искривим свое сознание и глянем на наш конденсатор по-другому, чем раньше. Давайте предположим, что у нас за основу взята, например, синяя пластина. Она создает некоторое поле с некоторой напряженностью. Безусловно, и красная пластина тоже создает поле, но в данный момент это не интересно.

Давайте смотреть на красную пластину, как на некоторый заряд +q, расположенный в поле синей пластины. И сейчас мы попробуем применить все вышеописанное к красной пластине как будто это и не пластина вовсе, а просто некоторый заряд +q. Вот так вот хитро.

Почему, собственно, нет? Возможно, вы скажите – как же так, раньше мы везде исходили из того, что заряды у нас точечные, а тут – целая большая пластина. Она как-то на точку не совсем тянет. Спокойствие, господа. Никто нам не мешает разбить красную пластину на огромную кучу маленьких частичек, каждую из которых можно считать точечным зарядом Δq.

Тогда уже можно без проблем применять все вышеописанное. И если мы выполним все расчеты сил, напряженностей, энергий и прочего для вот таких вот отдельных Δq и потом сложим результаты между собой, то получится, что мы зря так переусердствовали – результат будет ровно таким же, как если бы мы просто при расчетах брали заряд +q.

Кто хочет – может проверить, я только за . Однако мы будем сразу работать по упрощенной схеме. Хотелось бы только отметить, что это верно для случая, когда поле у нас однородно и заряды по всем пластинам распределены равномерно. В действительности это не всегда так, однако такое упрощение позволяет существенно облегчить все расчеты и избежать всяких градиентов и интегралов без существенного вреда для практики.

Итак, вернемся к рисунку 1. На нем показано, что между обкладками конденсатора существует поле с некоторой напряженностью Е. Но мы договорились сейчас разделить роли обкладок – синяя у нас источник поля, а красная – заряд в поле.

Какое же поле создает одна синяя обкладка отдельно от красной? Какова его напряженность? Очевидно, что она в два раза меньше общей напряженности.

Почема это так? Да потому, что если забыть про нашу абстракцию (типа красная пластина – и не пластина вовсе, а просто заряд), то в результирующую напряженность Е вносят одинаковый вклад обе обкладки – и красная, и синяя: каждая по Е/2. В результате суммы этих Е/2 как раз и получается та самая Е, которая у нас на картинке. Таким образом (отбрасывая вектора), можно записать

Теперь посчитаем, если можно так выразиться, потенциальную энергию красной обкладки в поле синей обкладки. Заряд мы знаем, напряженность мы знаем, расстояние между обкладками тоже знаем. Поэтому смело записываем

Идем дальше. На деле же никто не мешает поменять местами красную и синюю обкладки. Давайте рассуждать наоборот. Будем рассматривать теперь красную обкладку как источник поля, а синюю – как некоторый заряд –q в этом поле.

Думаю, даже без проведения расчета будет очевидно, что результат будет точно такой же. То есть энергия красной пластины в поле синей пластины равна энергии синей пластины в поле красной пластины. И, как вы возможно уже догадались, это и есть энергия конденсатора.

Да, вот по этой самой формуле можно произвести расчет энергии заряженного конденсатора:

Слышу, как мне уже кричат: стоп, стоп, опять ты втираешь мне какую-то дичь! Ну ладно, расстояние между пластинами я еще как-то смогу измерить.

Но меня почему-то опять заставляют считать заряд, что не понятно как сделать, да еще и напряженность надо знать, а чем я ее померяю?! Мультиметр вроде как не умеет это делать! Все верно, господа, сейчас мы займемся преобразованиями, которые позволят вам измерить энергию конденсатора всего лишь с применением обыкновенного мультиметра.

  1. Давайте сперва избавимся от напряженности. Для этого вспомним замечательную формулу, которая связывает напряженность с напряжение:
  2. Да, напряжение между двумя точками в поле равно произведению напряженности этого поля на расстояние между этими двумя точками. Итак, подставляя это полезнейшее выражение в формулу для энергии, получаем

Уже легче, напряженность ушла. Но остался еще заряд, который не понятно как мерить. Что бы от него избавиться, давайте вспомним формулу емкости конденсатора из предыдущей статьи:

Да, для тех, кто забыл, напоминаю, что емкость определяется как отношение этого злополучного заряда, накопленного конденсатором, к напряжению на конденсаторе. Давайте из этой формулы выразим заряд q и подставим его в формулу энергии конденсатора. Получаем

Вот это уже дельная формула, для энергии заряженного конденсатора! Если нам нужно узнать, какая энергия запасена в конденсаторе с емкостью С, заряженного до напряжения U, мы вполне можем это сделать по вот этой вот формуле.

Емкость С обычно пишется на самом конденсаторе или на его упаковке, а напряжение всегда можно измерить мультиметром. Из формулы видно, что энергии в конденсаторе тем больше, чем больше емкость самого конденсатора и напряжение на нем. Причем энергия растет прямо пропорционально квадрату напряжения. Это важно помнить.

Увеличение напряжения гораздо быстрее приведет к росту энергии, запасенной в конденсаторе, чем увеличение его емкости.

Для особых любителей зарядов можно из формулы определения емкости выразить не заряд, а напряжение и подставить его в формулу для энергии конденсатора. Таким образом, получаем еще одну формулу энергии

Используется эта формула довольно редко, а на практике вообще не припомню, что б по ней что-то считал, но раз она есть, то путь тут тоже будет для полноты картины. Самая ходовая формула – это средняя.

  • Давайте для интереса произведем некоторые расчеты. Пусть у нас есть вот такой вот конденсатор
  • Рисунок 2 – Конденсатор

И давайте мы его зарядим до напряжения, скажем, 8000 В. Какая энергия будет запасена в таком конденсаторе? Как мы видим из фотографии, емкость данного конденсатора составляет 130 мкФ. Теперь легко выполнить расчет энергии:

Много это или мало? Безусловно, не мало! Даже очень не мало! Скажем так, разрешенная энергия электрошокеров составляет какие-то там смешные единицы джоулей, а тут их тысячи! Принимая во внимание высокое напряжение (8кВ) можно смело утверждать, что для человека контакт с таким заряженным конденсатором скорее всего закончится очень и очень печально. Следует соблюдать особую осторожность при больших напряжениях и энергиях! У нас был случай, когда произошло короткое замыкание нескольких таких вот конденсаторов, соединенных параллельно и заряженных до нескольких киловольт. Господа, это было зрелище не для слабонервных! Бабахнуло так, что у меня потом в ушах пол дня звенело! А на стенах лаборатории осела медь от расплавленных проводов! Спешу успокоить, никто не пострадал, но это стало хорошим поводом дополнительно подумать над способами отвода такой гигантской энергии в случае нештатных ситуаций.

Кроме того, господа, важно всегда помнить, что конденсаторы блоков питания приборов тоже не могут мгновенно разрядиться после отключения прибора от сети, хотя там, безусловно, должно быть какие-то цепи, предназначенные для их разряда.

Но должны быть, это не значит, что они там точно есть . Поэтому в любом случае после отключения любого прибора от сети, прежде чем лезть к нему внутрь, лучше подождать пару минут для разряда всех кондеров.

И потом, после снятия крышки, прежде чем лапками хвататься за все подряд, следует сначала померить напряжение на силовых накопительных конденсаторах и при необходимости выполнить их принудительный разряд каким-нибудь резистором.

Можно, конечно, просто отверткой замкнуть их выводы, если емкости не слишком большие, но такое делать крайне не рекомендуется!

Итак, господа, сегодня мы познакомились с различными методами расчета энергии, запасенной в конденсаторе, а также обсудили, как эти расчеты можно выполнять на практике. На этом потихоньку закругляемся. Всем вам удачи, и до новых встреч!

Источник: http://myelectronix.ru/postoyannyy-tok/51-energiya-kondensatora

Чему равна энергия заряженного конденсатора

  • Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд равен а потенциал обкладки, на которой находится заряд , равен Тогда каждый из элементарных зарядов на которые можно разделить заряд находится в точке с потенциалом а каждый из зарядов, на которые можно разделить заряд , в точке с потенциалом .
  • Согласно формуле (28.1) энергия такой системы зарядов равна
  • Воспользовавшись соотношением (27.2), можно написать три выражения для энергии заряженного конденсатора:

Формулы (29.2) отличаются от формул (28.3) только заменой на

С помощью выражения для потенциальной энергии можно найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга. Допустим, что расстояние между пластинами может меняться. Свяжем начало оси х с левой пластиной (рис. 29.1). Тогда координата х второй пластины будет определять зазор d между обкладками. Согласно формулам (27.3) и (29.2)

Продифференцируем это выражение по х, полагая заряд на обкладках неизменным (конденсатор отключен от источника напряжения). В результате получим проекцию на ось х силы, действующей на правую пластину:

Модуль этого выражения дает величину силы, с которой обкладки притягивают друг друга:

Теперь попытаемся вычислить силу притяжения между обкладками плоского конденсатора как произведение напряженности поля, создаваемого одной из обкладок, на заряд, сосредоточенный на другой. Согласно формуле (14.3) напряженность поля, создаваемого одной обкладкой, равна

Диэлектрик ослабляет поле в зазоре в раз, но это имеет место только внутри диэлектрика (см. формулу (20.2) и связанный с нею текст). Заряды на обкладках располагаются вне диэлектрика и поэтому находятся под действием поля напряженности (29.4).

Умножив заряд обкладки q на эту напряженность, получим для силы выражение

Формулы (29.3) и (29.5) не совпадают. С опытом согласуется значение силы (29.3), получающееся из выражения для энергии. Это объясняется тем, что, кроме «электрической» силы (29.5), на обкладки действуют со стороны диэлектрика механические силы, стремящиеся их раздвинуть (см. § 22; отметим, что мы имеем в виду жидкий или газообразный диэлектрик).

