Постоянная составляющая периодического сигнала: Постоянная составляющая сигнала — что это такое?

4. Оптимальная фильтрация периодического сигнала

 

В случае периодического сигнала целесообразно использовать его накопление в течении ряда периодов. Покажем, как может быть получен существенный выигрыш в отношении сигнал/шум на выходе фильтра. На периодическом сигнале этот выигрыш может быть реализован в статических свойствах сигнала и шума (который по прежнему будем считать«белым»). В частности, может быть использовано различие в корреляционных функциях детерминированного сигнала и шума. При этом мы рассмотрим последовательно два варианта построения «корреляционных фильтров». В первом — будем считать, что сигнал периодический, но период не известен;во-втором — период сигнала известен, но не известна его «фаза».

Рассмотрим первый вариант.

4.1 Выделение периодического сигнала из аддитивной его смеси с шумом, когда период не известен.

Используем алгоритм оценки корреляционной функции

(4.1)

Здесь и  автокорреляционные функции сигнала и шума, а  и  — взаимокорреляционные функции сигнала и шума. Так как сигнал и шум можно считать не зависимыми процессами, то взаимно корреляционные функции и  равны нулю.

Оценим теперь и . Будем считать, что на входе корреляционного фильтра включен аналоговый НЧ фильтр первого порядка (3.14). Тогда, в соответствии с (2.1), имеем

(4.2)

При вычислении интеграла будем различать два случая: и  . Напомним, что  — задержка выборочных значений (сдвиг аргумента) второго сомножителя в подынтегральной функции (4.1). Знаменатель подынтегральной функции имеет два корня: .

Вычисляя этот интеграл по формуле разложения [4,5], по вычетам, получаем с учетом знания , явный вид:

(4.3)

Полагая , получаем мощность шума на выходе:

(4.4)

Напомним, что этот результат был получен и ранее ,формула (3.22).

Значение функции корреляции для периодического сигнала было приведено выше (1.14). Учитывая его, получаем значение искомой корреляционной функции:

(4.5)

Членимеет смысл «шума», обусловлен величиной суммы при конечном времени интегрирования и усреднения ,стремится к нулю при увеличении T и t. Обращаясь к (4.5) видим, что при увеличении сдвига-задержки первое слагаемое (сумма) описывает неубывающую осциллирующую функцию, полезный сигнал по аргументу ( а не t) , второе — экспоненциально убывает. Таким образом обеспечивается принципиальная возможность выделить осциллирующий член — полезный сигнал из аддитивной смеси сигнала и шума, имеющейся на входе фильтра. Следует обратить внимание, что для реализации рассмотренного способа необходимо на каждом шаге изменения вычислять соответствующие интегралы по интервалу Т, чтобы обеспечить малую величину приближенных величин взаимокорреляционных функций и  . (см. рис. 10)

Рис. 10 . (4.6).

Конечная величина интервала интегрирования приводит к тому, что величина D (t) 0 будет «шумом».Величину такого рода «шума» достаточно просто оценить для случая, когда период полезного сигнала известен.

 

4.2 Выделение гармонического сигнала из шума, когда его период известен.

Рассмотрим теперь случай, когда период полезного сигнала известен, но неизвестна его «фаза», да и само наличие под вопросом. В этом варианте целесообразно использовать алгоритм вычисления взаимокорреляционной функции аддитивной смеси полезного сигнала и шума и опорным сигналом , период которого равен периоду полезного сигнала. Возможный выигрыш в отношении сигнал/шум рассмотрим на примере гармонического сигнала. Опорный сигнал тоже положим гармоническим, но с другой амплитудой и фазой . Шум будем считать «белым».

; (4.7)

Таким образом искомая взаимокорреляционная функция будет

 

(4.8)

Второй член в (4.8) можно рассматривать, как фон при конечном времени интегрирования, тогда, как третий интеграл имеет смысл «шума».

И «фон» и «шум» убывают при увеличении времени интегрирования Т. Очевидно, что «фон» убывает как 1/Т. Характер убывания «шума» при увеличении Т рассмотрим более подробно, отдельно.

Для оценки величины «шума» используем соотношение Хинчина [12]:

(4.9).

Здесь  — корреляционная функция случайного процесса, x(t)— детерминированная функция. Примем условия рассмотренного выше примера: шум на входе будем полагать «белым» со спектральной плотностью мощности , на входе корреляционного фильтра включен RC фильтр с коэффициентом передачи.

.

Выше было показано, что корреляционная функция случайного процесса на выходе такого RC фильтре имеет вид:

(4.3)

Подставляя эти функции в (4.9) и вычисляя двойной интеграл, получаем громоздкое выражение ( см.приложение), включающее члены, имеющие различное убывание при увеличении интервала интегрирования Т.

Если учесть только наиболее медленно убывающий член 1/T, то приближенно получаем:

(4.10).

Эта формула и описывает мощность «шума» на выходе корреляционного фильтра, обусловленного конечным временем интегрирования Т. «Амплитуда шума» соответственно:

 

(4.11).

Заметим, что роль частотного интервала здесь играет величина 1/T Величина же  просто безрамерный коэффициент.

Обращаясь к (4.8), напомним, что первый член описывает взаимокорреляционную функцию детерминированных сигналов, полезного и опорногои, следовательно, имеет смысл полезного сигнала на выходе корреляционного фильтра:

(4.12).

Очевидно, что отношение сигнал/шум, (предполагая , что выбирается так,чтобы ), будет:

(4.13).

Это важный результат: при накоплении периодического сигнала, которое можно вести на протяжении ряда периодов, отношение амплитуд сигнал/шум на выходе корреляционного фильтра увеличивается пропорционально корню квадратному от времени интегрирования. (). Понятно, что полученная зависимость сигнал/шум от времени интегрирования (как ) сохранится и в случае сложного периодического ( импульсного) сигнала. Заметим, что в этом случае и опорный сигнал должен иметь спектр такой же, как и спектр полезного сигнала.

Реализовать описанный алгоритм возможно используя преобразование суммарного входного сигнала в цифровую форму , что позволит далее производить все операции вычисления с помощью программ на ЭВМ. При необходимости иметь выходной сигнал в аналоговой форме нужно использовать цифроаналоговый преобразователь. Кроме того, для ограничения спектра шума по входу необходимо сохранить, аналоговый фильтр, подобный рассмотренному в данном примере .

В заключение этого раздела отметим, что результат здесь был получен на «временном языке», т. е. отношение сигнал/шум на выходе корреляционного фильтра, выражено как функция времени накопления (интегрирования). Но при этом пока неочевидно каков будет коэффициент передачи корреляционного фильтра в частотной области.

Ответ на этот вопрос удобно получить, рассмотрев аналоговый вариант корреляционного фильтра.

 

4.3 Аналоговый вариант корреляционного фильтра.

В радиотехнических терминах такой корреляционный фильтр реализуется схемой фазового детектора. Действительно, функционально схема фазового детектора реализует алгоритм определения взаимной корреляционной функции.

Рис. 11

 

Эта схема содержит входной фильтр , генератор опорного сигнала, перемножитель входного сигнала с опорным и накопитель- инерционный узкополосный фильтр , выполняющий приближенно операцию интегрирования.

Рассмотрим функционирование этой схемы, обращая внимание на преобразование спектра принимаемого (входного) сигнала.

Полезный сигнал опять будем считать гармоническим, а входной сигнал аддитивной смесью этого сигнала с «белым» шумом .

Пусть есть резонансный RLC фильтр

Рис.12

(4.14)

будем считать узкополосным, тогда при выполнении условия получим приближенное выражение:

, (4.15)

Удобно ввести ширину полосы пропускания фильтра при заданной неравномерности , примем . Тогда , -добротность, следовательно,

(4.16)

Заметим, что на резонансной частоте имеем и 

Будем далее учитывать нормированный модуль коэффициента передачи входного фильтра

(4.17)

Рассмотрим прохождение белого шума через такой резонансный фильтр , считая, что его спектральная плотность мощности- .

Используя (2.3) , имеем выражение для спектральной плотности мощности шума на выходе резонансного фильтра , на входе перемножителя.

(4.18)

В качестве второго сомножителя на перемножитель подается гармонический сигнал. Здесь возможны два варианта: первый — частота опорного сигнала равна частоте полезного сигнала (). В этом случае фильтр должен быть фильтром НЧ. Полезный выходной сигнал будет представлен постоянной составляющей. Второй вариант- частота опорного сигнала . Здесь выходной фильтр должен быть резонансным на частоте .

Рассмотрим первый вариант: , опорный гармонический сигнал

(4.19)

Его спектр

(4.20)

Убедимся, что спектр (4.20) связан преобразованием Фурье с (4.19)

(4.21)

Здесь использовано известное свойство d (x) функции :.

Итак, имеем спектры сомножителей, хотим найти спектр произведения — спектр на входе перемножителя. Используем формулу свертки в частотной области [8 ]:

(4.22)

Спектры сомножителей (4.19) и (4.20) изображены на рис.13

рис.13

Подставив значения спектральных функций (4.18) и (4.20) в (4.22) , получим спектральную плотность мощности шума на выходе перемножителя:

(4.23)

Наконец, спектральная плотность мощности шума на выходе узкополосного НЧ фильтра будет содержать только полосу спектра вблизи . Это дает:

(4.24)

 

Теперь легко найти мощность шума, имеющую такой спектр. Это удобно сделать так:

найти автокорреляционную функцию, соответствующую этому спектру и устремить t -> 0

(4.25)

Полоса фильтра выбирается много меньше, чем у фильтра , то есть , при этом (4.25) приблизительно дает:

(4.26)

Таким образом, мощность шума на выходе фазового детектора -корреляционного фильтра пропорциональна узкой полосе выходного фильтра равной DW Аналогично оценим величину и мощность полезного сигнала. Функция взаимной корреляции полезного гармонического сигнала была определена ранее (4.8),(4.12). Она описывает величину выходного полезного сигнала, в данном случае величину постоянной составляющей как функции задержки опорного сигнала .

(4.12)

Максимум сигнала на выходе фазового детектора получается при значениях

где n- целое число. Следует обратить внимание, что формула (4.12) описывает не мощность сигнала , а его величину («амплитуду»). Множителю следует придать смысл коэффициента усиления. Этот множитель присутствует и в выражении, оценивающем мощность шума. (). Поэтому мощность сигнала ( его максимального значения при ) будет описываться так

(4.27)

А отношение сигнал/шум по мощности (см 4.26) есть:

(4.28)

соответственно, отношения сигнал/шум по амплитуде на выходе корреляционного фильтра — фазового детектора будет

(4.29)

 

4.4. Супергетеродинный приёмник — аналоговый корреляционный фильтр

Коротко рассмотрим отмеченный выше второй вариант: частота опорного генератора отлична от частоты полезного сигнала здесь после перемножения полезного сигнала с опорным получим сумму двух гармонических сигналов на суммарной и разностной частотах

(4.30)

-фаза опорного сигнала. Здесь сомножителями участвовали сигналы:

, .

В качестве узкополосного интегрирующего фильтра в этом случае нужно использовать резонансный фильтр — ( усилитель), настроенный на суммарную или разностною частоту. Отличием от рассмотренного выше варианта является то , что при изменении фазы опорного сигнала относительно фазы входного (полезного) сигнала амплитуда гармонического сигнала на разностной и суммарной частоте будет оставаться постоянной. Изменяться будет только фаза сигнала на этих частотах. Функционально схема, изображенная на рис.11 ., включающая . в качестве фильтра К2 резонансный фильтр, настроенный на , является типовой схемой супергетеродинного приёмника в высокочастотной её части и работает как аналоговый корреляционный фильтр. Преобразование шума в этом варианте фильтра легко оценить совершенно также, как это было сделано выше, только размещение полос спектра шума по диапазону будет другим.

рис.14

Не повторяя очевидных выкладок качественно поясним это рисунком (Рис.14), на котором по осям частот указаны частоты сигналов и полосы спектра шума. Соотношение сигнал/шум и в этом случае будут также определятся выражениями (4.28) и (4.29):

Формула (4.28) дает ответ и на вопрос об оптимальном комплексном коэффициенте передачи корреляционного фильтра. Для гармонического сигнала — это коэффициент , описывающий узкополосный выходной (интегрирующий) фильтр. В случае, когда частота опорного сигнала совпадает с частотой полезного это будет низкочастотный фильтр.(3.16) или (3.32). Если частота опорного отлична от частоты сигнала — это будет резонансный фильтр(4.15), настроенный на суммарную или разностную частоту . В этом случае целесообразно совместить функцию фильтрации с усилением, т.е. в качестве интегрирующего элемента использовать резонансный усилитель. Однако на отношение сигнал/шум величина этого усиления влиять не будет: и шум и сигнал усиливаются одинаково.

Отметим, что рассмотренные выше примеры, когда в качестве полезного сигнала рассматривается неограниченный во времени гармонический сигнал не представляет непосредственного интереса: здесь время накопления формально может стремиться к бесконечности, а полоса пропускания фильтра к нулю. (Время установления сигнала в таком фильтре будет стремиться к бесконечности).

Однако полученные результаты являются основой для оценки отношения сигнал/шум при ограниченном времени интегрирования или конечной полосе фильтра. Уместно напомнить, что полоса фильтра и время установления связаны соотношением : .

Так, например, задавшись временем наблюдения, ( можно приравнять его времени установления в наиболее узкополосном звене), получаем необходимую ширину полосы узкополосного фильтра (). А при заданных величинах входного сигнала и спектральной плотности мощности шума , определяем и отношение сигнал/шум на выходе. Наоборот, задавшись желаемым соотношением сигнал/шум на выходе ( при известных данных входных и  ), получаем величину требуемого времени установления (наблюдения) или полосу интегрирующего узкополосного фильтра. Оценка отношения сигнал / шум будет продолжена при рассмотрении конкретной схемы оптимального фильтра в разделе 4.5.2

4.5 Оптимальный прием сложного периодического сигнала

Гораздо более интересным является случай, когда полезный сигнал является сложным периодическим сигналом. Для такого сигнала будут рассмотрены два вопроса:

• Какой вид будет иметь взаимно-корреляционная функция, как функция временного сдвига опорного сигнала относительно входного, полезного?

• Какова будет АЧХ оптимального фильтра для сложного (импульсного) периодического сигнала и как будет зависеть отношение сигнал/шум от параметров фильтра?

Получив ответы на эти вопросы, окажется возможным оценить выигрыш в отношении сигнал/шум при ограниченном времени наблюдения. Например, при приеме ‘пачки’ из n импульсов на заданном временном интервале.

Отдельно надо будет оценить необходимую разрядность аналого-цифрового преобразователя, способного реализовать требуемый выигрыш в отношении сигнал/шум.

4.5.1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

В качестве первого примера рассмотрим выделение полезного сигнала , представляющего периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая принимается на фоне шума .

