Метод кирхгофа: 1.5.2. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

3. Метод законов Кирхгофа

Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей в узле схемы равна нулю ().

2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произ­вольном кон­туре схемы равна алгебраической сумме ЭДС ().

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и оп­ределить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и при­емников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E₁,E₂,J₁, J₁, J₂,R₁,R₂,R₃,R₄,R₅).

Анализируем структуру схемы: схема содержит n=3 (0, 1, 2) узлов иm=5 ветвей с не­определенными токами. В ветвях с источниками тока

Jтоки оп­ре­делены источниками. Об­щее число уравнений должно быть равно числу опре­деляемых токов “m”.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями токов в вет­вях схемы (I₁,I₂,I₃,I₄,I₅).

2) Составляется (n1) уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа. Уравнение для последнегоn-го узла является зависимым (оно может быть по­лучено путем сложения первых (n1) уравнений).

3) Не­достающие m(n1) уравнений составляются по 2-му закону Кирх­гофа. Пра­вило выбора контуров для составления уравнений: каждый после­дующий контур должен включать в себя хотя бы одну новую ветвь, не охвачен­ную предыдущими уравнениями. Число неза­висимых контуров для схемы лю­бой сложности не может быть больше числа

m(n1).

Ниже приведена система уравнений Кирхгофа для схемы рис. 16, состоя­щая из m=5 уравнений, из которыхn1=2 составлены для узлов 1 и 2 по 1-му закону Кирхгофа иm(n1)=3 составлены для контуров К₁, К₂, К₃по 2-му за­кону Кирхгофа:

узел 1,

узел 2,

контур К₁,

контур К₂,

контур К₃.

4) Система уравнений приводится к матричной форме, составляются мат­рицы ко­эф­фициентов:

;

5) Система уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения ли­нейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициен­тами, в резуль­тате чего определяются неизвестные токи

I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. От­рицательные результаты, по­лучаемые для некоторых токов, означают, что их действительные (физические) направ­ления не соот­ветствуют направлениям, принятым в начале расчета.

6) Определяются напряжения на отдельных элементах схемы (), мощно­сти источников ЭДС (), источников тока () и прием­ников (). При этом мощности приемников энергии всегда положи­тельны, а мощности источников энергии могут быть отрицательными, если со­множители в произведенияхине совпадают по направлению.

Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в со­четании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток

I_k, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их ал­гебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определе­нию, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неиз­вестных составляет m(n1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 17. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в кон­турах-ячейках схемы(I_к1, I_к2, I_к3 ). Контуры-ячейки следует выби­рать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с ис­точниками тока

J образуют свои кон­туры с заданными токами (J₁, J₂).

2) Составляются m(n1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для вы­бранных конту­ровячеек с контурными токами I_к1, I_к2, I_к3. В уравнениях учиты­ваются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

Здесь введены следующие обозначения:

R₁₁= R₁ +R₄; R₂₂ = R₃ +R₄ +R₅ и т.

д. – собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R₁₂ = R₂₁ = R₄ ; R₂₃ = R₃₂ = R₅ и т. д. – взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны – если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны – если контурные токи в ветви направлены встречно, и всегда отрицательны – если все контур­ные токи ориентированы оди­наково (например, по часовой стрелке), равны нулю – если кон­туры не имеют общей ветви, например, R₁₃ = R₃₁ = 0 ;

E₁₁ = E₁ + J₁R₄, E₂₂ = E₂, E₃₃ =  E₃ +J₂R

3 и т. д. – контурные ЭДС, равные алгебраиче­ской сумме слагаемых E_nn = E + JR от всех источников контура.

Система контурных уравнений в матричной форме:

или в сокращенно ,

где  матрица контурных сопротивлений,  матрица контурных токов,  мат­рица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для решения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные контурные токи I_к1, I_к2, I_к3.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I₁, I₂, I₃, I₄,

I₅). Токи ветвей определяются по принципу наложе­ния как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

I₁ = I_к1; I₂ = I_к3; I₃ = I_к2 – J₂; I₄ = I_к1 – I_k2+ J₁; I₅ = I_к2  I_k3 .

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k= I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k

, P_Jk = U_k J_k) и мощности приемни­ков энергии (P_k = I_k² R_k).