У края обкладок имеется рассеянное поле, убывающее по величине при удалении от краев (рис. 29.2). Молекулы диэлектрика, обладая дипольным моментом, испытывают дйствие силы, втягивающей их в область более сильного поля (см. формулу (9.16)). В результате давление между обкладками повышается и появляется сила, ослабляющая действие силы (29.5) в раз.

Если заряженный конденсатор с воздушным зазором частично погрузить в жидкий диэлектрик, наблюдается втягивание диэлектрика в пространство между пластинами (рис. 29.3). Это явление объясняется следующим образом. -Диэлектрическая проницаемость воздуха практически равна единице.

Поэтому до погружения пластин в диэлектрик емкость конденсатора можно считать равной а энергию равной При частичном заполнении зазора диэлектриком конденсатор можно рассматривать как два параллельно включенных конденсатора, один из которых имеет площадь обкладки, равную — относительная часть зазора, заполненная жидкостью), и заполнен диэлектриком с второй с воздушным зазором имеет площадь обкладки, равную При параллельном включении конденсаторов емкости складываются:

Поскольку энергия будет меньше, чем (заряд q предполагается неизменным — перед погружением в жидкость конденсатор был отключен от источника напряжения). Следовательно, заполнение зазора диэлектриком оказывается энергетически выгодным. Поэтому диэлектрик втягивается в конденсатор и уровень его в зазоре поднимается.

Это в свою очередь приводит к возрастанию потенциальной энергии диэлектрика в поле сил тяжести. В конечном итоге уровень диэлектрика в зазоре установится на некоторой высоте, соответствующей минимуму суммарной энергии (электрической и гравитационной).

Рассмотренное явление сходно с капиллярным поднятием жидкости в узком зазоре между пластинками (см. § 119 1-го тома).

Втягивание диэлектрика в зазор между обкладками можно яснить также и с микроскопической точки зрения. У краев пластин конденсатора имеется неоднородное поле.

Молекулы диэлектрика обладают собственным дипольным моментом либо приобретают его под действием поля; поэтому на них действуют силы, стремящиеся переместить их в область сильного поля, т. е. внутрь конденсатора.

Под действием этих сил жидкость втягивается в зазор до тех пор, пока электрические силы, действующие на жидкость у края пластин, не будут уравновешены весом столба жидкости.

В заряженном конденсаторе обкладки име-ют разноименные заряды и взаимодейст-вуют между собой благодаря электричес-кому полю, которое сосредоточено в прост-ранстве между обкладками. О телах, между которыми существует взаимодействие, гово-рят, что они имеют потенциальную энер-гию. Следовательно, можно говорить и об энергии заряженного конденсатора
.

Обкладки заряженного конден-сатора взаимодействуют между собой.

Наличие энергии
у заряженного конден-сатора можно подтвердить опытами.

Возьмем конденсатор достаточно боль-шой емкости, источник тока, лампочку на-кала и составим электрическую цепь, схема которой изображена на рис. 4.82. Переведем переключатель S
в положение 1 и зарядим конденсатор до определенной разности по-тенциалов от источника GB.

Если после этого перевести переключатель в положение 2, то можно наблюдать кратковременную вспышку света вследствие накала нити лам-почки.

Наблюдаемое явление можно объяс-нить тем, что заряженный конденсатор имел энергию
, за счет которой была выполнена работа по накалу спирали лампочки.

В соответствии с законом сохранения энер-гии
работа, выполненная при разрядке кон-денсатора, равняется работе, выполненной при его зарядке. Расчет этой работы и, соответственно, потенциальной энергии кон-денсатора осложнен особенностями процес-са зарядки конденсатора.

Пластины его за-ряжаются и разряжаются постепенно. Зави-симость заряда Q
конденсатора от времени при зарядке показана на графике (рис. 4.83). Заряд не только увеличивается постепенно, но и скорость его изменения не остается постоянной.

Итак, вести расчеты на осно-вании формулы A =
qEd
нельзя, поскольку напряженность электрического поля не остается постоянной. Разность потенциалов также изменяется от нуля до максимально-го значения. На рис. 4.84 показано, что разность потенциалов изменяется про-порционально заряду конденсатора.

Такая зависимость характерна для силы упругос-ти, которая зависит от удлинения пружины (рис. 4.85).

Воспользовавшись таким подобием, мож-но сделать вывод, что энергия заряженного конденсатора
будет равна

W =
Q
Δφ / 2.
Материал с сайта

Эта энергия
равна работе по зарядке конденсатора, которая численно равна пло-щади заштрихованного треугольника на гра-фике рис. 4.84.

  1. Учитывая, что Q =
    C
    Δφ
    , получим
  2. W =
    C(Δφ)
    2 / 2.
  3. А если учесть связь разности потенциалов с зарядом Δφ =
    Q /
    C
    , то потенциальная энер-гия конденсатора может быть вычислена по формуле

W = (Q / 2) . (Q /
C) =
Q 2 / 2
C.

  • На этой странице материал по темам:
  • Вопросы по этому материалу:
  • Электроемкостью
    (емкостью) C уединенного изолированного
    проводника называется физическая
    величина, равная отношению изменения
    заряда проводника q к изменению
    его потенциала f:
    C = Dq/Df.

Электроемкость
уединенного проводника зависит только
от его формы и размеров, а также
от окружающей его диэлектрической
среды (e).
Единица
измерения емкости в системе
СИ называется Фарадой. Фарада (Ф) —
это емкость такого уединенного проводника,
потенциал которого повышается на 1 Вольт
при сообщении ему заряда в 1 Кулон.
1 Ф =
1 Кл/1 В.

Конденсатором
называют систему двух разноименно
заряженных проводников, разделенных
диэлектриком (например, воздухом).

Свойство
конденсаторов накапливать и сохранять
электрические заряды и связанное
с ними электрическое поле характеризуется
величиной, называемой электроемкостью
конденсатора.

Электроемкость конденсатора
равна отношению заряда одной из пластин
Q к напряжению между ними U:
C =
Q/U.

В
зависимости от формы обкладок,
конденсаторы бывают плоскими, сферическими
и цилиндрическими. Формулы для расчета
емкостей этих конденсаторов приведены
в таблице.

Соединение
конденсаторов в батареи.
На практике
конденсаторы часто соединяют в батареи —
последовательно или параллельно.

  1. При
    параллельном соединении напряжение
    на всех обкладках одинаковое
    U1 =
    U2 = U3 = U = e, а емкость батареи
    равняется сумме емкостей отдельных
    конденсаторов C = C1 + C2 + C3.
  2. При
    последовательном соединении заряд
    на обкладках всех конденсаторов
    одинаков Q1 = Q2 = Q3, а напряжение
    батареи равняется сумме напряжений
    отдельных конденсаторов U = U1 + U2 +
    U3.
  3. Емкость
    всей системы последовательно соединенных
    конденсаторов рассчитывается
    из соотношения:
    1/C = U/Q = 1/C1 + 1/C2 +
    1/C3.

Емкость
батареи последовательно соединенных
конденсаторов всегда меньше, чем емкость
каждого из этих конденсаторов
в отдельности.
Энергия электростатического
поля.
Энергия заряженного плоского
конденсатора Eк равна работе A, которая
была затрачена при его зарядке, или
совершается при его разрядке.
A =
CU2/2 = Q2/2С = QU/2 = Eк.

Поскольку
напряжение на конденсаторе может
быть рассчитано из соотношения:
U =
E*d,
где E — напряженность поля между
обкладками конденсатора,
d —
расстояние между пластинами
конденсатора,
то энергия заряженного
конденсатора равна:
Eк = CU2/2 =
ee0S/2d*E2*d2 = ee0S*d*E2/2 = ee0V*E2/2,
где V —
объем пространства между обкладками
конденсатора.

Энергия заряженного
конденсатора сосредоточена в его
электрическом поле.

Тип конденсатора Формула для расчета емкости Примечания Схематическое изображение
Плоский конденсатор S — площадь пластины;
d — расстояние между пластинами.
Сферический конденсатор C = 4pee0R1R2/(R2 — R1) R2 и R1 — радиусы внешней и внутренней обкладок.
Цилиндрический конденсатор C = 2pee0h/ln(R2/R1) h — высота цилиндров.

Как
и любая система заряженных
тел, конденсатор
обладает
энергией. Вычислить энергию заряженного
плоского конденсатора с однородным
полем внутри него несложно. Энергия
заряженного конденсатора.
Для
того чтобы зарядить конденсатор, нужно
совершить работу по разделению
положительных и отрицательных зарядов.

Согласно закону сохранения энергии эта
работа равна энергии конденсатора. В
том, что заряженный конденсатор обладает
энергией, можно убедиться, если разрядить
его через цепь, содержащую лампу
накаливания, рассчитанную на напряжение
в несколько вольт (рис.14.37
).
При разрядке конденсатора лампа
вспыхивает.

Энергия конденсатора
превращается в тепло и энергию света.

Выведем
формулу для энергии плоского
конденсатора.
Напряженность поля, созданного зарядом
одной из пластин, равна Е/2
,
где Е
-напряженность
поля в конденсаторе.2. Применение
конденсаторов
.
Зависимость электроемкости конденсатора
от расстояния между его пластинами
используется при создании одного из
типов клавиатур компьютера.

На тыльной
стороне каждой клавиши располагается
одна пластина конденсатора, а на плате,
расположенной под клавишами, — другая.
Нажатие клавиши изменяет емкость
конденсатора. Электронная схема,
подключенная к этому конденсатору,
преобразует сигнал в соответствующий
код, передаваемый в компьютер.