В роли приемного устройства, обеспечивающего желаемый выигрыш в отношении сигнал/шум, будем использовать корреляционный аналоговый фильтр, описанный выше. В качестве опорного сигнала будет использоваться аналогичная периодическая последовательность прямоугольных импульсов с той же частотой повторения, но, возможно другой длительности. Работу перемножителя в данном случае можно представлять как действие ключа: во время опорного импульса ключ замкнут, в его отсутствии — разомкнут. Коэффициент передачи перемножающего устройства периодически изменяется от единицы до нуля.

Рис 15

 

Для нахождения , как и ранее, используем соотношение Фурье (2.1), найдя сначала соответствующую спектральную функцию . Для этого можно вначале определить спектр произведения одиночных импульсов, а затем, используя известную связь спектра одиночного и периодического сигналов, найти искомый спектр произведения периодических сигналов.

Принятые обозначения параметров импульсов изображены на рисунке

Изображения этих одиночных импульсов будут соответственно

, (4.31)

Изображение произведения временных функций определим, используя формулу свертки в частной области

(4.32)

Заметим, что при интегрировании (4.32) точку Х на вещественной оси и комплексную точку Р следует взять настолько далеко вправо, чтобы для точки S, перемещающейся по прямой интегрирования (от  до ) соблюдались два условия: во-первых, чтобы S оставалось в полуплоскости сходимости изображения , и во-вторых, чтобы P-S оставалось в полуплоскости изображения [ Дёч ]

Подставляя (4.31) в (4.32) получаем, что необходимо вычислить четыре интеграла

, , (4.33)

Значения этих интегралов зависят от знака показателя экспоненты. Покажем, как он влияет на примере вычисления , используя формулу разложения [ ], [ ], т. е. считая его по вычетам. Знаменатель в (4.33) имеет два корня S=0 и S=P , второй корень следует считать расположенным правее исходного контура интегрирования, (в правой полуплоскости S). При , в соответствии с леммой Жордана, можем исходный контур замкнуть полуокружностью бесконечно большого радиуса в левой полуплоскости  S. При этом в образовавшемся замкнутом контуре окажется только полюс в точке S=0. Что дает:

 

Если же , то лемма Жордана позволяет замкнуть исходный контур полуокружностью в правой полуплоскости S, теперь в замкнутом контуре окажется полюс S=P. Вычисляя этот вычет (с учетом знака (-)из-за изменения направления обхода по замкнутому контуру L), получаем:

 

 

 

Аналогично вычисляются и остальные интегралы (, и ).

Результаты вычисления представлены в таблице 1.

 

Очевидно, что искомое изображение (4.32) на выходе перемножителя-ключа получается суммированием с учетом взаимного положения и  во времени. Наглядно этот результат представлен на рисунке (в случаях B,C,D,E не выписаны сокращающиеся слагаемые).

Приведенные данные позволяют построить и функцию взаимной корреляции на выходе узкополосного, интегрирующего звена , выделяющего (в данном примере) постоянную составляющую, величина которой зависит от взаимного положения импульсов во времени. Учитывая, что при изменении сдвига-задержки опорного сигнала на входе звена меняется длительность импульса и учитывая, что постоянная составляющая в спектре пропорциональна , имеем:

(4.35)

 

Получаем, что при изменении временного положения опорного импульса относительно сигнала взаимокорреляционная функция будет иметь вид или трапеции (при ), или видтреугольника () (см. рис.17). Теперь перейдем к анализу процессов в описанном фильтре при приеме периодической последовательн

ости импульсов. Проведем рассмотрение со спектральной точки зрения. Используем известную связь между спектральной плотностью одиночного импульса и дискретным спектром периодической последовательности таких импульсов, который описывается рядом Фурье. Связь такова:

и  (4.36),

где  — комплексная амплитуда катой гармоники спектра периодической последовательности, T- период следования импульсов, .

Из формулы следует, что амплитуды гармоник периодической последовательности, умноженные на период Т, равны значениям функции модуля спектра одиночного импульса на частотах .

Для обеспечения оптимального приема периодической последовательности используем опорный сигнал также представляющий периодическую последовательность импульсов с тем же периодом. Таким образом, спектр опорного сигнала будет также дискретным; его гармоники будут иметь те же частоты , что и гармоники спектра входного сигнала.

Каков же будет спектр на выходе умножителя?

Каждая гармоника спектра опорного сигнала в результате перемножения дает суммарную и разностную частоту со всеми гармониками спектра сигнала. Если далее включен фильтр НЧ () с полосой более узкой, чем дистанция между гармониками спектров (), то будет выделена сумма постоянных составляющих, получающихся в результате перемножения гармоник спектров на совпадающих частотах. Все остальные комбинационные частоты не будут пропущены таким узкополосным фильтром. Следовательно, суммарный сигнал (как сумма постоянных составляющих) в результате перемножения и фильтрации одинаковых гармоник спектров входного и опорного сигналов будет

(4.37),

Сравнивая (4.37) с (1.14), видим, что данная сумма описывает взаимокорреляционную функцию периодических сигналов, имеющих одинаковые периоды Т.

Заметим, что данная взаимокорреляционная функция будет описывать периодическое повторение (по переменной t ) полученной выше корреляционной функции для одиночных сигналов (4.34).

Какова же будет амплитудно-частотная характеристика такого фильтра?

В результате простого модельного эксперимента убеждаемся, что рассматриваемый фильтр будет иметь гребенчатую амплитудно-частотную (АЧХ) характеристику. Действительно, представим, что для определения АЧХ подаем на вход испытательный гармонический сигнал с медленно изменяющейся во времени частотой. Так медленно изменяющейся, чтобы успевал устанавливаться переходной процесс в узкополосном усилителе. При этом обеспечим, что ширина полосы пропускания НЧ фильтра будет много меньше, чем частотный интервал между гармониками в спектре опорного периодического импульсного сигнала. Очевидно, что всякий раз, когда разность частоты какой либо гармоники спектра опорного сигнала и изменяющейся частоты испытательного сигнала оказывается в полосе пропускания НЧ фильтра, на его выходе появляется сигнал. Изменение амплитуды этого сигнала во времени приближенно описывает АЧХ этого низкочастотного фильтра. И так будет всякий раз при прохождении изменяющейся частоты испытательного сигнала по интервалам , где — частоты гармоник спектра () опорного сигнала. Таким образом, в целом полученная АЧХ будет иметь вид «гребенки». Максимумы зубцов этой гребенки будут лежать на частотах , ширина же и форма каждого зубца определяются АЧХ узкополосного фильтра, интервалы между зубцами равны интервалам, между гармониками опорного сигнала.

4.5.2 Оптимальный фильтр для периодической последовательности радиоимпульсов

Особенно явно преимущества корреляционного фильтра, использующего импульсный опорный сигнал, проявятся при приеме радиоимпульсов с высокочастотным заполнением. В этом случае в качестве узкополосного элемента целесообразно использовать резонансный усилитель, обеспечивающий и необходимое усиление сигнала. В этом варианте корреляционный фильтр — это известный супергетеродинный приемник, но с импульсным гетеродином и достаточно узкополосным усилителем промежуточной частоты.

Легко убедиться, что если опорный, (гетеродинный) сигнал это радиоимпульс с несущей частотой и частотой повторения , то данный приемник-фильтр будет иметь гребенчатую характеристику.

 

Действительно, будем снимать АЧХ устройства, опять подавая на вход смесителя испытательный гармонический сигнал с медленно изменяющейся частотой. При этом будем использовать импульсный гетеродин и обеспечим, что ширина полосы пропускания резонансного усилителя будет много меньше, чем частотный интервал между гармониками в спектре опорного сигнала — гетеродина . Тогда всякий раз, когда разность (или сумма) текущей частоты испытательного сигнала с некоторой гармоникой гетеродина оказывается равной (в пределах полосы ) сигнал проходит через узкополосный усилитель. Это будет гармонический сигнал промежуточной частоты с частотой . И так будет повторяться каждый раз, когда разность или сумма частот испытательного сигнала и какой либо изгармоник (n) гетеродина равны . Таким образом, очевидно, что амплитудно-частотная характеристика приемника-фильтра будет иметь вид «гребенки». Ширина и форма «зубца» определяется частотной характеристикой узкополосного резонансного усилителя, а положение «зубцов» на шкале частот — положением гармоник гетеродина и номиналом . Теперь рассмотрим процесс в приемнике-фильтре при включении на его вход периодической последовательности радиоимпульсов. Анализ будем проводить с двух точек зрения: временной и спектральной.

Начнем с временной. Предположим, что последовательность импульсов опорного сигнала-гетеродина медленно смещается относительно последовательности входных радиоимпульсов. Такое предположение означает, что частоты повторения импульсов в этих последовательностях отличаются, но так что бы .

На рисунке 19 изображены три относительных положений импульсов во времени.

рис.19

 

Импульсы частично перекрываются во времени, импульсы совпадают, импульсы разнесены. Очевидно, что во втором случае сигнал промежуточной частоты будет иметь максимальное значение, при разносе их во времени , а при частичном перекрытии (||) выходной сигнал будет иметь отличное от нуля значение, но . Зависимость амплитуды гармонического сигнала промежуточной частоты от величины их «задержки»  — относительного положения во времени будет описываться корреляционной функцией, как это было показано выше для одиночных сигналов. Только теперь эта корреляционная функция будет периодической функцией с периодом Т.

рис.20

 

Рассмотрим теперь этот процесс с частотной, спектральной точки зрения. Так как оба сигнала, и входящий, и опорный являются радиоимпульсами с различной несущей ( и ), но с одинаковыми частотами повторения , то каждому соответствует линейчатый (дискретный) спектр с некоторой эффективной шириной. Их спектры разнесены по шкале частот на номинал промежуточной частоты.

Для определенности будем считать, что . Очевидно, что в результате перемножения входного и опорного каждая из гармоник даст сумму гармонических сигналов на частотах . Так как полоса резонансного фильтра принята меньше, чем интервал между гармониками (), то из богатого спектра комбинационных частот после умножителя узкополосным фильтром будут отфильтрованы только гармонические сигналы с частотами равными промежуточной, т.е.

Результирующий гармонический сигнал промежуточной частоты на выходе резонансного фильтра есть векторная сумма „парциальных“ сигналов, получаемых от взаимодействия каждой гармоники спектра с соответствующей гармоникой спектра опорного гетеродина .

Фазы этих „парциальных“ векторов будут различны и изменяться при изменении относительного положения импульсов сигнала и гетеродина во времени. Здесь нужно различать способы формирования опорного (гетеродинного) радиоимпульса.

Первый способ — ударное возбуждение радиоимпульса: фаза ВЧ заполнения жестко привязана к огибающей. При изменении задержки такой импульс смещается как целое. Фазы гармоник его спектра изменяются так , т. е. все вектора, представляющие парциальные сигналы, вращаются, но разной „скоростью“.

Векторная сумма зависит от взаимного положения „парциальных“ векторов, от их взаимных разностей фаз Качественно картина меняется так: при разносе импульсов во времени эти вектора расположены „веером“ так, что их векторная сумма равна нулю. При частичном перекрытии „веер“ частично „схлопывается“, что дает некоторую отличную от нуля амплитуду суммарного сигнала. Наконец, при совпадении импульсов во времени „веер“ складывается, все „парциальные“ вектора оказываются в фазе, что обеспечивает максимальное значение результирующей амплитуды сигнала промежуточной частоты.

Заметим, что фаза результирующего сигнала промежуточной частоты (положение суммарного вектора) будет изменяться на всем интервале изменения задержки , от начала „перекрытия“ импульсов () во времени, до полного их разноса ().

Сказанное качественно иллюстрируется рис. 21,22.

Рис.21

Рис.22

 

 

Рассмотрим другой способ формирования опорных радиоимпульсов, импульсов гетеродина. При этом способе из непрерывного гармонического сигнала на частоте путем импульсной амплитудной модуляции формируется также периодическая последовательность опорных радиоимпульсов. Очевидно, что в этом варианте фаза и огибающая опорных импульсов не будут жестко связаны. Покажем, что при этом фаза сигнала промежуточной частицы на выходе узкополосного резонансного фильтра не будет зависеть от взаимного временного положения периодических последовательностей входного и опорного сигналов. Дело в том, что при формировании опорных импульсов путем модуляции при изменении задержки модулирующего видеоимпульса фаза гармоники на центральной частоте спектра остается постоянной. Гармоники же в верхней и нижней полосах этого спектра будут получать при изменении приращения фаз разных знаков . Это приводит к тому, что после перемножения со входным сигналом и фильтрации узкополосным резонансным фильтром „парциальных“ сигналов на частоте результирующий сигнал на этой частоте не будет изменять своей фазы при изменении задержки. Это утверждение справедливо при условии, что спектры как принимаемого , так и опорного (гетеродинного) сигналов симметричны относительно своих несущих частиц ВЧ заполнения. Качественно зависимость параметров выходного сигнала от задержки так же удобно проиллюстрировать с помощью векторных диаграмм, аналогичных рассмотренным выше.

Различие будет лишь в том, что направление (аргумент) вектора парциального сигнала от взаимодействия центральных частот спектров входного и опорного сигналов остается постоянным при изменении задержки на интервале . Тогда как „парциальные“ вектора , соответствующие верхней и нижней полосам спектров при изменении теперь вращаются в разные стороны, образуя опять „веера“. Понятно, что векторная сумма будет зависеть от степени раскрытия такого»веера «, причем аргумент суммарного вектора будет сохранять свою величину, так как „парциальные“ вектора , соответствующие верхней и нижней полосе спектра, получают симметричные приращения, но разных знаков, „Веер“ остается симметричным с неподвижным центральным вектором. Модуль суммарного вектора будет описываться взаимокорреляционной функцией и , зависящей от .

Рис.23

 

Рассмотрим теперь возможный вариант, когда значения частот заполнения радиоимпульсов принимаемого и опорного совпадают. В этом случае после перемножителя следует включить узкополосный низкочастотный фильтр, выделяющий „постоянную“ составляющую, величина и знак которой будут изменяться при изменении относительного положения принимаемого и опорного импульсов во времени. Такой выходной сигнал будет описываться взаимокорреляционной функцией. Вид этой функции (при равной длительности импульсов) качественно изображен на рис 23. ,а описывается она формулой (4.34). Выходной сигнал в этом случае описывается осциллирующей функцией по аргументу t — относительному сдвигу этих импульсов во времени. Понятно, что для периодически повторяющихся импульсов их взаимокорреляционная функция будет также периодической по t с периодом их следования.

 

Рис. 24

 

 

При и 0

 

Оценим теперь отношение сигнал/шум на выходе корреляционного гребенчатого

фильтра, оптимального для приёма периодической последовательности радиоимпульсов. Выше было показано, что оптимальный фильтр для гармонического сигнала обеспечивает отношение сигнал/ шум по мощности (4.28)

и по амплитуде (4.29)

Гдеb=Dw — полоса узкополосного резонансного фильтра.

В данном случае оптимальный фильтр для приёма периодической последовательности радиоимпульсов имеет также единственный резонансный фильтр с узкой полосой. Поэтому для каждого „зубца“ гребёнки и каждой гармоники спектра входного сигнала будем иметь такое же отношение сигнал/шум, как и для элементарного гармонического сигнала. По отношению к входному сигналу умножитель — это линейное параметрическое устройство. Поэтому результат воздействия спектра гармоник и результат воздействия шума можно рассматривать независимо.