Моделирование в электроэнергетике — Расчет электрической цепи. Первый и второй законы Кирхгофа. Метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

Электрическая цепь представляет собой совокупность электрических элементов (резисторов, катушек индуктивностей, батарей конденсаторов, постоянные и переменные источники напряжения и т.д.), которые соединены между собой таким образом, что в полученном замкнутом контуре протекает электрический ток.

Для определения действующих (или мгновенных) значений токов и падений напряжений на элементах электрической цепи необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• Этап 1. Составитьсхему замещения электрической цепи, в которой реальные элементы заменяются идеализированными элементами электрической цепи (активное сопротивление, индуктивность, емкость, ЭДС и т.д.).
• Этап 2.Обозначить на схеме замещения условно положительное направление токов в ветвях и падение напряжения на элементах расчетной схемы замещения. Следует отметить, что в качестве положительного направления падения напряжения выбирают направление, которое совпадает с направлением тока в ветви расчетной схемы замещения.
• Этап 3.Записать систему уравнений, которая связывает напряжения и токи, по одному из следующих способов:

– 1-ого и 2-ого закона Кирхгофа;

– метод контурных токов;

– метод узловых потенциалов.

Каждый из представленных методов позволяет получить необходимый результат, но при разном количестве записанных уравнений в исходной системе уравнений. Следует отметить, что данные методы справедливы как для мгновенных значений токов и напряжений, так и для векторных переменных токов и напряжений.

• Этап 4.Выполнить расчет записанной системы уравнений и определить величины напряжения, токов,перетоков активной и реактивной мощности в ветвях расчетной схемы.

Составление системы уравнений, используя первый и второй закон Кирхгофа.

Первый и второй законы Кирхгофа обеспечивают связь между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Впервые законы были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.  Данные законы вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле).

 Первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов в каждом узле расчетной схемы равна нулю. Данное утверждение справедливо как для мгновенных значений, так и для векторных значений.

где p – количество ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу расчетной схемы.

При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа со знаком «плюс» записываются токи, направленные к узлу, а со знаком «минус» записываются токи, направленные от узла.

Формулировка данного закона может быть переписана в следующем виде: алгебраическая сумма токов, втекающих в узел расчетной схемы, равна алгебраической сумме токов, вытекающих из узла расчетной схемы.

Рис.1. Пояснение к первому закону Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС действующих в этом контуре. Данное утверждение справедливо как для мгновенных значений, так и для векторных значений.

где n – число ветвей в замкнутом контуре;

m – число источников ЭДС.

При составлении уравнений согласно второму закону Кирхгофа со знаком «плюс» записываются падения напряжения (или ЭДС) направление которых совпадает с направлением обхода контура, а со знаком «минус» записываются падения напряжения (или ЭДС) направление которых противоположно направлению обхода контура

Рис. 2. Пояснение ко второму закону Кирхгофа

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. Произвольно выберем положительные направления токов и падений напряжений во всех ветвях расчётной схемы, а также выберем направление обхода во всех контурах.

Рис.3. Расчетная схема замещения для пояснения первого и второго закона Кирхгофа.

Рассматриваемая схема замещения состоит из 2 узлов (q = 2) и 3 ветвей (p = 3). В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать одно уравнение (q – 1):

В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать два уравнения (p – q + 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить токи во всех ветвях расчетной схемы исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений.

Составление системы уравнений, используя метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом по первому и второму законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений. Данный метод основан на применении второго закона Кирхгофа.

При выполнении расчета методом контурных токов необходимо выбрать одинаковое направление обхода в каждом рассматриваемом контуре (либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелке). Далее в соответствии с данным методом записывается система уравнений относительно контурных токов, которые протекают в каждом независимом контуре, используя следующие правила:

Правило №1. В левой части i-го уравнения записываются:

— со знаком «+» записывается произведение контурного тока i-го контура на сумму сопротивлений всех звеньев, входящих в контур;

— со знаком «-» записывается остальные контурные токи, умноженные на суммы сопротивлений звеньев, по которым i-ый контур пересекается с этими контурами.

— ток i-го контура, для которого записывается уравнение;

— сопротивления звеньев, входящих в i-ый контур;

— токи соседних контуров, который пересекаются с i-ым контуром;

— сопротивления звеньев, по которым i-ый контур пересекается с другими контурами.