Энергия конденсатора обычно не очень
велика — не более сотен джоулей. К тому
же она не сохраняется долго из-за
неизбежной утечки заряда. Поэтому
заряженные конденсаторы не могут
заменить, например, аккумуляторы в
качестве источников электрической
энергии.

Но это совсем не означает, что конденсаторы
как накопители энергии не получили
практического применения. Они имеют
одно важное свойство: конденсаторы
могут накапливать энергию более или
менее длительное время, а при разрядке
через цепь с малым сопротивлением они
отдают энергию почти мгновенно. Именно
это свойство широко используют на
практике.

Лампа-вспышка, применяемая в фотографии
,
питается электрическим током разряда
конденсатора, заряжаемого предварительно
специальной батареей. Возбуждение
квантовых источников света — лазеров
осуществляется с помощью газоразрядной
трубки, вспышка которой происходит при
разрядке батареи конденсаторов большой
электроемкости.

Однако основное применение конденсаторы
находят в радиотехнике.
Энергия конденсатора пропорциональна
его электроемкости и квадрату напряжения
между пластинами. Вся эта энергия
сосредоточена в электрическом поле.
Энергия поля пропорциональна квадрату
напряженности поля.

Источник: https://les74.ru/what-is-the-energy-of-a-charged-capacitor.html

[Физика зачет 31] Электрическая емкость проводника. Конденсатор. Емкость плоского конденсатора. Соединение конденсаторов. Энергия, накопленная в конденсаторе. Энергия электрического поля. Плотность энергии электрического поля. Потенциальная энергия заряженной сферы

Электрическая емкость проводника. 

Электрическая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника.

Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах. 
 где  — заряд,  — потенциал проводника.
 где  — заряд,  — потенциал проводника.

Конденсатор. Емкость плоского конденсатора. 

Соединение конденсаторов. 

Параллельное соединение конденсаторов
Обкладки конденсаторов соединяют попарно, т.е. в системе остается два изолированных проводника, которые и представляют собой обкладки нового конденсатора
  • Вывод: При параллельном соединении конденсаторов
  • а) заряды складываются,
  • б) напряжения одинаковые,
  • в) емкости складываются.

Т.о., общая емкость больше емкости любого из параллельно соединенных конденсаторов

Производят только одно соединение, а две оставшиеся обкладки — одна от конденсатора С1 другая от конденсатора С2 — играют роль обкладок нового конденсатора.

  1. Вывод: При последовательном соединении конденсаторов
  2. а) напряжения складываются,
  3. б) заряды одинаковы,
  4. в) складываются величины, обратные емкости.

   Т.о., общая емкость меньше емкости любого из последовательно соединенных конденсаторов.

Энергия, накопленная в конденсаторе. 

 При заряде конденсатора внешний источник расходует энергию на разделение зарядов на положительные и отрицательные. Которые будут находиться на обкладках конденсатора. Следовательно, исходя из закона сохранения энергии, она никуда не пропадает, а остается в конденсаторе.

Энергия в конденсаторе запасается в виде силы взаимодействия положительных и отрицательных зарядов находящихся на его обкладках. То есть в виде электрического поля. Которое сосредоточено между пластинами.

Это взаимодействие стремится притянуть одну обкладку к другой, поскольку, как известно разноименные заряды притягиваются.

  •  Как известно из механики F=mg, аналогично в электрике F=qE, роль массы играет заряд, а роль сили притяжения напряжённость поля.
  •  Работа по перемещению заряда в электрическом поле выглядит так:A=qEd1-qEd2=qEd
  •  C другой же стороны работа также равна разнице потенциальных энергий A=W1-W2=W.
  •  Таким образом используя эти два выражения можно сделать вывод что потенциальная энергия накопленная в конденсаторе равна:
  • W=qEd
  • Формула 1 — Энергия заряженного конденсатора
  • Не трудно заметить, что формула очень похожа на потенциальную энергию из механики W=mgh.

Если провести аналогию с механикой: Представим камень, находящийся на крыше здания. Здесь взаимодействует масса земли с массой камня посредством силы тяжести, а здание высотой hпротиводействует силе гравитации. Если здание убрать камень упадет, следовательно, потенциальная энергия перейдет в кинетическую.

В электростатике же есть два разноименных заряда стремящихся притянутся друг к другу им противодействует диэлектрик толщиной находящийся между обкладками . Если обкладки замкнуть между собой то потенциальная энергия заряда перейдет в кинетическую то есть в тепло.

 В электротехнике формула для энергии в таком виде не применяется. Ее удобно выразить через емкость конденсатора и напряжение, до которого он заряжен.

Так как заряд конденсатора определяется зарядом одной из его пластин то напряжённость поля, создаваемая ею, будет равна E/2. Поскольку общее поле складывается из полей создаваемых обеими обкладками заряжении одинаково, но с противоположным знаком.

  1. Следовательно, энергия конденсатора будет иметь вид: W=q(E/2)d
  2. Поскольку напряжение можно выразить через напряжённость и расстояние(U=Ed) подставим его в нашу формулу получим: W=qU/2
  3. А теперь используя выражение для емкости, C=q/U получим окончательный результат.
  4. Энергия заряженного конденсатора имеет вид:

Энергия электрического поля. 

Электрическое поле обладает энергией. Плотность этой энергии определяется величиной поля и может быть найдена по формуле

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, 

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии dмного меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна 

C учетом соотношения можно записать 

В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и Подставим выражение , получим 

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поляЕ. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов qi на величину dri, составляет 

Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р. Следовательно, .Вектор P связан с вектором E соотношением . Подставив это выражение в формулу для работы, получим

Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика

.
Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл:

Плотность энергии электрического поля.  Объемная плотность энергии электрического поля называют физическую
величину равную отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе
объема, к этому объему

объемная плотность энергии электрического поля равна 

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2013/05/31.html

Энергия поля конденсатора — Основы электроники

Вся энергия заряженного конденсатора сосредотачивается в электрическом поле между его пластинами. Энергию, накоп­ленную в конденсаторе, можно определить следующим обра­зом. Представим себе, что мы заряжаем конденсатор не сра­зу, а постепенно, перенося электрические заряды с одной его пластины на другую.

При перенесении первого заряда работа, произведенная нами, будет небольшой.

На перенесение второго заряда мы затратим больше энергии, так как в результате перенесения первого заряда между пластинами конденсатора будет уже существовать разность потенциалов, которую нам придется преодолевать, третий, четвертый и вообще каждый последую­щий заряд будет переносить все труднее и труднее, т. е. на перенесение их придется затрачивать все больше и больше энергии. Пусть мы перенесем таким образом некоторое коли­чество электричества, которое мы обозначим буквой Q.

Вся энергия, затраченная нами при заряде конденсатора, сосредоточится в электрическом поле между его пластинами. Напряжение между пластинами конденсатора в конце заряда мы обозначим буквой U.

Как мы уже заметили, разность потенциалов в процессе за­ряда не остается постоянной, а постепенно увеличивается от нуля — в начале заряда — до своего конечного значения U.

Для упрощения вычисления энергии допустим, что мы пе­ренесли весь электрический заряд Q с одной пластины кон­денсатора на другую не маленькими порциями, а сразу.

Но при этом мы должны считать, что напряжение между пласти­нами конденсатора было не ноль, как в начале заряда, и не U, как в конце заряда, а равнялось среднему значению между нулем и U, т. е. половине U.

Таким образом, энергия, запа­сенная в электрическом поле конденсатора, будет равна поло­вине напряжения U, умноженной на общее количество пере­несенного электричества Q.

  • Полученный результат мы можем записать в виде сле­дующей математической формулы:
  • W = UQ/2                                                                  (1)
  • Если напряжение в этой формуле будет выражено в воль­тах, а количество электричества — в кулонах, то энергия W получится в джоулях. Если мы вспомним, что заряд, накоп­ленный на конденсаторе, равен Q = CU, то формулу (1) можно будет записать окончательно в следующем виде:
  • W = CU2/2                                                                  (2)
  • Выражение (2) говорит нам о том, что энергия, со­средоточенная в поле конденсатора, равна по­ловине произведения емкости конденсатора на квадрат напряжения между его пласти­нами.
  • Этот вывод имеет очень важное значение при изучении раздела радиотехники о колебательных контурах.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Источник: http://www.sxemotehnika.ru/energiya-polya-kondensatora.html

Электрическая емкость. Конденсаторы

    • Проводники и диэлектрики в электростатическом поле
    • Вещества в природе можно разделить на проводники и диэлектрики.
    • Основная особенность — наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника.
    • Типичные проводники — металлы.
  • Диэлектрическая проницаемость вещества

    В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки.

    В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды.

    Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды — индукционными зарядами.

    В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

  • Физическая величина, равная отношению модуля напряженности (vec{E}_0) внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженности (vec{E}) полного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества (varepsilon).

    [varepsilon=dfrac{vec{E}_0}{vec{E}}]
    1. Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда (q) одного из проводников к разности потенциалов (Delta varphi) между ними:
    2. [fbox{$C=dfrac{q}{Delta varphi}$}]
    3. Единицы измерения: (displaystyle [ ext{Ф}]) (фарад).
    4. Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники.
  • Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, — обкладками.

  • Плоский конденсатор — система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.

    • Электроемкость плоского конденсатора
    • Разность потенциалов (Delta varphi) между пластинами в однородном электрическом поле равна (Ed), где (d) — расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:
    • [C=dfrac{q}{Delta varphi}=dfrac{sigma S}{Ed}=dfrac{varepsilon_0S}{d}]
    • Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в (varepsilon) раз:
    • [fbox{$C=dfrac{varepsilon_0varepsilon S}{d}$}]
  • Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами; однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками.

  • Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

    Для достижения нужной емкости или при напряжении, превышающем номинальное напряжение, конденсаторы, могут соединяться последовательно или параллельно. Любое же сложное соединение состоит из нескольких комбинаций последовательного и параллельного соединений.