Относительно гармоник спектра сигнала выше было показано, что при совмещении во времени радиоимпульсов входной и опорной последовательностей радиоимпульсов все гармоники парциальных составляющих спектра на частоте . суммируются в фазе. („веер“ парциальных векторов схлопывается). Составляющие шума, прошедшие отдельные зубцы гребёнки тоже сложатся, но по мощности! Поэтому можно считать, что эффективная полоса для шума будет определяться суммой полос отдельных полос зубцов гребёнки: (4.30).

 

Число членов в этой сумме ограничено и определяется эффективной шириной спектра опорных радиоимпульсов (импульсов гетеродина). Кроме того, ширина спектра мощности шума ограничивается входным полосовым фильтром. Поэтому искомое отношение сигнал/шум на выходе оптимального корреляционного фильтра определится так:

По мощности: , а по амплитуде (4.31)

 

 В заключение обратим внимание, что в рассмотренном варианте гребёнчатая АЧХ реализуется за счёт линейчатого спектра (с некоторой эффективной шириной) импульсного опорного сигнала и единственного узкополосного резонансного усилителя промежуточной частоты. При этом, ширина полосы этого усилителя должна быть много меньше, чем интервал между частотами гармоник опорного сигнала (гетеродина).

Такой аналоговый коррелятор был реализован и практически использовался в станции наклонного зондирования ионосферы средневолнового диапазона. Для возможности оценки не только амплитуды и групповой задержки, но и фазы высокочастотного заполнения отраженных от ионосферы радиоимпульсов после узкополосного усилителя сигнал промежуточной частоты подавался на два параллельных фазовых детектора. Опорные гармонические сигналы на фазовых детекторах имели номинал и были сдвинуты по фазе на . Таким образом, на выходах фазовых детекторов получались синусная и косинусная составляющие огибающих суммарного сигнала. Это позволяло оценить соответствующие фазовые сдвиги высокочастотного заполнения „земного“ и отраженного радиоимпульсов, при условии, что эти радиоимпульсы были разделены во времени.

 

Рис. 25

 

 

Рис. 26

 

Пример наблюдаемой картинки на экране индикатора станции приведен на рис. Далее этот сигнал оцифровывался с помощью АЦП и поступал в ЭВМ для обработки.

При используемых параметрах зондирующих радиоимпульсов в диапазоне средних волн „земной“ и отраженный от ионосферы сигналы уверенно разделялись во времени. Величина задержки отраженного сигнала в приводимом эксперименте порядка 220 мкс.

Частота ВЧ заполнения радиоимпульсов приблизительно 350 кГц, приём велся на удалении 220 км. Приёмная аппаратура аналогово коррелятора имела узкополосный усилитель с шириной полосы 5 Гц, при частоте повторения излучаемых импульсов 625 Гц. Это позволяло надёжно выделить полезные сигналы на фоне шумов и помех в весьма загруженном СВ диапазоне, обеспечивался выигрыш в отношении сигнал/шум более30-тина выходе приёмного аналогово коррелятора по отношению ко входу. Очевидно, что располагая сигналом в цифровой форме было возможно и дальнейшее повышение отношения сигнал/шум, используя накопление.

4.5.3. Оценка возможного выигрыша в отношении сигнал / шум при дискретной записи сигнала.

Выше было показано, что для периодического сигнала отношение сигнал / шум может быть улучшено накоплением. Возможный выигрыш пропорционален квадратному корню из времени накопления и обратно пропорционален полосе аналогово фильтра. В случае дискретных отсчётов сигнала — аддитивной смеси сигнал + шум, очевидно, что выигрыш будет пропорционален , где n число равноотстоящих отсчётов. Процесс накопления удобно реализовать с помощью алгоритма — программы на ЭВМ. При практической реализации этого способа следует иметь в виду, что число накапливаемых выборок, дающих желаемый выигрыш будет ограничено разрядностью применяемого аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Можно задаться вопросом о необходимой разрядности АЦП, если задан требуемый выигрыш С / Ш. Или оценить возможный выигрыш, если АЦП уже выбран. Тот факт , что АЦП присущи собственные шумы в данном пособии рассматриваться не будет. Эти вопросы освещены в специальной литературе. Будут учтены только» шумы дискретизации «.

В этом приближении рассмотрим связь возможного выигрыша С/ Ш при накоплении на АЦП с заданной разрядностью.

Пусть мгновенное значение входной величины есть :

V = U + z и отношение С / Ш ,

Где U -величина сигнала, — среднеквадратичная величина шума.

Интересуемся случаем, когда a соответствует максимальному значению числа., минимальный код 1 (число > 0). Считаем, что шумы распределены по нормальному закону.. Ограничим диапазон АЦП утроенной среднеквадратичной величиной шума (3), что будет соответствовать максимальному коду. Уровень 3 при нормальном законе распределения ограничит значения шума только в 0.1% случаев. Считая, что динамический диапазон преобразователя установлен 3s, можно ввести коэффициент передачи код -напряжение :

(4.32)

Дискретная форма представления числа приводит к»шумам оцифровки «.

(4.33).

Это шум оцифровки, оцениваемый единицей кода , пересчитанной ко входу.

Отношение сигнал / цифровые шумы есть

Цифровые шумы не снимаются накоплением, поэтому величина b определяет предельно достижимое отношение С / Ш на выходе при данной разрядности , а отношение b/a возможный выигрыш при цифровом

накоплении Оценим теперь возможный выигрыш при данной разрядности. Исходим из того, что при накоплении отношение С / Ш улучшается пропорционально . Приравнивая эти величины , имеем :

Или , (4.35 ).

Наконец , задаваясь желаемым выигрышем при цифровом накоплении , определяем требуемую разрядность АЦП и ЭВМ .

при (4.36).

Полученные приближенные формулы могут оказаться полезными при выборе типа АЦП или при оценке достижимого выигрыша при цифровом накоплении с данным АЦП.

Можно уточнить приведённую оценку» шума оцифровки«- d, если учесть, что как только значение входного сигнала V = U+x окажется вблизи середины шага оцифровки то ,из-за случайного характера шума в АЦП , может быть добавлена или вычтена единица кода. Для приближенной оценки можно на интервале шага оцифровки распределение шума считать равномерным. Тогда дисперсия оцифровки оцениваеtтся так :

Таким образом реальная величина «шума оцифровки» оказывается меньше.

Переменный ток

Переменный ток все время изменяет свое направление в отличие от постоянного, который протекает только в одном направлении. Постоянный ток вырабатывают батареи и источники постоянного тока, а переменный – генераторы сигналов и государственные энергетические системы.

 

Синусоидальные колебания

Форма переменного тока или напряжения может принимать самые различные виды. Наиболее распространенной является синусоидальная форма переменного напряжения или тока (рис. 2.1). Синусоидальное колебание имеет два максимальных значения, или пика: положительный пик и отрицательный. Пиковое значение называется также амплитуде синусоиды. Значение синусоидального напряжения, измеренное от пика до пика (размах), является разностью потенциалов между положительным пиком и отрицательным.
Размах = Положительная амплитуда + Отрицательная амплитуда = Удвоенная амплитуда.

Рис. 2.1. Синусоидальные колебания переменного тока

 

Среднеквадратическое значение

Постоянный ток имеет постоянное значение, и это значение можно использовать во всех вычислениях. Значение же переменного тока изменяется во времени. Чтобы преодолеть эту трудность, за «постоянное» значение переменного тока приняли и используют его среднеквадратическое значение.
Среднеквадратическое значение переменного тока является эквивалентом значения постоянного тока, при котором вырабатывается такая же мощность, что и при исходном значении переменного тока. Если известно среднеквадратическое значение переменного тока, то его можно использовать для вычисления мощности так же, как если бы это было постоянное напряжение или ток. Например:

 

 

Мощность пост. тока = Постоянный ток х Постоянное напряжение;
Мощность перем. Тока = Среднеквадр. значение тока х Среднеквадр. значение напряжения.

 

Значения переменного тока и напряжения всегда задают в виде среднеквадратической величины, за исключением специально оговоренных случаев.
Пример 1
Какое сопротивление имеет домашний электрический обогреватель мощностью 1 кВт?
Решение
Домашние обогреватели работают от сетевого напряжения, имеющего среднеквадратическое значение 240 В (в России 220 В. — Прим. перев.). Мощность, потребляемая обогревателем, составляет 1 кВт = 1000 Вт. Из формулы P = V2/R определяем

P = V2/R = 240*240/1000 = 57, б Ом.

 

Соотношение между пиковыми и среднеквадратическими значениями

Среднеквадратическое значение сигнала переменного тока зависит от его формы. Так, среднеквадратическое значение синусоидального сигнала составляет 0,707 его пикового значения (амплитуды). Заметим, что это справедливо только для синусоидального сигнала. Например, если амплитуда синусоидального сигнала Vр = 10 В, то его среднеквадратическое значение составит Vср.кв. = 0,707 * Vр = 0,707 * 10 = 7,07 В (см. рис. 2.2). Из соотношения Vср.кв. = 0,707 * Vр следует, что

Vр = 1/0,707 * Vср.кв. = 1,414 * Vср.кв.

Рис. 2.2. Среднеквадратическое значение синусоидального сигнала.

Рис. 2.3. Постоянная составляющая сигнала переменного тока.

 

Постоянная составляющая в сигнале переменного тока

До сих пор мы имели дело с сигналами переменного тока, которые не содержали постоянной составляющей. Рассмотрим два синусоидальных сигнала, изображенных на рис. 2.3. Левый сигнал не имеет постоянной составляющей, и его положительный пик равен отрицательному. Правый же сигнал содержит составляющую постоянного тока величиной 5 В.
Постоянная составляющая переменного тока называется также средним, или усредненным значением сигнала переменного тока.
Определим постоянную составляющую сигнала, имеющего прямоугольную форму (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

 

1. Сначала определим положение нулевого уровня.
2. Вычислим площадь А1, лежащую выше нулевого уровня:
А1 = 4*1 = 4.

3. Вычислим площадь А2, лежащую ниже нулевого уровня:
А2 = 2*1 = 2.

4. Вычислим суммарную площадь:
А1 – А2 = 4 – 2 = 2.

5. Отсюда среднее значение напряжения за период равно
Суммарная площадь/Время периода = 2/3 = 0,67 В.

 

Среднеквадратическое значение сложных сигналов

Как уже говорилось, соотношение
Среднеквадратическое значение = 0,707 амплитуды
справедливо только для синусоидальных сигналов. Среднеквадратическое значение сигналов, имеющих другую форму, может быть определено следующим образом.
1. Определить площадь сигнала за один период. Заметим, что при определении площади отрицательное значение превращается в положительное.
2. Определить среднее значение площади сигнала за период.
3. Вычислить квадратный корень из средней площади сигнала за период.
Определим среднеквадратическое значение сигнала, имеющего форму меандра (рис. 2.5(а)). Площадь положительного полупериода этого сигнала равна 3 * 3 = 9. Площадь отрицательного полупериода составля¬ет (-3) * (-3) = 9. Среднее значение площади за период, следовательно, равно 9. Отсюда среднеквадратическое значение напряжения будет корень из 9 = 3 В.

Рис. 2.5. Сравнение среднеквадратических значений
прямоугольного и синусоидального сигналов.

 

Для сравнения определим среднеквадратическое значение синусоидального напряжения, имеющего значение положительной и отрицательной амплитуды +3 В и –3 В соответственно (рис. 2.5(б)): 0,707 * 3 В = 2,12 В.

Как видим, прямоугольный сигнал имеет большее среднеквадратическое значение. Это объясняется тем, что площадь под прямоугольной огибающей больше, чем площадь под синусоидой, хотя оба сигнала имеют одинаковые значения положительного и отрицательного пиков. В данном случае среднеквадратическое значение прямоугольного сигнала равно его пиковому значению.

На рис. 2.6 изображен прямоугольный сигнал, имеющий только положительные значения. Среднеквадратическое значение этого сигнала меньше его пикового значения.
При однополупериодном выпрямлении среднеквадратическое значение напряжения равно половине его амплитуды.
При двухполупериодном выпрямлении среднеквадратическое значение такое же, как у полной синусоиды, т. е. 0,707 амплитуды (рис. 2.7), поскольку при вычислении среднеквадратического значения положительная полуволна сигнала идентична отрицательной, положительный полупериод идентичен отрицательному.
Заметим, что постоянная составляющая, или среднее значение сигнала, это просто усредненное значение напряжения за один период, не имеющее никакого отношения к среднеквадратическому значению.

Рис. 2.6. Среднеквадратическое значение прямоугольного сигнала, имеющего только положительную полярность.

 

Рис. 2.7. (а) При однополупериодном выпрямлении синусоидального напряжения его среднеквадратическое значение равно 0,5 амплитуды.
(б) При двухполупериодном выпрямлении синусоидального напряжения его среднеквадратическое значение равно 0,707 амплитуды.

 

В этом видео наглядно рассказывается о типах тока, в том числе о переменном токе:

 

Добавить комментарий

7 рекомендаций инженерам по измерению сигналов встроенных источников питания с помощью осциллографа

Достижение максимального динамического диапазона измерений

1. Используйте усреднение для повышения разрешающей способности измерений
2. Используйте режим захвата с высоким разрешением для обеспечения более высокой разрешающей способности
3. Используйте связь по переменному току для исключения постоянной составляющей
4. Ограничьте полосу пропускания осциллографа и пробников

Пробники для обеспечения оптимальной целостности сигнала

5. Используйте дифференциальные пробники для безопасного и точного измерения плавающего напряжения без заземления
6. Не используйте пробники и принадлежности, которые взаимодействуют с излучаемой мощностью
7. Выбирайте пробники, которые позволяют не использовать настройки осциллографа с максимальной чувствительностью

1 совет. Использование режима усреднения для повышения разрешающей способности измерений

Для некоторых задач измерения сигналов встроенных источников питания нужен широкий динамический диапазон, в то же время для измерения малых изменений исследуемых параметров требуется высокое разрешение. Для уменьшения случайного шума и расширения динамического диапазона измерений вместо дигитайзера с высоким разрешением можно использовать альтернативные методы сбора данных: режим захвата с усреднением и режим захвата с высоким разрешением.

Для использования режима захвата с усреднением исследуемый сигнал должен быть периодическим. Суть метода заключается в получении среднего значения напряжения в каждый момент времени по нескольким захватам. Метод позволяет уменьшить случайный шум и, тем самым, повысить вертикальное разрешение.

Сколько усреднений требуется для получения дополнительного бита вертикального разрешения? Каждые четыре усреднения выборок добавляют один дополнительный бит. Количество дополнительных битов рассчитывается по формуле:

N_b = 0,5 log₂ N,

где N_b — количество дополнительных битов; N — количество усреднений выборок.

Так, например, усреднение по 16 осциллограммам даст 2 дополнительных бита:

N_b = 0,5 log₂ 16 = 2.

Таким образом, эффективное вертикальное разрешение осциллографа будет равно: 8 + 2 = 10 бит.