Правило №2. В правой части i-го уравнения записывается сумма источников ЭДС с учётом знаков («плюс» — если направления ЭДС и обхода контура совпадают, в противном случае – «минус»), а также добавляются источники тока, умноженные на сопротивление соответствующего звена с учётом знаков («плюс» — если направления источника тока и обхода контура совпадают, в противном случае – «минус»)

— источники ЭДС, которые входят в i-ый контур;

 — произведение тока и сопротивление ветви с источником тока, которые входят в i-ый контур.

Заключительным этапом определяются токи во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям контурных токов.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. Произвольно выберем положительные направления обхода в каждом рассматриваемом контуре: направление по часовой стрелке.

Рис.4. Расчетная схема замещения для пояснения метода контурных токов.

Рассматриваемая схема замещения состоит из 2 узлов (q = 2) и 3 ветвей (p = 3), таким образом, в расчетной схеме замещения можно выделить два независимых контура. В соответствии с методом контурных токов можно записать два уравнения (p – q + 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить контурные токи исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений. Заключительным этапом расчета будет являться процесс определения токов во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям контурных токов.

Составление системы уравнений, используя метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом по первому и второму законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений. Данный метод основан на применении первого закона Кирхгофа.

При выполнении расчета методом узловых потенциалов необходимо выбрать один узел, в котором потенциал узла приравнивается к нулю. Остальные потенциалы узлов расчетной схемы определяются относительно узла с нулевым потенциалом. Далее в соответствии с данным методом записывается система уравнений, относительно потенциалов узлов расчетной схемы, используя следующие правила:

Правило №1. В левой части i-го уравнения записываются:

—  со знаком «+» потенциал i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу;

— со знаком «-» потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

— потенциал i-го узла, для которого записывается уравнение;

— сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу;

— потенциал k-го узла, который связан через ветвь с i-ым узлом;

— проводимость ветви, которая связывает i-ый и k-ый узел.

Правило №2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток, который равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “–”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

— источники тока, которые присоединены к i-му узлу;

— произведение ЭДС и проводимости ветви с источником ЭДС, которые присоединены к i-му узлу.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. В одном из рассматриваемых узлов расчетной схеме обозначим нулевой потенциал.

Рис.5. Расчетная схема замещения для пояснения метода узловых потенциалов.

В соответствии с методом узловых потенциалов можно записать одно уравнение (q — 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить потенциал узлов рассматриваемой схемы замещения исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений. Заключительным этапом расчета будет являться процесс определения токов во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям потенциалов узлов рассматриваемой схемы замещения.

Представленные выше методы позволяют определять токи и напряжения в ветвях расчетной схемы для любой электрической цепи постоянного и переменного тока.

Использование закона Кирхгофа для сложных цепей

Узнайте, как анализировать сложную электрическую цепь, чтобы найти напряжения токов с помощью закона Кирхгофа для тока и закона напряжения.

Закон Ома — ваш золотой билет для расчета напряжения, тока или сопротивления в простой последовательной или параллельной цепи, но что происходит, когда ваша цепь более сложная? Вы можете проектировать электронику, которая имеет как параллельное, так и последовательное сопротивление, и закон Ома начинает нарушаться. Или что, если у вас нет источника постоянного тока? В этих ситуациях, когда вы не можете использовать только V = IR, пришло время встать на плечи Ома и использовать закон Кирхгофа. Здесь мы рассмотрим, что такое закон Кирхгофа о цепях и как его использовать для анализа напряжения и тока в сложных электрических цепях.

Что такое закон Кирхгофа?