    • Последовательное соединение конденсаторов
      При последовательном соединении, конденсаторы подключены таким образом, что только первый и последний конденсатор подключены к источнику тока одной из своих пластин. Заряд одинаков на всех пластинах, но внешние заряжаются от источника, а внутренние образуются только за счет разделения зарядов ранее нейтрализовавших друг друга. При этом заряд конденсаторов в батарее меньше, чем, если бы каждый конденсатор подключался бы отдельно. Следовательно, и общая емкость батареи конденсаторов меньше.
      1. Напряжение на данном участке цепи соотносятся следующим образом:
      2. [fbox{$U=U_1+U_2$}]
      3. Зная, что напряжение конденсатора можно представить через заряд и емкость, запишем:
      4. [dfrac{q}{C}=dfrac{q}{C_1}+dfrac{q}{C_2}]
      5. Сократив выражение на (Q), получим формулу:
      6. [fbox{$dfrac{1}{C}=dfrac{1}{C_1}+dfrac{1}{C_2}$}]
      7. Откуда эквивалентная емкость батареи конденсаторов соединенных последовательно:
      8. [fbox{$C=dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$}]
      • Параллельное соединение конденсаторов
      • При параллельном соединении конденсаторов напряжение на обкладках одинаковое, а заряды разные.
      • Величина общего заряда полученного конденсаторами, равна сумме зарядов всех параллельно подключенных конденсаторов. В случае батареи из двух конденсаторов:
      • [fbox{$q=q_1+q_2$}]
      • Так как заряд конденсатора
      • [q=CU]
      • А напряжения на каждом из конденсаторов равны, получаем следующее выражение для эквивалентной емкости двух параллельно соединенных конденсаторов
      • [CU=C_1U+C_2U]
      • [fbox{$C=C_1+C_2$}]
    • По сути, расчет общей емкости конденсаторов схож с расчетом общего сопротивления цепи в случае с последовательным или параллельным соединением, но при этом, зеркально противоположен.

  • Энергия заряженного конденсатора

    Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии того, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится. Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке.

    Вычислим эту энергию: начнём с плоского воздушного конденсатора.

    Ответим на такой вопрос: какова силу притяжения его обкладок друг к другу. Величины используем следующие: заряд конденсатора (q), площадь обкладок (S). Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд (q_0) этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

    1. [F_0 = q_0E_1,]
    2. где (E_1) — напряжённость поля первой обкладки:
    3. [E_1=dfrac{sigma}{2varepsilon_0}=dfrac{q}{2varepsilon_0S}]
    4. Значит
    5. [F_0=dfrac{qq_0}{2varepsilon_0S}]

    Направлена эта сила параллельно линиям поля (т.е. перпендикулярно пластинам).

    Результирующая сила (F) притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил (F_0), с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды (q_0) второй обкладки.

    При этом суммировании постоянный множитель (displaystyledfrac{q}{2varepsilon_0S}) вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все (q_0) и дадут (q).2}{2}$}, (3)]

  • Формулы (1)—(3) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.
  • Источник: https://physics.shkolkovo.net/theory/elektricheskaya_emkost_kondensatory

    ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА. ПРИМЕНЕНИЕ КОНДЕНСАТОРОВ — Студопедия

    Как и любая система заряжен­ных тел, конденсатор обладает энер­гией. Вычислить энергию заряжен­ного плоского конденсатора с одно­родным полем внутри него не­сложно.

    Энергия заряженного конденса­тора. 

    Для того чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить рабо­ту по разделению положительных и отрицательных зарядов. Согласно закону сохранения энергии эта ра­бота равна энергии конденсатора. В том, что заряженный конденсатор обладает энергией, можно убедиться, если разрядить его через цепь, со­держащую лампу накаливания, рас­считанную на напряжение в не­сколько вольт (рис. 4). При раз­рядке конденсатора лампа вспыхи­вает. Энергия конденсатора пре­вращается в другие формы: тепло­вую, световую.

    Выведем формулу для энергии плоского конденсатора.

    Напряженность поля, созданного зарядом одной из пластин, равна Е/2, где Е — напряженность поля в конденсаторе. В однородном поле одной пластины находится заряд q, распределенный по поверхности дру­гой пластины (рис. 5). Согласно формуле W= qEd. для потенциальной энергии заряда в однородном поле энергия конденсатора равна:


     
     

     

    (1)

    где q — заряд конденсатора, a d — расстояние между пластинами.

    Так как Ed = U, где U — разность потенциалов между обкладка­ми конденсатора, то его энергия равна:

    (2)

    Эта энергия равна работе, ко­торую совершит электрическое поле при сближении пластин вплот­ную.

    Заменив в формуле (2) раз­ность потенциалов или заряд с по­мощью выражения для элек­троемкости конденсатора, получим

     
     

     

    (3)

    Можно доказать, что эти форму­лы справедливы для энергии любого конденсатора, а не только для плос­кого.

    Энергия электрического поля.

    Согласно теории близкодействия вся энергия взаимодействия заряженных тел сконцентрирована в электриче­ском поле этих тел. Значит, энергия может быть выражена через основную характеристику поля — напря­женность.

    Так как напряженность электри­ческого поля прямо пропорциональ­на разности потенциалов

    (U = Ed), то согласно формуле

    энергия конденсатора прямо пропор­циональна напряженности электри­ческого поля внутри него: W~ E2. Детальный расчет дает следующее значение для энергии поля, приходя­щейся на единицу объема, т.е. для плотности энергии:

    (4)

    где ε0 — электрическая постоянная

    Применение конденсаторов.

    Энер­гия конденсатора обычно не очень велика — не более сотен джоулей. К тому же она не сохраняется долго из-за неизбежной утечки заряда. Поэтому заряженные конденсаторы не могут заменить, например, акку­муляторы в качестве источников электрической энергии.


    Но это совсем не означает, что конденсаторы как накопители энергии не получили практического при­менения. Они имеют одно важное свойство: конденсаторы могут на­капливать энергию более или менее длительное время, а при разрядке через цепь малого сопротивления они отдают энергию почти мгновенно. Именно это свойство используют широко на практике.

    Лампа-вспышка, применяемая в фотографии, питается электрическим током разряда конденсатора, заря­жаемого предварительно специаль­ной батареей. Возбуждение кванто­вых источников света — лазеров осу­ществляется с помощью газораз­рядной трубки, вспышка которой происходит при разрядке батареи конденсаторов большой электроем­кости.

    Однако основное применение кон­денсаторы находят в радиотехнике. С этим вы познакомитесь в XI классе.

    Энергия конденсатора пропор­циональна его электроемкости и квадрату напряжения между плас­тинами. Вся эта энергия сосредото­чена в электрическом поле. Плот­ность энергии поля пропорциональна квадрату напряженности поля.

           
       
     

    Рис. 1 Рис. 2

    ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

    Неподвижные электрические заряды редко используются на практике. Для того чтобы заставить электрические заряды слу­жить нам, их нужно привести в движение — создать электрический ток. Электрический ток освещает квартиры, приводит в дви­жение станки, создает радиоволны, циркулирует во всех электрон­но-вычислительных машинах.

    Мы начнем с наиболее простого случая движения заряжен­ных частиц — рассмотрим постоянный электрический ток.

    ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. СИЛА ТОКА

    Дадим строгое определение тому, что называют электрическим током.

    Напомним, какой величиной ха­рактеризуется ток количественно.

    Найдем, как быстро движутся электроны по проводам в вашей квартире.

    При движении заряженных час­тиц в проводнике происходит перенос электрического заряда с одного места в другое. Однако если заряженные частицы совершают беспорядочное тепловое движение, как, например, свободные электроны в металле, то переноса заряда не про­исходит (рис.1). Электриче­ский заряд перемещается через по­перечное сечение проводника лишь в том случае, если наряду с беспорядочным движением электроны участвуют в упорядоченном движении (рис. 2). В этом случае говорят, что в проводнике устанавливается электрический ток.

    Из курса физики VIII класса вы знаете, что электрическим током называют упорядоченное (направ­ленное) движение заряженных частиц.

    Электрический ток возникает при упорядоченном перемещении свобод­ных электронов или ионов.

    Если перемещать нейтральное в целом тело, то, несмотря на упо­рядоченное движение огромного чис­ла электронов, и атомных ядер, электрический ток не возникает. Полный заряд, переносимый через любое сечение проводника, будет при этом равным нулю, так как заряды разных знаков с одинаковой средней скоростью.

    Электрический ток имеет определенное направление. За направление тока принимают направление движения положительно заряженных частиц. Если ток образован движением отрицательно заряженных частиц, то направление тока считают противоположным направлению дви­жения частиц.

    Действия тока. Движение частиц в проводнике мы непосредственно не видим. О наличии электрического тока приходится судить по тем дей­ствиям или явлениям, которые его сопровождают.

    Во-первых, проводник, по которо­му течет ток, нагревается.

    Во-вторых, электрический ток мо­жет изменять химический состав проводника, например, выделять его химические составные части (медь из раствора медного купороса и т.д.).

    В-третьих, ток оказывает силовое воздействие на соседние токи и на­магниченные тела. Это действие то­ка называется магнитным. Так, маг­нитная стрелка вблизи проводника с током поворачивается. Магнитное действие тока в отличие от химиче­ского и теплового является основ­ным, так как проявляется у всех без исключения проводников. Хими­ческое действие тока наблюдается лишь у растворов и расплавов электролитов, а нагревание отсут­ствует у сверхпроводников.

    Сила тока.

    Если в цепи уста­навливается электрический ток, то это означает, что через поперечное сечение проводника все время пере­носится электрический заряд. Заряд, перенесенный в единицу времени, служит основной количественной ха­рактеристикой тока, называемой си­лой тока. 

