Правило лоренца: визначення, формула, правило лівої руки

визначення, формула, правило лівої руки

Визначення сили Лоренца

Трішки історії

Формула сили Лоренца

Правило лівої руки

Застосування сили Лоренца

Рекомендована література та корисні посилання

Сила Лоренса, відео

Визначення сили Лоренца

Сила Лоренца являє собою комбінацію магнітної та електричної сили на точковому заряді, який викликаний електромагнітними полями. Або іншими словами, сила Лоренца – це сила, що діє на будь-яку заряджену частинку, яка падає в магнітному полі з певною швидкістю. Її величина залежить від величини магнітної індукції В, електричного заряду частинки q і швидкості, з якою частинка падає в полі – V. Про те яка формула розрахунку сили Лоренца, а також її практичне значення у фізиці читайте далі.

Трішки історії

Перші спроби описати електромагнітну силу були зроблені ще в XVIII столітті. Вчені Генрі Кавендіш і Тобіас Майєр висловили припущення, що сила на магнітних полюсах і електрично заряджених об’єктах підкоряється закону зворотних квадратів. Однак експериментальне підтвердження цього факту не було повним і переконливим. Тільки в 1784 році Шарль Августин де Кулон за допомогою свого торсіонного балансу зміг остаточно довести це припущення.

У 1820 році фізиком Ерстедом був відкритий факт, що на магнітну стрілку компаса діє струм вольта, а Андре-Марі Ампер в цьому ж році зміг розробити формулу кутової залежності між двома струмовими елементами. По суті, ці відкриття стали фундаментом сучасної концепції електричних та магнітних полів. Сама ж концепція отримала свій подальший розвиток в теоріях Майкла Фарадея, особливо в його уявленні про силові лінії. Лорд Кельвін і Джеймс Максвелл доповнили теорії Фарадея докладним математичним описом. Зокрема Максвеллом було створене так зване, «рівняння поля Максвелла» – що представляє собою систему диференціальних та інтегральних рівнянь, що описують електромагнітне поле і його зв’язок з електричними зарядами і струмами у вакуумі та суцільних середовищах.

Джей Джей Томпсон був першим фізиком, хто спробував вивести з рівняння поля Максвелла електромагнітну силу, які діє на рухомий заряджений об’єкт. У 1881 році він опублікував свою формулу F = q / 2 v x B. Але через деякі прорахунки та неповний опис струму зміщення вона виявилася не зовсім правильною.

І ось, нарешті, в 1895 році голландський вчений Хендрік Лоренц вивів правильну формулу, яка використовується і понині, а також носить його ім’я, як і та сила, що діє на рухому частку в магнітному полі, відтепер називається «силою Лоренца».

Хендрік Лоренц.

Формула сили Лоренца

Формула для розрахунку сили Лоренца виглядає наступним чином:

Де q – електричний заряд частинки, V – її швидкість, а B – величина магнітної індукції магнітного поля.

При цьому поле B виступає в якості сили, перпендикулярної до напрямку вектора швидкості V навантажень і напрямку вектора B. Це можна проілюструвати на діаграмі:

Правило лівої руки

Правило лівої руки дозволяє фізикам визначати напрямок і повернення вектора магнітної (електродинамічної) енергії. Уявіть собі, що наша ліва рука розташована таким чином, що лінії магнітного поля направлені перпендикулярно внутрішньої поверхні руки (так, що вони проникають всередину руки), а всі пальці за винятком великого вказують на напрямок протікання позитивного струму, відхилений великий палець вказує на напрямок електродинамічної сили, що діє на позитивний заряд, поміщений в це поле.

Ось так це буде виглядати схематично.

Є також і другий спосіб визначення напрямку електромагнітної сили. Він полягає в розташуванні великого, вказівного і середнього пальців під прямим кутом. В цьому випадку вказівний палець буде показувати напрямок ліній магнітного поля, середній – напрямок руху струму і великий – напрямок електродинамічної сили.

Застосування сили Лоренца

Сила Лоренца і її розрахунки мають своє практичне застосування при створенні як спеціальних наукових приладів – мас-спектрометрів, що служать для ідентифікації атомів і молекул, так і створенні багатьох інших пристроїв найрізноманітнішого застосування. Серед таких пристроїв є і електродвигуни, і гучномовці, і рейкові пістолети.

Також здатність сили Лоренса пов’язувати механічне зміщення з електричним струмом представляє великий інтерес для медичної акустики.

Рекомендована література та корисні посилання

• Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — Москва: Наука, 1985. — С. 43-44. — 260 с.
• Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — 3-е изд. — М. Высшая школа 1976. — С. 132.

Сила Лоренса, відео

Автор: Павло Чайка, головний редактор журналу Пізнавайка

При написанні статті намагався зробити її максимально цікавою, корисною та якісною. Буду вдячний за будь-який зворотний зв’язок та конструктивну критику у вигляді коментарів до статті. Також Ваше побажання/питання/пропозицію можете написати на мою пошту [email protected] або у Фейсбук.

Сила Лоренца: определение, направление, формула, применение

Мари Ампер доказал, что при наличии электрического тока в проводнике, оказавшемся в магнитном поле, он взаимодействует с силами этого поля. Учитывая то, что электрический ток – это не что иное, как упорядоченное движение электронов, можно предположить, что электромагнитные поля подобным образом действуют также на отдельно взятую заряженную частицу. Это действительно так. На точечный заряд действует сила Лоренца, модуль которой можно вычислить по формуле.

Определение и формула

Хендрик Лоренц доказал, что электромагнитная индукция взаимодействует с заряженными частицами. Эти взаимодействия приводят к возникновению силы Лоренца. Рассматриваемая сила возникает под действием магнитной индукции. Она перпендикулярна вектору скорости движущейся частицы (см. рис. 1). Необходимым условием возникновения этой силы является движение электрического заряда.

Рис. 1. Выводы Лоренца

Обратите внимание на расположение векторов (рисунок слева, вверху). Векторы, указывающие направления скорости и силы Лоренца, лежат в одной плоскости XOY, причём они расположены под углом 90º. Вектор магнитной индукции сориентирован вдоль оси Z, перпендикулярной плоскости XOY, а значит, в выбранной системе координат он перпендикулярен к векторам силы и скорости.

По закону Ампера:

Учитывая, что

(здесь j – плотность тока, q – единичный заряд, n – количество зарядов на бесконечно малую единицу длины проводника, S – сечение проводника, символом v обозначен модуль скорости движущейся частицы), запишем формулу Ампера в виде:

Так, как nSdl – общее число зарядов в объёме проводника, то для нахождения силы, действующей на точечный заряд, разделим выражение на количество частиц:

Модуль F вычисляется по формуле:

Из формулы следует:

1. Сила Лоренца приобретает максимальное значение, если угол α прямой.
2. Если точечный заряд, например, электрон, попадает в среду однородного магнитного поля, обладая некой начальной скоростью, перпендикулярной к линиям электромагнитной индукции, тогда вектор F будет перпендикулярен к вектору скорости. На точечный заряд будет действовать центробежная сила, которая заставит его вращаться по кругу. При этом работа равняется нулю (см. рис.2).
3. Если угол между вектором индукции и скоростью частицы не равняется 90º, тогда заряд будет двигаться по спирали. Направление вращения зависит от полярности заряда (рис. 3).

Рис. 2. Заряженная частица между полюсами магнитовРис. 3. Ориентация вектора в зависимости от полярности заряда

Из рисунка 3 видно, что вектор F направлен в противоположную сторону, если знак заряда меняется на противоположный (при условии, что направления остальных векторов остаются неизменными).

Траекторию движения частицы правильно называть винтовой линией. Радиус этой винтовой линии (циклотронный радиус) определяется перпендикулярной к полю составной начальной скорости частицы. Шаг винтовой линии, вдоль которой перемещается частица, определяется составной начальной скорости заряда, вошедшего в однородное магнитное поле. Эта составная направлена параллельно к электромагнитным линиям.

В чём измеряется?

Размерность силы Лоренца в международной системе СИ – ньютон (Н). Разумеется, модуль силы Лоренца настолько крохотная величина, по сравнению с ньютоном, что её записывают в виде К×10^-n Н, где 0<К<1, а n – порядок числа 10.

Когда возникает?

Магнитные поля не реагируют на неподвижный электрический заряд, так же как не действует сила Ампера на обесточенный проводник.

Для возникновения силы Лоренца необходимо выполнить три условия:

1. У частицы должен быть отрицательный или положительный заряд.
2. Заряженная частица должна находиться в магнитном поле.
3. Частица должна быть в движении, то есть вектор v ≠ 0.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, сила Лоренца не возникает.

Формула силы Лоренца при наличии магнитного и электрического полей

Рассмотрим случай, когда заряженная частица находится в движении в двух полях одновременно (в электрическом и магнитном), тогда на заряд подействуют две составляющие:

Тогда:

Поскольку эту формулу вывел Лоренц, то её также называют именем учёного-физика.

Направление силы Лоренца

Мы уже упоминали, что направление возникшей силы Лоренца, кроме магнитных параметров, определяется (в том числе) полярностью заряда. Если бы мы имели возможность наблюдать заряженную элементарную частицу, пребывающую в магнитном поле, то по вектору её перемещения можно было бы определить направление вектора силы F.

Но на практике наблюдать элементарные заряды очень сложно из-за крохотных размеров. Поэтому для определения этого направления применяют способ, известен, как правило левой руки (рис. 4).

Рис. 4. Нахождение вектора силы Лоренца

Ладонь необходимо развернуть так, чтобы вектор индукции входил в неё. В случае с положительным зарядом, вытянутые пальцы располагают по движению частицы. (для отрицательного заряда пальцы направляют в противоположную сторону). Большой палец под прямым углом указывает искомое направление.

Если известна ориентация вектора скорости частицы, то определить направления остальных векторов можно, применяя правило правой руки, которое понятно из рисунка 5.

Рис. 5. Пример применения правила правой руки

Применение на практике

Практическое значение работ Лоренца мы можем наблюдать в электронно-лучевых трубках. Там поток электронов движется в магнитном поле, изменением которого задаётся траектория электронного пучка.

Данный принцип управления траекторией электронного пучка использовался в старых моделях телевизоров Рис. 6). Электроны под воздействием магнитных полей очерчивали линии на люминофоре кинескопа, рисуя изображения на экране.

Рис. 6. Применение учения Лоренца

На рисунке справа изображена схема масспектрографа – прибора для разделения заряженных частиц по величине их зарядов.

Ещё один пример – бесконтактный электромагнитный метод определения скорости течения (вязкости) электропроводных жидкостей. Методика может быть применима к расплавленным металлам, например к алюминию. Бесконтактный способ определения вязкости очень полезен при работе с агрессивными жидкими электропроводными веществами (рис. 7).

Рис. 7. Измерение текучести жидких веществ

Работа ускорителей была бы невозможной без участия силы Лоренца. В этих устройствах заряженные частицы удерживаются и разгоняются до околосветовых скоростей благодаря электромагнитам, расположенным вдоль кольцевой трассы.

Мощная электронная лампа – Магнетрон также работает на принципе взаимодействия электронов с магнитными полями, которые направляют высокочастотное излучение в нужном направлении. Магнетрон является основной рабочей деталью микроволновых печей.

На основании действия силы Лоренца создано много других устройств, используемых на практике.