Этот алгоритм позволяет повысить вертикальное разрешение примерно до 12 бит, потому что потом начинают доминировать другие факторы, такие как погрешность усиления по вертикали или погрешность смещения. Достоинством режима усреднения является то, что он не ограничивает полосу пропускания осциллографа. Недостаток метода заключается в том, что для его использования требуется периодический сигнал, а также в том, что он снижает скорость обновления сигналов.

Рис. 1. Сигнал напряжения Vds импульсного источника питания, захваченный в нормальном режиме.

Рис. 2. Сигнал напряжения Vds импульсного источника питания, захваченный в режиме усреднения.

2 совет. Использование режима захвата с высоким разрешением для повышения разрешающей способности измерений

Другой метод уменьшения уровня шумов, который может использоваться и с непериодическими сигналами, называется режимом захвата с высоким разрешением. Большинство современных цифровых осциллографов, включая осциллографы Keysight серии InfiniiVision 3000X, в нормальном режиме захвата обеспечивают вертикальное разрешение 8 бит. Вместе с тем, режим высокого разрешения, также как и режим усреднения, позволяет повысить вертикальное разрешение осциллографа до 12 бит.

В режиме высокого разрешения усреднение осуществляется по нескольким последовательным точкам в пределах одного захвата, в отличие от режима усреднения, в котором производится усреднение значений напряжения по нескольким захватам. В режиме высокого разрешения нельзя непосредственно контролировать количество усреднений. Число дополнительных битов вертикального разрешения зависит от установленного значения горизонтальной развертки осциллографа.

При работе на медленных развертках осциллограф последовательно фильтрует точки данных и отображает результаты на дисплее. Увеличение объема памяти для отображаемых данных позволяет увеличить количество усредняемых точек. Режим высокого разрешения менее эффективен на высоких скоростях развертки, на которых количество захваченных и отображаемых точек меньше. На низких скоростях развертки эффективность этого метода значительно выше.

Рис. 3. Сигнал напряжения Vds импульсного источника питания, захваченный в режиме высокого разрешения.

3 совет. Использование связи по переменному току (закрытый вход) для исключения постоянной составляющей

При исследовании пульсаций сигнала постоянная составляющая интереса не представляет. Обычно уровень шумов и пульсаций существенно ниже по сравнению с напряжением источника питания. Если динамический диапазон осциллографа используется для определения величины смещения, то вряд ли удастся тщательно изучить мелкие подробности сигнала. Использование осциллографа с закрытым входом (режим «AC») позволяет устранить влияние постоянной составляющей на измерения, повышая линейность и расширяя динамический диапазон измерений.

4 совет. Ограничение полосы пропускания осциллографа и пробников

Ограничение полосы пропускания — это простой, но зачастую недооцениваемый способ уменьшения уровня шумов и расширения динамического диапазона. Частота сигнала мощности намного меньше (от килогерц до десятков мегагерц), чем номинальная полоса пропускания осциллографа. Излишне широкая полоса пропускания не способствует получению дополнительной информации о сигнале, но вносит искажения в результаты измерений.

Именно для этой цели — ограничение полосы пропускания — большинство осциллографов имеют специальные аппаратные фильтры нижних частот с полосой 20-25 МГц. Преимущество аппаратных фильтров по сравнению с программными состоит в том, что они не оказывают влияния на скорость обновления сигналов.

Другой подход заключается в использовании пробников для ограничения полосы пропускания. Как известно, полоса пропускания измерительной системы равна полосе пропускания «самого слабого звена». Осциллограф с полосой 500 МГц при использовании совместно с пробником, имеющим полосу 10 МГц, будет иметь полосу пропускания 10 МГц. Компания Keysight предлагает широкий набор пассивных, активных несимметричных, активных дифференциальных и токовых пробников, полосы пропускания которых позволяют проводить любые специфические виды измерений.

5 совет. Использование дифференциальных пробников для безопасного и точного измерения плавающего напряжения без заземления

Заземляющий проводник пробника осциллографа подключается к шасси через корпус соединителя BNC. В целях безопасности корпус осциллографа подключается к системе заземления через провод заземления кабеля питания. Заземление осциллографа может не соответствовать способу заземления источника питания. Потенциал многих исследуемых сигналов измеряется не относительно «земли», а относительно другой точки (является «плавающим»). Для преодоления этого ограничения разработчики источников питания используют несколько методов.

Самым распространенным способом является изолирование осциллографа либо путем отключения провода защитного заземления кабеля питания, либо путем использования развязывающего трансформатора в линии питания. Однако следует иметь в виду, что этот прием может быть опасным из-за возможного наличия высокого напряжения на корпусе осциллографа. Кроме того, результаты измерений при изолированном корпусе могут быть неточными.

Другой метод измерения «плавающих» сигналов источника питания заключается в вычитании значения сигнала по каналу A из сигнала по каналу B с использованием двух несимметричных пробников напряжения. Для измерения интересующего сигнала применяются два входных канала и два пробника. Затем с помощью функции математических операций осциллографа осуществляется вычитание сигналов двух каналов с отображением результирующей осциллограммы.

Этот способ является относительно безопасным, так как осциллограф остается заземленным. Однако из-за рассогласования коэффициентов усиления применяемых пробников использование этого метода ограничено в случаях, когда синфазный сигнал сравнительно мал, а коэффициент ослабления синфазного сигнала имеет величину менее 20 дБ (10:1).

Лучшим решением для измерения «плавающего» напряжения является использование дифференциального пробника или дифференциального усилителя. Дифференциальные пробники обеспечивают высокое значение коэффициента ослабления синфазного сигнала (обычно не менее 80 дБ или 10 000:1), что позволяет проводить измерение малых величин разностных сигналов с высокой чувствительностью и точностью. Для выполнения безопасных и точных измерений «плавающего» напряжения рекомендуется использовать дифференциальные пробники с подходящим для данного приложения динамическим диапазоном и соответствующей полосой пропускания.

6 совет. Не рекомендуется использовать пробники и принадлежности, которые взаимодействуют с излучаемой мощностью

Следует быть очень внимательным при выборе осциллографических пробников и принадлежностей. Дело в том, что 15-сантиметровый провод заземления и наконечник в виде крючка, входящие в стандартный комплект поставки пассивных пробников общего назначения, способны воспринимать наводки помех, излучаемых в эфир источником питания или другими устройствами. Кроме того, индуктивная нагрузка, обусловленная длинным проводом заземления, добавляет «звон» (затухающие колебания) в измеряемый сигнал.

С другой стороны, более тонкий наконечник пробника и более короткий провод заземления — такие, какие используются в BNC адаптере или заземляющей насадке байонетного типа — позволяют существенно снизить уровень шумов. Это достигается путем минимизации контура подключения и уменьшения индуктивной нагрузки.

7 совет. Выбор пробников, которые позволяют не использовать настройки осциллографа с максимальной чувствительностью

При измерении амплитуды шумов и пульсаций источника питания может возникнуть необходимость использования осциллографа с настройками, обеспечивающими максимальную чувствительность по вертикали (В/дел.). В этом случае усилитель будет работать на пределе своих возможностей. Даже если параметры функционирования прибора находятся в рамках спецификации, то все равно не всегда удается добиться его оптимальных характеристик.

Вместо стандартных пассивных пробников с коэффициентом деления 10:1, поставляемых в комплекте с осциллографами, рекомендуется применять пробники с коэффициентом деления 1:1. При использовании пробника 10:1 не только в 10 раз увеличивается базовый уровень собственных шумов осциллографа, но и минимальные значения настроек коэффициента вертикального отклонения (В/дел.) также в 10 раз больше, чем с пробником 1:1.

Уменьшение величины отношения сигнал/шум приводит к сужению динамического диапазона измерений. Использование пробника с меньшим коэффициентом ослабления, при условии, что при этом не превышается максимальный уровень входного напряжения, позволяет достичь исключительно высокой целостности сигнала.

Для получения более подробной информации свяжитесь с техническими специалистами компании «Диполь».

Спектры периодических сигналов — Студопедия

Наиболее просто можно определить спектр периодического сигнала. Напомним, что периодическим называется сигнал Ф(t) (рис. 2.1), удовлетворяющий следующему условию:

Ф(t) = Ф(t + nT), где n – целое число, Т – период повторения.

Рис. 2.1. Периодический сигнал

Из курса математики известно, что всякую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье:

, (2.1)

где

, (2.2)

, (2.3)

.

Обычно используется более удобная форма записи ряда Фурье:

(2.4)

где .

Соответственно,

Сигнал в виде ряда Фурье удобно представить в виде спектральной диаграммы (рис. 2.2). Здесь каждая спектральная составляющая изображена вертикальной линией, высота которой пропорциональна амплитуде составляющей A_k, положение каждой составляющей на оси абсцисс определяется ее частотой kW. В случае необходимости рядом с каждой составляющей можно записывать значение фазы j_k .

Рис. 2.2. Спектральная диаграмма периодического сигнала

Составляющая спектра с нулевой частотой называется постоянной составляющей; составляющая с частотой W (основной частотой) – первой гармоникой; составляющая с частотой 2W – второй гармоникой и так далее.

Ряд Фурье может быть записан в комплексной форме. Для этого в выражении (2.4) заменим косинус его представлением по формуле Эйлера:

.

В результате получим

.

Перейдем к комплексным амплитудам. Обозначим

– для положительных значений k ,

– для отрицательных значений k.

В результате получим окончательное выражение для ряда Фурье в комплексной форме:

(2.5)

Особенность ряда Фурье в комплексной форме состоит в том, что функция Ф(t) представлена в виде суммы составляющих вида e^jkWt, причем каждому положительному значению k соответствует такое же по модулю отрицательное значение k. Линейная комбинация составляющих e^jkWt и e^-jkWt представляет собой гармонические функции cos(kWt) и sin(kWt), в соответствии с известными формулами Эйлера:

.

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме также описывает разложение периодической функции на гармонические составляющие, только форма записи здесь иная.

Найдем выражение для определения комплексных амплитуд гармоник A_k. Для этого воспользуемся выражениями (2.2), (2.3):

(2.6)

Как будет видно из дальнейших примеров, комплексная форма ряда Фурье часто оказывается предпочтительной для вычисления спектров конкретных периодических сигналов.

Для удобства построения спектральной диаграммы вводится понятие огибающей спектра:

(2.7)

Чтобы построить спектральную диаграмму с помощью огибающей спектра, нужно сначала с помощью формулы (2.7) найти функцию (w), построить ее график, как показано на рис. 2.3, и затем расставить спектральные линии на расстоянии W = 2p/Т друг от друга.

Рассмотрим в качестве примера построение спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов, длительностью Т_и и амплитудой Е (рис. 2.4).

Рис. 2.3. Использование огибающей спектра A(w) для построения
спектральной диаграммы

Рис. 2.4. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем огибающую спектра:

.

Для удобства построения графика огибающей спектра полученное выше выражение для (w) преобразуем к следующему виду:

. (2.8)

Огибающая спектра А(w) является вещественной функцией, ее график представлен на рис. 2.5 штриховой линией. Характерной точкой графика является значение частоты w, при котором огибающая спектра впервые обращается в нуль. Это происходит, когда аргумент синуса равен p и, следовательно, частота
w = 2p/Т_и.

Рис. 2.5. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Подставив в (2.8) значение частоты первой гармоники W = 2p/Т, найдем амплитуду первой гармоники:

.

Аналогично для k-й гармоники

.

Величина постоянной составляющей А₀/2 вычисляется отдельно по формуле

.

В нашем случае

Нетрудно видеть, что величина постоянной составляющей не равна значению огибающей спектра при w = 0, она выпадает из общей тенденции изменения амплитуд гармоник. Такая особенность спектра характерна для большинства периодических сигналов.

Необходимо отметить, что спектральное представление сигналов – не математическая абстракция, а отражение реально существующего явления. Если взять реальные гармонические сигналы с соответствующими амплитудами и фазами и сложить их, то в результате суммирования получится исходный сигнал, например, периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

Это легче всего продемонстрировать на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой интервал между импульсами равен длительности импульсов, т. е. Т = 2Т_и. Такой сигнал, изображенный на рис. 2.6, называется меандром. Найдем амплитуды основных гармонических составляющих меандра:

….

Рис. 2.6. Меандр

На рис. 2.7, а, б, в последовательно показаны постоянная составляющая плюс первая гармоника; сумма постоянной составляющей и первых трех гармоник; сумма постоянной составляющей и первых пяти гармоник. Хорошо видно, как с увеличением числа гармоник форма сигнала приближается к меандру.

Рис. 2.7. Представление меандра суммой постоянной составляющей и первой гармоники (а),

суммой постоянной составляющей и первых трех гармоник (б), суммой постоянной

составляющей и первых пяти гармоник (в)

Рассмотрим, как зависит характер спектра от параметров периодической последовательности импульсов. Если увеличить (или уменьшить) длительность импульсов Т_и, то сожмется (или вытянется) по частоте огибающая спектра; положение спектральных линий при этом не изменится. Если же увеличивать расстояние между импульсами, т. е. период повторения Т, не изменяя размеров и формы каждого отдельного импульса, то расстояние между отдельными спектральными составляющими и их высота будут уменьшаться обратно пропорционально периоду повторения Т (рис. 2.8). Эту закономерность мы будем использовать в дальнейшем для определения спектров отдельных импульсов.

Рис. 2.8. Спектр периодического сигнала при увеличенном периоде повторения Т

Глава 4. Спектральное представление периодических сигналов

 

Электрические сигналы, математическими моделями которых являются периодические функции времени, могут быть представлены в виде графического описания (рис. 6) и соответствующего ему аналитического представления. Любое периодическое несинусоидальное колебание можно разложить в бесконечный тригонометрический ряд, состоящий из постоянной составляющей и гармонических составляющих.
Рис. 6

Тригонометрический ряд, называемый еще рядом Фурье (24), имеет две формы записи.

В первой форме, кроме постоянной составляющей, присутствуют лишь синусоидальные или косинусоидальные составляющие с начальными фазами, не равными нулю:

. (25)

Во второй форме наряду с постоянной составляющей присутствуют синусоидальные и косинусоидальные составляющие, но с начальными фазами, равными нулю:

. (26)

В обеих формах записи использованы следующие обозначения: – номер гармоники; – круговая частота первой (основной) гармоники; – период колебания; – постоянная составляющая; – амплитуда –й косинусоидальной составляющей; – амплитуда –й синусоидальной составляющей.

Графическое изображение ряда Фурье (рис. 7) представляет собой спектральную диаграмму, которая дает наглядное представление о зависимости амплитуд гармоник (спектр амплитуд) и фаз гармоник (спектр фаз) от их частот.	Спектр амплитуд	Спектр фаз
Рис. 7

Ряд Фурье существенно упрощается, если имеет место какая–либо симметрия колебания относительно начала или осей координат. В табл. 2 приведены соответствующие упрощения.

 

Спектральная диаграмма (спектр) зависит от формы сигналов и их параметров. Пусть, например, необходимо построить спектральную диаграмму сигнала, графическое и аналитическое представление которого приведено на рис. 8. Параметры сигнала приведены рядом.

Из сопоставления графического представления сигнала (рис. 8) с табл. 2 можно сделать вывод о том, что описывающая сигнал функция является четной, следовательно, в спектре сигнала отсутствуют синусоидальные ( ) составляющие. Постоянная составляющая в соответствии с приведенным ранее выражением находится следующим образом:

.

Амплитуды гармоник:

Таким образом, разложение данной функции в ряд Фурье может быть представлено следующим образом:

.

Из этого выражения можно сделать вывод о том, что амплитуды четных гармоник в спектре данного сигнала равны нулю . Остальные расчеты сведены в табл. 3., используя которую можно построить спектральную диаграмму данного сигнала (рис. 9).

Рис. 9

Эти же расчеты позволяют записать аналитическое представление разложения рассматриваемого сигнала в ряд Фурье с конкретными числовыми коэффициентами

,

где

.

Из приведенного примера можно сделать следующие выводы:

1. Спектр периодической последовательности является дискретным, линейчатым.

2. Количество спектральных линий в одном лепестке огибающей спектра определяется скважностью, так как интервал между спектральными линиями обратно пропорционален периоду, а точки пересечения огибающей спектра с осью частот определяются в данном случае длительностью импульса ( ).

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько по иному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

(27)

Функции этой системы периодичны с периодом и ортонормированы на отрезке времени , так как

Функции из рассматриваемой системы принимают комплексные значения. Поэтому при вычислении скалярного произведения используется операция комплексного сопряжения ( ).

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид:

с коэффициентами .

Обычно используют следующую форму записи:

, (28)

. (29)

Выражение (28) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с формулой (28) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (28) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

.

Положительной частоте соответствует вектор, вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной частоте – вектор, вращающийся по часовой стрелке. Итак, отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

Структура ряда Фурье (28) дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости.

 

Узнать еще:

Способ измерения постоянной составляющей гармонического сигнала

 

Изобретение относится к электрорадиоизмерениям, а именно к измерениям постоянной составляющей гармонического сигнала. Технический результат, заключающийся в увеличении точности измерений, достигается путем того, что в способе измерения постоянной составляющей гармонического сигнала, основанном на интегрировании измеряемого сигнала и формировании сигнала , формируют интервал времени, симметричный относительно экстремума косинусной составляющей опорного сигнала и не связный по длительности с периодом гармонической составляющей измеряемого сигнала, в котором измеряемый сигнал дополнительно перемножают с косинусной составляющей опорного сигнала и интегрируют, формируя сигнал , косинусную составляющую опорного сигнала возводят в квадрат и интегрируют, формируя сигнал ^*, косинусную составляющую опорного сигнала интегрируют, формируя сигнал ^*, затем вычисляют значение постоянной составляющей гармонического сигнала по приведенной формуле. 1 ил.

Изобретение относится к области электрорадиоизмерений и может быть использовано для измерения постоянной составляющей гармонического сигнала за малое время измерения, в том числе и за время, меньшее периода (полупериода) гармонического сигнала и некратное периоду сигнала, с повышенной точностью и помехоустойчивостью.

Известен способ измерения постоянной составляющей периодического сигнала, по которому независимо выделяют и усредняют значения полуволн положительной полярности сигнала, независимо выделяют и усредняют значения полуволн отрицательной полярности сигнала, непрерывно находят разности полученных величин для определения постоянной составляющей (см. а.с. СССР 951157, G 01 R 19/02). Недостатком данного способа является низкое быстродействие, обусловленное тем, что нахождение постоянной составляющей может производиться не чаще, чем через период измеряемого сигнала. Известен способ измерения постоянной составляющей периодического сигнала, основанный на фиксировании каждого экстремума измеряемого сигнала и снятии мгновенного значения сигнала через интервал времени отсчета, равный четверти периода переменной составляющей сигнала. По зафиксированному значению выборки до следующей выборки судят о значении постоянной составляющей (см. а.с. СССР 1126886, G 01 R 19/02). Недостатком данного способа является низкое быстродействие, так как значение постоянной составляющей определяется не чаще, чем через полпериода измеряемого сигнала, а также низкая помехоустойчивость, так как точность определения постоянной составляющей зависит от точности определения экстремума и точности взятия мгновенной выборки, поэтому при воздействии на измеритель шума совместно с измеряемым сигналом постоянная составляющая будет измеряться с большой погрешностью, а при значительном уровне шума измерения станут вообще невозможными. Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому способу является способ, основанный на интегрировании измеряемого сигнала за время, равное периоду измеряемого гармонического сигнала, и вычислении постоянной составляющей по результату интегрирования (см. кн. Ф.В. Кушнир. Электрорадиоизмерения/Учебное пособие для вузов. Л.: Энергоатомиздат, 1983, с.52). В соответствии с данным способом результат измерения для гармонического сигнала представляется как E_изм = (1) (t) — измеряемый гармонический сигнал, Т_u — время измерения (интегрирования). Данный способ обеспечивает оптимальное по критерию максимального правдоподобия измерение постоянной составляющей гармонического сигнала при времени измерения, равном или кратном периоду этого гармонического сигнала. При этом обеспечивается минимально возможная погрешность при воздействии на вход измерителя флуктуационного шума. Однако при времени измерения, меньшем или некратном периоду сигнала, возникает большая систематическая погрешность, и измерение постоянной составляющей в этих условиях становится практически невозможным. Продемонстрируем сказанное следующим образом. Измеряемый гармонический сигнал с учетом наличия шумовой составляющей определится следующим выражением: (t) = E₀+S_m0sin(₀t+₀)+n(t), (3) где Е₀, S_m0, ₀, ₀ — постоянная составляющая, амплитуда, частота и фазовый сдвиг исследуемого сигнала, n(t) — флуктуационный шум, присутствующий совместно с полезным сигналом. В идеальном случае при отсутствии шума — n(t)=0. Тогда, подставив (3) в (2) и взяв интеграл, получим следующее выражение для измеренной постоянной составляющей: E_изм = E₀+ES_m0sin₀ (4) Как видно из (4), при T_u, равном или кратном периоду сигнала, — Е = 0, тогда Е_изм. = Е₀. Если же Т_u меньше периода сигнала или некратно периоду сигнала, то Е_измЕ₀, и возникает погрешность даже в случае отсутствия шума (систематическая погрешность). В основу настоящего изобретения положена задача осуществления измерения постоянной составляющей гармонического сигнала при времени измерения менее и некратном периоду гармонического сигнала без систематической погрешности при априорно неизвестных фазовом сдвиге и амплитуде измеряемого гармонического сигнала. Поставленная задача решается тем, что в способе измерения постоянной составляющей гармонического сигнала, основанном на интегрировании измеряемого сигнала за интервал времени, равный периоду гармонической составляющей измеряемого сигнала, и формировании сигнала , согласно предлагаемому изобретению формируют интервал времени, в котором измеряемый сигнал дополнительно перемножают с косинусной составляющей опорного сигнала и интегрируют, формируя сигнал , косинусную составляющую опорного сигнала возводят в квадрат и интегрируют, формируя сигнал ^*, косинусную составляющую опорного сигнала интегрируют, формируя сигнал ^*, затем, с помощью полученных по результатам интегрирования четырех сигналов ,,^*, и ^*, вычисляют значение постоянной составляющей гармонического сигнала по формуле
причем интервал времени симметричен относительно экстремума косинусной составляющей опорного сигнала и может быть произвольным по длительности как меньше периода (полупериода), так и некратным периоду гармонической составляющей измеряемого сигнала. Сущность предлагаемого способа можно пояснить следующим образом. В соответствии с предлагаемым способом, постоянная составляющая гармонического сигнала вида (3) определяется по выражению (6), где определено в (2), а



(t) — измеряемый сигнал, представленный (3), T_u — время измерения (интегрирования), cos₀t — косинусная составляющая опорного сигнала, т.е. гармонический сигнал, сформированный в измерителе, той же частоты, что и измеряемый сигнал (частота сигнала известна) и имеющий экстремум в середине измерительного интервала. С этим связано название «косинусная составляющая» опорного сигнала. Сигнал, имеющий нулевое значение в середине измерительного интервала — синусная составляющая опорного сигнала — в предлагаемом способе не используется. Предлагаемый способ обеспечивает измерение постоянной составляющей гармонического сигнала вида (3) с систематической погрешностью, равной нулю при произвольном времени измерения при априорно неизвестных как амплитуде, так и фазовом сдвиге измеряемого сигнала. Для применения предлагаемого способа необходимо априорное знание только частоты измеряемого сигнала для формирования косинусной составляющей опорного сигнала. Чтобы убедиться в этом, найдем математическое ожидание результата измерения по предлагаемому способу. Для этого подставим в (6) измеряемый сигнал без шума (n(t)=0). Тогда для составляющих (2), (7-9) после взятия интегралов получим:
= E₀+ES_m0sin₀ (10),


^* = E (13),
где , а Е определяется из (5). Подставив (10-13) в (6), получим Е_изм = Е₀, причем данное равенство справедливо для любого Т_u, как кратного, так и некратного периоду гармонического сигнала, в том числе и для Т_u меньше периода (полупериода) сигнала, и не зависит от амплитуды и фазового сдвига (S_m0, ₀) измеряемого сигнала. Как видно из анализа, предлагаемый способ обладает принципиальным, по сравнению с прототипом, свойством — обеспечивает измерение постоянной составляющей гармонического сигнала при времени измерения, меньшем периода сигнала или, в более общем случае, некратном периоду сигнала без систематической погрешности. При анализе случайной погрешности предлагаемого способа измерения постоянной составляющей можно показать с использованием функции правдоподобия для сигнала вида (3), что данный способ имеет минимально возможную погрешность, так как способ получен путем исследования функции правдоподобия и является поэтому оптимальным по критерию максимального правдоподобия для способов измерения параметров гармонического сигнала за время, менее или некратное периоду сигнала. На фиг. 1 приведена структурная схема одного из вариантов устройства, реализующего предлагаемый способ. Устройство содержит тактовый генератор 1, блок памяти 2, цифроаналоговый преобразователь 3, перемножитель 4, квадратор 5, интеграторы 6, 7, 8 и 9, вычислительный блок 10, индикатор 11, формирователь импульсов пуска 12, времязадающий элемент 13 и формирователь импульсов остановки 14, причем тактовый генератор 1 выходом соединен с входом блока памяти 2, который выходом соединен с входом цифроаналогового преобразователя 3, формирующего косинусную составляющую опорного сигнала, выход которого соединен с первым выходом перемножителя 4, с входом квадратора 5 и входом интегратора 9, второй вход перемножителя 4 соединен с входом интегратора 6 и служит для подачи измеряемого сигнала, выходы перемножителя 4 и квадратора 5 соединены с входами интеграторов 7 и 8 соответственно, а выходы всех интеграторов 6, 7, 8 и 9 соединены с соответствующими входами вычислительного блока 10, который выходом подключен к входу индикатора 11. Выход формирователя импульсов пуска 12 соединен с входом время задающего элемента 13, а выход времязадающего элемента 13 соединен с первыми управляющими входами интеграторов 6, 7, 8 и 9 и является управляющим входом тактового генератора 1 и входом формирователя импульсов остановки 14, выход которого соединен с вторыми управляющими входами интеграторов 6, 7, 8 и 9 и с управляющим входом индикатора 11. Способ реализуется следующим образом. Момент начала измерения формируется формирователем импульсов пуска 12, работающего в ручном или автоматическом режимах. Времязадающим элементом 13 формируется импульс, равный по длительности времени измерения Т_u, который подают на управляющий вход тактового генератора 1, на первые управляющие входы интеграторов 6, 7, 8 и 9 и на вход формирователя импульсов остановки 14. В течение времени T_u тактовым генератором 1 осуществляется выборка значений опорного сигнала, записанных в блоке памяти 2, которые в цифровом виде поступают на вход цифроаналогового преобразователя 3, на выходе которого и формируется аналоговый сигнал, являющийся косинусной составляющей опорного сигнала с экстремумом в середине измерительного интервала, поступающий затем на перемножитель 4, квадратор 5 и интегратор 9. Сигналы, являющиеся результатом перемножения измеряемого сигнала и косинусной составляющей опорного сигнала, возведения в квадрат косинусной составляющей опорного сигнала, а также косинусная составляющая опорного сигнала и сам измеряемый сигнал интегрируются в течение времени Т_u. После окончания интегрирования результаты запоминаются на время, равное длительности импульса с выхода формирователя импульсов остановки 14, поступающего на вторые управляющие входы интеграторов 6, 7, 8 и 9 и индикатор 11. Сигналы с выходов интеграторов 6, 7, 8 и 9, которые в течение действия импульса на выходе формирователя импульсов остановки 14 постоянны во времени, подаются на соответствующие входы вычислительного блока 10, где происходит их перевод в цифровую форму и вычисление результата измерения по формуле (6). С выхода вычислительного блока 10 сигнал, являющийся результатом измерения, подается на индикатор 11, который фиксирует его и отображает до окончания следующего измерения. Используемые в устройстве, реализующем предлагаемый способ, узлы могут быть построены следующим образом. Перемножители и квадраторы могут быть построены по схемам логарифмических функциональных генераторов (У. Титце, К. Шенк. Полупроводниковая схемотехника. М. : Мир, 1982, с. 156). Интеграторы могут быть построены на основе операционных усилителей. Для обеспечения интегрирования в течение времени T_u применяются интеграторы с асинхронизацией и памятью. Схема такого интегратора приведена на стр. 144 в кн. У. Титце, К. Шенк. Полупроводниковая схемотехника. М.: Мир, 1982. Индикатор может быть выполнен в виде последовательно включенных элемента выборки и хранения и стрелочного прибора. Элемент выборки и хранения можно реализовать на основе цифровых запоминающих устройств, а стрелочный прибор заменить на цифровой индикатор. Формирователь импульса пуска может быть реализован по схеме синхронизируемого мультивибратора, а времязадающий элемент и формирователь импульсов остановки могут быть реализованы по схемам одновибраторов. Вычислительный блок может быть реализован на основе микропроцессора Intel 80386 по типовой структуре с аналогоцифровыми преобразователями на входе. Таким образом, предлагаемый способ решает поставленную задачу — измерение постоянной составляющей гармонического сигнала при любом по длительности времени измерения, и физически реализуем в устройстве, приведенном в описании.

Формула изобретения

Способ измерения постоянной составляющей гармонического сигнала, основанный на интегрировании измеряемого сигнала и формировании сигнала , отличающийся тем, что формируют интервал времени, симметричный относительно экстремума косинусной составляющей опорного сигнала и не связанный по длительности с периодом гармонической составляющей измеряемого сигнала, в котором измеряемый сигнал дополнительно перемножают с косинусной составляющей опорного сигнала и интегрируют, формируя сигнал , косинусную составляющую опорного сигнала возводят в квадрат и интегрируют, формируя сигнал ^*, косинусную составляющую опорного сигнала интегрируют, формируя сигнал ^*, затем с помощью полученных по результатам интегрирования четырех сигналов ,,^*,^* вычисляют значение постоянной составляющей гармонического сигнала по формуле

РИСУНКИ

Рисунок 1

2.4. Распределение мощности в спектре периодического сигнала

Пусть сигнал s(t) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом T. Средней за период мощностью будем называть величину:

(2.27)

где черта над функцией означает операцию усреднения по времени.

Разложим сигнал s(t) в ряд Фурье:

(2.28)

и поставим этот ряд под интеграл в выражении (2.27). После преобразований выражение (2.27) принимает следующий простой вид:

(2.29)

где S₀=a₀/2 – постоянная составляющая; S_n – амплитуда n-й гармоники сигнала.

При использовании комплексного ряда Фурье этот результат в соответствии с формулой (2.10) может быть представлен в форме:

(2.30)

Если s(t)=i(t) представляет собой электрический ток, то при прохождении через омическое сопротивление r выделяется мощность (средняя за период T):

(2.31)

Как видим, полная мощность является суммой средних мощностей, выделяемых по отдельности постоянной составляющей I₀ и гармониками (с амплитудами I₁, I₂ и т.д.).

Важно отметить, что эта мощность не зависит от фазировки отдельных гармоник. Это означает, что изменение формы сигнала, получающееся при изменении фазовых соотношений между отдельными гармониками внутри спектра, не оказывает влияния на величину средней мощности сигнала.

Итак, можно считать, что в энергетическом соотношении отдельные спектральные составляющие сложного периодического сигнала аддитивны, т.е. суммарную среднюю мощность сигнала можно определить как сумму мощностей отдельных компонент спектра сигнала.

По виду функции, представляющей собой огибающую величину, можно судить о распределении мощности в спектре периодического сигнала. Это позволяет выбирать полосу пропускания системы передачи информации, обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала. Подробнее этот вопрос рассматривается ниже в п. 2.9. (применительно к непериодическим сигналам).

2.5. Непериодические сигналы

В реальных системах передачи всегда действуют непериодические сигналы, так как все сигналы имеют конечную длительность.

Пусть задан сигнал в виде функции времени, удовлетворяющий условиям Дирихле (п. 2.2) во всяком конечном интервале и, кроме того, абсолютно интегрируемой.

Последнее условие означает, что интеграл:

∞

 s(t)dt,

-∞

где s(t) – абсолютное значение функции s(t), должен сходиться.

Для удобства рассуждений примем пока, что сигнал s(t) действует в конечном интервале t₁<t<t₂. Из дальнейшего будет видно, что это допущение не ограничивает общности рассмотрения.

Для проведения гармонического анализа непериодической функции поступим следующим образом. Превратим эту функцию в периодическую путем повторения ее с произвольным периодом T>t₂—t₁. Тогда для этой новой функции применимо разложение в ряд Фурье, причем входящие в выражение (2.2) коэффициенты a₀/2, a_n и b_n в соответствии с формулами (2.4) – (2.6) будут тем меньше, чем больше интервал T, выбранный в качестве периода. Устремляя T к бесконечности, в пределе получим бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию s(t), заданную в интервале t₁<t<t₂ (рис. 2.11).

Рис. 2.11.Непериодическая функция

Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при T  ∞ основная частота функции ₁=2π/T  0. Иными словами, расстояние между спектральными линиями (рис. 2.4), равное основной частоте ₁, становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.

Отсюда следует, что при гармоническом анализе непериодической функции получается сплошной спектр, состоящего из бесконечно большого количества гармоник с бесконечно малыми амплитудами.

Математически это можно выразить следующим образом. Подставив формулы (2.5) и (2.6) в формулу (2.9), получаем:

(2.32)

Теперь воспользуемся комплексной формой ряда Фурье [см. формулу

.

(2.3)] и подставим вместо A_n выражение (2.32):

(2.33)

Здесь учтено, что T=2π/₁.

Если теперь устремить T к бесконечности, то в пределе получим исходную непериодическую функцию s(t), заданную в интервале t₁<t<t₂.

При T  ∞ частота ₁ превращается в d₁, n₁ – в текущую частоту , а операция суммирования – в операцию интегрирования. Таким образом, получаем двойной интеграл Фурье:

(2.34)

Внутренний интеграл, являющийся функцией , обозначим:

(2.35)

.

S() называется спектральной плотностью, или спектральной характеристикой функции s(t).

В общем виде, когда не уточнены пределы t₁ и t₂, спектральную плотность представляют выражением:

(2.36)

а после подстановки (2.36) в выражение (2.34) получаем:

(2.37)

Пара выражений (2.36) – (2.37) называется прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражение (2.37) представляет непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами. Из сравнения выражения (2.37) с рядом Фурье (2.3) видно, что

амплитуды этих составляющих равны

Сравнение (2.36) с выражением (2.11) для комплексной амплитуды соответствующей гармоники периодической функции позволяет в наглядной

.

форме пояснить смысл спектральной плотности S().

Именно, выделив какую-либо дискретную частоту _n=n₁, соответствующую в случае периодической функции n-й гармонике, получим для амплитуды этой гармоники выражение:

В случае же непериодической функции, совпадающей с s(t) в интервале t₁<t<t₂, получим для спектральной плотности, соответствующей той же частоте =_n, следующее выражение:

Отсюда видно, что , или, учитывая, что :

(2.38)

.

Таким образом, 2S(_n) получается путем деления амплитуды n-й гармоники на полосу частот f₁, отделяющую соседние линии спектра (рис.

.

2.4), т.е. S() имеет смысл плотности амплитуд и обладает размерностью

Из выражения (2.38) вытекает следующее важное положение: огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции (полученной из периодической путем продолжения ее с периодом T) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

Итак:

(2.39)

Отметим, что при =0, когда «постоянная составляющая» A₀=a₀/2 определяется выражением (2.4), можно написать:

. (2.39а)

.

Спектральная плотность S() обладает всеми основными свойствами

.

комплексной амплитуды A_n.

По аналогии в выражение (2.9) можно написать следующее соотношение:

. -j()

S() = A() – jB() = S()e , (2.40)

где A() и B() – соответственно действительная и мнимая части спектральной плотности;

S() и () – амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики спектральной плотности.

Непосредственно из формулы (2.36) вытекают следующие выражения для A() и B(), аналогичные формулам (2.5) и (2.6):

∞

A() =  s(t) cos t dt, (2.41)

-∞

∞

B() =  s(t) sin t dt, (2.42)

-∞

Очевидно также, что модуль и фаза спектральной плотности определяются выражениями:

(2.43)

(2.44)

Как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности есть функция четная, а фаза – нечетная относительно частоты .

На основании формулы (2.40) нетрудно привести интегральное преобразование к тригонометрической форме.

Имеем:

Из упомянутых выше свойств модуля и фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором интеграле – нечетной относительно . Следовательно, второй интеграл равен нулю, и окончательно:

(2.45)

Как видим, при переходе от комплексной формы (2.37) к тригонометрической (2.45) отпадет необходимость интегрирования в области отрицательных значений . Обычно этот переход целесообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основе комплексной формы (2.37).

Интегральные преобразования (2.36) – (2.37) очень удобны для исследования прохождения непериодических сигналов через линейные системы передачи. По аналогии с выражениями (2.13) – (2.14) можно написать следующие очевидные соотношения для сигнала e(t) на входе и сигнала u(t) на выходе линейной системы передачи:

(2.46)

(2.47)

. —jt .

где E() = E()e – спектральная плотность напряжения на входе, а U()=

. . –j(—)

= E()K() = E()K()e – на выходе системы, коэффициент передачи которой есть:

. j

K() = K()e .

Прикладное значение интегральных преобразований (2.36) – (2.37), позволяющих осуществить гармонический анализ непериодических сигналов, еще более велико, чем значение рядов Фурье, так как в практике непериодические сигналы встречаются чаще, чем периодические.

Большим облегчением при использовании интеграла Фурье является возможность получения выражения для выходного сигнала в замкнутой форме, а не в виде медленно сходящегося ряда.

Преобразование Фурье

— Разница между составляющей постоянного тока и составляющей нулевой частоты сигнала

Давайте сначала посмотрим на прямоугольный сигнал, приведенный в качестве примера в вашем вопросе. Если у вас есть прямоугольник $ s (t) $ во временной области, который равен $ 1 $ в интервале $ [- T / 2, T / 2] $ и равен нулю в другом месте, его преобразование Фурье будет $ S (f) = T \ text {sinc} (Tf) $, где я использую $ \ text {sinc} (x) = \ sin (\ pi x) / (\ pi x) $. {T_0 / 2} s (t) dt = 0 \ tag { 2} $$

Ясно, что любая функция, для которой интеграл в (1) конечен, должна иметь нулевое значение DC.Интеграл в (1) — это значение преобразования Фурье сигнала на постоянном токе, и это, вероятно, вас смущает. Значение DC сигнала и значение его преобразования Фурье в DC не совпадают. Любой сигнал с конечным преобразованием Фурье на постоянном токе имеет нулевое значение постоянного тока, то есть $ \ bar {s} = 0 $. Любой сигнал с ненулевым значением постоянного тока $ \ bar {s} \ neq 0 $ имеет составляющую дельта-импульса Дирака в его преобразовании Фурье на постоянном токе.

Если вы пишете сигнал как

$$ s (t) = \ bar {s} + \ tilde {s} (t) $$

, где $ \ bar {s} $ — DC-компонента, вычисленная из (2), и, следовательно, $ \ tilde {s} (t) $ имеет DC-компонент, равный нулю, тогда его преобразование Фурье равно

$$ S (f) = \ bar {s} \ delta (f) + \ tilde {S} (f) $$

, где $ \ tilde {S} (0) $ конечно.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Также обратите внимание, что когда преобразование Фурье сигнала $ s (t) $ имеет определенное ненулевое значение на частоте $ f_0 $, это не означает, что сигнал имеет чисто синусоидальную составляющую на этой частоте. То же самое и с DC. Если преобразование Фурье имеет конечное значение в DC, то сигнал во временной области не имеет DC-компоненты, в противном случае был бы импульс Дирака в $ f = 0 $, точно так же, как был бы импульс Дирака в $ f_0 $, если бы сигнал содержала синусоиду на частоте.

Серия Фурье

Это подводит нас к последнему члену семейства преобразований Фурье: преобразователю Фурье. серия . Сигнал во временной области, используемый в рядах Фурье, — это периодический и непрерывный . На рисунке 13-10 показано несколько примеров непрерывных сигналов. которые повторяются от отрицательной бесконечности к положительной. Глава 11 показала что периодические сигналы имеют частотный спектр, состоящий из гармоник. Для Например, если во временной области повторяется с частотой 1000 Гц, частотный спектр будет содержат первую гармонику на 1000 Гц, вторую гармонику на 2000 Гц, третью гармонический на 3000 Гц и так далее.Первая гармоника, т. Е. Частота, которая временная область повторяется, также называется основной частотой. Этот означает, что частотный спектр можно рассматривать двумя способами: (1) частотный спектр непрерывный , но нулевой на всех частотах, кроме гармоники, или (2) частотный спектр дискретный , и только определен на гармонические частоты. Другими словами, частоты между гармониками можно рассматривать как имеющую нулевое значение или просто не существующую.В Важным моментом является то, что они не способствуют формированию сигнала во временной области.

Уравнение синтеза ряда Фурье создает непрерывный периодический сигнал с основная частота, f , путем добавления масштабированных косинусоидальных и синусоидальных волн с частоты: f , 2 f , 3 f , 4 f и т. д. Амплитуды косинусных волн хранятся в переменных: a ₁ , a ₂ , а ₃ , а ₃ и т. д., а амплитуды синусоидальных волн: b ₁ , b ₂ , b ₃ , b ₄ и т. д. Другими словами, коэффициенты «a» и « b » являются действительными и мнимые части частотного спектра соответственно. В дополнение коэффициент a ₀ используется для хранения значения постоянного тока формы сигнала во временной области. Этот можно рассматривать как амплитуду косинусоидальной волны с нулевой частотой (a постоянное значение).Иногда группируется с другими коэффициентами « a «, но он часто обрабатывается отдельно, поскольку требует специальных расчетов. Есть № b ₀ коэффициент, так как синусоида нулевой частоты имеет постоянное значение ноль, и было бы совершенно бесполезно. Уравнение синтеза записывается:

Соответствующие уравнения анализа для ряда Фурье обычно записываются в терминах периода сигнала, обозначенного как T , а не основная частота, f (где f = 1/ T ).Поскольку сигнал во временной области периодической, синусоидальную и косинусоидальную корреляцию необходимо оценивать только по один период, то есть от — T /2 до T /2, от 0 до T , — T до 0 и т. д. Выбор различных пределов делает математику другой, но окончательный ответ всегда один и тот же. В Уравнения анализа ряда Фурье:

На рис. 13-11 показан пример вычисления ряда Фурье с использованием этих уравнения.Анализируемый сигнал во временной области представляет собой последовательность импульсов , квадрат волна с неравной большой и низкой длительностью. За один период от — T /2 до T /2 форма волны определяется как:

Рабочий цикл сигнала (доля времени, в течение которого импульс является «высоким») равен таким образом определяется как d = k / T . Коэффициенты ряда Фурье можно найти по формуле оценивая уравнение. 13-5. Сначала мы найдем компонент постоянного тока, a ₀ :

Этот результат должен иметь интуитивный смысл; компонент постоянного тока — это просто среднее значение сигнала.Аналогичный анализ дает коэффициенты «а»:

Коэффициенты « b » рассчитываются таким же образом; однако все они оказываются быть ноль . Другими словами, этот сигнал можно построить, используя только косинус волны, без синусоидальных волн.

Коэффициенты « a » и « b » изменятся, если форма сигнала во временной области сдвинут влево или вправо. Например, коэффициенты « b » в этом примере будут ноль только , если один из импульсов центрируется на t = 0.Подумайте об этом таким образом. Если форма волны даже (т.е. симметрична относительно t = 0), она будет составлена ​​исключительно из даже синусоид, то есть косинусоид. Это делает все коэффициенты « b » равно нулю. Если сигнал нечетный (т. Е. Симметричный, но противоположный по знаку около t = 0), он будет состоять из нечетных синусоид, то есть синусоид. Этот приводит к тому, что коэффициенты « a » равны нулю.Если коэффициенты преобразованы в полярной записи (скажем, коэффициенты M _n и θ _n ), сдвиг во временной области оставляет величина неизменна, но добавляет линейную составляющую к фазе.

Чтобы завершить этот пример, представьте последовательность импульсов, существующую в электронной схеме, с частотой 1 кГц, амплитудой один вольт и скважностью 0,2. В таблице на рис. 13-12 приведены амплитуды каждой гармоники, содержащейся в эта форма волны.На рисунке 13-12 также показан синтез формы сигнала с использованием только первые четырнадцать из этих гармоник. Даже с таким количеством гармоник реконструкция не очень хорошая. На математическом жаргоне ряд Фурье сходится очень медленно . Это просто еще один способ сказать, что острые края в форма сигнала во временной области приводит к очень высоким частотам в спектре. Наконец, обязательно и обратите внимание на перерегулирование на острых краях, т.е.е., эффект Гиббса обсуждается в главе 11.

Важным применением ряда Фурье является электронная частота. умножение. Предположим, вы хотите построить очень стабильную синусоидальную волну. генератор на 150 МГц. Это может понадобиться, например, в радио передатчик, работающий на этой частоте. Высокая стабильность требует, чтобы схема была Кристалл управляемый . То есть частота генератора определяется резонирующий кристалл кварца, который является частью цепи.Проблема в том, что кварц кристаллы работают только около 10 МГц. Решение — построить кристалл управляемый генератор, работающий где-то между 1 и 10 МГц, а затем умножьте частоту на все, что вам нужно. Это достигается искажает синусоидальную волну, например, отсекая пики диодом или бегая сигнал через схему возведения в квадрат. Гармоники в искаженном Затем форма волны изолируется полосовыми фильтрами.Это позволяет частоту можно удвоить, утроить или умножить на еще более высокие целые числа. В наиболее распространенной техникой является использование последовательных ступеней удвоителей и тройников для генерировать необходимое умножение частоты, а не только одну ступень. Ряд Фурье важен для этого типа дизайна, потому что он описывает амплитуда перемноженного сигнала в зависимости от типа искажения и выбрана гармоника.

Представление сигналов во временной и частотной областях

Электрические сигналы имеют представление как во временной, так и в частотной области.Во временной области напряжение или ток выражаются как функция времени, как показано на рисунке 1. Большинство людей относительно комфортно относятся к представлениям сигналов во временной области. Сигналы, измеренные на осциллографе, отображаются во временной области, а цифровая информация часто передается с помощью напряжения как функции времени.

Рис. 1. Представление электрического сигнала во временной области.

Сигналы также могут быть представлены величиной и фазой как функцией частоты.Сигналы, которые периодически повторяются во времени, представлены спектром мощности, как показано на рисунке 2. Сигналы, которые ограничены по времени (т.е. ненулевые только в течение конечного времени), представлены энергетическим спектром, как показано на рисунке 3.

Рисунок 2. Спектр мощности периодического сигнала.

Рисунок 3. Энергетический спектр ограниченного по времени (переходного) сигнала.

Представления в частотной области особенно полезны при анализе линейных систем.Инженеры по ЭМС и целостности сигналов должны уметь работать с сигналами, представленными как во временной, так и в частотной областях. Источники сигналов и помехи часто определяются во временной области. Однако поведение системы и преобразования сигналов более удобны и интуитивно понятны при работе в частотной области.

Линейные системы

Теория линейных систем играет ключевую роль в инженерном анализе электрических и механических систем. Инженеры моделируют самые разные вещи, включая поведение схемы, распространение сигнала, связь и излучение, как линейные преобразования.Следовательно, важно точно понять, что мы подразумеваем под линейной системой, чтобы понять, как и когда использовать доступные нам мощные инструменты анализа линейных систем.

На рис. 4 показана система с одним входом, x (t) , и одним выходом, y (t) = H [x (t)] . Если ввод, x ₁ (t) производит вывод y ₁ (t) , а ввод x ₂ (t) производит вывод y ₂ (t) , то система является линейной тогда и только тогда, когда

ay1 (t) + by2 (t) = H [ax1 (t) + bx2 (t)] (1)

, где a и b — константы.Другими словами, масштабирование ввода константой приведет к выходу, масштабированному той же константой; а объединение (суммирование) двух входов даст выход, который представляет собой сумму выходов, произведенных отдельными входами.

Рисунок 4: Линейная система.

Контрольный вопрос

Какое из следующих уравнений описывает взаимосвязь между выходом y (t) и входом x (t) линейной системы?

1. y = 5x
2. y (t) = 0
3. y = 8x + 3
4. y = x ²
5. y (t) = 5t x (t)
6. y = грех x
7. y (t) = 5 δ / δt [x (t)]

Из вышеперечисленных вариантов только a, b и g являются линейными преобразованиями системы. y = 0 — не очень интересная система, потому что ее выход всегда равен нулю, но она линейна. Простые производные и интегральные операторы являются линейными, поскольку они удовлетворяют условиям уравнения (1). Остальные варианты — нелинейные операции. Обратите внимание, что y = 8x + 3 — это уравнение прямой, но оно не описывает линейную систему, потому что оно имеет ненулевой выход, когда нет входа.

Анализ линейных систем в частотной области

Линейные системы обладают уникальным свойством: любой синусоидальный вход будет давать синусоидальный выходной сигнал с точно такой же частотой.Другими словами, если ввод имеет форму,

x (t) = Aincos (ω0t + φin). (2)

, то результат будет иметь вид

y (t) = Aoutcos (ω0t + φout). (3)

Как правило, величина и фаза синусоидального сигнала могут изменяться, но частота должна быть постоянной. Это дает нам очень мощный инструмент анализа для анализа линейных систем. Если мы представим входной сигнал как сумму его компонентов в частотной области, то мы можем выразить выходной сигнал как простое масштабирование величин и сдвиг фаз этих компонентов.

Обозначение фазора

Чтобы облегчить анализ откликов линейной системы на синусоидальные входы, удобно представлять сигналы в сокращенной форме, известной как обозначение вектора. Рассмотрим ввод формы,

x (t) = Acos (ωt + φ). (4)

Это может быть представлено как,

x (t) = Re {Aej (ωt + φ)} = A⋅Re {ejωtejφ}. (5)

, где Re {•} указывает действительную часть комплексной величины. Признавая, что частота ω будет одинаковой во всей системе, нам не нужно специально писать термин e ^jωt , если мы помним, что он есть.То же самое относится к обозначению Re {•} . Это позволяет нам выразить синусоидальный сигнал просто через его амплитуду и фазу как,

x = Aejϕ или A∠ϕ. (6)

Выражение в (6) — это сигнал в (4), выраженный с использованием векторной записи. Обратите внимание, что мы должны знать частоту сигнала, чтобы перейти от векторной записи к представлению во временной области.

Контрольный вопрос

Запишите следующие сигналы в векторной записи:

1. x (t) = 5 cos (wt) В
2. y (t) = 5 sin (wt) ампер
3. z (t) = 5t sin (wt) вольт

Первый сигнал, выраженный в векторных обозначениях, просто равен x = 5 вольт.Чтобы получить обозначение вектора для второго сигнала, мы понимаем, что sin (ωt) = cos (ωt + π / 2), поэтому y = 5e ^{j (π / 2)} . Третий сигнал не является синусоидой и поэтому не может быть выражен с помощью векторной записи.

Серия Фурье

Конечно, многие входы в линейные системы, которые мы хотели бы проанализировать, не являются синусоидальными. В этом случае желательно представить более произвольные формы сигналов в виде суммы синусоидальных частотных составляющих. Затем мы анализируем каждый компонент по отдельности и применяем концепцию суперпозиции для восстановления выходного сигнала.

Периодический сигнал может быть представлен как сумма его частотных компонентов путем вычисления его коэффициентов ряда Фурье. Можно записать периодический сигнал с периодом T,

x (t) = ∑n = −∞∞cnejn2πf0t (7a)

где

cn = 1T∫t0t0 + Tx (t) e − jn2πf0tdt. (7b)

Если x (t) является сигналом области реального времени, коэффициенты c _n и c _-n являются комплексно сопряженными (т.е.), и мы можем переписать уравнение (7) в форме

x (t) = c0 + ∑n = 1∞ (cnejn2πf0t + cn ∗ e − jn2πf0t) = c0 + ∑n = 1∞ (| cn | ejn2πf0t + ϕn + | cn | e− (jn2πf0t + ϕn)) = c0 + ∑n = 1∞2 | cn | cos (n2πf0t + ϕn).(8)

В этой форме мы видим, что коэффициенты ряда Фурье состоят из постоянной составляющей c ₀ и частот положительных гармоник nω ₀ (n = 1,2,3,…). Это односторонний ряд Фурье, а коэффициенты соответствуют амплитудам частотных гармоник, которые можно измерить с помощью анализатора спектра.

Несколько периодических сигналов и их представления в частотной области показаны на рисунке 5. Представление периодического сигнала в частотной области представляет собой линейчатый спектр.Он может иметь ненулевые значения только при постоянном токе, основной частоте и гармониках основной гармоники. Поскольку периодические сигналы не имеют начала и конца, ненулевые периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но обычно имеют конечную мощность. Полная мощность сигнала во временной области,

Ptotal = 1T∫t0t0 + Tx2 (t) dt. (9)

равно сумме мощностей в каждом компоненте частотной области,

Ptotal = ∑n = −∞∞ | cn | 2. (10)

Рисунок 5. Периодические сигналы во временной и частотной области.

Пример 1: Представление последовательности импульсов в частотной области

Определите представление в частотной области последовательности импульсов, показанной на рисунке 6.

Рисунок 6: Последовательность импульсов.

Во временной области этот сигнал описывается следующей формулой:

x (t) = {1 vnT

Коэффициенты ряда Фурье затем вычисляются с использованием уравнения (7b) как,

cn = 1T∫0Tx (t) e − jn2πf0tdt = 1T∫0τ (A) e − jn2πt / Tdt = AT∫0τe − jn2πt / T dt = AτT [sin (nπτT) (nπτT)] e − j (nπτT) .(E2)

Обратите внимание, что при τ → 0 наш сигнал во временной области выглядит как последовательность импульсов, а амплитуды всех гармоник приближаются к одному и тому же значению. При τ → T / 2 сигнал становится прямоугольной формы, а величина гармоник становится равной

.

cn = A2 | sin (nπ2) (nπ2) || e − j (nπ2) | = {Anπn = ± 1, ± 3, ± 5 ⋯ 0n = ± 2, ± 4, ± 6 ⋯. (E3)

В этом случае амплитуда четных гармоник равна нулю, а нечетные гармоники линейно убывают с частотой (n).

Преобразование Фурье

Переходные сигналы (т.е. сигналы, которые начинаются и заканчиваются в определенное время) также могут быть представлены в частотной области с помощью преобразования Фурье. Представление преобразованием Фурье переходного сигнала, x (t), задается формулой

.

X (е) знак равно ∫ − ∞∞x (t) e − j2πf tdt. (11)

Обратное преобразование Фурье может использоваться для преобразования представления сигнала в частотной области обратно во временную область,

x (t) = 12π∫ − ∞∞X (f) ej2πf tdf. (12)

Некоторые переходные сигналы во временной области и их преобразования Фурье показаны на рисунке 7.

Рисунок 7. Переходные сигналы во временной и частотной области.

Обратите внимание, что переходные сигналы имеют нулевую среднюю мощность (при усреднении за все время), но имеют конечную энергию. Полная энергия переходного сигнала во временной области определяется выражением

.

E = ∫ − ∞∞x2 (t) dt. (13)

Это должно равняться полной энергии в представлении сигнала в частотной области,

E знак равно ∫ − ∞∞ | X (f) | 2 df. (14)

Представление трапецеидального сигнала в частотной области

Давайте рассмотрим представление в частотной области периодического трапециевидного сигнала, показанного на рисунке 8.Изучение поведения этого сигнала помогает нам понять взаимосвязь между представлениями временной и частотной области в целом. Кроме того, сходство между трапецеидальной формой сигнала и формами обычного цифрового сигнала будет полезно при исследовании проблем ЭМС или целостности сигнала в цифровых системах.

Рис. 8. Трапецеидальная форма волны.

Используя односторонний ряд Фурье, уравнения (7b) и (8), мы можем представить этот сигнал как сумму его частотных составляющих [1],

x (t) = c0 + ∑n = 1∞2 | cn | cos (n 2πf0 t + ϕn).(15)

где

2 | cn | = 2AτT | sin (nπτT) (nπτT) || sin (nπtrT) (nπtrT) |. (16)

Уравнение (16) можно получить, отметив, что трапециевидная форма волны на рисунке 7 может быть получена путем свертки последовательности импульсов на рисунке 9 с другой серией импульсов, импульсы которой имеют ширину t _r и амплитуду A / t _{. r} . Свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области, поэтому мы можем просто перемножить два представления этих последовательностей импульсов в частотной области, чтобы получить уравнение (16).

Каждый член, 2 | c _n |, — амплитуда n-й гармоники. Если мы предположим, что t _r << T, то заметим, что третий член примерно равен sin (малое число) small number≈1 для нижних гармоник. Если τ = T2 (т.е. 50% рабочий цикл), то числитель второго члена равен 1 для гармоник (n = 1,3,5,…) и 0 для четных гармоник (n = 2,4,6. ,…). В этом случае амплитуда нижних гармоник обратно пропорциональна n (то есть амплитуда нижних гармоник уменьшается пропорционально частоте).На более высоких гармониках третий член также начинает уменьшаться пропорционально частоте, поэтому общая амплитуда верхних гармоник уменьшается в среднем со скоростью, пропорциональной квадрату частоты. Это частотное представление трапециевидного сигнала (τ = T2, tr≪T) и его огибающая показаны на рисунке 9.

Рисунок 9: Представление трапецеидального сигнала в частотной области

Пример 2: Гармоники трапециевидного сигнала

Форма сигнала, показанная на Рисунке 10 ниже, измерена на осциллографе в лаборатории.Время нарастания и спада составляет 0,8 нс.

а.) Какая основная частота?

b.) Рассчитайте амплитуды гармоник на частотах 50, 150, 250 и 1,55 ГГц.

Если время нарастания и спада увеличится до 1,6 наносекунды, то на сколько дБ уменьшатся гармоники на частотах 50 МГц, 150 МГц, 250 МГц и 550 МГц?

Рис. 10. Трапецеидальная форма волны для Примера 2.

Учитывая, что период равен 20 нсек, основная частота легко определяется как f0 = 1T = 12 × 10-8 = 50 МГц.Поэтому нас просят определить амплитуды 1 ^-й , 3 ^-й , 5 ^-й и 11 ^-й гармоник. Применяя уравнение (16) для n = 1,3,5 и 11, получаем амплитуды этих гармоник,

2 | c1 | = 2 (1 v) 2 | sin (1π (10) 20) (1π (10) 20) || sin (1π (0.8) 20) (1π (0.8) 20) | = (1 v ) (0,64) (1,00) = 0,64 v2 | c3 | = 2 (1 v) 2 | sin (3π (10) 20) (3π (10) 20) || sin (3π (0,8) 20) (3π (0,8 ) 20) | = (1 v) (0,21) (0,98) = 0,21 v2 | c5 | = 2 (1 v) 2 | sin (5π (10) 20) (5π (10) 20) || sin (5π ( 0,8) 20) (5π (0,8) 20) | = (1 v) (0.13) (0,94) = 0,12 v2 | c11 | = 2 (1 v) 2 | sin (11π (10) 20) (11π (10) 20) || sin (11π (0,8) 20) (11π (0,8) 20 ) | = (1 v) (0,06) (0,71) = 0,04 v.

Ни одна из этих гармоник не зависит от времени нарастания. Они имеют практически ту же амплитуду, что и при нулевом времени нарастания. Однако увеличение времени нарастания до 1,6 нс существенно влияет на амплитуду верхних гармоник,

2 | c1 | = 2 (1 v) 2 | sin (1π (10) 20) (1π (10) 20) || sin (1π (1.6) 20) (1π (1.6) 20) | = (1 v ) (0,64) (. 99) = 0,63 v2 | c3 | = 2 (1 v) 2 | sin (3π (10) 20) (3π (10) 20) || sin (3π (1.6) 20) (3π (1,6) 20) | = (1 v) (0,21) (0,91) = 0,19 v2 | c5 | = 2 (1 v) 2 | sin (5π (10) 20) (5π (10) 20) || sin (5π (1,6) 20) (5π (1,6) 20) | = (1 v) (0,13) (0,76) = 0,10 v2 | c11 | = 2 (1 v) 2 | sin (11π (10 ) 20) (11π (10) 20) || sin (11π (1,6) 20) (11π (1,6) 20) | = (1 v) (0,06) (0,13) = 0,008 v.

Удвоение времени нарастания с 0,8 до 1,6 нс уменьшает первую гармонику всего на 20log (0,64,63) = 0,14 дБ. Третья гармоника уменьшается на 20log (0,21,19) = 0,87 дБ. Пятая гармоника уменьшается на 20log (.12.10) = 1,6 дБ, а одиннадцатая гармоника уменьшается на 20log (0.040.008) = 14 дБ.

Обратите внимание, что изменение времени нарастания может иметь существенное влияние на амплитуду верхних гармоник без значительного изменения представления сигнала во временной области. Проблемы, связанные с излучаемыми электромагнитными помехами или перекрестными помехами на верхних частотах гармоник цифрового сигнала, часто можно решить, увеличив время нарастания сигнала цифрового сигнала. Как правило, время нарастания, равное 10% длины в битах или более, по-прежнему дает очень хороший цифровой сигнал, при этом значительно ограничивая амплитуду сигнала на частотах выше 10 ^{-й гармоники} .

Серия Фурье — обзор

Серия Фурье

Это подводит нас к последнему члену семейства преобразований Фурье: серии Фурье . Сигнал временной области, используемый в рядах Фурье, — это периодический и непрерывный . На рисунке 13-10 показано несколько примеров непрерывных сигналов, которые повторяются от отрицательной до положительной бесконечности. В главе 11 было показано, что периодические сигналы имеют частотный спектр, состоящий из гармоник .Например, если во временной области повторяется с частотой 1000 Гц (период 1 миллисекунда), частотный спектр будет содержать первую гармонику с частотой 1000 Гц, вторую гармонику с частотой 2000 Гц, третью гармонику с частотой 3000 Гц и так далее. Первая гармоника, то есть частота, которая повторяется во временной области, также называется основной частотой . Это означает, что частотный спектр можно рассматривать двумя способами: (1) частотный спектр непрерывный , но нулевой на всех частотах, кроме гармоник, или (2) частотный спектр дискретный , и только определено на частотах гармоник.Другими словами, частоты между гармониками можно рассматривать как имеющие нулевое значение или просто не существующие. Важным моментом является то, что они не влияют на формирование сигнала во временной области.

РИСУНОК 13-10. Примеры рядов Фурье. Показаны шесть обычных сигналов во временной области, а также уравнения для расчета их коэффициентов «a» и « b ».

Уравнение синтеза серии Фурье создает непрерывный периодический сигнал с основной частотой f путем добавления масштабированных косинусоидальных и синусоидальных волн с частотами: f, 2f, 3f , 4 f и т. Д.Амплитуды косинусоидальных волн хранятся в переменных: a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ и т. Д., А амплитуды синусоидальных волн хранятся в: b ₁ b ₂ , b ₃ b ₄ и т. д. Другими словами, коэффициенты « a » и « b » являются действительной и мнимой частями частотного спектра соответственно.Кроме того, коэффициент a ₀ используется для хранения значения постоянного тока сигнала во временной области. Это можно рассматривать как амплитуду косинусоидальной волны с нулевой частотой (постоянное значение). Иногда a ₀ группируется с другими коэффициентами «а», но часто это обрабатывается отдельно, поскольку требует специальных вычислений. Не существует коэффициента b ₀ , поскольку синусоида нулевой частоты имеет постоянное значение, равное нулю, и была бы совершенно бесполезной.Уравнение синтеза записывается:

УРАВНЕНИЕ 13-4

Уравнение синтеза ряда Фурье. Любой периодический сигнал x ( t ) может быть восстановлен из синусоидальных и косинусоидальных волн с частотами, кратными основной, f Коэффициенты a _n и b _n содержат амплитуды косинусной и синусоидальной волн соответственно.

x (t) = a0 + ∑n = 1∞an cos (2πftn) −∑n = 1∞bn sin (2πftn)

Соответствующие уравнения анализа для ряда Фурье обычно записываются в терминах периода . сигнала, обозначенного как T , а не основная частота, f (где f = 1/ T ).Поскольку сигнал во временной области является периодическим, синусоидальную и косинусоидальную корреляцию необходимо оценивать только за один период, т. Е. От — T /2 до T /2, от 0 до T, от -T до 0, и т. д. Выбор разных пределов делает математику разными, но окончательный ответ всегда один и тот же. Уравнения анализа ряда Фурье:

УРАВНЕНИЕ 13-5

Уравнение анализа ряда Фурье. В этих уравнениях x ( f ) — это разлагаемый сигнал во временной области, a ₀ — составляющая постоянного тока, a _n и b _n содержат амплитуды косинуса и синусоидальные волны, соответственно, и T — период сигнала, т.е.е., величина, обратная основной частоте.

a0 = 1T∫ − T / 2T / 2x (t) dtan = 2T∫ − T / 2T / 2x (t) cos (2πtnT) dt

bn = −2T∫ − T / 2T / 2x (t) sin (2πtnT) dt

На рисунке 13-11 показан пример вычисления ряда Фурье с использованием этих уравнений. Анализируемый сигнал во временной области представляет собой последовательность импульсов , прямоугольную волну с неодинаковой высокой и низкой длительностью. За единичный период от — T /2 до T /2 форма волны определяется следующим образом:

РИСУНОК 13-11. Пример вычисления ряда Фурье.Это последовательность импульсов с рабочим циклом d = k / T . Коэффициенты ряда Фурье рассчитываются путем корреляции формы волны с косинусоидальной и синусоидальной волнами за любой полный период. В этом примере используется период от — T /2 до T /2.

x (t) = A для − k / 2≤t≤k / 2x (t) = 0 в противном случае

Рабочий цикл сигнала (доля времени, в течение которого импульс является «высоким»), таким образом, определяется как д = к / т . Коэффициенты ряда Фурье можно найти, оценив уравнение.13-5. Сначала мы найдем составляющую постоянного тока, a ₀ :

a0 = 1T∫ − T / 2T / 2x (t) dt (начнем с уравнения 13-5) a0 = 1T∫ − k / 2k / 2A dt (подключить сигнал) a0 = AkT (вычислить интеграл) a0 = Ad (заменить: d = k / T)

Этот результат должен иметь интуитивный смысл; составляющая постоянного тока — это просто среднее значение сигнала. Аналогичный анализ дает коэффициенты « a »:

an = 2T∫ − T / 2T / 2x (t) cos (2πtnT) dt (начните с уравнения 13-4) an = 2T∫ − k / 2k / 2A cos (2πtnT) dt (подключить сигнал) an = 2AT [T2πn sin (2πtnT)] | −k / 2k / 2 (вычислить интеграл) an = 2Anπ sin (πnd) (уменьшить)

« b Таким же образом рассчитываются коэффициенты ”; однако все они оказываются ноль .Другими словами, эта форма волны может быть построена с использованием только косинусоидальных волн, без синусоидальных волн.

Коэффициенты « a » и « b » изменятся, если форма сигнала временной области сдвинута влево или вправо. Например, коэффициенты « b » в этом примере будут равны нулю только , если один из импульсов центрирован на t = 0. Подумайте об этом так. Если форма волны даже (т.е. симметрична относительно t = 0), она будет состоять только из даже синусоид, то есть косинусоидальных волн.Это делает все коэффициенты « b » равными нулю. Если форма волны нечетная (то есть симметричная, но противоположная по знаку около t = 0), она будет состоять из нечетных синусоид, то есть синусоид. В результате коэффициенты «а» равны нулю. Если коэффициенты преобразованы в полярную нотацию (скажем, коэффициенты M _n и θ _n ), сдвиг во временной области оставляет величину неизменной, но добавляет линейную составляющую к фазе.

Чтобы завершить этот пример, представьте последовательность импульсов, существующую в электронной схеме, с частотой 1 кГц, амплитудой 1 вольт и скважностью 0,2. В таблице на рис. 13-12 представлена ​​амплитуда каждой гармоники, содержащейся в этом сигнале. На рисунке 13-12 также показан синтез формы сигнала с использованием только первых четырнадцати этих гармоник . Даже с таким количеством гармоник реконструкция не очень хорошая. На математическом жаргоне ряд Фурье сходится очень медленно .Это просто еще один способ сказать, что резкие края в форме волны во временной области приводят к очень высоким частотам в спектре. Наконец, обязательно обратите внимание на перерегулирование на острых краях, то есть эффект Гиббса, описанный в главе 11.

РИСУНОК 13-12. Пример синтеза рядов Фурье. Формируемая форма волны представляет собой последовательность импульсов с частотой 1 кГц, амплитудой 1 вольт и скважностью 0,2 (как показано на рис. 13-11). В этой таблице показана амплитуда гармоник, а на графике показана восстановленная форма волны с использованием только первых четырнадцати гармоник.

Важным применением ряда Фурье является электронное умножение частоты на . Предположим, вы хотите построить очень стабильный синусоидальный генератор на частоте 150 МГц. Это может понадобиться, например, в радиопередатчике, работающем на этой частоте. Высокая стабильность требует, чтобы схема была управляемой кристаллом . То есть частота генератора определяется резонирующим кристаллом кварца, который является частью цепи. Проблема в том, что кварцевые кристаллы работают только на частоте около 10 МГц.Решение состоит в том, чтобы создать кварцевый генератор, работающий где-то между 1 и 10 МГц, а затем умножить частоту на все, что вам нужно. Это достигается путем искажения синусоидальной волны, например, путем ограничения пиков диодом или пропускания формы волны через схему возведения в квадрат. Затем гармоники в искаженной форме волны изолируются полосовыми фильтрами. Это позволяет удвоить, утроить или умножить частоту на еще более высокие целые числа.Наиболее распространенный метод заключается в использовании последовательных ступеней удвоителей и тройников для создания необходимого умножения частоты, а не только одной ступени. Ряд Фурье важен для этого типа конструкции, потому что он описывает амплитуду умноженного сигнала, в зависимости от типа искажения и выбранной гармоники.

Коэффициент ряда Фурье — обзор

Уравнения (3) и (5) в данном контексте являются аналогами понятий рядов Фурье и коэффициентов Фурье.ωeiωxdω = 12π∫ − ∞∞∫ − aafseiωx − sdωds = 12π∫ − ∞∞fs2sinax − sx − sds = 1π∫ − ∞∞fx + tsinattdt.

Теперь

∫0∞fx + tsinattdt = ∫0∞fx + t − fx + tsinatdt + fx + ∫0∞sinattdt.

Если f имеет правую производную при x , частное в первом интеграле в правой части является кусочно-непрерывной функцией t на (0, δ ) для δ достаточно малы и интегрируемы на ( δ , ∞). Тогда он интегрируем на (−∞, ∞), и этот интеграл стремится к нулю при a → ∞ по расширенной теореме Римана-Лебега (теорема B.при оценке — x он непрерывен, как показано выше. Таким образом, f непрерывно, а 12fx ++ fx− = fx, Q.E.D.

Ряд Фурье

и обзор явления Гиббса

Обзор явления Гиббса рядов Фурье Обзор рядов Фурье и явления Гиббса

В этом эксперименте вы работаете с представлением в виде ряда Фурье. периодических сигналов в непрерывном времени и узнайте о феномене Гиббса.

Представление периодического сигнала в виде ряда Фурье с периодом T = 1 / fo , определяется как

где коэффициенты комплексного ряда Фурье, также выраженные в полярных форма,

вычисляются по интегральной формуле

где T — основной период сигнала.DC составляющая сигнала равна коэффициенту первого ряда Фурье и представляет собой просто среднее значение сигнала за один период.

Синусоидальные составляющие сигнала, кратные Основная частота называется гармониками.
В общем, для корректных (непрерывных) периодических сигналов достаточно можно использовать большое количество гармоник для разумной аппроксимации сигнала хорошо. Однако для периодических сигналов с разрывами, например периодических прямоугольной волны, даже большого количества гармоник будет недостаточно для точно воспроизвести прямоугольную волну.Этот эффект известен как феномен Гиббса. и проявляется в виде ряби нарастающей частоты и ближе к переходам квадратного сигнала.

На рисунке ниже показано явление Гиббса. В На рисунке показан результат сложения одной, трех, пяти, семи и девяти гармоник. Во всех случаях и независимо от количества гармоник наблюдается что выброс ряби имеет постоянную величину (около 18%).

В этом эксперименте мы изучаем представление в виде ряда Фурье двух периодические сигналы, треугольная форма волны и квадратная форма волны. Как есть периоды равны 2 секундам. Будет видно, что эффект Гиббса значительно более выражен в случае прямоугольной волны.

Глава 3: 3.2 Разложение периодических сигналов в ряд Фурье

Формула разложения в ряд Фурье

Даем такой периодический сигнал

Тригонометрическая формула Фурье

На рисунке представлена ​​формула Фурье в виде тригонометрических функций.Мы видим, что an и bn ортогональны друг другу и удовлетворяют теореме Пифагора.

Из приведенного выше анализа мы видим, что периодический сигнал можно разложить на суперпозицию сигнала постоянного тока и бесконечного количества сигналов переменного тока. Среди них составляющая переменного тока с тем же периодом, что и сигнал, называется основной волной сигнала. Остальные компоненты переменного тока называются гармониками сигнала. Слово Harmonic происходит от частоты компонентов переменного тока других сигналов, кратных основной гармонике .В музыке концерты, частоты которых удовлетворяют только пропорциональному соотношению, кажутся очень гармоничными, поэтому их называют гармониками.

Формула Фурье в комплексной экспоненциальной форме

Теория разложения Фурье говорит нам, что любой периодический сигнал можно разложить на его постоянную составляющую и гармонические составляющие, а частоты всех гармонических составляющих являются целыми числами, кратными частоте самого сигнала.

Разложение периодического прямоугольного сигнала в ряд Фурье

Как показано на рисунке, мы сначала поясняем концепцию, Интеграл периодической функции по периоду не зависит от начальной позиции , поэтому при вычислении достаточно выбрать соответствующий интервал.

Или для того же периодического прямоугольного сигнала, давайте посмотрим на метод разложения по тригонометрической функции

Это комплексная экспоненциальная форма

Практические вопросы

В этом вопросе можно просто использовать формулу напрямую, компонент постоянного тока равен а0 с c0 В этом вопросе нужно обратить внимание на значение каждого символа.

.