    Таким образом, сила тока равна отношению заряда q, переносимого через поперечное сечение провод­ника за интервал времени t, к этому интервалу времени. Если сила тока со временем не меняется, то ток на­зывают постоянным.

    Сила тока, подобно заряду, ве­личина скалярная. Она может быть как положительной, так и отрица­тельной. Знак силы тока зависит от того, какое из направлений вдоль проводника принять за положитель­ное. Сила тока / > 0, если направ­ление тока совпадает с условно вы­бранным положительным направле­нием вдоль проводника. В против­ном случае / < 0.

    Сила тока зависит от заряда, переносимого каждой частицей, кон­центрации частиц, скорости их направленного движения и площади поперечного сечения проводника. По­кажем это.

    Пусть проводник (рис. 3) имеет поперечное сечение площадью S. За положительное направление в проводнике примем направление сле­ва направо. Заряд каждой частицы равен q0. В объеме проводника, ограниченном поперечными сечениям­и 1 и 2, содержится nSl частиц, где п — концентрация частиц. Их общий заряд q = qQnSl. Если частицы движутся слева направо со средней скоростью υ, то за время

    все частицы, заключенные в рассматриваемом объеме, пройдут через поперечное сечение 2. Поэтому сила тока равна:

     
     

    В Международной системе еди­ниц силу тока выражают в ампеpax (А). Эту единицу устанавливают наоснове магнитного взаимодей­ствия токов. Измеряют силу тока амперметрами. С принципом устрой­ства этих приборов, основанным на магнитном действии тока, мы позна­комимся позднее.

    Скорость упорядоченного движе­ния электронов в проводнике.

    Най­дем скорость упорядоченного пере­мещения электронов в металличе­ском проводнике. Согласно

     
     

    формуле (2) где е — модуль заряда электрона.

    Пусть, например, сила тока I = 1 А, а площадь по­перечного сечения проводника S = 10 -6 м2. Модуль заряда электрона е = 1,6 - 10 -19 Кл. Число электронов в 1 м3 меди равно числу атомов в этом объеме, так как один из ва­лентных электронов каждого атома меди коллективизирован и является свободным. Это число есть п = 8,5 · 1028 м -3 Следовательно,

     
     

     

    Как видите, скорость упорядочен­ного перемещения электронов очень мала.

    Основная количественная харак­теристика электрического тока - сила тока. Она определяется электри­ческим зарядом, переносимым через поперечное сечение проводника за единицу времени. Скорость заряжен­ных частиц (электронов) в провод­нике очень мала - около 0,1 мм/с.

               
       
       
     
     

    Рис №1. Рис №2 Рис №3

    УСЛОВИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

    Что необходимо для создания электрического тока? Подумайте над этим сами и только потом прочтите этот параграф.

    Для возникновения и существо­вания постоянного электрического тока в веществе необходимо, во-первых, наличие свободных заряжен­ных частиц. Если положительные и отрицательные заряды связаны друг с другом в атомах или молекулах, то их перемещение не приведет к по­явлению электрического тока.

    Наличия свободных зарядов еще недостаточно для возникновения то­ка. Для создания и поддержания упорядоченного движения, заряжен­ных частиц необходима, во-вторых, сила, действующая на них в опре­деленном направлении. Если эта сила перестанет действовать, то упорядоченное движение заряженных частиц прекратится из-за сопротив­ления, оказываемого их движению ионами кристаллической решетки металлов или нейтральными молеку­лами электролитов.

    На заряженные частицы, как мы знаем, действует электрическое поле с силой . Обычно именно электрическое поле внутри провод­ника служит причиной, вызываю­щей и поддерживающей упорядочен­ное движение заряженных частиц. Только в статическом случае, когда заряды покоятся, электрическое поле внутри проводника равно нулю.

    Если внутри проводника имеется электрическое поле, то между конца­ми проводника в соответствии с фор­мулой существует разность потенциалов. Когда разность потен­циалов не меняется во времени, то в проводнике устанавливается по­стоянный электрический ток. Вдоль проводника потенциал уменьшается от максимального значения на одном конце проводника до минималь­ного — на другом. Это уменьшение потенциала можно обнаружить на простом опыте.

    Возьмем в качестве проводника не очень сухую деревянную палку и подвесим ее горизонтально. (Такая палка хотя и плохо, но все же про­водит ток.) Источником напряжения пусть будет электростатическая ма­шина, Для регистрации потенциала различных участков проводника от­носительно земли можно использо­вать листочки металлической фоль­ги, прикрепленные к палке. Один полюс машины соединим с землей, а второй — с одним концом проводни­ка (палки). Цепь окажется незамк­нутой. При вращении рукоятки ма­шины мы обнаружим, что все лис­точки отклоняются на один и тот же угол (рис. 1).

    Значит, потен­циал всех точек проводника отно­сительно земли одинаков. Так и должно быть при равновесии заря­дов на проводнике. Если теперь дру­гой конец палки заземлить, то при вращении рукоятки машины карти­на изменится. (Так как земля — проводник, то заземление провод­ника делает цепь замкнутой.) У за­земленного конца листочки вообще не разойдутся: потенциал этого кон­ца проводника практически равен потенциалу земли (падение потен­циала в металлической проволоке мало). Максимальный угол расхож­дения листочков будет у конца про­водника, присоединенного к машине (рис. 2). Уменьшение угла рас­хождения листочков по мере удале­ния от машины свидетельствует о падении потенциала вдоль провод­ника.

    Электрический ток может быть получен только в веществе, в котором имеются свободные заряженные частицы. Чтобы они пришли в движение, нужно создать в проводнике электрическое поле.

           
       
     

    Рис №1 Рис №2

    ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ. СОПРОТИВЛЕНИЕ

    В VIII классе изучался закон Ома. Этот закон прост, однако столь важен, что его необходимо повторить.

    Вольт - амперная характеристика.

    В предыдущем параграфе было уста­новлено, что для существования то­ка в проводнике необходимо создать разность потенциалов на его концах. Сила тока в проводнике определяет­ся этой разностью потенциалов. Чем больше разность потенциалов, тем больше напряженность электриче­ского поля в проводнике и, следо­вательно, тем большую скорость на­правленного движения приобретают заряженные частицы. Согласно фор­муле, это означает увеличение силы тока.

    Для каждого проводника — твер­дого, жидкого и газообразного — существует определенная зависи­мость силы тока от приложенной разности потенциалов на концах про­водника. Эту зависимость выражает так называемая вольт - амперная ха­рактеристика проводника. Ее нахо­дят, измеряя силу тока в проводнике при различных значениях напряже­ния. Знание вольт - амперной характе­ристики играет большую роль при изучении электрического тока.

    Закон Ома.

    Наиболее простой вид имеет вольт - амперная характеристи­ка металлических проводников и растворов электролитов. Впервые (для металлов) ее установил немец­кий ученый Георг Ом, поэтому зависимость силы тока от напря­жения носит название закона Ома. На участке цепи, изображенной на рисунке 109, ток направлен от точки 1 к точке 2. Разность потен­циалов (напряжение) на концах проводника равна: U = φ- φ2. Так как ток направлен слева направо, то напряженность электрического поля направлена в ту же сторону и φ> φ2

    Согласно закону Ома для участка цепи сила тока прямо пропорцио­нальна приложенному напряжению U и обратно пропорциональна сопро­тивлению проводника R:

    Закон Ома имеет очень простую форму, но доказать эксперименталь­но его справедливость довольно трудно. Дело в том, что разность по­тенциалов на участке металлическо­го проводника даже при большой силе тока мала, так как мало сопро­тивление проводника.

    Электрометр, о котором шла речь, непригоден для измерения столь малых напряжений: его чув­ствительность слишком мала. Нужен несравненно более чувствительный прибор. Тогда, измеряя силу тока амперметром, а напряжение чув­ствительным электрометром, можно убедиться в том, что сила тока пря­мо пропорциональна напряжению. Применение же обычных приборов для измерения напряжения — вольт­метров — основано на использовании закона Ома.

    Принцип устройства, вольтметра такой же, как и ампер­метра. Угол поворота стрелки прибо­ра пропорционален силе тока. Сила тока, проходящего по вольтметру, определяется напряжением между точками цепи, к которой он под­ключен. Поэтому, зная сопротивле­ние вольтметра, можно по силе тока определить напряжение. На практике прибор градуируют так, чтобы он сразу показывал напряжение в воль­тах.

    Сопротивление. Основная элек­трическая характеристика проводни­ка — сопротивление. От этой вели­чины зависит сила тока в провод­нике при заданном напряжении. Со­противление проводника представля­ет собой как бы меру противо­действия проводника установлению в нем электрического тока. С помощью закона Ома можно определить сопротивление проводника:

    Для этого нужно измерить напря­жение и силу тока.

    Сопротивление зависит от мате­риала проводника и его геометри­ческих размеров. Сопротивление про­водника длиной l с постоянной пло­щадью поперечного сечения S равно:

     
     

    где р — величина, зависящая от рода вещества и его состояния (от тем­пературы в первую очередь). Вели­чину р называют удельным сопро­тивлением проводника. Удельное со­противление численно равно сопро­тивлению проводника, имеющего форму куба с ребром 1 м, если ток направлен вдоль нормали к двум противоположным граням куба.

    Единицу сопротивления провод­ника устанавливают на основе зако­на Ома и называют ее ом. Провод­ник имеет сопротивление 1 Ом, если при разности потенциалов 1 В сила тока в нем 1 А.

    Единицей удельного сопротивле­ния является 1 Ом?м. Удельное со­противление металлов мало. Диэлектрики обладают очень большим удельным сопротивлением. В табли­це на форзаце приведены примеры значений удельного сопротивления некоторых веществ.