Магнитная сила Лоренца. Формула. Электрон. Индукция магнитного поля. Правило руки буравчика

Как уже было сказано ранее, магнитное поле действует на движущийся заряд. В ряде экспериментов было показано, что при влёте в магнитное поле заряженной частицы, её траектория искривляется (т.е. отклоняется от прямой). Вследствие знания второго закона Ньютона и наличия центростремительного ускорения (т.к. тело движется по кривой), такое движение объясняется наличием силы — силы Лоренца.

Значение модуля этой силы:

(1)

Рис. 1. Сила Лоренца

Направление силы Лоренца — перпендикуляр к касательной траектории (т.е. перпендикуляр к скорости в данный момент). Однако в плоскости рисунка возможны два направления для перпендикуляра. Какое из них выбрать — вопрос заряда и правила левой руки. Пусть положительный заряд

влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции () со скоростью . Поле направлено перпендикулярно поверхности «на нас». Тогда, согласно правилу левой руки, сила Лоренца направлена как показано на рисунке 1. Дальнейшее движение заряда, в нашем случае, — движение по окружности.

В случае, если движущийся заряд будет отрицательным, направление силы изменяется на противоположное.

Правило левой руки для силы Лоренца: ориентируем руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь. Четыре пальца руки сонаправляем с вектором скорости частицы, тогда противопоставленный большой палец указывает на направление силы Лоренца для положительно заряженной частицы. Направление силы Лоренца для отрицательно заряженной частицы противоположно.

Задачи на силу Лоренца можно условно разделить на два типа:

• направление скорости перпендикулярна линиям магнитной индукции (тогда задача сводится к записи второго закона Ньютона и плану решения задач по динамике) и фактически рисунка 1,
• направление скорости составляет угол  с линиями магнитной индукции. Тогда заряженное тело будет двигаться по спирали (рис. 2).

Рис. 2. Сила Лоренца (Спираль)

Для решения второго типа задач рассматривается логика движения тела, брошенного под углом к горизонту. Т.е. мысленно разделяем движение на две оси (вдоль и перпендикулярно полю) и анализируем движение: одно — движение по окружности, второе — прямолинейное.

Вывод: задачи на силу Лоренца (1) практически идентичны друг другу. Обычно решаются через второй закон Ньютона и определение центростремительного ускорения. Надо чётко различать задачи, в которых частица движется в магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции (тогда тело движется по окружности) или влетает в поле под углом к линиям магнитной индукции (тогда частица движется по винтовой траектории).

Поделиться ссылкой:

Преобразования Лоренца

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x’, y’, z’) и моментом времени t’ этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K’.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K’ движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

 

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x’ системы K’ происходит процесс длительностью τ₀ = t’₂ – t’₁ (собственное время), где t’₁ и t’₂ – показания часов в системе K’ в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K’ (x’₁ ≠ x’₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K’ (t’₁ = t’₂ = t’) происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

 

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t₂ – t₁ определяется знаком выражения υ(x’₂ – x’₁), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K’ вдоль оси x’ неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизированных часов(рис. 4.4.1(a)), система K’ движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K’ дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t’. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.4.1(b)).

Рисунок 4.4.1. Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K’ (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:

где t₁₂ – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l₁₂ – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системы отсчета в момент времени t₁ = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 4.1.3), то

x2 + y2 + z2 = c2t2,

и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s’ окажется равным нулю, так как

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K’ вдоль оси x’ движется частица со скоростью  Составляющие скорости частицы u’x и u’z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости  систем отсчета K и K’.

При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики:

ux = u’x + υ,  uy = 0,  uz = 0.

Если в системе K’ вдоль оси x’ со скоростью u’x = c распространяется световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.

Сила Лоренца

Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца в честь великого голландского физика Х. Лоренца (1853 — 1928) — основателя электронной теории строения вещества. Силу Лоренца можно найти с помощью закона Ампера.

Модуль силы Лоренца равен отношению модуля силы F, действующей на участок проводника длиной Δl, к числу N заряженных частиц, упорядоченно движущихся в этом участке проводника:

Рассмотрим отрезок тонкого прямого проводника с током. Пусть длина отрезка Δl и площадь поперечного сечения проводника S настолько малы, что вектор индукции магнитного поля можно считать одинаковым в пределах этого отрезка проводника. Сила тока I в проводнике связана с зарядом частиц q, концентрацией заряженных частиц (числом зарядов в единице объема) и скоростью их упорядоченного движения

v следующей формулой:

I = qnvS ( 2 )

Модуль силы, действующей со стороны магнитного поля на выбранный элемент тока, равен:

F = | I |B Δl sin α

Подставляя в эту формулу выражение ( 2 ) для силы тока, получаем:

F = | q | nvS Δl B sin α = v | q | NB sin α, где N = nSΔl — число заряженных частиц в рассматриваемом объеме. Следовательно, на каждый движущийся заряд со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, равная: где α — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции. Сила Лоренца перпендикулярна векторам магнитной индукции и скорости упорядоченного движения заряженных частиц. Ее направление определяется с помощью того же правила левой руки, что и направление силы Ампера.

Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то она не совершает работы. Согласно теореме о кинетической энергии это означает, что сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы

и, следовательно, модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца меняется лишь направление скорости частицы.

---

Другие заметки по физике

Вывод преобразований Лоренца из первых принципов

Езда на луче света

В этом предыдущем блоге я обсуждал, как эксперимент с использованием электродинамики не был инвариантным относительно преобразования Галилея. Или, другими словами, изложенные законы электродинамики позволили бы кому-то определить, находятся ли они в покое или движутся, что глубоко беспокоило молодого Альберта Эйнштейна. Говорят, что один из первых «мысленных экспериментов» Эйнштейна заключался в том, чтобы представить себя путешествующим на луче света.Свет — это идеальный «бесплатный обед», изменяющееся магнитное поле создает изменяющееся электрическое поле, которое создает изменяющееся магнитное поле. Он самораспространяется со скоростью метров в секунду в вакууме.

Эйнштейн понял, что если бы он путешествовал с лучом света, то относительно него свет исчез бы, поскольку электрическое и магнитное поля были бы неподвижны относительно него. Это беспокоило его, так как предполагало, что можно будет определить, путешествует он или отдыхает, просто измеряя свойства света.Эйнштейн понял, с пониманием, на которое, возможно, никто другой не был способен, что скорость света является фундаментальной для физики и должна всегда быть постоянной. Это привело его к разработке того, что мы сейчас называем специальной теорией относительности, большая часть которой выражена в опубликованной им в 1905 году статье под названием «Электродинамика движущихся тел».

Специальная теория относительности Эйнштейна

Специальная теория относительности Эйнштейна основана на двух очень простых, но далеко идущих принципах

1. Ни один эксперимент, механический или электродинамический, не может отличить нахождение в состоянии покоя или движение с постоянной скоростью.
2. Что скорость света в вакууме c постоянна для любого наблюдателя, независимо от того, как быстро он движется.

Из второго из этих принципов, с помощью простого мысленного эксперимента, мы можем вывести преобразования Лоренца из первых принципов. Это уравнения, которые позволяют нам переводить из одной системы отсчета в другую, так что все законов физики остаются неизменными.

Расширяющаяся сфера света

Мысленный эксперимент, который мы будем использовать для вывода преобразований Лоренца из первых принципов, — это вспышка света, возникающая в начале двух систем отсчета S и S ’, которые движутся относительно друг друга со скоростью.Мы настроили наш эксперимент так, чтобы в какое-то время истоки двух систем отсчета находились в одном месте.

Две системы отсчета S и S ’, движущиеся друг относительно друга со скоростью v , имеют вспышку света, возникающую в их соответствующих источниках в момент времени t = 0

Вспышка света расширится как сфера, двигаясь со скоростью в обеих системах отсчета, в соответствии со вторым принципом относительности Эйнштейна. Для системы отсчета S мы можем написать, что квадрат радиуса сферы равен

Для системы отсчета S ’мы можем записать, что

Эти два уравнения должны быть равны, поскольку это одна и та же сфера света, и поэтому сфера должна иметь одинаковый радиус в двух системах отсчета.Давайте посмотрим, сможем ли мы преобразовать одно в другое, используя преобразования Галилея, которые равны

Раскрытие скобок с правой стороны дает

Левая часть уравнения должна быть равна правой части, но выделенные члены не существуют в правой части уравнения.

Как мы видим, эти два выражения не равны, поскольку в левой части есть лишние члены.Это означает, что преобразование Галилея не работает. Дополнительные члены включают комбинацию и, что предполагает, что оба уравнения, связывающие и и , должны быть изменены, а не только уравнение для преобразований Галилея.

Изменение преобразований Галилея

Предположим, что преобразования можно записать как

Нам нужно найти значения и, которые правильно преобразуют уравнения для расширяющейся сферы света.Мы делаем это, подставляя уравнения (3) и (4) в уравнение (2). Прежде чем мы это сделаем, отметим, что начало отсчета штрихованного кадра — это точка, которая движется со скоростью, как это видно в незаштрихованном кадре S. Следовательно, ее положение в незаштрихованном кадре S во время справедливо. Таким образом, мы можем записать уравнение (3) как

Перепишите уравнение (3)

Теперь подставляем это выражение и уравнение (4) в уравнение (2)

Коэффициенты приравнивания:

Из уравнений (5) и (6) мы можем записать

и

Умножая уравнения (8) и (9) и возводя в квадрат уравнение (7), получаем

т.

т.

Таким образом, мы можем написать

Используя уравнение (8), мы можем записать

т.

Взяв отрицательный квадратный корень, мы можем написать

Из уравнения (9) можно записать

, что приводит к

и так

, который совпадает с.

Если мы определим

мы можем написать

Таким образом, мы можем, наконец, записать наши преобразования как

Они известны как преобразования Лоренца.

Фактор Лоренца

Этот термин известен как коэффициент Лоренца .

Коэффициент Лоренца в зависимости от скорости как доли скорости света.

Как показывает этот график, фактор Лоренца по существу равен единице, пока отношение (отношение скорости к скорости света) не станет примерно половиной скорости света, или примерно м / с.Учитывая, что даже наши самые быстрые космические корабли движутся только со скоростью крошечных частей света, неудивительно, что у нас нет прямого опыта странных эффектов, которые фактор Лоренца значительно отклоняется от одного. Конечно, мы наблюдаем эти эффекты в ускорителях частиц и в потоках космических лучей, но человеческие существа далеки от достижения скоростей, при которых фактор Лоренца будет отклоняться от единицы.

В будущем блоге я расскажу о некоторых из этих странных эффектов.Они включают более медленное течение времени и сокращение расстояний. Очень-очень странно; но они очень реальны, они происходят каждый день в наших ускорителях частиц.

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

PPT — Релятивистская инвариантность (лоренц-инвариантность) PowerPoint Presentation

Релятивистская инвариантность (лоренц-инвариантность) Законы физики инвариантны относительно преобразования между двумя системами координат, движущимися с постоянной скоростью w.r.t. друг друга. (Мир не инвариантен, но законы физики неизменны!)

Обзор: Специальная теория относительности Предположение Эйнштейна: скорость света не зависит от (постоянной) скорости v наблюдателя. Это составляет основу специальной теории относительности. Скорость света = C = | r2 — r1 | / (t2 –t1) = | r2 ’- r1’ | / (t2 ’–t1‘) = | dr / dt | = | dr ’/ dt’ |

C2 = | dr | 2 / dt2 = | dr ’| 2 / dt’ 2 Оба измеряют одинаковую скорость! Это можно переписать: d (Ct) 2 — | dr | 2 = d (Ct ‘) 2 — | dr’ | 2 = 0 d (Ct) 2 — dx2 — dy2 — dz2 = d (Ct ‘) 2 — dx ‘2 — dy’2 — dz’2 d (Ct) 2 — dx2 — dy2 — dz2 — инвариант! Он имеет одинаковое значение во всех кадрах (= 0).| dr | это расстояние, на которое свет перемещается в dtw.r.t в фиксированной рамке.

Преобразование Лоренца связывает положение и время в двух кадрах . Иногда это называют «бустом». • http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/ltrans.html#c2

Как «получить» преобразование? Требуются только два особых случая . Вспомните картинку двух кадров, измеряющих скорость одного и того же светового сигнала. Уравнение1 Матрица преобразования связывает дифференциалы a b f h a + b Следующий шаг: вычислить правую часть уравнения. 1 с использованием результата матрицы для cdt ’и dx’. f + h

= -1 = 1 = 0

c [- + v / c] dt = 0  = v / c

Но мы не понадобится матрица преобразования! Нам нужно только сформировать величины, инвариантные относительно матрицы преобразования (Лоренца). Напомним, что (cdt) 2 — (dx) 2– (dy) 2 — (dz) 2 — инвариант.Он имеет одинаковое значение во всех кадрах (= 0). Однако это особый инвариант.

Предположим, мы рассматриваем четырехвектор: (E / c, px, py, pz) (E / c) 2– (px) 2– (py) 2 — (pz) 2 также инвариантен. В центре масс частицы это равно (mc2 / c) 2– (0) 2– (0) 2 — (0) 2 = m2 c2 Итак, для частицы (в любой системе отсчета) (E / c ) 2 — (px) 2– (py) 2 — (pz) 2 = m2 c2

ковариантные и контравариантные компоненты * * Подробнее о контравариантных и ковариантных компонентах см. Http: // web.mst.edu/~hale/courses/M402/M402_notes/M402-Chapter2/M402-Chapter2.pdf

Метрический тензор g связывает ковариантную и контравариантную компоненты Ковариантные компоненты Контравариантные компоненты

0

0 Использование индексов

0

0 вместо x, y, z ковариантные компоненты контравариантные компоненты

4-мерное скалярное произведение Вы можете думать о 4-векторном скалярном произведении следующим образом: ковариантные компоненты контравариантные компоненты

Почему все эти знаки минус ? • Предположение Эйнштейна (все кадры измеряют одну и ту же скорость света) дает: d (Ct) 2 — dx2 — dy2 — dz2 = 0 Отсюда получаем скорость света.Он должен быть положительным! C = [dx2 + dy2 + dz2] 1/2 / dt

Оператор четырехмерного градиента контравариантные компоненты ковариантные компоненты

4-мерное представление векторных компонентов • xµ  (x0, x1, x2, x3 ) µ = 0,1,2,3 = (ct, x, y, z) = (ct, r) • xµ  (x0, x1, x2, x3) µ = 0,1,2,3 = (ct , -x, -y, -z) = (ct, -r) контравариантные компоненты ковариантные компоненты

частные производные  / xµ µ = ( /  (ct),  / x,  / y,  / z) = ( /  (ct), ) Оператор 4-мерного градиента Оператор 3-мерного градиента

частных производных  / xµ  µ = ( /  (ct), - / x, —  / y, —  / z) = ( /  (ct),-) Обратите внимание, что это не равно . Они отличаются знаком минус.

Инвариантные скалярные произведения с использованием 4-компонентной нотации xµxµ = µ = 0,1,2,3 xµxµ (повторяющийся индекс один вверх, один вниз)  суммирование) xµxµ = (ct) 2 -x2 -y2 -z2 Контравариантная ковариантная нотация суммирования Эйнштейна

Инвариантные скалярные произведения с использованием 4-компонентной нотации µµ = µ = 0,1,2,3µµ (повторное суммирование индекса) = 2 /  (ct ) 2 — 2 2 = 2 / x2 + 2 / y2 + 2 / z2 Обозначение суммирования Эйнштейна

Любое скалярное произведение из четырех векторов имеет одинаковое значение во всех кадрах , движущихся с постоянной скоростью w.r.t. друг друга. Примеры: xµxµ pµxµ pµpµµµ pµµ µAµ

Для аспирантов: Рассмотрим = f (ct, x, y, z) Использование цепного правила: d (ct) = [f /  (ct)] d (ct) + [f /  (x)] dx + [f /  (y)] dy + [f /  (z )] dz d (ct) = [ (ct) / x] dx = L0dx dx  = [ x / x] dx = L  dx Суммирование по implied Первая строка преобразования Лоренца.Преобразование Лоренца 4х4.

Для аспирантов: dx  = [x / x] dx = L  dx  / x  = [x / x]  / x = L  / x Инвариантность: dx dx  = L dx L  dx = (x / x) (x / x) dx dx = [x / x] dx dx = dx dx = dx dx

Лоренц-инвариантность • Лоренц-инвариантность законов физики выполняется, если законы выражаются в терминах скалярных произведений с четырьмя векторами! • Четыре скалярных произведения вектора называются «скалярами Лоренца».• В релятивистских теориях поля мы должны использовать «скаляры Лоренца» для выражения взаимодействий.

Модель Лоренца-Друде

Под дисперсионными материалами Лоренца мы понимаем материалы, для которых частотная зависимость диэлектрической проницаемости
может быть описана суммой нескольких
резонансных функций Лоренца:

где

ω 0m	— резонансные частоты
G м	относится к силам осциллятора
Γ м	— коэффициент демпфирования
ε ∞	— диэлектрическая проницаемость на бесконечной частоте
X 0	— диэлектрическая проницаемость при ω = 0.

В случае без потерь уравнение 20 напрямую связано с уравнением Селлмейера, в котором в
три резонанса могут быть представлены как:

В случае с потерями уравнение Селлмайера может быть записано в обобщенной форме,
с учетом ненулевого коэффициента демпфирования Γ _m , а также анизотропии в дисперсионных свойствах
:

Есть разные способы реализовать уравнение 20 в формализме FDTD.Здесь мы,
, рассматриваем так называемый подход поляризационного уравнения в случае одиночного резонанса.
Использует функцию диэлектрической восприимчивости:

и соотношение между поляризацией и электрическим полем P _y = ε ₀ x (ω) E _y .
Преобразование Фурье последнего уравнения приводит к следующему дифференциальному уравнению
:

Затем уравнения 24 и 25 решаются численно вместе с модифицированным уравнением
26:

Подход FDTD может также учитывать большое разнообразие материалов, таких как дисперсионные материалы Drude
, идеальный металл, материалы второго и третьего порядка.

Модель

Лоренца поддерживает только 2D-моделирование. Материал Lorentz_Drude, охватывающий модель
Lorentz, поддерживает как 2D, так и 3D моделирование.

Модель Drude

Материал Drude в OptiFDTD обозначен как

где ε _r∞ — диэлектрическая проницаемость для бесконечной частоты, ω _p — плазменная частота, а Γ
— частота столкновений или коэффициент затухания.

Модель

Drude поддерживает только 2D-моделирование, модель Lorentz_Drude, которая охватывает модель Drude
, поддерживает как 2D-, так и 3D-моделирование.

Уравнения преобразования Лоренца

Графика от искусства для Интернета

Лоренц Уравнения преобразования Во введении я упомянул, что классическая механика требует использования уравнений преобразования Галилея для преобразования результатов в одну инерциальную систему отсчета в другую инерциальную систему отсчета.Однако, как уже было Как показано, это преобразование становится все менее и менее точным, поскольку скорость тела приближается к скорости света. Следовательно, нам нужен другой способ чтобы определить, как преобразовать информацию в другой опорный кадр. До того, как Эйнштейн создал специальную теорию относительности, Хенкрик А. Лоренц создал уравнения преобразования Лоренца для изучения электромагнитных явления. Однако вскоре Эйнштейн понял, что эти же уравнения могут также использоваться для объяснения физических явлений и быстро включать их с теорией.Уравнения преобразования в движущуюся систему отсчета ссылка (x простое, y простое, z простое и t простые координаты) находятся на левый. Обратите внимание, что затронуты только x-простые и t-простые кадры. Это очень важный результат, потому что он говорит, что релятивистские эффекты, сокращение длины, в частности, влияет только на объект в направлении движения. Другими словами, если объект двигался строго по по оси x длина будет сокращена только в направлении x.Oни и направления z не будут зависеть от скорости объекта. Чтобы подробнее объяснить эти уравнения, давайте создадим гипотетическую ситуацию. Допустим, у нас есть система, подобная той, что справа. Стационарный наблюдатель в S-кадре наблюдает событие в S-кадре. Простая рамка S движется со скоростью v относительно S-образной системы. Следовательно, если бы у нас было координаты события в S-кадре, мы могли бы узнать соответствующие координаты в простой системе координат S.Координаты y и z переведут непосредственно к другому кадру, но время на оси, на котором фрейм движется необходимо преобразовать. Все, что нужно сделать состоит в том, чтобы вставить координату x кадра S и скорость простого кадр со временем в первое уравнение, чтобы получить координату x, и то же самое, чтобы найти время в основном кадре S. Чтобы найти координаты в S события в простом фрейме S, просто замените обозначенные со штрихом члены с незаштрихованными терминами и наоборот.

Правила ИЮПАК

Как назвать органический соединения с использованием правил IUPAC В чтобы назвать органические соединения, вы должны сначала запомнить несколько основные имена. Эти имена перечислены при обсуждении название алканов. В общем, базовая часть названия отражает число атомов углерода в том, что вы назначили родительская цепочка .Суффикс названия отражает тип (ы) функциональной группы (ей), присутствующей на (или внутри) родительская цепочка. Другие группы, которые присоединены к родительской цепочке называются заместителями . Алканы — углеводороды предельные Названия насыщенных углеводородов с прямой цепью до 12 углеродных цепей показаны ниже.Названия образованных заместителей путем удаления одного водорода с конца цепочки получается изменив суффикс — ane на — yl . Номер углеродов Имя 1 мет анэ 2 eth ane 3 стойка ane 4 но ane 5 пент анэ 6 шестигранник анэ 7 hept ane 8 окт анэ 9 без анэ 10 дек анэ 11 undec ane 12 dodec ane Есть несколько распространенных разветвленных заместителей, которые вам следует запомнить.Они показаны ниже. Вот простой список правил, которым нужно следовать. Некоторые примеры приведены на конец списка. Определить самая длинная углеродная цепь. Эта цепочка называется родительской. цепь. Определить все заместители (группы, добавляемые от родительского цепь). Номер атомы углерода родительской цепи с конца, который дает заместители самые низкие числа. При сравнении серии чисел, самая низкая серия — это тот, который содержит наименьшее число по случаю первое отличие. Если две или более боковых цепи находятся в эквивалентные позиции, присвойте наименьший номер одной который будет первым в названии. Если один и тот же заместитель встречается более одного раза, расположение дана каждая точка, в которой находится заместитель. В кроме того, количество раз, когда замещающая группа встречается обозначается префиксом (ди, три, тетра и т. д.). Если есть два или более разных заместителя они перечислены в алфавитном порядке по базовому имени (префиксы игнорируются).Единственный префикс, который — это , используется при установке заместителей в алфавитном порядке iso как в изопропиле или изобутил. Префиксы sec- и tert- не используются при определении в алфавитном порядке, за исключением сравнения друг с другом. Если цепи равной длины соревнуются за право выбора в качестве родительского цепочка, затем выбор идет последовательно на: а) цепь с наибольшим количеством боковых цепей. б) цепь, заместители которой имеют наименьшие номера. в) цепочка с наибольшим числом атомов углерода в меньшая боковая цепь. г) цепь с наименее разветвленными боковыми цепями. А циклический (кольцевой) углеводород обозначается префиксом цикло- , который появляется прямо перед базовым именем. Таким образом, название соединения пишется с заместителями в алфавитном порядке, за которым следует базовое имя (производное от количество атомов углерода в родительской цепи). Запятые используются между цифрами и тире используются между буквами и цифрами. В имени нет пробелов. Вот несколько примеров: Алкил галогениды Галоген рассматривается как заместитель в алкановой цепи.Гало- заместитель считается одного ранга с алкильным заместителем в нумерация родительской цепочки. Галогены представлены как следует: Ф фтор- Класс хлор- Br бром- Я йод- Вот несколько примеров: Алкенес и Алкины — непредельные углеводороды Двойные связи в углеводородах обозначаются заменой суффикса -ан на -ен .Если имеется более одной двойной связи, суффикс расширяется, чтобы включить префикс, который указывает количество присутствующих двойных связей ( -адиен , -атриен , и т.д.). Тройные связи называются аналогичным образом с использованием суффикса -yne . Положение множественной связи (ей) в родительской цепи является (являются) обозначается размещением числа (а) первого углерода кратного облигации непосредственно перед базовым названием. Вот важный список правил, которым нужно следовать: родительская цепь пронумерована таким образом, чтобы несколько связей имели самые низкие числа (двойные и тройные связи имеют приоритет над алкильными и галогеновыми заместителями). Когда присутствуют как двойные, так и тройные связи, цифры самые низкие по возможности даются двойным и тройным связям, хотя это может иногда давать «-yne» меньшее число, чем «-ene».При выборе нумерации двойные связи учитывая самые низкие числа. Когда присутствуют как двойные, так и тройные связи, суффикс -en следует непосредственно за родительской цепочкой, а суффикс -yne следует за суффикс -en (обратите внимание, что буква е опущена, вместо нее -en -ene).Расположение двойной (ых) связи (ей) указано (ются) перед родительским именем, как и раньше, и расположение тройная связь (и) указывается между -en и -yne суффиксы. См. Примеры ниже. Для разветвленный ненасыщенный ациклический углеводород, исходный цепь — самая длинная углеродная цепь, содержащая максимум количество двойных и тройных связей .Если есть два или несколько цепочек, конкурирующих за выбор в качестве родительской цепочки (цепочка с наибольшим количеством связей), выбор идет к (1) цепочка с наибольшим числом атомов углерода, (2) количество атомов углерода равно, цепь, содержащая максимальное количество двойных связей. Если есть — выбор нумерации, не рассмотренный ранее, родительский цепь пронумерована, чтобы дать заместителям наименьшее число на первая точка разницы . Вот несколько примеров: Спирты Названия спиртов заключаются в замене суффикса -ан на -анол . Если существует более одной гидроксильной группы (-OH), суффикс расширяется для включения префикса, который указывает количество присутствующих гидроксильных групп ( -андиол , -анетриол и др.). Положение гидроксила группа (ы) в родительской цепочке указывается (являются) путем размещения числа (ов) соответствующие местоположению (ям) в родительской цепочке непосредственно перед базового имени (то же, что и алкены). Вот важный список правил, которым нужно следовать: гидроксильная группа имеет приоритет над алкильными группами и галогеном заместители, а также двойные связи, в нумерации родительской цепочки. Когда присутствуют как двойные связи, так и гидроксильные группы, -en суффикс следует непосредственно за родительской цепочкой, а -ol суффикс следует за суффиксом -en (обратите внимание, что e остается off, -en вместо -ene). Расположение двойной связи (ей) указывается перед именем родителя, как и раньше, и расположение гидроксильной группы (групп) указано (указаны) между суффиксами -en и -ol.См. Примеры ниже. И снова гидроксил получает приоритет в нумерации родительская цепочка. Если есть — выбор нумерации, не рассмотренный ранее, родительский цепь пронумерована, чтобы дать заместителям наименьшее число на первая точка разницы . Вот несколько примеров: Эфиров Ожидается, что вы только знаете, как называть эфиры их общими именами. Две алкильные группы, присоединенные к кислороду, расположены в алфавитном порядке. порядок с пробелами между именами, за ними следует слово эфир.Префикс ди- используется, если обе алкильные группы являются одна и та же. Вот несколько примеров: Альдегиды Названия альдегидов заключаются в замене суффикса -ан на -анал . Если имеется более одной группы -CHO, суффикс расширяется, чтобы включить префикс, который указывает количество присутствующих групп -CHO ( -диабонент — в родительской цепочке должно быть не более двух таких групп так как они должны находиться на концах).Необязательно указывать положение группы -CHO, потому что эта группа будет в конце родительская цепь и ее углерод автоматически назначаются как C-1. Вот важный список правил, которым нужно следовать: карбонильная группа имеет приоритет над алкильными группами и галогеном заместители, а также двойные связи, в нумерации родительской цепочки. Когда присутствуют как двойные связи, так и карбонильные группы, -en суффикс следует непосредственно за родительской цепочкой, а -al суффикс следует за суффиксом -en (обратите внимание, что e остается выкл, -en вместо -ene). Расположение двухместного облигация (и) указывается (и) перед родительским именем, как и раньше, суффикс -al следует непосредственно за суффиксом -en.Помните расположение карбонила указывать не обязательно group, потому что это автоматически будет углерод №1. Смотри ниже Например. Опять же, карбонил получает приоритет в нумерация родительской цепочки. Там это пара общих имен, которые приемлемы как ИЮПАК имена.Они показаны в примерах в конце этого список, но на данный момент эти имена не будут приняты с помощью компьютера. В конце концов они будут приняты. Если есть — выбор нумерации, не рассмотренный ранее, родительский цепь пронумерована, чтобы дать заместителям наименьшее число на первая точка разницы . Вот несколько примеров: Кетоны Кетоны названы заменой суффикса -ан на -анон . Если карбонильных групп больше одной (C = O), суффикс расширяется чтобы включить префикс, указывающий количество присутствующих карбонильных групп ( -андион , -анетрион и др.). Положение карбонила группа (ы) в родительской цепочке указывается (являются) путем размещения числа (ов) соответствующие местоположению (ям) в родительской цепочке непосредственно перед базового имени (то же, что и алкены). Вот важный список правил, которым нужно следовать: карбонильная группа имеет приоритет над алкильными группами и галогеном заместители, а также двойные связи, в нумерации родительской цепочки. Когда присутствуют как двойные связи, так и карбонильные группы, -en суффикс следует за родительской цепочкой напрямую, а -one суффикс следует за суффиксом -en (обратите внимание, что e остается выкл, -en вместо -ene). Расположение двухместного облигация (и) указывается (и) перед родительским именем, как и раньше, и расположение карбонильной группы (групп) указано (указаны) между суффиксами -en и -one.См. Примеры ниже. Опять же, карбонил получает приоритет в нумерации родительская цепочка. Если есть — выбор нумерации, не рассмотренный ранее, родительский цепь пронумерована, чтобы дать заместителям наименьшее число на первая точка разницы . Вот несколько примеров: карбоновый Кислоты Карбоновые кислоты называют путем подсчета количества атомов углерода в самая длинная непрерывная цепь, включая карбоксильную группу и за счет замены суффикс -ан соответствующего алкана с -ановой кислотой .Если есть две группы -COOH, суффикс расширяется, чтобы включить префикс, который указывает количество присутствующих -COOH групп ( -андиоин acid — таких групп на родительской не должно быть больше 2 цепочки, поскольку они должны находиться на концах). Необязательно указывать положение группы -COOH, потому что эта группа будет в конце родительской цепи и ее углерод автоматически назначается как C-1. Вот важный список правил, которым нужно следовать: карбоксильная группа имеет приоритет над алкильными группами и галогеном заместители, а также двойные связи, в нумерации родительской цепочки. Если карбоксильная группа присоединена к кольцу, родительское кольцо и добавлен суффикс -карбоновая кислота. Когда присутствуют как двойные связи, так и карбоксильные группы, -en суффикс следует за родительской цепочкой напрямую, а -oic суффикс кислоты следует за суффиксом -en (обратите внимание, что e оставлено, -en вместо -ene). Расположение двойная связь (и) указана (и) перед родительской имя, как и раньше, а суффикс -oic acid следует за -en суффикс напрямую.Помните, что указывать не обязательно расположение карбоксильной группы, потому что она автоматически быть углеродом №1. См. Примеры ниже. Опять же, карбоксил получает приоритет в нумерации родительской цепочки. Там несколько общих имен, которые приемлемы как ИЮПАК имена.Они показаны в примерах в конце этого список , но на этом этапе эти имена будут не будут принято компьютером. В конце концов они будут приняты. Если есть — выбор нумерации, не рассмотренный ранее, родительский цепь пронумерована, чтобы дать заместителям наименьшее число на первая точка разницы . Вот несколько примеров: Сложные эфиры Систематические названия сложных эфиров основаны на названии соответствующих карбоновая кислота. Помните, что сложные эфиры выглядят так: Алкильная группа названа как заместитель с использованием окончания -ил .Далее следует пробел. Ацильная часть имени (то, что осталось над) называется заменой суффикса -ic acid соответствующего карбоновая кислота с -атом . Вот несколько примеров: Амины От вас требуется только знать, как называть амины их общими названиями. . Они названы как простые эфиры, алкильные (R) группы присоединены к азот помещен в алфавитном порядке без пробелов между после имен и этих имен следует слово амин.Приставки ди- и три- используются, если две или три из алкильных групп являются одна и та же. ПРИМЕЧАНИЕ. В некоторых книгах между частями имени ставится пробел, но мы не. Следуйте примерам. Вот несколько примеров: Сводка функциональных групп Функциональные группа Префикс Суффикс карбоновая кислоты нет -oic кислота альдегиды нет -ал кетоны нет -он спирты гидрокси- -ол амины амино- -амин эфиров алкокси- -эфир фтор фтор- нет хлор хлор- нет бром бром- нет йод йод- нет

синонимов Лоренца, антонимов Лоренца — FreeThesaurus.com

Во-первых, мы знаем, что не все теории инвариантов Лоренца являются локально детерминированными, даже если они детерминированы. В результате работ Лоренца физики часто говорят о сжатии Лоренца-Фитцджеральда. «Groupe Bull — единственный крупный европейский поставщик, который делает это. «Не полагаться на единый национальный рынок для получения большей части своих доходов», — сказал Лоренц. Лоренц тренировался во вторник перед третьей игрой в среду на Allstate Arena. Они также подавали Гюставу Лоренцу Пино Блан, у которого свежий аромат цитрусовых.Национальный парк Лоренц также получил свое название от голландского исследователя и сегодня является объектом Всемирного наследия ЮНЕСКО на острове. На фото: Тони Фелч, Детский аукцион в районе Больших озер Комитета по выплатам; Кармен Лоренц, исполнительный директор LRCD; Джейми Соуза из Foundry Financial Group и заместитель председателя Совета детских аукционов региона Больших озер; и Сандра Маршалл, директор по связям с общественностью LRGHealthcare и председатель правления Детского аукциона региона Больших озер.