Когда вы строите сложную схему, включающую мосты или тройники, вы не можете полагаться исключительно на закон Ома для определения напряжения или тока. Здесь пригодится Закон Кирхгофа о цепях, который позволяет рассчитать ток и напряжение для сложных цепей с помощью системы линейных уравнений. Есть два варианта закона Кирхгофа, в том числе:

• Закон тока Кирхгофа: Для анализа полного тока сложной цепи
• Закон Кирхгофа о напряжении : Для анализа полного напряжения сложной цепи
• Если объединить эти два закона, получится Закон Кирхгофа о цепях

Как и любой другой научный или математический закон, названный в честь его создателя, Закон Кирхгофа был изобретен немецким физиком Густавом Кирхгофом. Густав был известен многими достижениями при жизни, в том числе теорией спектрального анализа, которая доказала, что элементы при нагревании излучают уникальный световой узор. Когда Кирхгоф и химик Роберт Бунзен проанализировали эти световые узоры через призму, они обнаружили, что каждый элемент в периодической таблице имеет свою уникальную длину волны. Открытие этой закономерности позволило дуэту открыть два новых элемента, цезий и рубидий.

Позже Кирхгоф применил свою теорию спектрального анализа для изучения состава Солнца, где он обнаружил много темных линий в солнечном спектре длин волн. Это было вызвано тем, что солнечный газ поглощал световые волны определенной длины, и это открытие ознаменовало начало новой эры исследований и исследований в области астрономии.

Чуть ближе к дому в мире электроники Кирхгоф объявил свой свод законов для анализа тока и напряжения для электрических цепей в 1845 году, известный сегодня как Закон Кирхгофа о цепях. Эта работа основана на фундаменте, изложенном в законе Ома, и помогла проложить путь для анализа сложных цепей, на который мы полагаемся сегодня.

Текущий закон Кирхгофа

Закон тока Кирхгофа гласит, что количество тока, входящего в узел, равно количеству тока, выходящего из узла. Почему? Потому что, когда ток входит в узел, ему некуда идти, кроме выхода. То, что входит, должно выйти. Вы можете определить узел, в котором два или более пути соединены через общую точку. На схеме это будет точка соединения, соединяющая два пересекающихся сетевых соединения. При использовании закона тока Кирхгофа помните, что все должно уравновешиваться, принцип, который Кирхгоф назвал Сохранение заряда .

Для проверки закона тока Кирхгофа в цепи выполните следующие три шага:

1. Расчет полного тока цепи
2. Рассчитать ток, протекающий через каждый узел
3. Сравните входной и выходной токи в определенных узлах, чтобы подтвердить закон Кирхгофа о токе.

1. Рассчитать общий ток

Начните с использования закона Ома, чтобы получить полный ток нашей цепи с I = V/R . У нас уже есть общее напряжение, и теперь нам просто нужно найти общее сопротивление во всех наших узлах. Для этого требуется простой метод расчета общего сопротивления резисторов, соединенных параллельно.

Как только вы получите общее сопротивление всей цепи, подключите его к закону Ома I = V/R , чтобы получить общий ток в нашей цепи.

2. Расчет узловых токов

Теперь, когда мы знаем, сколько ампер уходит из нашей цепи, мы можем рассчитать ток в каждом наборе узлов. Снова прибегнем к помощи Закона Ома в виде I = V/R , чтобы получить ток для каждой ветви узла.

3. Подтвердить действующий закон Кирхгофа

После расчета тока для каждой ветви узла у нас теперь есть две различные точки отсчета, которые мы можем использовать для сравнения наших входных и выходных токов. Это позволит нам проанализировать нашу схему и подтвердить закон тока Кирхгофа.

Закон напряжения Кирхгофа

Закон напряжения Кирхгофа гласит, что в любой замкнутой цепи общее напряжение всегда будет равно сумме всех падений напряжения в цепи. Вы обнаружите, что падение напряжения происходит всякий раз, когда ток протекает через пассивный компонент, такой как резистор, и Кирхгоф назвал этот закон Законом сохранения энергии . Опять же, то, что входит, должно выйти.

Если пассивные компоненты ваших цепей соединены последовательно, вы можете просто сложить общее падение напряжения и сравнить его с общим напряжением, чтобы подтвердить закон. Поскольку общее падение напряжения в цепи должно равняться общему напряжению источника, это обеспечивает простой способ вычисления недостающей переменной. Если бы вы захотели выразить это соотношение в виде правильного алгебраического выражения, вы бы получили сумму всех падений напряжения и общее напряжение, равное нулю, как показано здесь:

Обычно для подтверждения закона Кирхгофа о напряжении необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассчитать полное сопротивление цепи
2. Рассчитать полный ток цепи
3. Рассчитать ток через каждый резистор
4. Рассчитать падение напряжения на каждом резисторе

Сравните источник напряжения с полным падением напряжения , чтобы подтвердить закон Кирхгофа о напряжении

1.

Рассчитать общее сопротивление

Если все ваши резисторы соединены последовательно, вы можете легко найти общее сопротивление, просто сложив все значения сопротивления вместе.

2. Рассчитать общий ток

Теперь, когда мы знаем общее сопротивление, мы можем снова использовать закон Ома, чтобы получить полный ток нашей цепи в виде I = V/R, , что выглядит так:

3. Рассчитайте ток через каждый резистор

Если все ваши резисторы соединены последовательно, все они будут иметь одинаковую величину тока, протекающего через них, что мы можем выразить как:

4. Рассчитайте падение напряжения на каждом резисторе

Наш окончательный расчет снова будет использовать закон Ома, чтобы дать нам общее падение напряжения для каждого резистора в виде В = IR , что выглядит так:

5. Проверка закона Кирхгофа о напряжении

Теперь у нас есть все необходимые данные, включая общее напряжение нашей схемы, а также каждое падение напряжения на каждом из наших резисторов. Собрав все это вместе, мы можем легко подтвердить закон Кирхгофа о напряжении. Общее напряжение равно общему падению напряжения в нашей цепи. То, что входит, должно выйти наружу, и закон Кирхгофа снова работает!

Процесс использования закона Кирхгофа о цепях

Теперь, когда вы понимаете, как работает закон Кирхгофа о цепях, у вас есть новый инструмент для анализа напряжения и тока в полных цепях. При использовании этих законов в дикой природе рассмотрите возможность использования следующего пошагового процесса:

1. Во-первых, начните с маркировки всех известных напряжений и сопротивлений в вашей цепи.
2. Затем назовите каждую ветвь вашей цепи текущей меткой, например I1, I2, I3 и т. д. Ветвь – это один или группа компонентов, соединенных между двумя узлами.
3. Затем найдите закон тока Кирхгофа для каждого узла в вашей цепи.
4. Затем найдите закон Кирхгофа для напряжения для каждого независимого контура в вашей цепи.

После того, как вы рассчитали законы тока и напряжения Кирхгофа, вы можете использовать свои уравнения, чтобы найти недостающие токи. Готовы попробовать сами? Взгляните на схему ниже и посмотрите, сможете ли вы проверить закон Кирхгофа для тока и закон напряжения с небольшой помощью Ома!

Стоя на плечах Ом

Имея в руках закон Кирхгофа о цепях, у вас теперь есть все инструменты, необходимые для анализа напряжения и тока в сложных цепях. Как и многие другие научные и математические принципы, закон Кирхгофа стоит на плечах того, что было до него — закона Ома. Вы обнаружите, что используете закон Ома для расчета отдельных сопротивлений, напряжений или токов, а затем опираетесь на эти расчеты с помощью закона Кирхгофа, чтобы увидеть, соответствует ли ваша схема этим принципам тока и напряжения.

Готовы применить закон Кирхгофа в своем собственном проекте по разработке электроники? Попробуйте Autodesk Fusion 360 бесплатно уже сегодня!

Метод Кирхгофа — Математическая энциклопедия

Метод приближенного решения задач теории дифракции коротких волн; предложенный Г.Р. Кирхгоф. {ikx_{1}} + U$, где $U$ удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда. Решение задачи существует и имеет интегральное представление 9{2} } d \alpha $, а в затененной зоне $ u _ {K} = O ( 1/ k ) $( на самом деле в теневой зоне $u$ уменьшается значительно быстрее, чем $1/k$).

Метод Кирхгофа дает формулу для $ u $ правильное в основных условиях и остается правильным при $ | х | \rightarrow \infty $. В последующих заказах в $k$ приближение Кирхгофа больше не применимо.

Каталожные номера

[1]

H. Hönl, A.-W. Мауэ, К. Вестпфаль, «Theorie der Beugung» С. Флюгге (ред.), Handbuch der Physik , 25/1 , Springer (1961), стр. 218–573

А. Рубинович, «Die Beugungswelle in der Kirchhoffschen» Theorie der Beugung» , PWN (1957)

Как цитировать эту запись:
Метод Кирхгофа. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.