    Значение закона Ома.

    Закон Ома определяет силу тока в электриче­ской цепи при заданном напря­жении и известном сопротивлении. Он позволяет рассчитать тепловые, химические и магнитные действия тока, так как они зависят от силы тока. Из закона Ома вытекает, что замыкать обычную осветительную сеть проводником малого сопротив­ления опасно. Сила тока окажется настолько большой, что это может иметь тяжелые последствия.

    Закон Ома — основа всей элект­ротехники постоянных токов. Формулу — надо хорошо понять и твердо запомнить.


    ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ

    От источника тока энергия может быть передана по проводам к устрой­ствам, потребляющим энергию: Элек­трической лампе, радиоприемнику и др. Для этого составляют электри­ческие цепи различной сложности. Электрическая цепь состоит из источника энергии, устройств, по­требляющих электрическую энергию, соединительных проводов и выклю­чателей для замыкания цепи. Часто и электрическую цепь включают приборы, контролирующие силу тока и напряжение на различных участ­ках цепи, - амперметры и вольт­метры.

    К наиболее простым и часто встречающимся соединениям провод­ников относятся последовательное и параллельное соединения.

    Последовательное соединение проводников.

    При последовательном соединении электрическая цепь не имеет разветвлений. Все проводники включают в цепь поочередно друг за другом. На рисунке 1 показано последовательное соединение двух проводников 1 и 2, имеющих сопротивления R1, и R2. Это могут быть две лампы, две обмотки элект­родвигателя и др.

    Сила тока в обоих проводниках одинакова, т. е. (1)

    так как в проводниках электриче­ский заряд в случае постоянного тока не накапливается и через любое поперечное сечение проводника за определенное время проходит один и тот же заряд.

    Напряжение на концах рассмат­риваемого участка цепи складывает­ся из напряжений на - первом и вто­ром проводниках:

    Надо надеяться, что с доказатель­ством этого простого соотношения вы справитесь сами.

    Применяя закон Ома для всего участка в целом и для участков с сопротивлениями R1и R2, можно до­казать, что полное сопротивление всего участка цепи при последова­тельном соединении равно:

    (2)

    Это правило можно применить для любого числа последовательно соединенных проводников.

    Напряжения на проводниках и их сопротивления при последователь­ном соединении связаны соотноше­нием:

    (3)

    Докажите это равенство.

    Параллельное соединение про­водников.

    На рисунке 2 показано параллельное соединение двух про­водников 1 и 2с сопротивлениями R1и R2. В этом случае электриче­ский ток 1 разветвляется на две час­ти. Силу тока в первом и втором про­водниках обозначим через I1 и I2. Так как в точке а — разветвлении проводников (такую точку называют узлом) — электрический заряд не на­капливается, то заряд, поступающий в единицу времени в узел, равен заряду, уходящему из узла за это же время. Следовательно, I = I+ I2

    Напряжение U на концах про­водников, соединенных параллельно, одно и то же.

    В осветительной сети поддержи­вается напряжение 220 или 127 В. На это напряжение рассчитаны при­боры, потребляющие электрическую энергию. Поэтому параллельное сое­динение — самый распространенный способ соединения различных потре­бителей. В этом случае выход из строя одного прибора не отражается на работе остальных, тогда как при последовательном соединении выход из строя одного прибора размы­кает цепь.

    Применяя закон Ома для всего участка в целом и для участков с сопротивлениями R1 и R2, можно доказать, что величина, обратная полному сопротивлению участка ab, равна сумме величин, обратных сопротивлениям отдельных провод­ников:

     
     

     (4)

    Отсюда следует, что

     
     

    (5)

    Сила тока в каждом из провод­ников и сопротивления проводников при параллельном соединении свя­заны соотношением

    Различные проводники в цепи соединяются друг с другом после­довательно или параллельно. В пер­вом случае сила тока одинакова во всех проводниках, а во втором слу­чае одинаковы напряжения на про­водниках. Чаще всего к осветитель­ной сети различные потребители тока подключаются параллельно.

     
     

    Рис №1

     
     

    Рис №2

    ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ

    Как измерить силу тока ампер­метром, а напряжение вольтметром, должен знать каждый.

    Измерение силы тока.

    Для изме­рения силы тока в проводнике ам­перметр включают последовательно с этим проводником (рис. 1). Но нужно иметь в виду, что сам ампер­метр обладает некоторым сопротив­лением Ra. Поэтому сопротивление участка цепи с включенным ампер­метром увеличивается, и при неиз­менном напряжении сила тока умень­шается в соответствии с законом Ома. Чтобы амперметр оказывал как можно меньшее влияние на силу тока, измеряемую им, его сопротив­ление делают очень малым. Это нужно помнить и никогда не пытать­ся измерять силу тока в освети­тельной сети, подключая амперметр к розетке. Произойдет короткое за­мыкание; сила тока при малом со­противлении прибора достигнет столь большой величины, что обмотка ам­перметра сгорит.

    Измерение напряжения.

    Для того чтобы измерить напряжение на участке цепи с сопротивлением R, к нему параллельно подключают вольтметр. Напряжение на вольтметре совпа­дает с напряжением на участке цепи (рис. 2).

    Если сопротивление вольтметра RB, то после включения его в цепь сопротивление участка будет уже не R, а . Из-за этого измеряемое напряжение на участ­ке цепи уменьшится. Для того чтобы вольтметр не вносил заметных иска­жений в измеряемое напряжение, его сопротивление должно быть большим по сравнению с сопротивлением участка цепи, на котором измеряется напряжение. Вольтметр можно вклю­чать в сеть без риска, что он сгорит, если только он рассчитан на напря­жение, превышающее напряжение сети.

    Амперметр включают последова­тельно с проводником, в котором измеряют силу тока. Вольтметр включают параллельно проводнику, на котором измеряют напряжение.

     
     

    Рис №1

     
     

    Рис №2

    РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА

    Электрический ток получил такое широкое применение потому, что он несет с собой энергию. Эта энергия может быть превращена в любую форму.

    При упорядоченном движении за­ряженных частиц в проводнике электрическое поле совершает ра­боту; ее принято называть работой тока. Сейчас мы напомним сведения о работе и мощности тока из курса физики VIII класса.

    Работа тока.

    Рассмотрим произ­вольный участок цепи. Это, может быть однородный проводник, напри­мер нить лампы накаливания, обмот­ка электродвигателя и др. Пусть за время t через поперечное сечение проводника проходит заряд q. Тогда электрическое поле совершит работу A = qU.

    Так как сила тока , то эта работа равна:

    (1)

    Работа тока на участке цепи равна произведению силы тока, на­пряжения и времени, в течение ко­торого совершалась работа.

    Согласно закону сохранения энергии эта работа должна быть рав­на изменению энергии рассматри­ваемого участка цепи. Поэтому энер­гия, выделяемая на данном участке цепи за время At, равна работе тока (см. формулу (1)).

    В случае если на участке цепи не совершается механическая рабо­та и ток не производит химических действий, происходит только нагре­вание проводника. Нагретый про­водник отдает теплоту окружающим телам.

    Нагревание проводника происхо­дит следующим образом. Электриче­ское поле ускоряет электроны. После столкновения с ионами кристалличе­ской решетки они передают ионам свою энергию. В результате энергия беспорядочного движения ионов око­ло положений равновесия возраста­ет. Это и означает увеличение внут­ренней энергии. Температура про­водника при этом повышается, и он начинает передавать теплоту окру­жающим телам. Спустя небольшое время после замыкания цепи процесс устанавливается, и температура пе­рестает изменяться со временем. К проводчику за счет работы элект­рического поля непрерывно поступа­ет энергия. Но его внутренняя энер­гия остается неизменной, так как проводник передает окружающим те­лам количество теплоты, равное ра­боте тока. Таким образом, формула (1) для работы тока определяет количество теплоты, передаваемое проводником другим телам.

    Если в формуле (1) выразить либо напряжение через силу тока, либо силу тока через напряжение с помощью закона Ома для участка цепи, то получим три эквивалентные формулы:

    (2)

    Формулой A = I2R t удобно пользоваться для последовательного соединения проводников, так как сила тока в этом случае одинакова во всех проводниках. При парал­лельном соединении удобна формула , так как напряжение на всех проводниках одинаково.

    Закон Джоуля — Ленца.

    Закон, определяющий количество теплоты, которое выделяет проводник с то­ком в окружающую среду, был впервые установлен эксперименталь­но английским ученым Д. Джоу­лем (1818-1889) и русским ученым Э. X. Ленцем (1804-1865). Закон Джоуля — Ленца был сформулиро­ван следующим образом: количество теплоты, выделяемое проводником с током, равно произведению квад­рата силы тока, сопротивления про­водника и времени прохождения то­ка по проводнику:

    (3)

    Мы получили этот закон с по­мощью рассуждений, основанных на законе сохранения энергии. Формула (3) позволяет вычислить количе­ство теплоты, выделяемое на любом участке цепи, содержащем какие угодно проводники.

    Мощность тока.

    Любой электри­ческий прибор (лампа, электродвигатель) рассчитан на потребление определенной энергии в единицу вре­мени. Поэтому наряду с работой то­ка очень важное значение имеет по­нятие мощность тока. Мощность то­ка равна отношению работы тока за время t к этому интервалу времени.

    Согласно этому определению

    (4)

    Это выражение для мощности можно переписать в нескольких эквивалентных формах, если исполь­зовать закон Ома для участка цепи:

    На большинстве приборов ука­зана потребляемая ими мощность.

    Прохождение по проводнику электрического тока сопровождается выделением в нем энергии. Эта энер­гия определяется работой тока: про­изведением перенесенного заряда и напряжения на концах проводника.

    ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА.

    Любой источник тока характеризуется электродвижущей силой, или ЭДС. Так, на круглой батарейке для карманного фонарика написано: 1,5 В. Что это значит?

    Соедините проводником два ме­таллических шарика, несущих за­ряды противоположных знаков. Под влиянием электрического поля этих зарядов в проводнике возникает электрический ток (рис. 1). Но этот ток будет очень кратковремен­ным. Заряды быстро нейтрализуют­ся, потенциалы шариков станут одинаковыми, и электрическое поле ис­чезнет.

    Сторонние силы.

    Для того чтобы ток был постоянным, надо поддер­живать постоянное напряжение меж­ду шариками. Для этого необходимо устройство (источник тока), которое перемещало бы заряды от одного шарика к другому в направлении, противоположном направлению сил, действующих на эти заряды со сто­роны электрического поля шариков. В таком устройстве на заряды, кро­ме электрических сил, должны дей­ствовать силы не электростатического происхождения (рис. 2). Одно лишь электрическое поле заряжен­ных частиц (кулоновское поле) не способно поддерживать постоянный ток в цепи.

    Любые силы, действующие на электрически заряженные частицы, за исключением сил электростати­ческого происхождения (т. е. кулоновских), называют сторонними си­лами.

    Вывод о необходимости сторон­них сил для поддержания посто­янного тока в цепи станет еще оче­виднее, если обратиться к закону сохранения энергии. Электростатиче­ское поле потенциально. Работа это­го поля при перемещении заряжен­ных частиц вдоль замкнутой электри­ческой цепи равна нулю. Прохож­дение же тока по проводникам сопровождается выделением энер­гии — проводник нагревается. Сле­довательно, в любой цепи должен быть какой-то источник энергии, по­ставляющий ее в цепь. В нем, по­мимо кулоновских сил, обязательно должны действовать сторонние не­ потенциальные силы. Работа этих сил вдоль замкнутого контура долж­на быть отлична от нуля. Именно в процессе совершения работы этими силами заряженные частицы приобретают внутри источника тока энер­гию и отдают ее затем проводникам электрической цепи.

    Сторонние силы приводят в дви­жение заряженные частицы внутри всех источников тока: в генераторах на электростанциях, в гальваниче­ских элементах, аккумуляторах и т.д.

    При замыкании цепи создается электрическое поле во всех провод­никах цепи. Внутри источника тока заряды движутся под действием сторонних сил против кулоновских сил (электроны от положительно заряженного электрода к отрица­тельному), а во всей остальной цепи их приводит в движение электриче­ское поле (см. рис. 2).

    Аналогия между электрическим током и течением жидкости.

    Чтобы лучше понять механизм возникнове­ния тока, обратимся к сходству меж­ду электрическим током в провод­нике и течением жидкости по трубам.

    На любом участке горизонталь­ной трубы жидкость течет за счет разности давлений на концах участ­ка. Жидкость перемещается в сторо­ну уменьшения давления. Но сила давления в жидкости — это вид сил упругости, которые являются потен­циальными, подобно кулоновским силам. Поэтому работа этих сил на замкнутом пути равна нулю и одни эти силы не способны вызвать длительную циркуляцию жидкости по трубам. Течение жидкости сопро­вождается потерями энергии вслед­ствие действия сил трения. Для цир­куляции воды необходим насос.

    Поршень этого насоса действует на частички жидкости и создает по­стоянную разность давлений на вхо­де и выходе насоса (рис. 3). Благодаря этому жидкость течет по трубе. Насос подобен источнику тока, а роль сторонних сил играет сила, действующая на воду со стороны движущегося поршня. Внутри на­соса жидкость течет от участков с меньшим давлением к участкам с большим давлением. Разность дав­лений аналогична напряжению.

    Природа сторонних сил.

    Природа сторонних сил может быть разнооб­разной. В генераторах электростанций сторонняя сила — это сила, дей­ствующая со стороны магнитного поля на электроны в движущемся проводнике. Об этом кратко гово­рилось в курсе физики VIII класса.

    В гальваническом элементе, на­пример элементе Вольта, действуют химические силы. Элемент Вольта состоит из цинкового и медного электродов, помещенных в раствор серной кислоты. Химические силы вызывают растворение цинка в кис­лоте. В раствор переходят положи­тельно заряженные ионы цинка, а сам цинковый электрод при этом заряжается отрицательно. (Медь очень мало растворяется в серной - кислоте.) Между цинковым и мед­ным электродами появляется раз­ность потенциалов, которая обуслов­ливает ток в замкнутой электриче­ской цепи.

    Электродвижущая сила.

    Дейст­вие сторонних сил характеризуется важной физической величиной, на­зываемой электродвижущей силой (сокращенно ЭДС).

    Электродви­жущая сила в замкнутом контуре представляет собой отношение рабо­ты сторонних сил при перемещении заряда вдоль контура к заряду:

    (1)

    Электродвижущую силу выража­ют в вольтах.

    Можно говорить об электродви­жущей силе на любом участке цепи. Это удельная работа сторонних сил (работа по перемещению единич­ного заряда) не во всем контуре, а только на данном участке. Электро­движущая сила гальванического эле­мента есть работа сторонних сил при перемещении единичного положи­тельного заряда внутри элемента от одного полюса к другому. Работа сторонних сил не может быть вы­ражена через разность потенциалов, так как сторонние силы не потенциальные и их работа зависит от формы траектории. Так, например, работа сторонних сил при переме­щении заряда между клеммами ис­точника тока вне самого источника равна нулю.

    Теперь вы знаете, что такое ЭДС. Если на батарейке написано 1,5 В, то это означает, что сторонние силы (химические в данном случае) совер­шают работу 1,5 Дж при переме­щении заряда в 1 Кл от одного полюса батарейки к другому. Постоянный ток не может существовать в замкнутой цепи, если в ней не действуют сторонние силы, т. е. нет ЭДС

               
         
     
     

    Рис №1 Рис №2 Рис №3

    ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПОЛНОЙ ЦЕПИ

    Электродвижущая сила опреде­ляет силу тока в замкнутой электри­ческой цепи с известным сопротив­лением.

    Спомощью закона сохранения энергии найдем зависимость силы тока от ЭДС и сопротивления.

    Рассмотрим простейшую полную (замкнутую) цепь, состоящую из источника тока (гальванического элемента, аккумулятора или гене­ратора) и резистора сопротивле­нием R (рис. 1). Источник тока имеет ЭДС εи сопротивление r. Сопротивление источника часто на­зывают внутренним сопротивлением в отличие от внешнего сопротивле­ния R цепи. В генераторе r — это сопротивление обмоток, а в гальва­ническом элементе — сопротивление раствора электролита и электродов.

    Закон Ома для замкнутой цепи связывает силу тока в цепи, ЭДС и полное сопротивление R + r цепи. Эта связь может быть установлена теоретически, если использовать за­кон сохранения энергии и закон Джоуля — Ленца.

    Пусть за время t через попе­речное сечение проводника пройдет электрический заряд q. Тогда рабо­ту сторонних сил при перемещении заряда ?qможно записать так: Аст = ε · q. Согласно определению силы тока q = It. Поэтому

    (1)

    При совершении этой работы на внутреннем и внешнем участках цепи, сопротивления которых r и R, выделяется некоторое количество теплоты. По закону Джоуля — Лен­ца оно равно:

    Q = I2R · t + I2r · t. (2)

    Согласно закону сохранения энергии A = Q. Приравнивая (1) и (2), получим:

    ε = IR + Ir (3)

    Произведение силы тока и сопро­тивления участка цепи часто назы­вают падением напряжения на этом участке. Таким образом, ЭДС равна сумме падений напряжений на внут­реннем и внешнем участках замкну­той цепи.

    Обычно закон Ома для замкну­той цепи записывают в форме

    (4)

    Формула плотности заряда

    | Решенный пример вопросов

    Он измеряет количество электрического заряда:

    (i) на единицу длины (линейная плотность заряда),

    (ii) на единицу площади (поверхностная плотность заряда),

    (iii) на единицу объема (объемная плотность заряда)

    Плотность заряда зависит от распределения заряда и может быть положительной или отрицательной.

    В зависимости от природы формула для плотности заряда может иметь следующий вид:

    (i) Линейная плотность заряда; \ [\ lambda = \ frac {q} {l} \], где q - заряд, а \ [l \] - длина, по которой он распределен.Единица СИ - См – 1.

    (ii) поверхностная плотность заряда; \ [\ sigma = \ frac {q} {A} \], где q - заряд, а A - площадь поверхности. Единица СИ - См – 2.

    (iii) объемная плотность заряда; \ [\ rho = \ frac {q} {V} \], где q - заряд, а V - объем распределения. Единица СИ - См – 3.

    Пример: Длинный тонкий стержень длиной 50 см имеет общий заряд 5 мКл, равномерно распределенный по нему. Найдите линейную плотность заряда.

    Решение:

    q = 5 мКл = 5 × 10–3 Кл, \ [l \] = 50 см = 0.{--1}} \]

    Пример: кубоидальная коробка проникает в огромный плоский слой заряда с однородной поверхностной плотностью заряда 2,5 × 10–2 См – 2, так что его наименьшие поверхности параллельны слою заряда. Если размеры коробки составляют 10 см × 5 см × 3 см, найдите заряд, вложенный в коробку.

    Решение:

    Заряд, заключенный в коробку, = заряд за часть листа, заключенную в коробку.

    Площадь вложенного листа; A = площадь наименьшей поверхности ящика

    = 5 см × 3 см = 15 см2 = 15 × 10–4 м2

    Плотность заряда; \ [\ sigma \] = 2.{--3}} \]

    (б) 3,8 × 10–2 См – 3

    (в) 6 × 10–2 См – 3

    (г) 2 × 10–2 См – 3


    Ответ: (б)

    Многоступенчатый метод зарядки CC-CV для литий-ионной батареи

    Зарядка литий-ионной батареи с использованием стратегии постоянного тока и постоянного напряжения (CC-CV) при температуре –10 ° C позволяет достичь только 48,47% от нормальной емкости. Чтобы улучшить плохие характеристики зарядки при низкой температуре, принцип работы зарядки аккумулятора при низкой температуре анализируется с использованием электрохимической модели и модели эквивалентной схемы RC первого порядка; кроме того, предлагается многоступенчатая стратегия CC-CV.В предлагаемой многоступенчатой ​​стратегии CC-CV зарядный ток уменьшается, чтобы продлить процесс зарядки, когда напряжение на клеммах достигает напряжения отключения зарядки. Результаты зарядки многоступенчатой ​​стратегии CC-CV получены при 25 ° C, 0 ° C и -10 ° C по сравнению с результатами CC-CV и двухступенчатой ​​стратегии CC-CC. Результаты сравнения показывают, что при заданных температурах емкость зарядки увеличивается с помощью многоступенчатой ​​стратегии CC-CV, и примечательно, что емкость зарядки может достигать 85.32% от номинальной емкости при −10 ° C; также сокращается время зарядки.

    1. Введение

    Благодаря преимуществам нулевого загрязнения, высокой энергоэффективности и плюралистичности источников энергии, электромобили стали новой точкой развития автомобильной промышленности [1–3]. Литий-ионные аккумуляторы широко используются в электромобилях из-за их высокой плотности энергии, длительного срока службы и высокого уровня безопасности [4]. Но аккумуляторная технология по-прежнему не может удовлетворить потребности электромобилей в отношении больших расстояний, быстрого восстановления емкости и использования при низких температурах [5].При низкой температуре химическая активность аккумулятора снижается, сопротивление увеличивается, а емкость уменьшается. Процесс зарядки более сложен, чем процесс разряда при низкой температуре [6, 7].

    В последние годы была проделана большая работа по стратегиям зарядки. В [8] для получения быстрой зарядки был предложен трехступенчатый метод зарядки Ni / MH аккумулятора. В [9] была предложена оптимальная стратегия зарядки током, основанная на граничных кривых зарядного тока. Кривые граничного зарядного тока были получены путем анализа повышения температуры и поляризационного напряжения в процессе зарядки.Период зарядки был уменьшен, а емкость увеличена. В [10] предложена стратегия заряда с изменяемым напряжением, которая может обнаруживать и динамически отслеживать подходящую скважность зарядного импульса. По сравнению с обычной стратегией CC-CV скорость зарядки была увеличена на 14%, а эффективность зарядки - на 3,4%. В [11] была построена модель оценки SOC, а процесс зарядки CC-CV контролировался SOC батареи. Емкость заряда можно контролировать, чтобы получить более высокий уровень заряда и избежать перезарядки.В [12] был использован алгоритм Ant Colony System для выбора оптимального зарядного тока среди пяти состояний зарядки, время зарядки было уменьшено, а срок службы батареи увеличен на 25%. В [13] для получения быстрого заряда использовался алгоритм на основе Тагучи. При использовании стратегии зарядки емкость аккумулятора может достигать 75% за 40 минут. В [14] был предложен метод зарядки с нечетким управлением на основе постоянной поляризации для адаптации приема зарядного тока с каскадами SOC аккумулятора. Стратегия зарядки может сократить время зарядки без явного повышения температуры.Ruan et al. и Zhao et al. В [15, 16] изучались температурные характеристики процесса зарядки и разрядки. Температура увеличилась больше в процессе разрядки по сравнению с повышением температуры в процессе зарядки. Перед процессом зарядки был добавлен импульсный процесс зарядки / разрядки, чтобы аккумулятор можно было предварительно нагреть. Аккумулятор мог начать процесс зарядки при относительно высокой температуре, а емкость заряда увеличивалась при низкой температуре.

    Все стратегии зарядки, предложенные в [8–14], в разной степени увеличивают характеристики зарядки аккумулятора.Но производительность зарядки при низкой температуре не рассматривается. Хотя стратегия зарядки с предварительным нагревом при низкой температуре, предложенная в [15, 16], может увеличить зарядную емкость, процесс самоподогрева требует слишком много времени и не может работать в условиях низкого SOC. В этой статье анализируется зарядная характеристика литий-ионного аккумулятора при различных температурах, используется электрохимическая модель и модель эквивалентной схемы первого порядка для теоретического анализа плохих низкотемпературных характеристик литий-ионного аккумулятора, а также предлагается многоступенчатая стратегия CC-CV.Многоступенчатая стратегия CC-CV сравнивается со стратегиями CC-CV и двухэтапной CC-CV при 25 ° C, 0 ° C и -10 ° C.

    2. Экспериментальная
    2.1. Аккумулятор и оборудование

    Используемый аккумулятор представляет собой литий-ионный цилиндрический аккумулятор 18650 с нормальной емкостью 1,37 Ач, нормальным напряжением 3,2 В и напряжением отключения 3,6 В. Максимальные скорости зарядки и разрядки составляют 1 ° C и 2 ° C. C соответственно. Материал положительного электрода - LiFePO 4 , а материал отрицательного электрода - LiC 6 .Тестер аккумуляторов - это тестер аккумуляторов LD с 8 тестовыми каналами, и процесс тестирования можно программировать и контролировать с помощью компьютера. Батарея была испытана в температурной камере, чтобы гарантировать постоянство температурного параметра. Подробные параметры тестера батарей и температурной камеры показаны в таблице 1. Экспериментальная установка может быть описана, как на рисунке 1.


    Аккумуляторное оборудование Максимальный испытательный ток 20 A
    Максимальное испытательное напряжение 5 В
    Точность испытания 0.1%

    Температурная камера Максимальная температура 150 ° C
    Минимальная температура −40 ° C
    Температурный допуск 0,01 ° C


    2.2. Экспериментальный процесс

    В экспериментах тестировались стратегии зарядки аккумулятора: CC-CV, двухступенчатый CC-CV и многоступенчатый CC-CV.Температурные точки испытания составляли 25 ° C, 0 ° C и -10 ° C. Стратегии зарядки объясняются следующим образом.

    Для стратегии CC-CV процесс постоянного тока был зарядкой при 0,3 C до напряжения отсечки 3,6 В, а процесс постоянного напряжения - зарядка 3,6 В в течение 5 минут.

    Для двухступенчатой ​​стратегии CC-CV первый процесс с постоянным током заряжался при 1 C до напряжения отключения 3,6 В. Затем во втором процессе с постоянным током зарядный ток снижался до 0.5 C. Поскольку зарядный ток был уменьшен, напряжение на клеммах снизилось ниже 3,6 В, что позволило продлить процесс постоянного тока до тех пор, пока напряжение на клеммах снова не достигнет напряжения отключения. При постоянном напряжении зарядка осуществлялась при 3,6 В в течение 5 мин [17].

    Для многоступенчатой ​​стратегии CC-CV процесс постоянного тока был разделен на десять этапов. Максимальные и минимальные значения составляли 1 ° C и 0,1 ° C, соответственно, а зарядный ток снижался на 0,1 ° C, когда напряжение на клеммах достигало напряжения отключения.Процесс зарядки при постоянном напряжении составлял 3,6 В в течение 5 мин.

    3. Зарядная характеристика аккумулятора при низких температурах
    3.1. Характеристика зарядной емкости при различной температуре

    Выбранный аккумулятор был заряжен по стратегии CC-CV при 25 ° C, 0 ° C и -10 ° C для получения характеристики зарядной емкости при низкой температуре. Перед каждым процессом зарядки при разной температуре аккумулятор разряжался пустым при 25 ° C и выдерживался в течение шести часов, чтобы обеспечить одинаковую температуру всей батареи.Как показано на Рисунке 2, зарядная емкость при 25 ° C, 0 ° C и −10 ° C составляет 1,309 Ач, 1,196 Ач и 0,664 Ач соответственно. Зарядная емкость уменьшается на 8,6% при 0 ° C и на 49,3% при −10 ° C по сравнению с таковой при 25 ° C. Емкость зарядки сильно уменьшается при −10 ° C.


    3.2. Характеристика OCV при различной температуре

    Батарея была протестирована по правилу гибридной импульсной характеристики мощности (HPPC), которое подробно описано в «Руководстве по тестированию батарей Freedom CAR» [18], чтобы получить OCV, омическое сопротивление () и сопротивление поляризации ().SOC можно рассчитать по следующей формуле: где - начальное значение SOC батареи, AHC - нормальная емкость батареи при 25 ° C, и - разрядный (положительный) или зарядный (отрицательный) ток. Как видно из кривых OCV, показанных на Рисунке 3, OCV отражает тенденцию к увеличению с понижением температуры, а разница OCV при разных температурах относительно более очевидна при низком SOC.


    3.3. и характеристика при разной температуре

    Как показано на рисунках 4 и 5, оба значения и увеличиваются с понижением температуры.

    При полной зарядке конденсатор 2,0 мФ используется в качестве резервного

    • Ресурс исследования
    • Исследовать
      • Искусство и гуманитарные науки
      • Бизнес
      • Инженерная технология
      • Иностранный язык
      • История
      • Математика
      • Наука
      • Социальная наука
      Лучшие подкатегории
      • Продвинутая математика
      • Алгебра
      • Основы математики
      • Исчисление
      • Геометрия
      • Линейная алгебра
      • Предалгебра
      • Предварительный камень
      • Статистика и вероятность
      • Тригонометрия
      • другое →
      Лучшие подкатегории
      • Астрономия
      • Астрофизика
      • Биология
      • Химия
      • Науки о Земле
      • Наука об окружающей среде
      • Здравоохранение
      • Физика
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *