Закрыть

Расчет цепей по законам кирхгофа: Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.

196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.


В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I12=-I21; I13=-I31 и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами


Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1. 21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

1.2. Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма всех токов, втекающих в любой узел, равна нулю. Токи, втекающие в узел, условно принимаются положительными, а вытекающие из него — отрицательными (или наоборот). Если, например, в узел втекает ток II, а вытекают токи 12 и 13, то первый закон Кирхгофа может быть записан в виде выражения: 11-12-13=0.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках контура.

При применении второго закона Кирхгофа необходимо учитывать знаки ЭДС и выбранное направление токов на всех участках контура. Направление обхода контура выбирается произвольным; при записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода независимо от направления протекающего через них тока, принимаются положительными, а ЭДС обратного направления принимаются отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения на тех участках, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода независимо от направления ЭДС на этих участках, и со знаком минус — на участках, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

Общая методика применения законов Кирхгофа для расчета сложных многоконтурных цепей такова. Устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей р. Для каждой ветви задается положительное направление тока. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов q (точек соединения не менее чем трех проводников) минус единица, т.

е.д-1. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу контуров n=p-q+\. Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов р. Решение этой системы уравнений и дает значения искомых токов.

Для иллюстрации изложенной методики рассмотрим многоконтурную цепь постоянного тока на рис. 5.4. В этой цепи всего три узла: А, В и С (q =3), следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше, т.е. два. При числе ветвей цепи р=5 число контуров п=5-3+1=3, следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить три взаимно независимых уравнения. Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.


Выберем положительные направления токов, которые на схеме обозначены соответствующим включением амперметров. Например, ток II течет справа налево и втекает в узел А (положительное направление тока), поскольку отрицательная клемма, отмеченная утолщенной черной линией, находится слева и ток через амперметр будет течь справа налеро. Ток 12 вытекает из узла А, поскольку ток через одноименный амперметр будет течь сверху вниз (к отрицательному зажиму, расположенному на нижней грани иконки) и т.д.

Составим систему уравнений Кирхгофа:

для узла А 11-12+13-15=0;

для узла В -11-13-14=0;

для контура ABFA E1+E2=I1-R1-I3-R3;

для контура АВСА E3=-I3-R3+I4-R4+I5-R5;

для контура ADCA E2=I2-R2+I5-R5.

После подстановки в полученные уравнения числовых значений они приобретают следующий вид:

11-12+13-15=0;

11-13-14=0;

6-11-10-13=20;

-10-13+2,5-14+15-15=5;

5-12+15-15=70. Решая полученную систему уравнений, будем иметь: 11=5 А; 12=8 А; 13=1 А;

14=- 6 А; 15=2 А, что соответствует показаниям приборов. Отрицательный знак для тока 14 означает, что истинное направление этого тока противоположно принятому.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа. Чем отличается второй закон Кирхгофа от закона Ома для полной цепи?

2. Проведите расчеты по определению токов в ветвях с использованием законов Кирхгофа для цепей на рис. 5.5. После подключения к схемам необходимых измерительных приборов проведите их моделирование. Сравните полученные данные с результатами расчетов.

Законы Кирхгофа для расчета линейной электрической цепи постоянного тока. Первый и второй закон Кирхгофа

Общие сведения о законах Кирхгофа

Законы Кирхгофа применяют для анализа и расчета разветвленных сложных электрических цепей постоянного и переменного тока. Они позволяют рассчитать электрические токи во всех ветвях. По найденным токам можно рассчитать падение напряжения, мощность и т.

д.

Существует мнение, что "Законы Кирхгофа" нужно называть "Правилами Кирхгофа", т.к. они могут быть выведены из других положений и предположений. Данные правила не являются обобщением большого количества опытных данных. Они являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к фундаментальным законам природы.

В некоторых книгах пишут фамилию ученого Густава с буквой Х - Кирхгоф. В некоторых изданиях пишут без буквы х - Киргоф. 

Сколько всего законов Кирхгофа?

В отличии от Ньютона, который "придумал" три закона, Кирхгоф придумал только два закона. Они названы в его честь: 1 и 2 закон Кирхгофа. 3-ий закон Кирхгофа не существует.

Как применять правила Кирхгофа

Законы Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они могут быть использованы для любого узла или для любого замкнутого контура в электрической цепи.

Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, метод контурных токов, метод узловых напряжений, принцип суперпозиции (метод наложения)) решать задачи электротехники.

Плюсы правил Кирхгофа 

  1. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простой формулировке уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.). 
  2. Простой и понятный алгоритм составления уравнений 

Минусы законов Кирхгофа

  1. Большое количество уравнений по сравнению с другими методами.

Основы матричных методов расчета электрических цепей. (Лекция N 6)

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:


. (1)

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток как сумму токов k-й ветви и источника тока, т.е.:

. (2)

Подставив (2) в (1), получим:

. (3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

, (4)

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В  и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

, (5)

то

, (6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

. (7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

, (8)

где - столбцовая матрица контурных токов; - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

, (10)
. (11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

, (12)

где - матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

 , (13)

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

B

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

, (14)

где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z и Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

, (15)

получим:

. . (16)

Выражение (16) перепишем, как:

. (17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

. (18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

. (19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)
, (21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4. Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.
  5. Ответ:

  6. Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).
  7. Ответ:

Расчет токов в сложной электрической цепи методом законов Кирхгофа

Если известны величины всех сопротивлений электрической цепи, а также величины и направления всех ЭДС, то токи в ветвях можно определить, используя законы Кирхгофа. При этом рекомендуется придерживаться следующего алгоритма расчета:

1) проводят топологический анализ цепи, то есть определяют количество узлов, ветвей и линейно независимых контуров в схеме;

2) произвольно выбирают положительные направления токов во всех ветвях схемы и обходов контуров;

3) составляют необходимое количество уравнений по первому закону Кирхгофа;

4) составляют на основании второго закона Кирхгофа недостающие уравнения;

5) полученная система уравнений записывается в алгебраической и матричной формах записи и решается любым способом.

Число совместно решаемых уравнений, составленных по законам Кирхгофа, равно количеству ветвей с неизвестными токами. Из них число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на одно меньше чем количество узлов в схеме. Остальные недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, и их количество соответствует числу элементарных контуров.

Если в результате решения составленной системы уравнений значение какого-либо тока получится отрицательным, то это значит, что действительное направление этого тока противоположно ранее выбранному.

По найденным значениям токов определяются напряжения на участках схемы и расходуемые в них мощности.

Для схемы рис.1.11 составим систему уравнений на основании законов Кирхгофа.

Рис. 1.11

Схема содержит шесть ветвей с неизвестными токами, четыре узла и три элементарных контура. По первому закону Кирхгофа составляем три уравнения, то есть на одно меньше, чем количество узлов в схеме, а недостающие три уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для трех элементарных контуров, направления обходов которых показаны на рис. 1.11.

Узел 1:

Узел 2:

Узел 3:

Контур I:

Контур II:

Контур III:.

Запишем полученную систему уравнений в матричной форме:

Рассчитав главный определитель и шесть вспомогательныхопределителей, токи ветвей находятся.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма представляет собой график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура.

При построении потенциальной диаграммы один из узлов схемы принимается в качестве опорного и потенциал этого узла считают равным нулю. Относительно опорного узла просчитываются потенциалы других точек схемы и в прямоугольной системе координат строится потенциальная диаграмма.

По оси абсцисс в выбранном масштабе сопротивлений mRоткладывают сопротивления в том порядке, в каком они встречаются при обходе цепи. По оси ординат в выбранном масштабе для потенциаловmφоткладываются значения рассчитанных потенциалов.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы для одного контура электрической цепи (рис. 1.6), содержащего два источника ЭДС Е1и Е3с внутренними сопротивлениямиrВ1иrВ3. Схема рассматриваемого контура представлена на рис. 1.12. Укажем в контуре точки таким образом, чтобы между двумя соседними был включен только один элемент.

Между точками 1 -3 и точками 5-7 включены реальные источники ЭДС с внутренним сопротивлением, представленные на схеме в виде последовательного соединения идеального источника ЭДС и его внутреннего сопротивления.

Примем потенциал точки 1 равным нулю (φ1=0). Потенциал точки 2 больше потенциала точки 1 на величину ЭДС Е1, так как распределение потенциалов на зажимах источника ЭДС не зависит от тока, протекающего через него, и ЭДС всегда направлена в сторону большего потенциала:

.

ток через внутреннее сопротивление источникаrВ1протекает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом, то есть от точки 2 к точке 3, поэтому потенциал точки 3 по отношению к потенциалу точки 2 меньше на величину напряжения на внутреннем сопротивлении источника ЭДСrВ1:.

Потенциал точки 4 по сравнению с потенциалом точки 3 уменьшается на величину напряжения на сопротивлении R1, так как ток на этом участке протекает от точки 3 к точке 4, то есть от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом:.

Аналогично рассчитываются потенциалы остальных точек контура. Необходимо заметить, что при правильном расчете токов в схеме потенциал точки 1 должен получиться равным нулю:

,,,

На рис. 1.13 показана потенциальная диаграмма для рассматриваемого контура.

Пользуясь потенциальной диаграммой, можно определить напряжение между двумя любыми точками схемы.

Как видно на потенциальной диаграмме, напряжение на зажимах источника ЭДС Е1меньше значения его ЭДС на величину напряжения на внутреннем сопротивленииrВ1:

.

Говорят, что такой источник работает в режиме генератора, при этом направление ЭДС и тока ветви, в которую включен источник, совпадают.

Напряжение на зажимах источника ЭДС Е3больше значения его ЭДС на величину напряжения на внутреннем сопротивленииrВ3:

.

Говорят, что такой источник работает в режиме потребителя, и в этом случае направление его ЭДС и тока встречны.

Законы Кирхгофа, формула и определение первого и второго законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа (более корректно - правила Киргхгофа) применяются при расчете сложных (разветвленных) электрических цепей. Предлагаю рассмотреть их по очереди и начать, естественно, с первого.

Определение и формула первого закона Кирхгофа, который гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю, иллюстрируются рисунком 1.

Здесь:

  • I i - ток в узле,
  • n - число проводников, сходящихся в узле,
  • токи, втекающие в узел (I1, In) считаются положительными,
  • вытекающие токи (I2, I3) - отрицательными.

В таком виде этот закон звучит и выглядит, наверное, очень академично, поэтому предлагаю все несколько упростить.

Нарисуем разветвленную электрическую цепь в более привычном виде (рис.2) и дадим такую формулировку:

Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла.

Для этого случая формула первого закона Кирхгофа примет вид: I= I1+I2+...+In, что для повседневных вычислений гораздо удобнее.

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Второй закон Кирхгофа определяет зависимость между падениями напряжений и ЭДС в замкнутых контурах и имеет следующий вид (рис.3) и определение:

алгебраическая сумма (с учетом знака) падений напряжений на всех ветвях любого замкнутого контура цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура.

При отсутствии в контуре ЭДС сумма падений напряжений равна 0.

Теперь несколько пояснений по практическому применению этого правила Кирхгофа:

Поскольку, алгебраическая сумма требует учета знака следует выбрать направление обхода контура ( на рис.3 - по часовой стреклке), токи и напряжения, совпадающие с этим направлением считать положительными, иные - отрицательными.

При затруднении в определении направления тока, возьмите произвольное, если в результате вычислений получите результат со знаком "-", поменяйте выбранное направление на противоположенное.

Для нашего примера можно записать:
U1+U3-U2=0
U4+U5-U3=0

кроме того, руководствуясь первым правилом Кирхгофа :
Iвх - I1 - I2 = 0
I1 - I3 - I4=0
I4 - I5=0
I2 + I3 + I5 - Iвых=0,

получаем систему из 6 уравнений, полностью описывающую рассматриваемую электрическую цепь.

© 2012-2020 г. Все права защищены.

Представленные на сайте материалы имеют информационный характер и не могут быть использованы в качестве руководящих и нормативных документов


Методы расчета сложных электрических цепей

Методы расчета сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называют разветвленную цепь с несколькими источниками электрической энергии. Применение методов эквивалентных преобразований в таких цепях, как правило, не эффективно, так как не позволяют упростить ее до одноконтурной цепи или цепи с двумя узлами. Для расчета таких цепей используют более общие методы.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении системы уравнений с применением первого и второго законов Кирхгофа для заданной электрической цени, решение которой позволяет определить токи всех ветвей цепию.

Реализация этою метода, как и любого другого метода расчета сложной электрической цени, начинается с предварительного анализа ее схемы с целью определения числа узлов

, числа ветвей , числа независимых контуров , числа ветвей с источниками токов, выяснения возможности упрощения схемы.

Прежде всего определяют число неизвестных токов, которое равно

— . Для каждой ветви задают положительное направление тока.

Далее по первому закону Кирхгофа составляют

— 1 независимых уравнений.

Затем по второму закону составляют

уравнений. При этом выбирают независимые контуры, не содержащие источников тока.

Общее число составленных по первому и второму законам Кирхгофа должно быть равно числу

неизвестных токов.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 1.25. Пусть ЭДС идеальных источников напряжения

, сопротивления . Требуется определить все токи схемы с помощью метода непосредственного применения законов Кирхгофа.

Схема содержит 6 ветвей с неизвестными токами и четыре узла. Па схеме узлы обозначены арабскими цифрами, показаны принятые направления токов и направления обхода контуров А, Б и В.

Составим систему из 6 уравнений. Уравнения по первому закону Кирхгофа запишем для узлов 1, 2, 3, уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров А, Б, В:

Решив эту систему уравнений, получим

. Отрицательное значение тока , указывает на то, что выбранное при составлении уравнений направление этого тока не соответствует действительности. Правильное направление — от узла 3 к узлу 4.

Для проверки вычислений с помощью программы схемотехнического моделирования Micro Сар выполнен анализ по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.25. Изображенные на рис. 1.26,а значения токов ветвей (в мА) подтверждают правильность выполненных расчетов. Изображенные на рис. 1.26,б узловые потенциалы схемы (в В) позволяют определить направление токов ветвей.

Метод контурных токов

Метод контурных токов наиболее часто применяется на практике для расчета сложных цепей, так как он позволяет находить все неизвестные величины при числе уравнений, меньшем числа неизвестных величин.

По этому методу в каждом независимом контуре схемы вместо действительных токов в ветвях вводят условный контурный ток. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей только одному контуру, численно равен контурному току. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей нескольким контурам равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь.

Уравнения для расчета контурных токов составляются по второму закону Кирхгофа. При этом учитываются напряжения на всех пассивных элементах контура от собственного контурного тока и в смежных элементах -от контурных токов соседних контуров. Направление контурного тока в независимом контуре выбирают произвольно. Направление обхода контура обычно выбирают совпадающим с направлением собственного контурного тока.

Падение напряжения при прохождении тока смежного контура в элементе принимают положительным, если направление тока в смежном контуре совпадает с направлением обхода, Если направление тока смежного контура не совпадает с направлением обхода, падение напряжения считают отрицательным. Значение ЭДС берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с положительным направлением ЭДС, и со знаком минус — если не совпадает.

Метод контурных токов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.27. Схема имеет три независимых контура: А, Б, В. Через сопротивления каждого контура проходит свой контурный ток

. Направления обхода каждого контура совпадает с направлением контурного тока этого контура. ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, для контуров А, Б и В:

Подставив в эту систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим

Действительные токи ветвей схемы:

Полученные значения полностью совпадают с результатами ранее проделанного расчета этой же цени по методу непосредственного применения Законов Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов

Потенциал любой точки электрической цепи определяется напряжением между данной точкой и точкой цепи с потенциалом равным нулю.

Метод узловых потенциалов заключается в том, что вначале полагают равным нулю потенциал некоторого базисного узла и для оставшихся (

-1) узлов составляют уравнения по первому закону Кирхгофа: алгебраическая сумма токов всех ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу равна нулю., полученными при выполнении с помощью программы Micro-Сар анализа по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.28,а.

Применив обобщенный закон Ома для каждой ветви схемы, получим искомые токи:

Полученные значения токов совпадают с результатами расчета этой цепи методом непосредственного применения законов Кирхофа и методом контурных токов.

Направления найденных токов указаны на графе цепи на рис. 1.28,6. Графом цепи называют такое изображение схемы электрической цепи, в котором все ветви заменены линиями, источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты. Все ветви и все узлы сохраняются.

Метод узловых потенциалов имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Метод двух узлов является частным вариантом метод узловых потенциалов. Он применяется в тех случаях, когда анализируемая схема содержит только два узла (для определенности узлы

и ) и большое число параллельных ветвей, содержащих и не содержащих источники ЭДС. Согласно методу двух узлов межузловое напряжение

где

— алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу , и отрицательными, если от узла к узлу ) на проводимости этих ветвей; — сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы и .

Эта теория взята со страницы помощи с заданиями по электротехнике:

Помощь по электротехнике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

правил Кирхгофа | Физика

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 5.

Рис. 5. Эта схема аналогична схеме на рис. 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви обозначены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов - необходимо использовать правила Кирхгофа.Токи обозначены на рисунке I 1 , I 2 и I 3 , и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а.Это дает

I 1 = I 2 + I 3 ,

с I 1 течет в стык, а I 2 и I 3 вытекает. Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что никакой новой информации не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными - необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла.Теперь рассмотрим цикл abcdea. Двигаясь от a к b, мы проходим R 2 в том же (предполагаемом) направлении тока I 2 , поэтому изменение потенциала составляет - I 2 R 2 . Затем, переходя от b к c, мы переходим от - к +, так что изменение потенциала составляет + ЭДС 1 . Прохождение внутреннего сопротивления r 1 от c до d дает - I 2 r 1 .Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала - I 1 R 1 . Правило цикла гласит, что изменения в потенциале равны нулю. Таким образом,

- I 2 R 2 + ЭДС 1 - I 2 r 1 - I 1 R 1 = - I 2 ( R 2 + r 1 ) + ЭДС 1 - I 1 R 1 = 0.

Подстановка значений из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и удаление единицы ампер дает

−3 I 2 + 18 - 6 I 1 = 0.

Теперь, применяя правило цикла к aefgha (мы могли бы также выбрать abcdefgha), аналогично дает

+ I 1 R 1 + I 3 R 3 + I 3 r 2 - ЭДС 2 = + I 1 R 1 + I 3 ( R 3 + r 2 ) - ЭДС 2 = 0.

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

+6 I 1 + 2 I 3 - 45 = 0.

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение относительно I 2 :

I 2 = 6-2 I 1 .

Теперь решите третье уравнение относительно I 3 :

I 3 = 22,5 - 3 I 1 .

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для I 1 :

I 1 = I 2 + I 3 = (6−2 I 1 ) + (22,5− 3 I 1 ) = 28,5 - 5 Я 1 .

Объединение терминов дает

6 I 1 = 28,5 и

I 1 = 4,75 А.

Подставляя это значение вместо I 1 обратно в четвертое уравнение, получаем

I 2 = 6 - 2 I 1 = 6 - 9,50

I 2 = −3,50 A.

Знак минус означает, что I 2 течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 5.Наконец, подстановка значения I 1 в пятое уравнение дает

I 3 = 22,5 - 3 I 1 = 22,5 - 14. 25

I 3 = 8,25 А.

Обсуждение

В качестве проверки отметим, что действительно I 1 = I 2 + I 3 . Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

KVL, KCL и закон Ома

Принцип работы

Согласно закону Кирхгофа о напряжении (KVL) сумма всех напряжений в контуре равна нулю. При обходе контура интуитивно вы можете рассматривать источник напряжения как положительное значение, а резисторы как отрицательные значения, потребляющие напряжение. В этом моделировании входное напряжение равно сумме падений напряжения на R 1 и R 2 : В в - В R1 - В R2 = 0.Другими словами, V в = V R1 + V R2 .

Вы можете найти напряжение на R 2 , используя правило делителя напряжения. Во-первых, используйте уравнение для определения R eq для двух неравных резисторов из модели сети резисторов (это также применимо к резисторам равного номинала, хотя они могут быть решены без этого уравнения):

Затем используйте уравнение делителя напряжения, чтобы найти V R2:

Кроме того, напряжение на R 2 и R 3 равно, потому что эти резисторы подключены параллельно: V R2 = V R3 .

Согласно закону Кирхгофа по току (KCL), сумма всех токов, входящих в узел, равна сумме всех токов, выходящих из него. Ток I R1 в этой симуляции делится на два - I R2 и I R3 - и, таким образом, равен их сумме: I R1 - I R2 - I R3 = 0. Другими словами, I R1 = I R2 + I R3 .

По закону Ома ток через каждый резистор будет равен напряжению на резисторе, деленному на его сопротивление.Это моделирование показывает, что ток течет по пути наименьшего сопротивления (через R 2 протекает больше тока, чем через R 3 ): V = IR 1 = I 2 R 2 = I 3 Р 3 .

В этой модели также указывается мощность, рассеиваемая каждым резистором. Вы можете убедиться, что рассеиваемая мощность равна току, протекающему через резистор, умноженному на напряжение на нем.

Эксперименты

  • Приравнивает значения R 2 и R 3 .Каков ток через эти резисторы по отношению к току через R 1 сейчас?
  • Измените значение R 2 или R 3 на ноль Ом. Какой сейчас ток через оставшиеся два ненулевых резистора?

10.4: Правила Кирхгофа - Физика LibreTexts

Мы только что видели, что некоторые схемы можно анализировать, сводя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах.В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке \ (\ PageIndex {1} \) известна как многоконтурная схема , которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить. Попробуйте. Резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \) включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления.То же самое и с резисторами \ (R_4 \) и \ (R_5 \). Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с использованием уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения ) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Как было сказано ранее, соединение или узел - это соединение трех или более проводов. Ток - это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Несмотря на то, что это чрезмерное упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рисунке \ (\ PageIndex {2} \) были заменены водопроводными трубами и вода считалась несжимаемой, объем воды, текущей в соединение, должен быть равен объему воды, вытекающей из соединения.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциала В , а не потенциальной энергии, но они связаны между собой, поскольку \ (U = qV \).В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простой цикл без стыков, как на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): простой цикл без соединений. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки a , b , c и d служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Цепь обозначается как Loop abcda , и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки a и двигайтесь к точке b . Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению и вычитается падение потенциала резистора \ (R_1 \). От точки b до c падение потенциала на \ (R_2 \) вычитается. Из c до d вычитается падение потенциала на \ (R_3 \). От точек d до a ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) показан график напряжения при перемещении по контуру.Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор. Падение потенциала , или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): график напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор.Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

\ [V - IR_1 - IR_2 - IR_3 = 0. \]

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

\ [I = \ frac {V} {R_1 + R_2 + R_3} = \ frac {12.00 \, V} {1.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega + 3.00 \, \ Omega} = 2.00 \, A . \]

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа

  1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами a , b , c ,….Эти ярлыки просто помогают сориентироваться.
  2. Найдите соединения в цепи. Соединения - это точки, в которых соединяются три или более проводов. Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток направлен на соединение, а по крайней мере один ток выходит из соединения.
  3. Выберите петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться по крайней мере в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
  4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
  5. Примените правило цикла. Используйте карту на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до до до . (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала.(c) При перемещении источника напряжения от отрицательного вывода к положительному, добавьте падение потенциала. (d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному течению тока, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок \ (\ PageIndex {6} \). В этой цепи два перехода: переход b и переход e .Точки a , c , d и f не являются перекрестками, поскольку стык должен иметь три или более соединений. Уравнение для соединения b : \ (I_1 = I_2 + I_3 \), а уравнение для соединения e - это \ (I_2 + I_3 = I_1 \). Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение b и соединение e , но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рисунке \ (\ PageIndex {7} \) показаны четыре варианта циклов для решения примерной схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы. Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Панели (a) - (c) достаточно для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы.На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на рисунке \ (\ PageIndex {8a} \). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте цепь, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки.В этой схеме точки b и e имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа \ (\ left (\ sum I_ {in} = \ sum I_ {out} \ right) \), рисуя стрелки, представляющие токи, и маркируя каждую стрелку, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {9 } \). Соединение b показывает, что \ (I_1 = I_2 + I_3 \), а соединение e показывает, что \ (I_2 + I_3 = I_1 \). Поскольку соединение e дает ту же информацию, что и соединение b , ее можно не принимать во внимание.Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) Эта схема имеет два соединения, помеченных b и e, но в анализе используется только узел b. (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли. На рисунке \ (\ PageIndex {10} \) контур abefa включает источник напряжения \ (V_1 \) и резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \). Цикл начинается в точке a , затем проходит через точки b , e и f , а затем возвращается к точке a .Второй контур, Loop ebcde , начинается в точке e и включает резисторы \ (R_2 \) и \ (R_3 \), а также источник напряжения \ (V_2 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Начиная с точки a и двигаясь к точке b , резистор \ (R_1 \) пересекается в том же направлении, что и ток \ (I_1 \), поэтому падение потенциала \ (I_1R_1 \) вычитается.Двигаясь от точки b к точке e , резистор \ (R_2 \) пересекается в том же направлении, что и ток \ (I_2 \), поэтому падение потенциала \ (I_2R_2 \) вычитается. При перемещении от точки e к точке f источник напряжения \ (V_1 \) пересекается от отрицательной клеммы к положительной клемме, поэтому добавляется \ (V_1 \). Между точками f и a нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

\ [Петля \, abefa: \, -I_1R_1 - I_2R_2 + V_1 = 0 \ или \, V_1 = I_1R_1 + I_2R_2.\]

Наконец, проверяем цикл ebcde . Мы начинаем с точки e и переходим к точке b , пересекая \ (R_2 \) в направлении, противоположном текущему потоку \ (I_2 \). Потенциальное падение \ (I_2R_2 \) добавлено. Затем мы пересекаем \ (R_3 \) и \ (R_4 \) в том же направлении, что и текущий поток \ (I_3 \), и вычитаем потенциальные падения \ (I_3R_3 \) и \ (I_3R_4 \). Обратите внимание, что ток через резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) одинаков, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения \ (V_2 \) вычитается.Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

\ [Петля \, ebcde: \, I_2R_2 - I_3 (R_3 + R_4) - V_2 = 0. \]

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

\ [\ text {Перекресток b:} \, I_1 - I_2 - I_3 = 0. \ label {eq1} \]

\ [\ text {Петля abefa:} \, I_1R_1 + I_2R_2 = V_1. \ label {eq2} \]

\ [\ text {Loop ebcde:} \, I_2R_2 - I_3 (R_3 + R_4) = V_2. \ label {eq3} \]

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока \ (I_2 \).Сначала добавьте уравнение \ ref {eq1} times \ (R_2 \) к уравнению \ ref {eq2}. Результатом будет уравнение \ ref {eq4}:

.

\ [(R_1 + R_2) I_1 - R_2I_3 = V_1. \]

\ [6 \, \ Omega I_1 - 3 \ Omega I_3 = 24 \, V. \ label {eq4} \]

Затем вычтите уравнение \ ref {eq3} из уравнения \ ref {eq2}. Результатом будет уравнение \ ref {eq5}:

.

\ [I_1R_1 + I_3 (R_3 + R_4) = V_1 - V_2. \]

\ [3 \ Omega I_1 + 7 \ Omega I_3 = -5 \, V. \ label {eq5} \]

Мы можем решить уравнения \ ref {eq4} и \ ref {eq5} для тока \ (I_1 \).Если сложить семикратное уравнение \ ref {eq4} и трехкратное уравнение \ ref {eq5}, получится \ (51 \, \ Omega I_1 = 153 \, V \) или \ (I_1 = 3.00 \, A \). Использование уравнения \ ref {eq4} приводит к \ (I_3 = -2,00 \, A \). Наконец, уравнение \ ref {eq1} дает \ (I_2 = I_1 - I_3 = 5,00 \, A \). Один из способов проверить соответствие решений - проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

\ [P_ {in} = I_1V_1 + I_3V_2 = 130 \, W, \ nonumber \]

\ [P_ {out} = I_1 ^ 2R_1 + I_2 ^ 2R_2 + I_3 ^ 2R_3 + I_3 ^ 2R_4 = 130 \, W.\ nonumber \]

Обратите внимание, что решение для текущего \ (I_3 \) отрицательно. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Мощность, отдаваемая вторым источником напряжения, составляет 58 Вт, а не −58 Вт.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): расчет тока с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {11} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Эта схема представляет собой комбинацию последовательной и параллельной конфигураций резисторов и источников напряжения.Эта схема не может быть проанализирована с использованием методов, обсуждаемых в «Электродвижущей силе», но может быть проанализирована с использованием правил Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов - необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены \ (I_1, \, I_2 \) и \ (I_3 \), и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от до до h .В решении мы применяем правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

\ [Перекресток \, c: \, I_1 + I_2 = I_3. \]

\ [Петля \, abcdefa: \, I_1 (R_1 + R_4) - I_2 (R_2 + R_5 + R_6) = V_1 - V_3. \]

\ [Петля \, cdefc: \, I_2 (R_2 + R_5 + R_6) + I_3R_3 = V_2 + V_3.\]

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

\ [Перекресток \, c: \, I_1 + I_2 - I_3 = 0. \]

\ [Петля \, abcdefa: \, I_1 (3 \ Omega) - I_2 (8 \ Omega) = 0,5 \, V - 2,30 \, V. \]

\ [Цикл \, cdefc: \, I_2 (8 \ Omega) + I_3 (1 \ Omega) = 0,6 \, V + 2. 2R_1 = 0.2R_1 = 0,18 \, W. \]

\ [P_ {рассеивается} = 1.09 \, W. \]

\ [P_ {источник} = I_1V_1 + I_2V_3 + I_3V_2 = 0,10 \, + 0,69 \, W + 0,30 \, W = 1,09 \, W. \]

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, будет ли источник напряжения всегда обеспечивать питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

Ответ

Схема может быть проанализирована с использованием правила петли Кирхгофа.2R_2 = 7,2 \, мВт. \)

Пример \ (\ PageIndex {2} \): расчет тока с использованием правил Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {12} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): Эта схема состоит из трех резисторов и двух последовательно соединенных батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов.Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки a до точки b . Рассмотрим цикл abcda и воспользуемся рисунком \ (\ PageIndex {5} \), чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку \ (\ PageIndex {5} \), батарея \ (V_1 \) будет добавлена, а батарея \ (V_2 \) вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

\ [Цикл \, abcda: \, -IR_1 -V_1 -IR_2 + V_2 -IR_3 = 0.\]

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

\ [I (R_1 + R_2 + R_3) = V_2 - V_1. \]

\ [I = \ frac {V_2 - V_1} {R_1 + R_2 + R_3} = \ frac {24 \, V - 12 \, V} {10.0 \, \ Omega + 30.0 \, \ Omega + 10.0 \, \ Омега} = 0,20 \, А. \]

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее \ (V_1 \) течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет энергию.2R_3 = 0,80 \, Вт \]

\ [P_ {V_1} = IV_1 = 2,40 \, W \]

\ [P_ {рассеивается} = 4.80 \, Вт \]

\ [P_ {источник} = IV_2 = 4.80 \, W \]

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей \ (V_1 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в примере \ (\ PageIndex {2} \) было выбрано направление тока по часовой стрелке от точки a до точки b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки b до точки a ?

Ответ

Расчетный ток будет равен \ (I = -0.20 \, A \) вместо \ (I = 0.20 \, A \). Сумма рассеиваемой мощности и потребляемой мощности все равно будет равна подаваемой мощности.

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи.Несколько источников напряжения, например батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно. Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке \ (\ PageIndex {13} \). Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

\ [\ epsilon_1 - Ir_1 + \ epsilon_2 - Ir_2 - IR = 0, \]

\ [[(\ epsilon_1 + \ epsilon_2) - I (r_1 + r_2)] - IR = 0.\]

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): (a) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать вместе, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения. Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах.Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке \ (\ PageIndex {13} \) напряжение на клеммах равно

.

\ [V_ {терминал} = (\ epsilon_1 - Ir_1) + (\ epsilon_2 - Ir_2) = [(\ epsilon_1 + \ epsilon_2) - I (r_1 + r_2) - I (r_1 + r_2)] = (\ epsilon_1 + \ epsilon_2) + Ir_ {eq}. \]

Обратите внимание, что одинаковый ток I присутствует в каждой батарее, потому что они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь. Например, светодиодный фонарик может иметь две батареи типа AAA, каждая с напряжением на клеммах 1,5 В, чтобы обеспечить 3,0 В для фонарика.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для последовательно включенных батарей N напряжение на зажимах равно

Примечание

\ [V_ {терминал} = (\ epsilon_1 + \ epsilon_2 +... + \ Epsilon_ {N-1} + \ epsilon_N) - I (r_1 + r_2 +.№ р_и \]

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {14} \), мы можем найти ток:

\ [(\ epsilon_1 - Ir_1) + (\ epsilon_2 - Ir_2) = IR, \]

\ [Ir_1 + Ir_2 + IR = \ epsilon_1 + \ epsilon_2, \]

\ [I = \ frac {\ epsilon_1 + \ epsilon_2} {r_1 + r_2 + R}. \]

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): две батареи подключаются последовательно к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке \ (\ PageIndex {15} \) показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам. Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): (a) Две батареи подключаются параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея как источник ЭДС и внутренний резистор. Два источника ЭДС имеют идентичные ЭДС (каждый помечен \ (\ epsilon \)), соединенные параллельно, которые производят одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рисунке \ (\ PageIndex {15b} \). {- 1} \]

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи на 12 В; они производят полную ЭДС 12 В, но могут обеспечивать больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления. Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки.Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Законы цепи Кирхгофа - Практический EE

Густав Кирхгоф (1824-1887)

Густав Кирхгоф, немецкий физик, живший с 1824 по 1887 год, дал нам два важных закона для электрических цепей. Это закон Кирхгофа и закон напряжения Кирхгофа, и они применимы ко всем моделям цепей с сосредоточенными элементами . Модели цепей с сосредоточенными элементами отличаются от моделей цепей с распределенными элементами и в основном означают модели цепей, которые не принимают во внимание время, необходимое для распространения электромагнитных волн на расстояние.Модели схем с сосредоточенными элементами предполагают, что изменения напряжения и тока происходят на всех элементах схемы одновременно.

Электромагнитные волны распространяются очень быстро. В вакууме они движутся со скоростью света. В проводниках на печатной плате они движутся со скоростью, близкой к скорости света, примерно от 1/2 до 2/3 скорости света. Итак, при такой высокой скорости предположение модели схемы с сосредоточенными элементами является хорошим предположением, делающим очень полезными законы Кирхгофа. Только с очень высокочастотными сигналами и / или большими расстояниями между элементами вам нужно перейти к модели схемы с распределенными элементами, которую также называют теорией линий передачи.

Я хотел бы упомянуть, что быстро и легко определить, нужно ли вам использовать модель распределенных элементов или модель сосредоточенных элементов, поэтому хорошая новость заключается в том, что легко определить, когда вам нужно беспокоиться об эффектах распределенных элементов. Мы рассмотрим это позже, когда перейдем к теории линий передачи.


Действующий закон Кирхгофа (KCL)

Закон Кирхгофа довольно прост и гласит, что в любом соединении (узле AKA) цепи сумма всех токов, протекающих в этом соединении, равна сумме всех токов, вытекающих из этого соединения.KCL применяется, когда токи достигли установившегося состояния и когда они динамически меняются.

Действующий закон Кирхгофа

KCL: То, что входит, должно выходить

Думайте о KCL как о законе сохранения тока: то, что входит, должно выходить наружу.


Закон Кирхгофа о напряжении (KVL)

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что все напряжения вокруг любого замкнутого пути в цепи равны нулю. Как и KCL, KVL применяется к установившимся напряжениям и к динамически изменяющимся напряжениям.

Закон Кирхгофа о напряжении

В приведенной выше схеме замкнутый путь, обозначенный как Loop1, состоит из компонентов V1, R3 и R1. По KVL сумма напряжений на этих трех компонентах равна нулю. Например, если источник напряжения V1 обеспечивает повышение напряжения на 5 В, то падение напряжения на резисторах R3 и R1 должно в сумме составлять 5 В. Замкнутый путь Loop2 состоит из компонентов R1, R2 и C1. Напряжения на этих компонентах также должны быть равны нулю. На диаграмме выше есть 3-й замкнутый путь, который не отмечен, и он состоит из компонентов V1, R3, R2 и C1.KVL также применяется к напряжениям на этих компонентах.


KVL: Сумма напряжений вокруг любого замкнутого контура равна нулю


Анализ цепей постоянного тока с использованием законов Кирхгофа

С помощью KVL и KCL и зависимости между напряжением и током для каждого компонента вы можете вычислить сквозной ток и напряжение на любом элементе в цепи. Давайте рассмотрим пример, но давайте начнем с простого примера с одним источником постоянного напряжения и несколькими резисторами.В этом примере мы проведем анализ постоянного тока. Помните, что соотношение между напряжением и током для резистора - это закон Ома, согласно которому напряжение на резисторе равно току через резистор, умноженному на сопротивление, V = I * R.

Анализ цепей постоянного тока с использованием законов Кирхгофа

Прежде всего, заметка о знаках и указаниях. В приведенной выше схеме я нарисовал стрелки для тока, указывающие направление, в котором течет ток. Ток течет от - напряжения к + напряжению в источнике питания и течет от + напряжения к - напряжению во всех пассивных компонентах (резисторах, конденсаторах и катушках индуктивности).Согласно этому соглашению со стрелками, ток, текущий в направлении стрелки, положительный, а ток, идущий против стрелки, - отрицательный. Вы можете изменить это соглашение, перевернуть все вокруг, и математика все равно будет работать нормально, но НИКТО ЭТОГО НЕ ДЕЛАЕТ.

Что касается условного обозначения напряжения для KVL, считайте повышение напряжения положительным, а падение - отрицательным. Напряжение на источнике питания возрастает, а напряжение на каждом пассивном компоненте (в данном случае резисторе) падает.

Продолжаем анализ: давайте запишем все уравнения, которые мы можем для этой схемы.

Мы также знаем, что узел N3 подключен к земле (0 В), из-за символа заземления на этом узле. Итак, поскольку напряжение питания V1 = 5V, напряжение в узле N1 = 5V. Хорошо, давайте возьмем 3-е уравнение KVL, подставим в закон Ома и воспользуемся KCL при N2, i2 = i3, чтобы найти i2.

i1 легко вычислить из закона Ома, так как напряжение на N1 и N3 известно: N1 = 5 В, N3 = 0 В. Напряжение на R1, VR1 = VN1 - VN3 = 5В.

Итак, мы знаем i2, i3 и i1, а это значит, что мы можем вычислить i4.

Отлично, мы знаем все течения. Что касается напряжений, мы знаем напряжение в узлах N1 (5 В) и N3 (0 В), поэтому нам просто нужен N2. Я думаю, что самый простой способ - рассчитать падение напряжения на R2 по закону Ома.

VR2 = 5/300 * 100 = 5/3 Вольт. Напряжение N2 тогда равно напряжению N1 минус это падение.

Напряжение N2 = 5 - 5/3 = 10/3 Вольт. Мы сделали это! Все напряжения и токи известны.

Как видите, даже для этой относительно простой схемы требуется довольно много усилий, чтобы выполнить анализ постоянного тока вручную. Итак, на практике мы будем использовать программный инструмент для выполнения анализа постоянного тока для этой схемы, потому что он будет быстрее и может предоставить хорошие изображения для нашей документации. Программные инструменты, наиболее часто используемые для анализа постоянного и переменного тока, а также переходных процессов в цепях с сосредоточенными элементами, называются симуляторами SPICE.


Состояния постоянного и переменного тока конденсаторов и индукторов

Давайте добавим катушку индуктивности и конденсатор к схеме в приведенном выше примере и поговорим на высоком уровне о том, как это влияет на анализ переменного и постоянного тока.

Анализ схем с использованием законов Кирхгофа

Для сигналов постоянного тока, которые не меняются во времени, индуктор действует как короткое замыкание (соединение с низким импедансом), а конденсатор действует как разомкнутая цепь. Для высокочастотных сигналов переменного тока эти компоненты действуют противоположным образом: индуктор действует как разомкнутая цепь, а конденсатор действует как короткое замыкание. Для частот сигнала, которые заставляют катушки индуктивности и конденсаторы, в зависимости от их значений, находиться где-то между коротким замыканием и размыканием, все становится интересным и сложным, и вам необходимо выполнить анализ переменного тока, чтобы определить, какие напряжение и ток действительно действуют в цепи. .

  • Короткое замыкание конденсатора
  • Обрыв цепи индуктора
  • Обрыв цепи конденсатора
  • Короткое замыкание индуктора

Таким образом, в модернизированной примерной схеме катушка индуктивности и конденсатор фактически не влияют на анализ постоянного тока. Индуктор действует как короткое замыкание для источника питания постоянного тока… так, как провод. И конденсатор действует как разомкнутый контур параллельно R1 и источнику питания… так что он вообще не был подключен.Для анализа переменного тока на высокой частоте и при условии, что мы изменим источник питания на некоторую функцию переменного тока, индуктор будет действовать как разомкнутая цепь, поэтому никакой сигнал не пройдет через остальную часть схемы ... остальную часть схемы все будут сброшены на землю. Для анализа переменного тока на некоторой средней частоте нам нужно сначала изучить кое-что еще, а по ходу работы мы, вероятно, обратимся к компьютерным инструментам, таким как симуляторы SPICE.

Далее: Последовательные и параллельные комбинации

ТОПОЛОГИЯ ЦЕПЕЙ И ЗАКОНЫ - Прикладное промышленное электричество

На этой странице мы изложим три принципа, которые вы должны понимать в отношении последовательных цепей:

Ток : величина тока одинакова для любого компонента в последовательной цепи.

Сопротивление : Общее сопротивление любой последовательной цепи равно сумме отдельных сопротивлений.

Напряжение : Напряжение питания в последовательной цепи равно сумме индивидуальных падений напряжения.

Давайте взглянем на несколько примеров последовательных цепей, демонстрирующих эти принципы. Начнем с последовательной схемы, состоящей из трех резисторов и одной батареи:

Рисунок 3.1

Первый принцип, который нужно понять о последовательных схемах, заключается в следующем:

Величина тока в последовательной цепи одинакова для любого компонента в цепи.

Общий ток серии

[латекс] \ tag {3.1} I_ {Total} = I_1 = I_2 = ... = I_n [/ latex]

Это потому, что в последовательной цепи есть только один путь для прохождения тока. Поскольку электрический заряд проходит через проводники, как шарики в трубке, скорость потока (скорость мрамора) в любой точке цепи (трубки) в любой конкретный момент времени должна быть одинаковой.

По расположению 9-вольтовой батареи мы можем сказать, что ток в этой цепи будет течь по часовой стрелке от точки 1 к 2, к 3 к 4 и обратно к 1.Однако у нас есть один источник напряжения и три сопротивления. Как мы можем использовать здесь закон Ома?

Важная оговорка к закону Ома заключается в том, что все величины (напряжение, ток, сопротивление и мощность) должны относиться друг к другу в терминах одних и тех же двух точек в цепи. Мы можем увидеть эту концепцию в действии на примере схемы с одним резистором ниже.

Использование закона Ома в простой цепи с одним резистором

В схеме с одной батареей и одним резистором мы можем легко вычислить любое количество, потому что все они относятся к одним и тем же двум точкам в цепи:

[латекс] I \: = \ frac {E} {R} [/ латекс]

[латекс] I \: = \ frac {9V} {3k \ Omega} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I = 3 мА} [/ латекс]

Поскольку точки 1 и 2 соединены вместе проводом с незначительным сопротивлением, как и точки 3 и 4, мы можем сказать, что точка 1 электрически является общей с точкой 2, а точка 3 электрически общей с точкой 4.Поскольку мы знаем, что между точками 1 и 4 (непосредственно через батарею) имеется электродвижущая сила 9 В, и поскольку точка 2 является общей для точки 1, а точка 3 - общей для точки 4, мы также должны иметь 9 В между точками 2. и 3 (прямо через резистор).

Следовательно, мы можем применить закон Ома ( I = E / R) к току через резистор, потому что мы знаем напряжение (E) на резисторе и сопротивление (R) этого резистора. Все термины (E, I, R) относятся к одним и тем же двум точкам в цепи, к одному и тому же резистору, поэтому мы можем безоговорочно использовать формулу закона Ома.

Использование закона Ома в схемах с несколькими резисторами

В схемах, содержащих более одного резистора, мы должны соблюдать осторожность при применении закона Ома. В приведенном ниже примере схемы с тремя резисторами мы знаем, что у нас есть 9 вольт между точками 1 и 4, что является величиной электродвижущей силы, управляющей током через последовательную комбинацию R 1 , R 2 и R . 3 . Однако мы не можем взять значение 9 вольт и разделить его на 3 кОм, 10 кОм или 5 кОм, чтобы попытаться найти значение тока, потому что мы не знаем, какое напряжение есть на любом из этих резисторов по отдельности.

Цифра 9 вольт - это общее количество для всей цепи, тогда как цифры 3 кОм, 10 кОм и 5 кОм представляют собой отдельных величин для отдельных резисторов. Если бы мы включили цифру для общего напряжения в уравнение закона Ома с цифрой для отдельного сопротивления, результат не будет точно соответствовать какой-либо величине в реальной цепи.

Для R 1 закон Ома будет связывать величину напряжения на R 1 с током через R 1 , учитывая сопротивление R 1 , 3 кОм:

[латекс] I_ {R1} \: = \ frac {E_ {R1}} {R_1} [/ latex] или [латекс] E_ {R1} = I_ {R1} {(R_1)} [/ latex]

Но, поскольку мы не знаем напряжение на R 1 (только полное напряжение, подаваемое батареей на комбинацию из трех последовательных резисторов), и мы не знаем ток через R 1 , мы можем ' t делать какие-либо вычисления с любой формулой.То же самое касается R 2 и R 3 : мы можем применять уравнения закона Ома тогда и только тогда, когда все члены представляют свои соответствующие величины между одними и теми же двумя точками в цепи.

Итак, что мы можем сделать? Нам известно напряжение источника (9 вольт), приложенное к последовательной комбинации R 1 , R 2 и R 3 , и мы знаем сопротивление каждого резистора, но поскольку эти величины не входят в В том же контексте мы не можем использовать закон Ома для определения тока в цепи.Если бы мы только знали, что такое полное сопротивление для цепи: тогда мы могли бы вычислить общий ток с нашим значением для общего напряжения ( I = E / R ).

Объединение нескольких резисторов в эквивалентный общий резистор

Это подводит нас ко второму принципу последовательной схемы:

Общее сопротивление любой последовательной цепи равно сумме отдельных сопротивлений.

[латекс] \ tag {3.2} R_ {total} = R_1 + R_2 + ... + R_n [/ латекс]

Это должно иметь интуитивный смысл: чем больше последовательно подключенных резисторов, через которые должен протекать ток, тем труднее будет протекать ток.

В примере задачи у нас были последовательно подключены резисторы 3 кОм, 10 кОм и 5 кОм, что дало нам общее сопротивление 18 кОм:

[латекс] R_ {total} = R_1 + R_2 + R_3 [/ латекс]

[латекс] R_ {total} = 3 \ text {k} \ Omega + 10 \ text {k} \ Omega + 5 \ text {k} \ Omega [/ latex]

[латекс] \ pmb {R_ {total} = 18 \ text {k} \ Omega} [/ latex]

По сути, мы вычислили эквивалентное сопротивление R 1 , R 2 и R 3 вместе взятых.Зная это, мы могли бы перерисовать схему с одним эквивалентным резистором, представляющим последовательную комбинацию R 1 , R 2 и R 3 :

.
Расчет тока цепи по закону Ома

Теперь у нас есть вся необходимая информация для расчета тока цепи, потому что у нас есть напряжение между точками 1 и 4 (9 вольт) и сопротивление между точками 1 и 4 (18 кОм):

[латекс] I_ {total} \: = \ frac {E_ {total}} {R_ {total}} [/ латекс]

[латекс] \: = \ frac {9V} {18k \ Omega} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I_ {total} = 500 мкА} [/ латекс]

Расчет напряжений компонентов по закону Ома

Зная, что ток одинаков во всех компонентах последовательной цепи (и мы только что определили ток через батарею), мы можем вернуться к нашей исходной принципиальной схеме и отметить ток через каждый компонент:


Теперь, когда мы знаем величину тока, протекающего через каждый резистор, мы можем использовать закон Ома для определения падения напряжения на каждом из них (применяя закон Ома в его надлежащем контексте):

[латекс] E_ {R1} = I_ {R1} {R_1} [/ латекс]

[латекс] = (500 мкА) {(3кОм)} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {E_ {R1} = 1.5V} [/ латекс]

[латекс] E_ {R2} = I_ {R2} {R_2} [/ латекс]

[латекс] = (500 мкА) {(10 кОм)} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {E_ {R2} = 5V} [/ латекс]

[латекс] E_ {R3} = I_ {R3} {R_3} [/ латекс]

[латекс] = (500 мкА) {(5 кОм)} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {E_ {R3} = 2.5V} [/ латекс]

Обратите внимание на падение напряжения на каждом резисторе, и как сумма падений напряжения (1,5 + 5 + 2,5) равна напряжению батареи (источника питания): 9 вольт.

Это третий принцип последовательных цепей:

Напряжение питания в последовательной цепи равно сумме индивидуальных падений напряжения.

Общее последовательное напряжение

[латекс] E_ {total} = E_1 + E_2 + ... E_n \ tag {3.3} [/ latex]

Анализ простых последовательных цепей с помощью «табличного метода» и закона Ома

Однако метод, который мы только что использовали для анализа этой простой последовательной схемы, можно упростить для лучшего понимания.Используя таблицу для перечисления всех напряжений, токов и сопротивлений в цепи, становится очень легко увидеть, какие из этих величин могут быть правильно связаны в любом уравнении закона Ома:

Таблица 3.1


Правило для такой таблицы - применять закон Ома только к значениям в каждом вертикальном столбце. Например, E R1 только с I R1 и R 1 ; E R2 только с I R2 и R 2 ; и т. д. Вы начинаете свой анализ с заполнения тех элементов таблицы, которые даны вам с самого начала:

Таблица 3.2


Как видно из расположения данных, мы не можем подать 9 вольт ET (полное напряжение) ни на одно из сопротивлений (R 1 , R 2 или R 3 ) в любая формула закона Ома, потому что они находятся в разных столбцах. Напряжение батареи 9 В составляет , а не , приложенное непосредственно к R 1 , R 2 или R 3 . Однако мы можем использовать наши «правила» для последовательных цепей, чтобы заполнить пустые места в горизонтальном ряду. В этом случае мы можем использовать правило ряда сопротивлений для определения общего сопротивления из суммы отдельных сопротивлений:

Таблица 3.3


Теперь, введя значение общего сопротивления в крайний правый столбец («Всего»), мы можем применить закон Ома I = E / R к общему напряжению и общему сопротивлению, чтобы получить общий ток 500 мкА. :

Таблица 3.4


Затем, зная, что ток распределяется поровну между всеми компонентами последовательной цепи (еще одно «правило» последовательной схемы), мы можем заполнить токи для каждого резистора из только что рассчитанного значения тока:

Таблица 3.5.

Наконец, мы можем использовать закон Ома для определения падения напряжения на каждом резисторе, по столбцу за раз:

Таблица 3.6

Таким образом, последовательная цепь определяется как имеющая только один путь, по которому может течь ток. Из этого определения следуют три правила последовательных цепей: все компоненты имеют одинаковый ток; сопротивления складываются, чтобы равняться большему общему сопротивлению; а падение напряжения в сумме равняется большему общему напряжению. Все эти правила находят корень в определении последовательной цепи. Если вы полностью понимаете это определение, то правила - не что иное, как сноски к определению.

  • Компоненты в последовательной цепи имеют одинаковый ток:

[латекс] I_ {Всего} = I_1 = I_2 = I_3 =... = I_n [/ latex]

  • Общее сопротивление в последовательной цепи равно сумме отдельных сопротивлений:

[латекс] R_ {Всего} = R_1 + R_2 + ... + R_n [/ латекс]

  • Общее напряжение в последовательной цепи равно сумме отдельных падений напряжения:

[латекс] E_ {Всего} = E_1 + E_2 + ... + E_n [/ латекс]

В этом разделе мы изложим три принципа, которые вы должны понимать в отношении параллельных цепей:

Напряжение: Напряжение одинаково на всех компонентах параллельной цепи.

Ток: Полный ток цепи равен сумме токов отдельных ветвей.

Сопротивление: Отдельные сопротивления уменьшают , чтобы равняться меньшему общему сопротивлению, вместо прибавляют , чтобы получить общее.

Давайте взглянем на несколько примеров параллельных цепей, демонстрирующих эти принципы.

Начнем с параллельной схемы, состоящей из трех резисторов и одной батареи:

Рисунок 3.5
Напряжение в параллельных цепях

Первый принцип для понимания параллельных цепей заключается в том, что напряжение одинаково на всех компонентах в цепи . Это связано с тем, что в параллельной цепи есть только два набора электрически общих точек, и напряжение, измеренное между наборами общих точек, всегда должно быть одинаковым в любой момент времени.

[латекс] E_ {Total} = E_1 = E_2 = ... = E_n \ tag {3.4} [/ latex]

Следовательно, в приведенной выше схеме напряжение на R 1 равно напряжению на R 2 , которое равно напряжению на R 3 , которое равно напряжению на батарее.

Это равенство напряжений можно представить в другой таблице для наших начальных значений:

Таблица 3.7.
Применение закона Ома для простых параллельных схем

Как и в случае с последовательными цепями, применимо то же предостережение для закона Ома: значения напряжения, тока и сопротивления должны быть в одном контексте, чтобы вычисления работали правильно.

Однако в приведенной выше примерной схеме мы можем немедленно применить закон Ома к каждому резистору, чтобы найти его ток, потому что мы знаем напряжение на каждом резисторе (9 вольт) и сопротивление каждого резистора:

[латекс] I_ {R1} \: = \ frac {E_ {R1}} {R_1} [/ латекс]

[латекс] \: = \ frac {(9V)} {(10kΩ)} [/ latex]

[латекс] \ pmb {I_ {R1} \: = 0.9mA} [/ латекс]

[латекс] I_ {R2} \: = \ frac {E_ {R2}} {R_2} [/ латекс]

[латекс] \: = \ frac {(9V)} {(2kΩ)} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I_ {R2} \: = 4,5 мА} [/ латекс]

[латекс] I_ {R3} \: = \ frac {E_ {R3}} {R_3} [/ латекс]

[латекс] \: = \ frac {(9V)} {(1kΩ)} [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I_ {R3} = 9mA} [/ латекс]

Таблица 3.8

На данный момент мы еще не знаем, каков полный ток или полное сопротивление для этой параллельной цепи, поэтому мы не можем применить закон Ома к крайнему правому столбцу («Всего»). Однако, если мы внимательно подумаем о том, что происходит, должно стать очевидным, что общий ток должен равняться сумме всех токов отдельных резисторов («ответвлений»):

Рисунок 3.6

По мере того, как полный ток выходит из положительной (+) клеммы аккумулятора в точке 1 и проходит по цепи, часть потока разделяется в точке 2, чтобы пройти через R 1 , еще часть разделяется в точке 3, чтобы уйти. через 2 рандов, а оставшаяся часть идет через 3 рандов.Подобно реке, разветвляющейся на несколько меньших потоков, общий расход всех потоков должен равняться расходу всей реки.

То же самое происходит, когда токи через R 1 , R 2 и R 3 соединяются, чтобы течь обратно к отрицательной клемме батареи (-) к точке 8: поток тока из точки 7 до точки 8 должна равняться сумме токов (ответвлений) через R 1 , R 2 и R 3 .

Это второй принцип параллельных цепей: полный ток цепи равен сумме токов отдельных ветвей .

Используя этот принцип, мы можем заполнить место ИТ на нашем столе суммой I R1 , I R2 и I R3 :

Таблица 3.9
Как рассчитать полное сопротивление в параллельных цепях

Наконец, применив закон Ома к крайнему правому столбцу («Всего»), мы можем вычислить полное сопротивление цепи:

Таблица 3.10

Уравнение сопротивления в параллельных цепях

Обратите внимание на кое-что очень важное.Общее сопротивление цепи составляет всего 625 Ом: на меньше , чем у любого из отдельных резисторов. В последовательной цепи, где полное сопротивление было суммой отдельных сопротивлений, общее сопротивление должно было быть на больше , чем у любого из резисторов по отдельности.

Здесь, в параллельной цепи, наоборот: мы говорим, что отдельных сопротивлений уменьшают , а не добавляют , чтобы получить общее .

Этот принцип завершает нашу триаду «правил» для параллельных цепей, точно так же, как было обнаружено, что у последовательных цепей есть три правила для напряжения, тока и сопротивления.

Математически соотношение между общим сопротивлением и отдельными сопротивлениями в параллельной цепи выглядит следующим образом:

Уравнение сопротивления в параллельных цепях

[латекс] R_ {total} = \ frac {1} {\ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + ... + \ frac {1} {R_n}} \ tag {3.5 } [/ латекс]

Три правила параллельных цепей

Таким образом, параллельная цепь определяется как цепь, в которой все компоненты подключены между одним и тем же набором электрически общих точек.Другими словами, все компоненты подключены друг к другу через клеммы.

Из этого определения следуют три правила параллельных цепей:

Все компоненты имеют одинаковое напряжение.

Сопротивления уменьшаются до меньшего общего сопротивления.

Токи ответвления в сумме равняются большему общему току.

Как и в случае с последовательными цепями, все эти правила находят корень в определении параллельной цепи. Если вы полностью понимаете это определение, то правила - не что иное, как сноски к определению.

  • Компоненты в параллельной цепи имеют одинаковое напряжение:

[латекс] E_ {Всего} = E_1 = E_2 = ... = E_n [/ латекс]

  • Общее сопротивление в параллельной цепи на меньше , чем любое из отдельных сопротивлений:

[латекс] R_ {Total} = \ frac {1} {\ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + ... + \ frac {1} {R_n}} [/ латекс]

  • Полный ток в параллельной цепи равен сумме токов отдельных ответвлений:

[латекс] I_ {Всего} = I_1 + I_2 +.2R} [/ латекс]

Этим легко управлять, добавив еще одну строку в нашу знакомую таблицу напряжений, токов и сопротивлений:

Таблица 3.11 Мощность

для любого конкретного столбца таблицы может быть найдена с помощью соответствующего уравнения закона Ома ( соответствует на основе цифр, представленных для E, I и R в этом столбце).

Интересное правило для общей мощности по сравнению с индивидуальной мощностью состоит в том, что оно является аддитивным для любой конфигурации цепи : последовательной, параллельной, последовательной / параллельной или другой.Мощность - это мера скорости работы, и поскольку рассеиваемая мощность должна равняться полной мощности, подаваемой источником (источниками) (в соответствии с Законом сохранения энергии в физике), конфигурация схемы не влияет на математику.

  • Мощность складывается в любая конфигурация резистивной цепи:

[латекс] P_ {Всего} = P_1 + P_2 + ... + P_n [/ латекс]

Напоминания при использовании закона Ома

Одна из самых распространенных ошибок, которые делают начинающие студенты-электронщики при применении законов Ома, - это смешивание контекстов напряжения, тока и сопротивления.Другими словами, ученик может ошибочно использовать значение I (ток) через один резистор и значение E (напряжение) через набор соединенных между собой резисторов, полагая, что они придут к сопротивлению этого одного резистора.

Не так! Запомните это важное правило: переменные, используемые в уравнениях закона Ома, должны быть , общим для одних и тех же двух точек в рассматриваемой цепи. Я не могу переоценить это правило. Это особенно важно в последовательно-параллельных комбинированных схемах, где соседние компоненты могут иметь разные значения для падения напряжения и тока .

При использовании закона Ома для вычисления переменной, относящейся к отдельному компоненту, убедитесь, что напряжение, на которое вы ссылаетесь, относится только к этому отдельному компоненту, а ток, который вы указываете, проходит исключительно через этот единственный компонент, а сопротивление, на которое вы ссылаетесь, равно исключительно для этого единственного компонента. Аналогичным образом, при вычислении переменной, относящейся к набору компонентов в цепи, убедитесь, что значения напряжения, тока и сопротивления относятся только к этому полному набору компонентов!

Хороший способ запомнить это - обратить пристальное внимание на две точки , , завершающие анализируемый компонент или набор компонентов, убедившись, что напряжение, о котором идет речь, проходит через эти две точки, что рассматриваемый ток является потоком электрический заряд от одной из этих точек до другой точки, что рассматриваемое сопротивление эквивалентно одному резистору между этими двумя точками, и что рассматриваемая мощность - это полная мощность, рассеиваемая всеми компонентами между этими двумя точками .

Примечания к «Табличному» методу анализа цепей

«Табличный» метод, представленный как для последовательных, так и для параллельных цепей в этой главе, является хорошим способом сохранить контекст закона Ома правильным для любой конфигурации цепи. В таблице, подобной приведенной ниже, вам разрешено применять уравнение закона Ома только для значений одного вертикального столбца за раз:

Таблица 3.12

Получение значений по горизонтали по столбцам допустимо в соответствии с принципами последовательных и параллельных цепей:

Таблица 3.13

Таблица 3.14

«Табличный» метод не только упрощает управление всеми соответствующими величинами, но также облегчает перекрестную проверку ответов, упрощая поиск исходных неизвестных переменных другими методами или работая в обратном направлении для решения исходных данные значения из ваших решений. Например, если вы только что решили для всех неизвестных напряжений, токов и сопротивлений в цепи, вы можете проверить свою работу, добавив строку внизу для расчета мощности на каждом резисторе, чтобы посмотреть, добавляются ли все отдельные значения мощности до полной мощности.Если нет, значит, вы где-то ошиблись! Хотя в этой технике «перекрестной проверки» вашей работы нет ничего нового, использование таблицы для упорядочивания всех данных для перекрестной проверки (-ий) приводит к минимуму путаницы.

  • Примените закон Ома к вертикальным столбцам таблицы.
  • Примените правила последовательного / параллельного горизонтального ряда в таблице.
  • Проверьте свои расчеты, работая «в обратном направлении», чтобы попытаться прийти к первоначально заданным значениям (из ваших первых рассчитанных ответов), или путем решения для количества с использованием более чем одного метода (из разных заданных значений).

Что такое закон Кирхгофа о напряжении (KVL)?

Принцип, известный как Закон напряжения Кирхгофа (открытый в 1847 году немецким физиком Густавом Р. Кирхгофом), можно сформулировать так:

«Алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна равняться нулю»

[латекс] E_ {T} = E_1 + E_2 + ... + E_n = 0 [/ латекс]

Под алгебраическим я подразумеваю учет знаков (полярностей), а также величин.Под петлей я подразумеваю любой путь, прослеживаемый от одной точки в цепи до других точек в этой цепи и, наконец, обратно в исходную точку.

Демонстрация закона напряжения Кирхгофа в последовательной цепи

Давайте еще раз посмотрим на нашу примерную последовательную схему, на этот раз пронумеровав точки в цепи для опорного напряжения:

Рис. 3.7.

Если бы мы подключили вольтметр между точками 2 и 1, красный измерительный провод к точке 2 и черный измерительный провод к точке 1, измеритель зарегистрировал бы +45 вольт.Обычно знак «+» не отображается, а скорее подразумевается для положительных показаний на дисплеях цифровых счетчиков. Однако для этого урока очень важна полярность показаний напряжения, поэтому я покажу положительные числа явно: E 2-1 = + 45V

Когда напряжение указано с двойным нижним индексом (символы «2-1» в обозначении «E 2-1 »), это означает напряжение в первой точке (2), измеренное относительно второй точки. (1). Напряжение, указанное как «E cd », будет означать напряжение, указанное цифровым измерителем с красным измерительным проводом в точке «c» и черным измерительным проводом в точке «d»: напряжение на «c» относительно «D».

Рис. 3.8.

Если бы мы взяли тот же вольтметр и измерили падение напряжения на каждом резисторе, обходя цепь по часовой стрелке с красным измерительным проводом нашего измерителя на точке впереди и черным измерительным проводом на точке сзади, получим следующие показания:

[латекс] E_ {3-2} = -10V [/ латекс]

[латекс] E_ {4-3} = -20 В [/ латекс]

[латекс] E_ {1-4} = -15 В [/ латекс]

Рисунок 3.9

Мы уже должны быть знакомы с общим принципом для последовательных цепей, согласно которому отдельные падения напряжения в сумме составляют общее приложенное напряжение, но измерение падения напряжения таким образом и внимание к полярности (математическому знаку) показаний показывает другое. аспект этого принципа: все измеренные напряжения в сумме равны нулю:

В приведенном выше примере петля образована следующими точками в следующем порядке: 1-2-3-4-1.Не имеет значения, с какой точки мы начинаем или в каком направлении идем, отслеживая петлю; сумма напряжений по-прежнему будет равна нулю. Чтобы продемонстрировать это, мы можем подсчитать напряжения в контуре 3-2-1-4-3 той же цепи:

Это может иметь больше смысла, если мы перерисуем наш пример последовательной схемы так, чтобы все компоненты были представлены в виде прямой линии:

Рисунок 3.10

Это все та же последовательная схема, только с компонентами, расположенными в другой форме.Обратите внимание на полярность падения напряжения на резисторе по отношению к батарее: напряжение батареи отрицательное слева и положительное справа, тогда как все падения напряжения на резисторе ориентированы в другую сторону: положительное слева и отрицательное справа. Это потому, что резисторы сопротивляются потоку электрического заряда, проталкиваемого батареей. Другими словами, «толчок», оказываемый резисторами против потока электрического заряда , должен, , происходить в направлении, противоположном источнику электродвижущей силы.

Здесь мы видим, что цифровой вольтметр покажет на каждом компоненте в этой цепи, черный провод слева и красный провод справа, как показано горизонтально:

Рисунок 3.11

Если бы мы взяли тот же вольтметр и считали напряжение по комбинациям компонентов, начиная с единственного R 1 слева и продвигаясь по всей цепочке компонентов, мы увидим, как напряжения складываются алгебраически (до нуля):

Рисунок 3.12

Тот факт, что последовательные напряжения складываются, не должен быть загадкой, но мы заметили, что полярность этих напряжений сильно влияет на то, как складываются цифры. При считывании напряжения на R 1 —R 2 и R 1 —R 2 —R 3 (я использую символ «двойное тире» «-» для обозначения серии соединение между резисторами R 1 , R 2 и R 3 ), мы видим, как напряжения измеряют последовательно большие (хотя и отрицательные) величины, потому что полярности отдельных падений напряжения имеют одинаковую ориентацию (положительный левый , отрицательный справа).Сумма падений напряжения на R 1 , R 2 и R 3 равна 45 вольт, что соответствует выходному сигналу батареи, за исключением того, что полярность батареи противоположна полярности падения напряжения на резисторе (отрицательная слева, положительный справа), поэтому мы получаем 0 вольт, измеренный на всей цепочке компонентов.

То, что мы должны получить ровно 0 вольт на всей струне, тоже не должно быть тайной. Глядя на схему, мы видим, что крайний левый угол струны (левая сторона R 1 : точка номер 2) напрямую соединен с крайним правым уголком струны (правая сторона батареи: точка номер 2), так как необходимо для завершения схемы.Поскольку эти две точки соединены напрямую, они электрически общие, друг с другом. И, как таковое, напряжение между этими двумя электрически общими точками должно быть равным нулю.

Демонстрация закона напряжения Кирхгофа в параллельной цепи Закон

Кирхгофа о напряжении (иногда для краткости обозначаемый как KVL ) будет работать для любой конфигурации цепи вообще, а не только для простой серии. Обратите внимание, как это работает для этой параллельной схемы:

Рисунок 3.13

В параллельной схеме напряжение на каждом резисторе такое же, как и напряжение питания: 6 вольт. Суммируя напряжения вокруг контура 2-3-4-5-6-7-2, получаем:

Обратите внимание, как я обозначил конечное (суммарное) напряжение как E 2-2 . Поскольку мы начали нашу пошаговую последовательность в точке 2 и закончили в точке 2, алгебраическая сумма этих напряжений будет такой же, как напряжение, измеренное между той же точкой (E 2-2 ), которое, конечно, должно быть равно нулю. .

Действие закона Кирхгофа о напряжении независимо от топологии цепи

Тот факт, что эта схема является параллельной, а не последовательной, не имеет ничего общего с правомерностью закона Кирхгофа о напряжении. В этом отношении схема может быть «черным ящиком» - конфигурация ее компонентов полностью скрыта от нашего взгляда, с набором открытых клемм для измерения напряжения между ними - и KVL все равно останется верным:

Рис. 3.14.

Попробуйте выполнить любой порядок шагов с любого терминала на приведенной выше диаграмме, возвращаясь к исходному терминалу, и вы обнаружите, что алгебраическая сумма напряжений всегда равна нулю.

Более того, «петля», которую мы отслеживаем для KVL, даже не обязательно должна быть реальным током в прямом смысле этого слова. Все, что нам нужно сделать, чтобы соответствовать KVL, - это начинать и заканчивать в одной и той же точке цепи, подсчитывая падения напряжения и полярности при переходе между следующей и последней точкой. Рассмотрим этот абсурдный пример, отслеживая «петлю» 2-3-6-3-2 в той же параллельной цепи резистора:

Рисунок 3.15

Использование закона напряжения Кирхгофа в сложной цепи

KVL можно использовать для определения неизвестного напряжения в сложной цепи, где известны все другие напряжения вокруг определенного «контура».В качестве примера возьмем следующую сложную схему (фактически две последовательные цепи, соединенные одним проводом внизу):

Рисунок 3.16

Чтобы упростить задачу, я опустил значения сопротивления и просто указал падение напряжения на каждом резисторе. Две последовательные цепи имеют общий провод между собой (провод 7-8-9-10), что позволяет измерять напряжение между двумя цепями.

Если бы мы хотели определить напряжение между точками 4 и 3, мы могли бы составить уравнение KVL с напряжением между этими точками как неизвестным:

[латекс] E_ {4-3} + E_ {9-4} + E_ {8-9} + E_ {3-8} = 0 [/ латекс]

[латекс] E_ {4-3} + 12 В + 0 В + 20 В = 0 В [/ латекс]

[латекс] E_ {4-3} + 32V = 0 [/ латекс]

[латекс] \ pmb {E_ {4-3} = -32V} [/ латекс]

Рисунок 3.17 Рисунок 3.18 Рисунок 3.19 Рисунок 3.20

Обходя контур 3-4-9-8-3, мы записываем значения падения напряжения так, как их регистрировал цифровой вольтметр, измеряя с помощью красного измерительного провода на острие впереди и черного измерительного провода на точка позади, когда мы продвигаемся по петле. Следовательно, напряжение от точки 9 до точки 4 является положительным (+) 12 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 9, а «черный провод» - в точке 4. Напряжение от точки 3 до точки 8 является положительным (+) 20 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 3, а «черный провод» - в точке 8.Напряжение от точки 8 до точки 9, конечно, равно нулю, потому что эти две точки электрически общие.

Наш окончательный ответ для напряжения от точки 4 до точки 3 - отрицательное (-) 32 вольта, говорящее нам, что точка 3 на самом деле положительна по отношению к точке 4, именно то, что цифровой вольтметр показал бы красным проводом в точке 4. и черный отрыв в точке 3:

Рис. 3.21

Другими словами, первоначальное размещение наших «выводов счетчика» в этой проблеме KVL было «задом наперед».«Если бы мы сгенерировали наше уравнение KVL, начиная с E 3-4 вместо E 4-3 , шагая по той же петле с противоположной ориентацией измерительных проводов, окончательный ответ был бы E 3-4 = + 32 вольта:

Рис. 3.22

Важно понимать, что ни один из подходов не является «неправильным». В обоих случаях мы приходим к правильной оценке напряжения между двумя точками 3 и 4: точка 3 положительна по отношению к точке 4, а напряжение между ними составляет 32 вольта.

  • Закон Кирхгофа о напряжении (KVL): «Алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна равняться нулю»

Что такое s Действующий закон Кирхгофа?

Закон Кирхгофа о течениях, часто сокращаемый до KCL, гласит, что «алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, должна равняться нулю».

Этот закон используется для описания того, как заряд входит и покидает точку соединения или узел на проводе.

Вооружившись этой информацией, давайте теперь рассмотрим пример применения закона на практике, почему он важен и как он был получен.

Обзор параллельной цепи

Давайте внимательнее рассмотрим эту последнюю параллельную схему примера:

Рисунок 3.23 Таблица 3.15

Решение для всех значений напряжения и тока в этой цепи:

На данный момент мы знаем значение тока каждой ветви и полного тока в цепи. Мы знаем, что полный ток в параллельной цепи должен равняться сумме токов ответвления, но в этой цепи происходит нечто большее, чем просто это.Взглянув на токи в каждой точке соединения проводов (узле) в цепи, мы должны увидеть кое-что еще:

Рисунок 3.24

3.7. 3 тока на входе и выходе из узла

В каждом узле положительной «шины» (провода 1-2-3-4) у нас есть разделение тока от основного потока к каждому последующему резистору ответвления. В каждом узле на отрицательной «шине» (провод 8-7-6-5) у нас есть ток, сливающийся вместе, чтобы сформировать основной поток от каждого последовательного резистора ответвления.Этот факт должен быть довольно очевиден, если вы подумаете об аналогии контура водопровода с каждым ответвлением, действующим как тройник, разделением или слиянием потока воды с основным трубопроводом, когда он движется от выхода водяного насоса к обратному каналу. резервуар или отстойник.

Если мы внимательно рассмотрим один конкретный узел «тройник», такой как узел 6, мы увидим, что ток, входящий в узел, равен по величине току, выходящему из узла:

Рисунок 3.25

Сверху и справа у нас есть два тока, входящие в соединение проводов, обозначенное как узел 6.Слева у нас есть единственный ток, выходящий из узла, равный по величине сумме двух входящих токов. Обратимся к аналогии с водопроводом: пока в трубопроводе нет утечек, поток, поступающий в фитинг, должен также выходить из фитинга. Это верно для любого узла («подгонки»), независимо от того, сколько потоков входит или выходит. Математически мы можем выразить это общее соотношение как таковое: [латекс] I_ {существующий} = I_ {ввод} [/ латекс]

Действующий закон Кирхгофа

г.Кирхгоф решил выразить его в несколько иной форме (хотя и математически эквивалентной), назвав его Текущий закон Кирхгофа (KCL):

.

[латекс] I_ {ввод} = -I_ {существующий} = 0 [/ латекс]

Текущий закон Кирхгофа, кратко изложенный в одной фразе, гласит:

«Алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, должна равняться нулю»

[латекс] I_ {T} = I_1 + I_2 + ... + I_n = 0 [/ латекс]

То есть, если мы присвоим каждому току математический знак (полярность), обозначающий, входят ли они (+) или выходят (-) из узла, мы можем сложить их вместе, чтобы получить гарантированно нулевое значение.

Взяв наш пример узла (номер 6), мы можем определить величину тока, выходящего слева, задав уравнение KCL с этим током в качестве неизвестного значения:

[латекс] I_2 + I_3 + I_ {2 + 3} = 0 [/ латекс]

[латекс] 2 мА + 3 мА + I_ {2 + 3} = 0 [/ латекс]

[латекс] \ text {... решение для I ...} [/ латекс]

[латекс] I = -2 мА-3 мА [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I = -5mA} [/ латекс]

Отрицательный (-) знак на значении 5 миллиампер говорит нам, что ток на выходе из узла, в отличие от токов 2 миллиампер и 3 миллиампер, которые оба должны быть положительными (и, следовательно, входит в узел) .Независимо от того, обозначает ли отрицательное или положительное значение текущий вход или выход, совершенно произвольно, если они являются противоположными знаками для противоположных направлений и мы остаемся последовательными в наших обозначениях, KCL будет работать.

Вместе законы напряжения и тока Кирхгофа представляют собой замечательную пару инструментов, полезных при анализе электрических цепей. Их полезность станет еще более очевидной в следующей главе («Сетевой анализ»), но достаточно сказать, что эти законы заслуживают того, чтобы их запомнил изучающий электронику не меньше, чем закон Ома.

  • Текущий закон Кирхгофа (KCL): «Алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, должна равняться нулю»

Анализ цепей

Развитие понимания схем - это первый шаг в изучении современных электронных устройств, которые доминируют в том, что становится известным как «век информации». Основной тип цепи, последовательная цепь, представляет собой цепь, в которой есть только один путь тока.Законы Кирхгофа предоставляют нам инструменты для анализа цепей любого типа.


Законы Кирхгофа

Закон Кирхгофа (KCL), названный в честь немецкого физика Густава Кирхгофа, гласит, что сумма всего тока, входящего в любую точку цепи, должна равняться сумме всего тока, выходящего из любой точки в цепи. Проще говоря, это еще один способ взглянуть на закон сохранения заряда .

Закон Кирхгофа о напряжении (KVL) утверждает, что сумма всех падений потенциала в любом замкнутом контуре цепи должна быть равна нулю.Проще говоря, KVL - это метод применения закона сохранения энергии к цепи.


Вопрос: Резистор сопротивлением 3,0 Ом и резистор 6,0 Ом соединены последовательно в рабочую электрическую цепь. Если ток через резистор сопротивлением 3,0 Ом составляет 4,0 ампера, какова разница потенциалов на резисторе сопротивлением 6,0 Ом?

Ответ: Для начала давайте нарисуем картину ситуации. Если через резистор сопротивлением 3 Ом протекает ток 4 ампера, то в соответствии с законом Кирхгофа через резистор 6 Ом должно протекать 4 ампера тока.Зная ток и сопротивление, мы можем рассчитать падение напряжения на 6-омном резисторе, используя закон Ома:


Резисторы

серии

Рассмотрим пример схемы, состоящей из трех резисторов сопротивлением 2000 Ом (2K):

В цепи есть только один путь тока, который проходит через все три резистора. Вместо использования трех отдельных резисторов 2K, мы могли бы заменить три резистора одним резистором с эквивалентным сопротивлением.Чтобы найти эквивалентное сопротивление любого количества последовательных резисторов, мы просто складываем их индивидуальные сопротивления:

Обратите внимание, что поскольку существует только один путь тока, одинаковый ток должен протекать через каждый из резисторов.


Таблицы VIRP

Простой и понятный метод анализа цепей включает создание таблицы VIRP для каждой обнаруженной цепи. Объединив свои знания о законе Ома, законе тока Кирхгофа, законе напряжения Кирхгофа и эквивалентном сопротивлении, вы можете использовать эту таблицу для определения деталей любой схемы.

Таблица VIRP описывает падение потенциала (V-напряжение), ток (I-ток), сопротивление (R) и рассеиваемую мощность (P-мощность) для каждого элемента в вашей цепи, а также для цепи в целом. . Давайте использовать нашу схему с тремя резисторами на 2000 Ом в качестве примера, чтобы продемонстрировать, как используется таблица VIRP. Чтобы создать таблицу VIRP, мы сначала перечисляем элементы схемы и итоги в строках таблицы, а затем создаем столбцы для V, I, R и P:

Таблица VIRP
В I R P
R1
R2
R3
Всего

Далее мы заполняем информацию в таблице, которая нам известна.Например, нам известно общее напряжение в цепи (12 В), обеспечиваемое батареей, и нам известны значения сопротивления для каждого отдельного резистора:

Таблица VIRP
В I R -P
R1 2000
R2 2000
R3 2000
Всего 12В

После ввода исходной информации мы можем также вычислить полное сопротивление или эквивалентное сопротивление всей цепи.В нашем случае это 6000 Ом:

Таблица VIRP
В I R -P
R1 2000
R2 2000
R3 2000
Всего 12В 6000

Если я посмотрю на нижнюю (итоговую) строку своей таблицы, я знаю как падение напряжения (V), так и сопротивление (R).Зная эти два элемента, я могу рассчитать общий ток, протекающий в цепи, используя закон Ома, а также могу рассчитать общую мощность, рассеиваемую в цепи, используя свои формулы для электрической мощности:

Теперь я могу ввести дополнительную информацию в таблицу VIRP:

Таблица VIRP
В I R -P
R1 2000
R2 2000
R3 2000
Всего 12В 0.002A 6000 0,024 Вт

Поскольку это последовательная схема, общий ток должен быть таким же, как ток через каждый отдельный элемент, поэтому я могу заполнить ток через каждый из отдельных резисторов:

Таблица VIRP
В I R -P
R1 0.002A 2000
R2 0,002A 2000
R3 0,002A 2000
Всего 12В 0,002A 6000 0.024W

Наконец, для каждого элемента в цепи я теперь знаю ток и сопротивление. Используя эти знания, я могу применить закон Ома, чтобы получить падение напряжения (V = IR), и формулу для мощности (P = I2R), чтобы заполнить таблицу.

Таблица VIRP
В I R -P
R1 4V 0.002A 2000 0,008 Вт
R2 4V 0,002A 2000 0,008 Вт
R3 4V 0,002A 2000 0,008 Вт
Всего 12В 0,002A 6000 0.024W

Итак, что на самом деле говорит нам эта таблица теперь, когда она полностью заполнена? Нам известны падение потенциала на каждом резисторе (4 В), ток через каждый резистор (2 мА) и мощность, рассеиваемая каждым резистором (8 мВт). Кроме того, мы знаем, что полное падение потенциала для всей цепи составляет 12 В, и вся схема рассеивает 24 мВт мощности. Обратите внимание, что для последовательной цепи сумма отдельных падений напряжения на каждом элементе равна общей разности потенциалов в цепи, ток одинаков во всей цепи, а значения сопротивления и рассеиваемой мощности также складываются в общее сопротивление и общая рассеиваемая мощность.Они кратко изложены для вас в справочной таблице следующим образом:


Пример задачи

Параллельные схемы

Другой базовый тип схемы - это параллельная цепь, в которой имеется более одного пути тока. Для анализа резисторов в последовательной цепи мы нашли эквивалентное сопротивление.Мы будем следовать той же стратегии при параллельном анализе резисторов.

Параллельные резисторы

Давайте посмотрим на схему, состоящую из тех же компонентов, которые мы использовали в нашем исследовании последовательных схем, но теперь мы соединим наши компоненты, чтобы обеспечить несколько путей тока, создавая параллельную схему .

Обратите внимание, что в этой цепи электричество может проходить по одному из трех разных путей через каждый из резисторов. Во многом это похоже на реку, которая разветвляется на три разные более мелкие реки.Таким образом, каждый резистор вызывает падение потенциала (аналогично водопаду), затем три реки рекомбинируют, прежде чем вернуться к батарее, которую мы можем представить как насос, поднимая реку до более высокого потенциала, прежде чем отправить ее обратно. зацикленный путь.

Мы можем найти эквивалентное сопротивление резисторов, включенных параллельно, по формуле:

Будьте осторожны при использовании этого уравнения, поскольку при выполнении расчетов легко допустить ошибку. Посмотрим, сможем ли мы найти эквивалентное сопротивление для нашего образца схемы.

Анализ цепей

Мы снова можем использовать таблицу VIRP для анализа нашей схемы, начав с заполнения того, что мы знаем непосредственно из принципиальной схемы.

Таблица VIRP
В I R -P
R1 2000
R2 2000
R3 2000
Всего 12В

Из принципиальной схемы также видно, что падение потенциала на каждом резисторе должно составлять 12 В, так как концы каждого резистора удерживаются аккумулятором с разницей в 12 В.

Таблица VIRP
В I R -P
R1 12 В 2000
R2 12 В 2000
R3 12 В 2000
Всего 12В

Затем мы можем ввести ток через каждый из отдельных резисторов, поскольку мы знаем падение напряжения на каждом резисторе, используя закон Ома (I = V / R), чтобы найти I = 0.006A.

Таблица VIRP
В I R -P
R1 12 В 0,006A 2000
R2 12 В 0,006A 2000
R3 12 В 0.006A 2000
Всего 12В

Используя закон Кирхгофа по току, мы можем увидеть, что если через каждый из резисторов протекает 0,006 А, все эти токи объединяются, образуя общий ток 0,018 А.

Таблица VIRP
В I R -P
R1 12 В 0.006A 2000
R2 12 В 0,006A 2000
R3 12 В 0,006A 2000
Всего 12В 0,018A

Поскольку каждый из трех резисторов имеет одинаковое сопротивление, имеет смысл только то, что ток будет равномерно распределяться между ними.И мы можем подтвердить наш предыдущий расчет эквивалентного сопротивления, вычислив полное сопротивление цепи с использованием закона Ома:.

Таблица VIRP
В I R -P
R1 12 В 0,006A 2000
R2 12 В 0.006A 2000
R3 12 В 0,006A 2000
Всего 12В 0,018A 667

Наконец, мы можем закончить нашу таблицу VIRP, используя любое из трех применимых уравнений для рассеяния мощности, чтобы найти:

Таблица VIRP
В I R -P
R1 12 В 0.006A 2000 0,072 Вт
R2 12 В 0,006A 2000 0,072 Вт
R3 12 В 0,006A 2000 0,072 Вт
Всего 12В 0.018A 667 0,216 Вт

Обратите внимание, что для резисторов, включенных параллельно, эквивалентное сопротивление всегда меньше, чем сопротивление любого из отдельных резисторов. Разность потенциалов на каждом из резисторов, включенных параллельно, одинакова, а ток через каждый из резисторов складывается в общий ток. Это кратко изложено для вас в справочной таблице:

Примеры задач

Давайте посмотрим на базовую задачу анализа параллельной цепи:

Аналогичным образом мы также сможем построить принципиальные схемы из описаний схемы:

Давайте рассмотрим последний пример задачи, на этот раз связанный с использованием амперметров при анализе нашей параллельной цепи:

Комбинированные последовательно-параллельные схемы

Цепь не обязательно должна быть полностью последовательной или параллельной.Фактически, в большинстве схем есть элементы обоих типов. Анализ этих цепей может быть выполнен с использованием основ, которые вы изучили при анализе последовательных и параллельных цепей по отдельности и их применении в логической последовательности.

Во-первых, ищите части схемы с параллельными элементами. Поскольку напряжение на параллельных элементах должно быть одинаковым, замените параллельные резисторы на эквивалентный одиночный резистор, включенный последовательно, и нарисуйте новую схему.Теперь вы можете проанализировать эквивалентную последовательную схему с помощью таблицы VIRP. После того, как ваша таблица будет заполнена, вернитесь к исходной схеме, используя KCL и KVL, пока не узнаете ток, напряжение и сопротивление каждого отдельного элемента в вашей цепи.

Вопрос: Найдите ток через R 2 в схеме ниже.

Ответ: Сначала найдите эквивалентное сопротивление для R 2 и R 3 , включенных параллельно.

Затем нарисуйте принципиальную электрическую схему как эквивалентную последовательную схему.

Теперь вы можете использовать таблицу VIRP для анализа цепи.

Таблица VIRP
В I R -P
р 1 3.39V 0,169A 20 0,57 Вт
р 23 3,22 В 0,169A 19 0,54 Вт
р 4 3,39 В 0,169A 20 0,57 Вт
Всего 10В 0.169A 59 1,69 Вт

Следовательно, падение напряжения на R 2 и R 3 должно составлять 3,22 В. Отсюда вы можете применить закон Ома, чтобы найти ток через R 2 :

.

Законы Кирхгофа

Взаимосвязь между U и I

Два закона Кирхгофа рассказывают нам о взаимосвязи между величинами напряжения и токами в цепях.

Закон Кирхгофа утверждает, что: Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Два момента могут потребовать дальнейшего пояснения:

  1. Узел - это технический термин, обозначающий соединение в цепи, где две или более ветви соединяются вместе. Рис. 2.1 показывает узел с четырьмя соединенными ветвями;
  2. фраза «алгебраическая сумма» напоминает нам, что мы должны учитывать текущее направление, а также величину, применяя текущий закон Кирхгофа.

Этот закон используется в анализе цепи для определения взаимосвязей между токами, протекающими в ветвях цепи. Например, в рис. 2.1 токи, протекающие в четырех ветвях, подключенных к узлу, были определены как I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , и закон Кирхгофа позволяет нам запишите уравнение, связывающее эти токи.

Присмотревшись к Рис. 2.1 , мы видим, что два тока (I 1 , I 2 ) текут к узлу, а два других тока (I 3 , I 4 ). ) текут наружу.«Алгебраическая сумма» должна учитывать эту разницу в относительном направлении.

Чтобы строго применить Закон Кирхгофа, мы должны сначала сделать произвольный выбор положительного направления тока.

Предположим, что токи, текущие в узел (I 1 , I 2 ), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму (и, наоборот, токи, текущие из узла, рассматриваются как отрицательные вклады), тогда алгебраическая сумма токов будет записано: + I 1 + I 2 - I 3 - I 4 , и согласно текущему закону Кирхгофа эта алгебраическая сумма равна нулю:

+ I 1 + I 2 - Я 3 - Я 4 = 0 (2.1)

Тот же результат может быть получен при противоположном выборе положительного направления тока. Если токи, текущие из узла (I 3 , I 4 ), рассматривать как положительные вклады в алгебраическую сумму, тогда алгебраическая сумма токов будет записана: - I1 - I2 + I3 + I4, и приравнивая эту алгебраическую сумму сумма к нулю:

- I 1 - I 2 + I 3 + I 4 = 0 (2.2)

, что является тем же соотношением, что и уравнение.2.1 со всеми членами, умноженными на –1.

Следует подчеркнуть, что выбор знака при использовании Текущего закона Кирхгофа является полностью произвольным и, конечно, не влияет на полученный результат. Однако рекомендуется быть последовательным в своем выборе, поскольку это сводит к минимуму вероятность ошибки при записи алгебраической суммы.

Ур. 2.1 и 2.2 можно изменить так, чтобы показать, что:

I 1 + I 2 = I 3 + I 4 (2.3)

и возвращаясь к Рис. 2.1 , мы видим, что это уравнение показывает, что ток, протекающий в узел, равен текущему току. Эта формулировка естественным образом вытекает из физических соображений о токе как о потоке заряда.

Заряд не накапливается в узле, и поэтому любой заряд, поступающий в узел через одну или несколько ветвей, должен уходить из узла через другие ветви. Следовательно, втекающий ток равен току, выходящему из узла.

Рабочий пример 2.1

Рассчитайте ток I, текущий в узел.
Решение

Выбор токов, протекающих в узел, как положительных и применение закона Кирхгофа

: +3 –2 + I = 0, поэтому I = -1 A

Ток, текущий в узел, равен –1A, что является То же, что и выходящий из узла + 1A

Рабочий пример 2.2

Рассчитайте ток I, указанный на диаграмме.

Решение

В этой задаче есть два узла, каждый с тремя подключенными ветвями.Начните с определения тока I ’, протекающего в ветви между двумя узлами. Направление I ’было выбрано случайным образом: оно может иметь положительное или отрицательное значение. Выбирая токи, исходящие из узлов, как положительные и применяя Закон Кирхгофа в каждом узле:

- (- 4) + 2 + I '= 0, поэтому I' = -6 A

и: -I '- 6 + I = 0, поэтому I = I '+ 6 = 0 A

, но есть ли способ попроще? Да! Мы можем объединить два отдельных узла в один суперузл, показанный красным на нижней диаграмме.Суперузл не может накапливать заряд, поэтому закон Кирхгофа может быть применен к токам в ответвлениях, подключенных к нему.

При таком же выборе направления тока:

- (- 4) + 2 + I - 6 = 0, поэтому I = 0 A

Второй из законов Кирхгофа

Второй из законов Кирхгофа, Закон напряжения, гласит что:

Алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

Здесь снова есть фраза «алгебраическая сумма», поэтому мы должны признать, что направление напряжений имеет значение при использовании закона Кирхгофа.

Рис. 2.2 показывает контур цепи, который является частью более крупной схемы. В петлю входят четыре узла ABCD, между которыми соединены четыре компонента. В этом случае четыре компонента являются сопротивлениями, но закон Кирхгофа по напряжению может применяться независимо от того, какие компоненты подключены в замкнутом контуре. Напряжения на четырех сопротивлениях, составляющих контур цепи, были определены как V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , и закон Кирхгофа позволяет нам записать уравнение, связывающее эти напряжения.Если мы подумаем о перемещении по замкнутому контуру в любом направлении, мы заметим, что четыре напряжения будут встречаться последовательно.

Две стрелки напряжения будут указывать в направлении движения, а две - против движения. Алгебраическая сумма напряжений должна учитывать эту разницу в относительном направлении.

Чтобы правильно применить закон Кирхгофа, мы должны сделать произвольный выбор относительно направления движения по замкнутому контуру и вклад, который отдельные напряжения вносят в алгебраическую сумму вокруг замкнутого контура.Предположим, мы объезжаем петлю в (рис. 2.2) по часовой стрелке (ABCD) и что напряжения, противоположные направлению движения, вносят положительный вклад в алгебраическую сумму. При движении от A к B встречается напряжение V 1 , и оно находится в направлении, противоположном движению. Следовательно, V 1 является положительным вкладом в алгебраическую сумму.

То же замечание верно и для V 2 , которое встречается при переходе от B к C.Однако при переходе от C к D и обратно к A встречаются напряжения V 3 и V 4 , и в обоих случаях напряжения имеют то же направление, что и перемещение, что дает отрицательный вклад в алгебраическую сумму. Выраженная математически, алгебраическая сумма напряжений вокруг замкнутого контура ABCD равна: + V 1 + V 2 - V 3 - V 4 , а Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что эта сумма равна нулю:

+ V1 + V2 - V3 - V4 = 0 (2.4)

Тот же результат получается при любом выборе направления движения или вклада напряжения в алгебраическую сумму. Остальные три комбинации:

По часовой стрелке вокруг петли (ABCD), с положительной стрелкой:

- V1 - V2 + V3 + V4 = 0 (2,5)

Против часовой стрелки вокруг петли (ADCB), против стрелки положительной :

- V1 - V2 + V3 + V4 = 0 (2.6)

Против часовой стрелки вокруг контура (ADCB), с положительной стрелкой:

+ V1 + V2 - V3 - V4 = 0 (2.7)

Четыре уравнения 2.4 - 2.7 дают точно такое же соотношение между четырьмя напряжениями: все четыре могут быть перегруппированы, чтобы показать, что:

V1 + V2 = V3 + V4 (2.8)

Как и в случае с законом тока , рекомендуется быть последовательным в выборе направления и полярности при применении закона Кирхгофа, чтобы уменьшить вероятность ошибки при записи алгебраической суммы.

Рабочий пример 2.3

Рассчитайте напряжение V

Решение

С произвольным выбором хода по часовой стрелке вокруг контура и счетом со стрелкой напряжения как положительным вкладом в алгебраическую сумму, закон Кирхгофа для напряжения:

-6 - (-10) + V +7 = 0,

, поэтому V = -11 V

Рабочий пример 2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *