Решение задач на применение законов Кирхгофа | Статья по физике (11 класс) по теме:
Решение задач на применение законов Кирхгофа
Некрасов Александр Григорьевич, учитель физики
Статья относится к разделу : преподавание физики
Цели:
- Образовательная. Формировать понятие электрической цепи и ее элементов. Научится применять законы Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей. Развивающая. Совершенствовать умения, активизировать познавательную деятельность учащихся через решение задач на расчет сложных электрических цепей.
- Воспитательная. Прививать культуру умственного труда, аккуратность, умение анализировать, видеть практическую ценность получаемых знаний, продолжить формирование коммуникативных умений.
Вид урока: практикум по решению задач.
Законы Кирхгофа применяются для расчета сложных электрических цепей.
Первый закон Кирхгофа: k=1nIk=0.
Второй закон Кирхгофа: k=1nuk=kEk.
Напомним правила знаков. Направления токов в узле выбирается произвольно. Притекающие в узел токи будем брать со знаком плюс, а вытекающие из узла – со знаком минус. Выбираем положительное направление обхода контура (обозначено овалом со стрелкой). Выбираем направление напряжения по направлению тока. Если «направление» напряжения совпадает с направлением обхода контура, то напряжение берется со знаком плюс. В противном случае – со знаком минус. Обозначим стрелкой над ЭДС направление возрастания потенциала (от катода к аноду). Если эта стрелка совпадает с направлением обхода контура, то E берется со знаком плюс, если нет, то с минусом.
Рассмотрим стандартную задачу на расчет сложной электрической цепи постоянного тока.
Задача1. Даны две батареи аккумуляторов с ЭДС E1=10 B с внутренним сопротивлением r1=1 Ом, E2=8 В и r2=2 Ом. Реостат имеет сопротивление R=6 Ом. Элементы цепи соединены по схеме, показанной на рисунке. Найти силу тока в батареях и реостате.
Дано:
E1=10 B
E2=8 B
r1=1 Ом
r2=2 Ом
R=6 Ом
Найти: I1, I2, I3=?
Решение:
Запишем уравнения законов Кирхгофа в соответствии с обозначениями на рисунке.
I1+I2-I3=0 u1-u2+0=E1-E20+u2+u3=E2
Так как u1=I1r1, u2=I2r2, u3=I3R, то
I1 +I2-I3=0 I1r1-I2r2+0=E1-E20+I2r2+I3R=E2.
Подставим в полученную систему данные, получим:
I1+I2-I3=0
1I1-2I2-I3=2
0+2I2+6I3=8 .
Решим эту систему по правилу Крамера. Найдем определитель системы:
∆=11-11-20026=1∙-2026-1∙1006-1∙1-206=-20.
Дополнительные определители для неизвестных:
∆I1=01-12-20826=0∙-2026-1∙2026-1∙2-282=-12-4+16=-32.
∆I2=10-1120086=1∙2086-0∙1006-1∙1-208=12-8=4.
∆I3=1101-22028=1∙-2286-1∙1208+0∙1-202=-20-8=-28.
Искомые значения токов определим по формуле Ik=∆Ik∆:
I1=3220=1,6 A, I2=-420=- 0,2 A, I3=2820=1,4 A.
Как видно, пришлось находить определители третьего порядка. Напомним один из способов их определения. Схема расчета определителя третьего порядка:
∆=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11∙a22a23a32a33-a12∙a21a23a31a33+a13∙a21a22a31a32=
=a11a22a33-a32a23-a12a21a33-a31a23+a13(a21a32-a31a22).
Рассмотрим другие примеры.
Задача2. Резисторы с сопротивлениями R1=R2=1 Ом и R3=2 Ом и конденсаторы емкостью C1=2 нФ, C2=3 нФ включены в цепь с ЭДС E=10 B (смотри рисунок), Внутренним сопротивлением которого можно пренебречь. Определите заряды, установившиеся на конденсаторах [1].
Дано:
R1=R2=1 Ом
R3=2 Ом
E=10 B
C1=2 нФ
С2=3 нФ
q1=?; q2=?.
Решение:
Через конденсаторы постоянный ток не протекает. Тогда ток, который протекает по цепи, равен
I0=ER1+R2+R3=10 B4 Ом=2,5 А. Этот ток протекает через все резисторы. Чтобы определить заряды на конденсаторах, необходимо знать напряжения на них. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Поскольку всего два неизвестных, то и уравнений составим два.
u2+uC2=Eu2+u3+uC1=0.
Напряжение u2=I0R2=2,5∙1=2,5 B.
Из первого уравнения находим uC2=E-u2=7,5 B. Найдем напряжение на R3: u3=I0R3=2,5∙2 = 5 B. Из второго уравнения uC1=-u2-u3=
=-7,5 B. Заряды определим по формуле q=Cu:
q1=C1uC1=2∙7,5=15 нКл
q2=C2uC2=3∙7,5=22,5 нКл. Это и есть ответы.
Приведем еще одну задачу в качестве примера применения законов Кирхгофа.
Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, ЭДС батареи E, сопротивление резистора R, индуктивности сверхпроводящих катушек — L1 и L2, причем L1>L2. Сначала замыкают ключ К1, а через некоторое ключ К2. Известно, что установившиеся токи через катушки L1 и L2 оказались одинаковыми. Определите силу тока, протекающего через резистор R в момент замыкания ключа К2. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь [2].
Решение этой задачи, как и предыдущей, в указанных ссылках не приведено. Для решения также воспользуемся законами Кирхгофа.
Составим второе уравнение Кирхгофа при замкнутом ключе К1. Так как катушки индуктивности сверхпроводящие, то их омическое сопротивление равно нулю.
Пусть в установившемся режиме сила тока равна I0. Имеем
uR+uL1=E. (1)
В некоторый момент времени сила тока равна i1. Перепишем (1) в виде:
i1R+L1∆i1∆t=E.
При замыкании ключа К2 соответствующие уравнения примут вид
uR+uL2=E и i2R+L2∆i2∆t=E.
Здесь необходимо отметить, что после установившегося режима ∆i∆t=0. Только в момент включения ключей эти производные отличны от нуля. Пусть ток i и есть тот ток, который изменяется в момент включения ключа К2. По правилу Ленца, этот ток будет направлен навстречу внешнему току I0=ER. А это значит, что в момент включения ключа К2 ток через резистор R уменьшится. Составим еще одно уравнение: uL2-uL1=0, или uL1=uL2. Так как uL=L∆I∆t, то L1∆I1∆t=
=L2∆I2∆t. В установившемся режиме сила тока I0. По условию задачи силы тока в катушках одинаковые, т. е. по I02 после установления при замыкании ключа К 2. Изменения ∆I1=i-I02, ∆I2=I02. Имеем L1i-L1I02=L2I22, откуда i=I02L1L1+L2. Ток, который протечет через резистор в момент включения ключа К 2 равен IR=I0-I02L1L1+L2=
=I0L1-L22L1.
Так как I0=ER, тогда окончательно получим IR=EL1-L22RL1. По-видимому, это и будет ответом. Такого рода задачи хорошо проверяются на опыте. По крайне мере, можно зафиксировать скачок тока в резисторе и в какую сторону.
Задача4. Какой должна быть ЭДС E источника тока, чтобы напряженность электрического поля в плоском конденсаторе была равна E=2 кВ/м, если внутреннее сопротивление источника тока r=2 Ом, сопротивление резистора R=10 Ом, расстояние между пластинами конденсатора d=2 мм[3].
Для решения задачи воспользуемся вторым законом Кирхгофа для двух контуров, в которых указаны положительные направления обхода контуров.
uR+ur=E
uC-uR=0 .
Так как uR=I0R, ur=I0r, то I0=ER+r. Из второго уравнения uC=uR=ERR+r. Для плоского конденсатора uC=Ed. Тогда
E=uC(R+r)R = Ed(R+r)R. Это ответ.
Список использованной литературы.
- Москалев А. Н., Никулова Г. А..Физика. Готовимся к единому государственному экзамену. – М.: Дрофа, 2008. – 224.
- Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик, В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др. – М.: Дрофа, 2008, — 735 с.
- Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред. В. А. Макарова, М. В. Семенова, А. А. Якуты. ФИПИ. – М.: — Интеллект-Центр, 2010.-368 с.
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее: 1. Составить на основании законов Кирхгофа систему…
Контрольная работа №1
1.1 Уравнения по законам Кирхгофа.
1. Намечаем произвольно направления токов во всех ветвях (см схему)
2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Для нашей схемы с четырьмя узлами нужно составить три уравнения
— для узла А
— для узла В
— для узла С
3. выбираем произвольно направление обхода каждого контура цепи и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбрать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну ветвь не вошедшую в другие контуры.
Только при этом условии уравнения, составленые по второму закону Кирхгофа, будут независимыми друг от друга. Поэтому и контуры, выбранные с соблюдением приведенного выше условия , принято называть независимыми. Таким образом, число уравнений, составленых по второму закону Кирхгофа должно быть равно числу независимых контуров:
В этих уравнениях все ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода, записываются со знаком «+» , нправленные навстречк обходу — со знаком «-» . Как видно из данного примера, общее число уравнений, составленных по первому и второму законам кирхгофа равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.
Решив эту систему уравнений с шестью неизвестными, определим искомые токи. Если какой либо ток получился отрицательным, то это означает, что его действительное направление противоположно направлению выбранному в п.1.
Решая эту систему уравнений получим токи:
Рассмотреный метод расчета в подавляющем большинстве случаев является достаточно громоздким и потому практически нецелесообразным.
Задача практически упрощается при использовании метода контурных токов и метода узловых потенциалов, в основу которых положены уравнения Кирхгофа.
1.2 Метод контурных токов.
1.Вводим понятие фиктивных контурных токов: и выбераем произвольно направление каждого из них. Значения контурных токов должны быть равны по абсолютной величине значениям токов в несмежных ветвях, т.е.
Тогда токи во всех ветвях схемы определяются из выражений(1)
Таким образом, при использовании методом контурных токов уравнения, составвленные по первому закону Кирхгофа, обращаются в тождества, т.е. этот закон удовлетворяет при любых значениях контурных токов. Значит для решения задачи этим методом достаточно уравнений, составленых по 2-му закону Кирхгофа.
2. Составляем уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов. Для этого подставим в первое из уравнений значения токов в ветвях приведенное в уравнениях (3)
Подставив числовые данные ЭДС и сопротивлений получим:
Получим
Δ =
Так как Δ не равен 0, то система имеет единственное решение.
Вычислим вспомогательные определители
=
=
=
Воспользовавшись формулами Крамера, получим
Значения токов в ветвях определяется из выражения
Метод узловых потенциалов
При известных потенциалов отдельных узолов ток в каждой ветви можно определить по закону Ома:
Из этих соотношений видно, что токи в ветвях зависят от разностей потенциалов узлов, к которым ветви присоединены. Это позволяет задать потенциалу одного из узлов любое числовое значение.
Порядок расчета рассматриваемой цепи следующий.
Полагаем потенциал узла схемы (нпример узел а) равен нулю:
Для всех остальных узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выразив значения токов из верхней системы уравнений. В этом случае уравнение из узла а примет вид:
Определим численные значения проводимостей и подставим их в последнюю систему уравнений:
тогда
Определяем токи в ветвях
Как видно значения токов при методе контурных токов и при методе узловых потенциалов не отличаются.
1.4 Метод активного двухполюсника.
Этот метод применяется для определения тока в одной ветви.
1. Разрываем ветвь, ток в которой нужно определить, и подсчитываем напряжение между точками разрыва (напряжение холостого хода). Полученная схема изображена на рисунке.
Для нахождения найдем токи в ветвях этой схемы методом контурных токов.
для этого выберем произвольно направления токов в ветвях схемы и направления контурных токов
Получим токи:
Определим напряжение холостого хода
При известных величинах получаем:
Внутренне сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительном выводов пассивного двухполюсника.
Входное сопротивление двухполюсника относительно наружных выводов определяется при устранении из схемы активного двухполюсника всех источников.
Перерисуем данную схему заменив соединение треугольником на эквивалентное сопротивление звездой.
Тогда
Внетреннее сопротивление эквивалентного источника
Окончательная расчетная схема имеет вид одноконурной цепи, включающей эквивалентный источник с ЭДС и внутренним сопротивлением заменяющим активный двухполюсник
тогда по закону Ома:
Видно, что полученное значение хорошо совпадает со значением тока, полученным ранее.
1.5 Потенциальная диаграмма.
Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала вдоль амкнутого контура.
Отложим по оси абцисс все сопротивления контура. двигаяс от точки а, потенциал которой равен нулю. Перемещаясь вдоль этого контура, подсчитываем потенциалы этих точек.
Значения найденных потенциалов с достаточной точностью совпадают с найденными по методу узловых потенциалов
1.6 Баланс мощностей
Мощность, генерируемая источниками
Суммарная мощность приемников
position: absolute; top: 5852.25pt; left: 222pt; width: 12.75pt;
Проблемы юридической практики Кирхгофа: AP Physics C
Это наиболее полная и актуальная статья по проблемам закона Кирхгофа. Практикуя эти вопросы, вы сможете легко решить любую задачу из этой темы, которая появится на экзамене AP Physics C.
Задачи на закон Кирхгофа
Задача (1): Рассчитайте ток в следующей цепи, используя правило Кирхгофа для контура.
Решение : Хотя мы можем использовать закон Ома и концепцию комбинированных резисторов, чтобы найти ток в следующей цепи, цель здесь состоит в том, чтобы найти его, используя правило петли Кирхгофа.
Согласно этому правилу алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура должна равняться нулю, т. е. $\Sigma V_i=0$, где $V_i$ — потенциал на каждом элементе контура.
Во-первых, рассмотрим произвольное направление тока, скажем, от положительной клеммы через цепь против часовой стрелки. Правила цикла Кирхгофа:
(a) Когда вы пересекаете резистор в направлении предполагаемого тока, тогда $V=-IR$.
(b) Если вы переместите аккумулятор от отрицательной ($-$) клеммы к положительной ($+$), изменение потенциала равно $V=\mathcal E$, где $\mathcal E$ — ЭДС батареи. В случае перехода от $+$ к $-$ терминалам получаем $V=-\mathcal E$.
Помня об этих правилах, мы проходим по цепи из точки $a$ и обратно в нее против часовой стрелки.
При решении всех вопросов Кирхгофа эта точка выбирается произвольно вдоль окружности, и мы перемещаемся по окружности в произвольном направлении. \begin{gather*} \Sigma V_i=0 \\\\ -V_{10}-V_{14}-V_2+V_{\mathcal E}=0 \\\\ -iR_{10}-iR_{14} -ir_2+\mathcal E=0 \\\\ -i(10+14+2)+13=0 \\\\ \Rightarrow i=\frac{13}{26}=\boxed{0.5\,\rm A }\end{gather*} Мы также можем проверить этот результат, используя концепцию комбинированных резисторов.
Задача (2): Часть схемы показана ниже. Каковы величина и направление тока в проводе справа от соединения согласно правилу соединения Кирхгофа?
Решение : Другое правило закона Кирхгофа относится к правилу соединения. Согласно этому правилу алгебраическая сумма токов, входящих и исходящих из данного узла, должна равняться нулю, т. е. $\Sigma I=0$.
Во всех цепях соединение определяется как точка, в которой встречаются три или более проводов (или проводников).
Чтобы использовать это правило, мы принимаем следующее соглашение:
Токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие из узла — отрицательными.
В этой задаче знаки «плюс» и «минус» в схеме указывают на потенциальную ситуацию на резисторах. $+$ показывает более высокий потенциал.
Мы знаем, что ток течет от более высокого потенциала к более низкому. Таким образом, правильное направление тока через каждый резистор показано на рисунке ниже.
Применение правила Кирхгофа для соединения и определение неизвестного тока $i_X$ справа от соединения дает нам: \begin{gather*} \Sigma I=0 \\\\ I_{in}+I_{ out}=0 \\\\ \frac{V_8}{R_4}+\left(-\frac{V_{10}}{R_2}\right)+i_X=0 \\\\ 2-5+i_X=0 \\\\ \Rightarrow \boxed{i_X=3\,\rm A} \end{gather*} Обратите внимание, что вывод тока с использованием этого правила дает нам как величину, так и направление тока в этой ветви схема.
Здесь ток получается как положительное значение, указывающее ток, протекающий в соединение слева.
Задача (3): Каковы величина и направление тока через резистор $15-\rm \Omega$ согласно петлевому правилу Кирхгофа?
Решение : Эта задача Кирхгофа о петле содержит одноконтурную цепь, в которой две батареи противостоят друг другу.
Отнеситесь внимательно к решению этого вопроса.
По заданным значениям ЭДС можно найти направление $i$ в цепи. Поскольку $\mathcal E_1$ больше, чем $\mathcal E_2$, батарея $1$ управляет направлением тока в цепи. Таким образом, ток идет по часовой стрелке.
Начнем с точки $a$ и применим правило цикла по часовой стрелке, зная, что пересечение резистора в направлении $i$ дает $V_R=-iR$ и пересечение от $-$ до $+$ клемм a батарея дает $V=\mathcal E$. \begin{gather*} \Sigma V=0 \\\\ +\mathcal E_1-iR_{15}+\mathcal E_2=0 \\\\ 10-i(15)+5=0 \\\\ \Rightarrow \boxed{i=1\,\rm A}\end{gather*} Положительный знак для $i$ означает, что предполагаемый ток верен.
Задача (4): Какова разность потенциалов $\Delta V$ на неуказанном элементе цепи, показанном на схеме ниже? Увеличивается или уменьшается потенциал через этот компонент при перемещении в направлении предполагаемого тока?
Решение : Правило Кирхгофа говорит нам, что сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура в цепи должна быть равна нулю, согласно закону сохранения энергии, т.
е. $\Sigma V_i=0$ , где $V_i$ — изменение или разность потенциалов на элементе цепи.
Чтобы использовать это правило, прежде всего, мы должны произвольно задать направление тока через цепь. Тогда
(a) Перемещение резистора в направлении предполагаемого тока приводит к уменьшению изменения потенциала на нем на $\Delta V_R=-IR$.
(б) Перемещение источника ЭДС $\mathcal E$ (батареи) от отрицательного вывода к положительному дает увеличение изменения потенциала на $\Delta V_{\mathcal E}=+\mathcal E$.
(c) Перемещение источника ЭДС $\mathcal E$ от терминала $+$ к терминалу $-$ приводит к уменьшению изменения потенциала на $\Delta V_{\mathcal E}=-\mathcal E$.
С помощью этих правил мы начинаем в произвольной точке, скажем, в левом верхнем углу, и двигаемся по цепи в назначенном направлении для тока. \begin{gather*} \Delta V_i=0 \\ V_{\mathcal E_1}+V_{\mathcal E_2}+V_{R_1}+V_X+V_{R_2}=0 \\ -\mathcal E_1+\mathcal E_2 — V_1+V_x-V_2=0\-1,5+9-8+V_x-4=0 \\ \Rightarrow \boxed{V_x=4.
5\,\rm V} \end{gather*}
Проблема (5): Батареи в приведенной ниже схеме имеют пренебрежимо малую внутреннюю емкость. сопротивления. Найти ток через (а) резистор $30-\rm \Omega$; (b) $6-\rm V$ батарея; в) скорость рассеяния в резисторе $30-\rm\Omega$.
Решение : Это многоконтурная схема, состоящая из трех ветвей: левая ветвь $abd$, правая ветвь $cbd$ и центральная ветвь $bd$. Чтобы решить такие задачи закона Кирхгофа, мы должны одновременно применять правила петли и соединения и решать соответствующие уравнения.
Из полярности батареи $1$, $\mathcal E_1=12\,\rm V$, определяется правильное направление тока в левой ветви от $a$ до $b$. Точно так же мы можем найти ток в правой ветви от $c$ до $b$.
В точке $b$ правило соединения требует, чтобы в проводе $bd$ ток был от $b$ до $d$, потому что есть два других входящих тока и должен быть хотя бы один исходящий поток.
В результате на стыке $b$ имеем \begin{gather*} \Sigma I=0 \\ i_1+i_2-i_3=0 \\ \Rightarrow \boxed{i_1+i_2=i_3} \end{gather* } Напомним, что входящие токи, $i_1$ и $i_2$ считаются положительными, а исходящие токи, $i_3$, отрицательными.
В приведенном выше уравнении есть три неизвестных тока, поэтому нам нужно иметь три других независимых уравнения, чтобы найти их. Начиная с точки $a$, обход схемы по часовой стрелке и применение правила цикла к левому циклу дает нам \begin{gather*} -i_3 R_{30}+\mathcal E_1=0 \\\\ -i_3 (30)+ 12=0 \\\\ \Rightarrow \boxed{i_3=0.4\,\rm A} \end{gather*} Аналогично, начиная с $c$ и двигаясь против часовой стрелки, правый цикл дает \begin{gather*} -i_3 R_ {30}+\mathcal E_2-i_2 R_{10}=0 \\\\ -(0,4)(30)+6-i_2 (10)=0 \\\\ \Rightarrow \boxed{i_2=-0,6\, \rm A} \end{gather*} Отрицательное значение тока в задачах на закон Кирхгофа указывает на то, что предполагаемое направление тока было выбрано неправильно. Следовательно, правильное направление для $i_2$ — от $b$ до $c$.
Теперь используйте уравнение, полученное с помощью приведенного выше правила соединения, чтобы найти ток в проводе $bd$ \begin{gather*} i_1+i_2=i_3 \\\\ i_1+(-0,6)=0,4 \\\\ \Rightarrow \ boxed{i_1=1.0\,\rm A} \end{gather*} Имейте в виду, что мы не исправим отрицательный знак для текущего $i_2$ до конца расчета, когда все токи будут найдены. В качестве последнего шага мы меняем знак этих ошибочно полученных токов. Следовательно, \[\boxed{i_2=0,6\,\rm A}\]
(a) Ток в резисторе $30-\rm \Omega$ равен $i_3=0,4\,\rm A$.
(b) В предыдущей части мы обнаружили, что ток $i_2$ в правой ветви вращается по часовой стрелке. Следовательно, ток через батарею $6-\rm V$ составляет $i_2=0,6\,\rm A$ от положительной клеммы к отрицательной клемме внутри батареи.
Это странное направление тока в правом контуре, содержащем батарею $2$, от клеммы $-$ к клемме $+$ в проводе (вне батареи) говорит нам о том, что эта батарея должна быть заряжена другой батареей $\mathcal Е_1$.
92 \\\\ &=\boxed{4.8\,\rm W}\end{align*} Временная норма энергии называется мощностью, единицей СИ является ватт.
Задача (6): В приведенной ниже схеме идеальные батареи имеют ЭДС $\mathcal E_1=100\,\rm V$ и $\mathcal E_2=50\,\rm V$, а сопротивления равны $ R_1=5\,\rm \Omega$ и $R_2=8\,\rm \Omega$. Если точка $P$ имеет потенциал $75\,\rm V$, то каков он в точке $Q$?
Решение : Эта одноконтурная схема содержит две батареи, которые противостоят друг другу, что означает, что одни и те же клеммы соединены друг с другом и посылают ток в противоположных направлениях в резисторе.
Мы предполагаем, что ток обеспечивается большей батареей в направлении против часовой стрелки. Согласно правилу петли Кирхгофа, сумма изменений потенциала вокруг петли должна быть равна нулю, т. е. $\Sigma V=0$. Начнем с точки $a$ и пройдем по цепи против часовой стрелки обратно в начальную точку $a$ (потому что мы хотим, чтобы замкнутый контур применял правило цикла).
Напомним из задач закона Ома, что $\Delta V=IR$. Применение законов Кирхгофа и Ома дает \begin{gather*} \Sigma V=0 \\\\ -iR_5-\mathcal E_2-iR_3+\mathcal E_1=0 \\\\ -i(5)-50-i(3) +100=0 \\\\ \Rightarrow \boxed{i=12.5 \,\rm A} \end{gather*} Положительный знак для тока указывает, что предполагаемое направление для этого тока правильное. В качестве точки обучения мы хотим пройти по цепи в направлении, противоположном нашему предполагаемому току, двигаясь по часовой стрелке от точки $a$ \begin{gather*} \Sigma V=0 \\\\ -\mathcal E_1+iR_3+\mathcal E_2+iR_5=0 \\\\ -100+i(3)+50+i(5)=0 \\\\ \Стрелка вправо \boxed{i=12.5 \,\rm A} \end{gather*} Снова , тот же результат. Это говорит нам о том, что обход цепи по часовой стрелке или против часовой стрелки является произвольным, но как только вы это сделаете, вы должны соблюдать соглашения о знаках плюс и минус.
В этой части задаются изменения потенциала между двумя произвольными точками цепи. В этих ситуациях мы применяем петлевой закон Кирхгофа, но не приравниваем его к нулю.
Начиная с точки $P$ и произвольно перемещаясь по цепи против часовой стрелки, найдите изменения потенциала. Находим \begin{gather*} V_P-\mathcal E_2-iR_3=V_Q \\ 100-50-(12.5)(3)=V_Q \\ \Rightarrow \boxed{V_Q=12.5\,\rm V} \end{ collect*} Это говорит нам о том, что потенциал в точке $Q$ на $10\,\rm V$ выше, чем потенциал в точке $P$.
Задача (7): Какова разность потенциалов между точками $a$ и $b$ в следующей цепи? Каждый резистор имеет $R=150\,\rm \Omega$, а каждая идеальная батарея — $9\,\rm V$.
Решение : Прежде всего, найдите силу тока в цепи. Мы можем найти его, используя правило цикла Кирхгофа вокруг цикла, или использовать стандартную формулу ниже (которая получается путем применения правила цикла) \[i=\frac{\mathcal E_1+\mathcal E_2}{R_1+R_2+\cdots}\] можно использовать эту формулу, если есть одноконтурная цепь, содержащая две батареи с противоположными клеммами, соединенными друг с другом.
Проверьте эту формулу, написав правило цикла для этой схемы. Таким образом, \[i=\frac{9+9}{150+150+150}=0,04\,\rm A\] Чтобы найти разность потенциалов между двумя заданными точками, начните с одной точки, скажем, $a$, просуммируйте изменения потенциала на каждом компоненте цепи в соответствии с правила цикла и установите его в конечную точку, здесь $b$.
Здесь правильный ток в цепи течет против часовой стрелки, начиная с положительной клеммы одной батареи и заканчивая отрицательной клеммой другой батареи. Теперь мы перемещаемся по цепи в направлении тока. \begin{gather*} V_a-iR+\mathcal E_1=V_b \\ V_a-(0,04)(150)+9=V_b \\ \Rightarrow \boxed{V_a-V_b=-3\,\rm V} \end{gather*} Это говорит нам о том, что потенциал в точке $a$ на $3\,\rm V$ ниже чем потенциал в точке $b$.
Задача (8): Каково напряжение на клеммах каждой батареи в схеме ниже?
Решение : один из распространенных терминов, встречающихся в задачах по правилу Кирхгофа экзамена AP по физике C, — это нахождение напряжения на клеммах батареи.
Каждая реальная батарея в электрической цепи имеет небольшое внутреннее сопротивление, обозначаемое $r$. С другой стороны, работа, которую батарея выполняет при единичном заряде, чтобы переместить ее от клеммы с низким потенциалом ($-$) к клемме с высоким потенциалом ($+$), называется ЭДС ($\mathcal E$). этой батареи.
Когда заряды перемещаются от отрицательного к положительному выводу внутри батареи, они приобретают потенциал $\mathcal E$, но теряют потенциал $-ir$ из-за наличия внутреннего сопротивления. В результате чистая разность потенциалов на аккумуляторе от внешнего пользователя определяется как \[\Delta V_{bat}=\mathcal E-ir\], где $i$ — ток через аккумулятор.
Теперь вернемся к первоначальному вопросу. Чтобы найти напряжение на клеммах каждой батареи, необходимо сначала определить ток, протекающий через нее. Мы хотим найти величину и направление тока в этой цепи без учета большей или меньшей ЭДС батарей.
Для этой цепи вслепую выберите направление тока и примените петлевой закон Кирхгофа.
Начните с точки $a$, пройдите круг по часовой стрелке и вернитесь в исходную точку $a$. Правило цикла вокруг этого цикла дает \begin{gather*} \Sigma V=0 \\\\ -iR-\mathcal E_1-ir_1-ir_2+\mathcal E_2=0 \\\\ -i(R+r_1+r_2) -\mathcal E_1+\mathcal E_2=0 \\\\ \Rightarrow i=\frac{\mathcal E_2-\mathcal E_1}{R+r_1+r_2} \end{gather*} Это общая формула для тока в одноконтурная схема, содержащая две батареи с противоположными клеммами, которую можно использовать для простоты на экзамене AP Physics C.
Подставив числовые значения в это, получите \begin{align*} i&=\frac{\mathcal E_2-\mathcal E_1}{R+r_1+r_2} \\\\ &=\frac{9-12}{3.5 +2+0,5} \\\\ &=\boxed{-0,5\,\rm A} \end{align*} Напомним, что отрицательное значение тока, полученное во всех задачах по закону Кирхгофа, указывает на то, что изначально выбранное направление тока было неправильный. Его величина правильная.
Таким образом, ток $0,5-\rm А$ проходит по цепи против часовой стрелки.
Напряжение на клеммах, $\Delta V=\mathcal E-ir$, для каждой батареи рассчитывается следующим образом: \begin{align*} \Delta V_1&=\mathcal E_1-ir_1 \\ &=12-(0,5)( 2) \\&=\boxed{11\,\rm V} \\\\ \Delta V_2 &=\mathcal E_2-ir_2 \\ &=9-(0,5)(0,5) \\ &=\boxed{8,75\,\rm V} \end{align*} Это реальные значения, которые можно измерить с помощью вольтметра, подключенного к клеммам аккумулятора.
Задача (9): Какова величина ЭДС $\mathcal E_1$ и $\mathcal E_2$ в схеме, показанной ниже?
Решение . В этой задаче известны два тока в соединении $a$, как показано на рисунке ниже.
Выберите произвольное направление тока в проводе $ac$ слева в соединение $a$. Применяя правило соединения и находя $i_3$, получаем \begin{gather*} I_{in}=I_{out} \\ i_1+i_3=i_2 \\ 1+i_3=2 \\ \Rightarrow \boxed{i_3= 1\,\rm A} \end{gather*} Таким образом, ток $1-\rm A$ течет из $c$ в $a$ в средней ветви через $\mathcal E_1$.
Начиная с произвольной точки, скажем $b$, и произвольно проходя верхний цикл в направлении против часовой стрелки, что дает \begin{gather*} -i_1 R_6 +\mathcal E-i_1 R_1+i_3 R_5-\mathcal E_1=0 \\ -i_1 (R_6+R_1)+\mathcal E+i_3 R_5-\mathcal E_1=0 \\ (-1)(6+1)+20+(1)(5)-\mathcal E_1=0 \\ \Rightarrow \boxed{\mathcal E_1=18\,\rm V} \end{gather*} Аналогичным образом начните с произвольной точки, скажем, $b$, пройдите большой цикл против часовой стрелки и примените правило цикла, дающее \begin{gather*} -i_1 R_6 +\mathcal E-i_1 R_1-\mathcal E_2- i_2 R_3=0 \\ -i_1 (R_6+R_1)+\mathcal E-\mathcal E_2-i_2 R_3=0 \\ -(1)(6+1)+20-\mathcal E_2-(2)(3)=0 \\ \Стрелка вправо \boxed{7\,\rm V} \end{gather*}
Задача (10): Найдите величины и направления токов через каждый резистор $R_1$ и $R_2$ в схеме, показанной ниже.
Батарейки — идеальные батарейки.
Решение : Идеальная батарея означает, что у нее нет внутреннего сопротивления, $r=0$. Прежде всего, выберите произвольно соединение, скажем, $c$, и назначьте ему произвольные входящие и исходящие токи, как показано на рисунке ниже. Обратите внимание, что все токи не могут быть просто входящими или исходящими.
Здесь мы выбрали два входящих и один исходящий ток. Теперь начните с произвольной точки схемы, скажем, $a$, произвольно пройдите верхний цикл в направлении против часовой стрелки и примените правило цикла, получив \begin{gather*} \Sigma V=0 \\ -i_1 R_1+\mathcal E_1-i_2 R_2=0 \\ -25i_1+12-15i_2=0 \end{gather*} Повторите описанный выше процесс для нижней петли. Начните с произвольной точки, скажем, $c$, и произвольно пройдите цикл по часовой стрелке, получив \begin{gather*} -i_2 R_2 -\mathcal E_2=0 \\ -15i_2-9=0 \\ \Rightarrow i_2=-0.6\,\rm A \end{gather*} Знак минус говорит нам, что наш произвольный выбор направления для $i_2$ неверен.
Как важное замечание, мы не будем его исправлять до окончания расчета всех токов.
Подстановка его в уравнение для верхнего цикла дает текущий $i_1$ как \begin{gather*} -25i_1+12-15i_2=0 \\ -25i_1+12-15(-0.6)=0 \\ \Rightarrow \boxed{i_1=0.84\,\rm A} \end{gather*} Положительный ответ, полученный для $i_1$, означает, что произвольно выбранное направление для этого тока верно. Теперь, в качестве последнего шага, мы исправляем знак $i_2$ и меняем его направление влево в этом проводе. Следовательно, $\boxed{i_2=0,6\,\rm A}$.
Более короткий способ найти $i_1$: Произвольно начать с точки $a$ и произвольно пройти большую петлю в направлении против часовой стрелки. Это дает нам \begin{gather*} \Sigma V=0 \\ -i_1 R_1-\mathcal E_1+\mathcal E_2=0 \\ -25i_1+12+9=0 \\ \Rightarrow \boxed{i_2=0.84\, \rm A} \end{gather*}
Резюме:
В этой статье мы попытались решить некоторые задачи на законы Кирхгофа о петлях и соединениях.
Законы Кирхгофа:
Правило соединения: Алгебраическая сумма входящего и исходящего токов в соединении должна быть равна нулю, т. е. $\Sigma I=0$. Токи, втекающие в соединение, считаются положительными, а те, которые выходят из соединения, — отрицательными. Это правило основано на сохранении электрического заряда.
Закон петли: Алгебраическая сумма потенциальных изменений вокруг любой петли должна быть равна нулю, т. е. $\Sigma V=0$. Это правило основано на законе сохранения энергии.
Автор : д-р Али Немати
Опубликовано : 26 февраля 2023
Законы Кирхгофа: применение и ограничения, решенные проблемы
- Автор Saurav_C
- Последнее изменение 13-01-2023
Законы Кирхгофа помогают в построении сложных цепей, содержащих многочисленные электрические компоненты, встречающиеся в повседневной жизни. Это также помогает при анализе любых электрических цепей, например, какой ток протекает в разных участках электрической цепи? Какова была величина потерь напряжения в разных участках сети? Каково направление тока в каждой ветви цепи? В этой статье мы рассмотрим законы тока и напряжения Кирхгофа и то, как они используются в электрических приборах для расчета протекающего тока и падения напряжения в различных областях сложных цепей.
Читайте дальше, чтобы узнать больше.
Кирхгоф Закон : Густав Роберт Кирхгоф был немецким физиком, родившимся в России. Его работа заключалась в исследовании электропроводности. В \(1845 г.\) он сформулировал два закона, известных как
Примечание :- Текущий закон Кирхгофа поддерживает закон сохранения 9n {{I_k}} = 0\)
Где \(n\) — общее количество всех ветвей at с токами, текущими к узлу или от него.
т.е. \({I_{{\rm{(выход) }}}} + {I_{{\rm{(вход) }}}} = 0……..\left( 1 \right)\)
Давайте разберемся с этим на примере. Сосредоточьтесь на узле \(A\) из сети резисторов. К этому узлу подключены четыре ветви. Есть два входящих тока с именами \({i_1}\) и \({i_2}\) и два исходящих тока с именами \({i_3}\) и \({i_4}.\) Теперь, согласно токовому закону Кирхгофа, сумма полных входящих и исходящих токов в узле \(A\) будет равна нулю. 9{{\bf{nd}}}}\) Закон: — Он также известен как Закон Кирхгофа о напряжении ( KVL) , и он утверждает, что » падение напряжения вокруг контура равно к алгебраической сумме падения напряжения на каждом электрическом компоненте, подключенном к одному и тому же контуру для любой замкнутой сети, а также равно нулю».
Примечание:-
9n {{V_k}} = 0\)Здесь \(n\) — общее количество электрических компонентов в контуре.
т.е. \({V_{AB}} + {V_{BC}} + {V_{CD}} + {V_{DA}} = 0\)
Как применять законы Кирхгофа?При применении KCL мы должны рассматривать токи, выходящие из соединения, как отрицательные, а токи, входящие в соединение, следует принимать как положительные по знаку.
Также при применении КВЛ сохраняем такое же направление против часовой стрелки или по часовой стрелке от точки начала в петле и учитываем все падения напряжения как отрицательное и увеличивается как положительное . Это приводит нас к начальной точке, где окончательная сумма всех падений напряжения равна нулю.
Условные обозначения:
- Увеличение разности потенциалов или \({\rm{ЭДС}}\) от меньшего к большему всегда считается положительным в контуре.
- Уменьшение разности потенциалов или \({\rm{ЭДС}}\) от большего к меньшему всегда считается отрицательным в контуре.
- Падение напряжения на резисторе считается отрицательным, если направление замыкания совпадает с направлением тока, протекающего через цепь.
- Для определения величин протекания тока и падения напряжения в различных частях сложной цепи.
- Помогает узнать направление тока в различных контурах цепей.
- Законы Кирхгофа полезны для понимания передачи энергии через электрическую цепь.
- Основным недостатком закона Кирхгофа является то, что он предполагает отсутствие флуктуирующего магнитного поля в области контура, которое может вызвать изменение магнитного потока и генерацию \({\rm{ ЭДС}}\) в цепи. Это может вызвать ошибку при расчете высокочастотных цепей \({\rm{AC}}\).
- Кирхгоф также пренебрег влиянием электрического поля, создаваемого другими частями цепи.
- \({\rm{KCL}}\) применимо в предположении, что ток течет только в проводниках и проводах. В то время как в высокочастотных цепях, где паразитную емкость больше нельзя игнорировать. В таких случаях ток может начать течь в разомкнутой цепи, потому что в этих случаях проводники или провода действуют как линии передачи.
В то время как в высокочастотных цепях, где паразитную емкость больше нельзя игнорировать. В таких случаях ток может начать течь в разомкнутой цепи, потому что в этих случаях проводники или провода действуют как линии передачи.Q.1. Из данной схемы на изображении ниже найдите значение \(I\) ?
Ответ: Применим первый закон Кирхгофа к точке \(P\) данной цепи.
Давайте рассмотрим соглашение о знаках, поскольку стрелки, указывающие в сторону \(P\), положительны, а в сторону от \(P\) — отрицательны.
Следовательно, имеем:
\(0,2\,{\rm{A}} – 0,4\,{\rm{A}} + 0,6\,{\rm{A}} – 0,5\,{\rm{A}} }} + 0,7\,{\rm{A}} – I = 0\)
\( \Стрелка вправо 1,5\,{\rm{A}} — 0,9\,{\rm{A}} — I = 0\)
\( \Стрелка вправо 0,6\,{\rm{A}} — I = 0\)
\( \Стрелка вправо I = 0,6\,\rm{A}\)
Q.2. Используйте правила Кирхгофа, чтобы найти значение неизвестного сопротивления \(R\) в приведенной ниже цепи, такое, что через \(4\) Ом \(\left( \) не протекает ток Омега \справа)\) сопротивление.
Также найдите разность потенциалов между точками \(A\) и \(D.\)
Ответ: Так как в вопросе указано, что ток через \(4\,\Омега\) резистор не течет , поэтому весь ток, протекающий по \(FE\), будет течь по \(ED\) (по первому закону Кирхгофа).
Тогда распределение тока показано в схеме ниже
Теперь, применяя второй закон Кирхгофа в сетке \(AFEBA,\)
Мы имеем:- \( – 1 \times I – 1 \times I – 4 \times 0 – 6 + 9 = 0\)
\(\Стрелка вправо \,\,\, – 2I + 3 = 0\) 9{{\rm{nd}}}}\) закон в сетке \(AFDCA,\)
Имеем: \( – 1 \times I – 1 \times I – I \times R – 3 + 9 = 0\)
\(\Стрелка вправо\,\,\, – 2I – IR + 6 = 0\)
\( \Стрелка вправо 2I + IR = 6……..\влево( 2 \вправо)\)
Из уравнений \(\ влево( 1 \вправо)\) и \(\влево( 2 \вправо),\) получаем
\( \стрелка вправо \влево( {2 \times \frac{3}{2}} \right) + \frac {3}{2}R = 6\)
\( \Rightarrow R = 2\,\Omega \)
Опять же, для разности потенциалов между \(A\) и \(D\) вместе с AFD,
Мы имеем :- \({V_A} – \frac{3}{2} \times 1 – \frac{3}{2} \times 1 = {V_D}\)
\( \Rightarrow {V_A} – {V_D} = 3\,\rm{V}\)
Резюме
Законы Кирхгофа важны для анализа цепей.
У нас есть необходимый инструмент для изучения цепей с использованием этих принципов и уравнений для отдельных компонентов (резистора, конденсатора и катушки индуктивности).
- Густав Кирхгоф дал лучшее понимание решения как простых, так и сложных схем и сетей.
- Первый закон Кирхгофа гласит, что полный ток, который входит в узел или соединение, равен полному току или заряду, выходящему из узла. Он основан на 9n {{V_k}} = 0\)
4. Закон Кирхгофа не подходит для высокочастотных \({\rm{AC}}\) цепей.
Часто задаваемые вопросы о законах КирхгофаQ.1. Что такое правило соединения и петли?
Ответ: Правило соединения, также известное как закон тока Кирхгофа KCL, гласит, что в любом соединении сумма входящих токов равна сумме выходящих токов.
Правило петли Кирхгофа, также известное как закон напряжения Кирхгофа KVL, утверждает, что сумма разностей напряжений вокруг петли должна быть равна нулю.Q.2. Что такое узловое напряжение?
Ответ: Когда мы используем термин напряжение узла, мы имеем в виду разность потенциалов между двумя узлами цепи. Выбираем один из узлов данной схемы в качестве эталонного узла. Все напряжения других узлов измеряются относительно этого опорного узла.Q.3. Каково значение закона Кирхгофа в повседневной жизни?
Ответ: Законы Кирхгофа можно использовать для определения значений неизвестных величин, таких как ток, напряжение в цепи. Эти законы могут быть применены к любой схеме (с некоторыми ограничениями) и полезны для поиска неизвестных значений в сложных схемах и сетях. Это помогает в знании передачи энергии в различных частях схемы.Q.4. Не работает ли закон Кирхгофа на высоких частотах?
Ответ:
