Резонанс применение: Явление резонанса — условия, формулы, график

Резонанс шагового двигателя — статья

Шаговым двигателям свойственен нежелательный эффект, называемый резонансом. Эффект проявляется в виде внезапного падения момента на некоторых скоростях. Это может привести к пропуску шагов и потере синхронности. Эффект проявляется в том случае, если частота шагов совпадает с собственной резонансной частотой ротора двигателя.

Когда двигатель совершает шаг, ротор не сразу устанавливается в новую позицию, а совершает затухающие колебания. Дело в том, что систему ротор – магнитное поле – статор можно рассматривать как пружинный маятник, частота колебаний которого зависит от момента инерции ротора (плюс нагрузки) и величины магнитного поля. Ввиду сложной конфигурации магнитного поля, резонансная частота ротора зависит от амплитуды колебаний.

При уменьшении амплитуды частота растет, приближаясь к малоамплитудной частоте, которая более просто вычисляется количественно. Эта частота зависит от угла шага и от отношения момента удержания к моменту инерции ротора. Больший момент удержания и меньший момент инерции приводят к увеличению резонансной частоты.

Резонансная частота вычисляется по формуле:

F₀ = (N*T_H/(J_R+J_L))^0.5/4*pi,

где F₀ – резонансная частота,
N – число полных шагов на оборот,
T_H – момент удержания для используемого способа управления и тока фаз,
J_R – момент инерции ротора,
J_L – момент инерции нагрузки.

Необходимо заметить, что резонансную частоту определяет момент инерции собственно ротора двигателя плюс момент инерции нагрузки, подключенной к валу двигателя.

Поэтому резонансная частота ротора ненагруженного двигателя, которая иногда приводится среди параметров, имеет маленькую практическую ценность, так как любая нагрузка, подсоединенная к двигателю, изменит эту частоту.

купить шаговый двигатель

купить блок управления шаговым двигателем

На практике эффект резонанса приводит к трудностям при работе на частоте, близкой к резонансной. Момент на частоте резонанса равен нулю и без принятия специальных мер шаговый двигатель не может при разгоне пройти резонансную частоту. В любом случае, явление резонанса способно существенно ухудшить точностные характеристики привода.

В системах с низким демпфированием существует опасность потери шагов или повышения шума, когда двигатель работает вблизи резонансной частоты. В некоторых случаях проблемы могут возникать и на гармониках частоты основного резонанса.

Когда используется не микрошаговый режим, основной причиной появления колебаний является прерывистое вращение ротора. При осуществлении шага ротору толчком сообщается некоторая энергия. Этот толчок возбуждает колебания. Энергия, которая сообщается ротору в полушаговом режиме, составляет около 30% от энергии полного шага. Поэтому в полушаговом режиме амплитуда колебаний существенно меньше. В микрошаговом режиме с шагом 1/32 основного при каждом микрошаге сообщается всего около 0.1% от энергии полного шага. Поэтому в микрошаговом режиме явление резонанса практически незаметно.

Для борьбы с резонансом можно использовать различные методы. Например, применение эластичных материалов при выполнении механических муфт связи с нагрузкой. Эластичный материал способствует поглощению энергии в резонансной системе, что приводит к затуханию паразитных колебаний. Другим способом является применение вязкого трения. Выпускаются специальные демпферы, где внутри полого цилиндра, заполненного для борьбы с резонансом можно использовать различные методы. Например, применение эластичных материалов при выполнении механических муфт связи с нагрузкой. Эластичный материал способствует поглощению энергии в резонансной системе, что приводит к затуханию паразитных колебаний. Другим способом является применение вязкого трения. Выпускаются специальные демпферы, где внутри полого цилиндра, заполненного вязкой кремнийорганической смазкой, может вращаться металлический диск. При вращении этой системы с ускорением диск испытывает вязкое трение, что эффективно демпфирует систему.

Существуют электрические методы борьбы с резонансом. Колеблющийся ротор приводит к возникновению в обмотках статора ЭДС. Если закоротить обмотки, которые на данном шаге не используются, это приведет к демпфированию резонанса.

И, наконец, существуют методы борьбы с резонансом на уровне алгоритма работы драйвера шагового двигателя. Например, можно использовать тот факт, что при работе с двумя включенными фазами резонансная частота примерно на 20% выше, чем с одной включенной фазой. Если резонансная частота точно известна, то ее можно проходить, меняя режим работы.

Если это возможно, при старте и остановке нужно использовать частоты выше резонансной. Увеличение момента инерции системы ротор-нагрузка уменьшает резонансную частоту.

Самой эффективной мерой для борьбы с резонансом является применение микрошагового режима.

Применение резонанса и борьба с ним

Похожие презентации:

Звуковой резонанс

Резонанс. Полезный резонанс

Механический резонанс

Резонанс. Колебание

Свободные и вынужденные колебания. Резонанс

Звуковой резонанс

Резонанс и его положительные и отрицательные стороны

Вынужденные колебания. Резонанс

Резонанс напряжений

Звуковой резонанс

1. Применение резонанса и борьба с ним

Выполнила ученица 11 «б» класса
Сорочинская Александра

2. Что такое резонанс?

Каждому инженеру знакомо явление резонанс. Без него бы не
было музыкальных инструментов, радиосвязи, а множество
природных явлений от космического до субатомного масштаба –
просто не имело бы места. Проявление резонанса не всегда
благоприятны: колебания могут достичь амплитуды, на которую
система не была расчитанна, что приведет к ее разрушению м
повреждению.
• Резона́нс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных
колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего
воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам),
определяемым свойствами системы.
Эффективное разрушение Такомского моста в США в 1940г.
Произошло как раз из- за недемпфированного резонанса.
Резонанс часто оказывается причиной отказов электронных систем.
К счастью, частоты на которых возникает резонанс, можно
определить на этапе проектирования. Однако расчёт резонанса
значительно усложняется при протекании нелинейных процессов.
Когда магнитный поток в сердечнике(трансформатора)
• Превышает определенную величину, предсказать резонанс
становится гораздо сложнее. Такая ситуация часто
наблюдается при расчете трансформаторов напряжения
преобразующий высокое напряжение в низкое для
использования в целях измерений или защиты.

4. Такомский мост в США 1940 Г.

5. Применение резонанса

• Если какая-либо колебательная система находится под
действием внешней периодической силы, то может наступить
резонанс и связанное с ним резкое увеличение амплитуды
колебаний.
• Любое упругое тело, будь то мост, станина машины, ее вал,
корпус корабля, представляет собой колебательную систему и
характеризуется собственными частотами колебаний. При
работе двигателей нередко возникают периодические усилия,
связанные с движением частей двигателя (например, поршней)
или же с недостаточно точной центровкой их вращающихся
деталей (например, валов). Если частота периодических усилий
совпадает с частотой свободных колебаний, то возникает
резонанс. Амплитуда колебаний может возрасти настолько, что
возможна поломка машин, хотя напряжение в материале и не
превышает предела прочности при статических нагрузках. Дело в
том, что железо, сталь и другие материалы при переменных
нагрузках более или менее быстро теряют прочность, после чего
внезапно разрушаются.
• Во всех этих случаях принимаются
специальные меры, чтобы не допустить
наступления резонанса или ослабить его
действие. Для этого увеличивают трение в
системе или же добиваются, чтобы
амортизатор собственные частоты колебаний
не совпадали с частотой внешней силы.
Известны случаи, когда приходилось
перестраивать океанские лайнеры, чтобы
уменьшить вибрацию.
• При переходе через мост воинским частям
запрещается идти в ногу. Строевой шаг
приводит к периодическому воздействию на
мост. Если случайно частота этого воздействия
совпадет с собственной частотой колебаний
моста, то он может разрушиться.
• Это были примеры вредных последствий
резонанса. Но есть и полезные:

7. Полезные свойства резонанса

• На явлении резонанса основано устройство частотомера —
прибора для измерения частоты переменного тока.
Прибор состоит из набора упругих пластин. Пластины
закреплены на общей планке . Каждая пластина обладает
собственной частотой колебаний, зависящей от ее упругих
свойств, длины и массы.
• Собственные частоты колебаний пластин известны. Под
действием электромагнита планка, а с ней вместе все
пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та
пластина, собственная частота колебаний которой
совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь
большую амплитуду колебаний.
• Это и позволяет определить частоту переменного тока.
Спасибо за
внимание!

English     Русский Правила

6.4: Приложения Resonance — Workforce LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

1419

• Tony R. Kuphaldt
• Schweitzer Engineering Laboratories via All About Circuits

Пока что явление резонанса кажется бесполезным любопытством или, в лучшем случае, неприятностью, которую следует избегать (особенно если последовательный резонанс вызывает короткое замыкание в нашем источнике переменного напряжения!). Однако, это не так. Резонанс является очень ценным свойством реактивных цепей переменного тока, используемых в различных приложениях.

Одним из применений резонанса является создание условия стабильной частоты в цепях, предназначенных для генерации сигналов переменного тока. Обычно для этой цели используется параллельная (резервуарная) схема, в которой конденсатор и индуктор напрямую соединены вместе, обмениваясь энергией между собой. Точно так же, как маятник можно использовать для стабилизации частоты колебаний часового механизма, так и колебательный контур можно использовать для стабилизации электрической частоты переменного тока.0034 Генератор Цепь. Как было отмечено ранее, частота, устанавливаемая контуром бака, зависит исключительно от значений L и C, а не от величин напряжения или тока, присутствующих в колебаниях: (рисунок ниже)

Резонансный контур служит источником стабильной частоты.

Еще одно применение резонанса — в приложениях, где желателен эффект значительного увеличения или уменьшения импеданса на определенной частоте. Резонансный контур можно использовать для «блокировки» (предоставления высокого импеданса) частоте или диапазону частот, таким образом, действуя как своего рода частотный «фильтр», выделяющий определенные частоты из смеси других. На самом деле, эти конкретные схемы называются фильтры , и их конструкция сама по себе представляет собой дисциплину изучения: (рисунок ниже)

Резонансный контур служит фильтром.

По сути, это то, как схемы аналогового тюнера радиоприемника работают для фильтрации или выбора частоты одной станции из смеси сигналов различных частот радиостанций, перехваченных антенной.

• Резонанс можно использовать для поддержания колебаний в цепи переменного тока с постоянной частотой, так же как маятник можно использовать для поддержания постоянной скорости колебаний в хронометрическом механизме.
• Резонанс можно использовать из-за его свойств импеданса: либо резко увеличивать, либо уменьшать импеданс для определенных частот. Схемы, предназначенные для выделения определенных частот из смеси различных частот, называются фильтрами .

---

Эта страница под названием 6.4: Applications of Resonance распространяется в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License 1. 3 и была создана, изменена и/или курирована Тони Р. Купхалдтом (All About Circuits) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано в соответствии со стилем и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Тони Р. Купхалдт

   Лицензия

   ГНУ ФДЛ

   Версия лицензии

   1,3

2. Теги

   1. источник@https://www. allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current

Захватывающая физика резонанса

На прошлое Рождество мой двоюродный брат подарил мне массажер для головы. Мало ли она знала о его удивительной физике, которую я собирался раскрыть… и научить ее! На самом деле, я был так поражен этим подарком, что решил показать его еще многим людям:

Магия массажеров для головы

Итак, позвольте мне быстро объяснить захватывающую физику массажеров для головы. Любопытно, что когда тянут за длинную струну, а затем отпускают, она заставляет вибрировать все длинные струны. Однако короткие строки — нет.

Правда? А как насчет того, когда вы дергаете за короткие ниточки?

То же самое! Отпускание короткой струны заставляет все короткие струны вибрировать, а длинные практически не двигаются!

Почему?

Точно! Почему???

В видео вы говорили что-то о резонансе. ..

Да. Но прежде чем перейти к резонансу, мне нужно поговорить о частотах.

Что это?

Частота подсчитывает количество повторений движения за заданный промежуток времени. Другими словами, чем выше частота, тем чаще вы будете чувствовать дрожь. Теперь, что очень важно, струна, как и в музыкальных инструментах, имеет определенную собственную частоту, которую мы обычно называем ее высотой тона или музыкальной нотой. И то же самое на самом деле верно для всех объектов.

Значит, каждая струна массажера для головы имеет собственную частоту?

Да! И, как и в музыке, эти собственные частоты зависят от формы струн и их материалов. Следовательно, все длинные струны имеют одинаковую собственную частоту, которая отличается от общей собственной частоты коротких струн. Теперь, когда вы отпускаете длинную струну, эта длинная струна будет вибрировать на своей собственной частоте. По резонансу это будет возбуждать все окружающие предметы с той же собственной частотой. Вот почему колебания одной длинной струны заставят вибрировать все другие длинные струны, и только их.

Ужасающий резонанс

Что меня восхищает в массажерах для головы, так это универсальность феномена, который они раскрывают. Резонанс вездесущ! И это чревато ужасающими последствиями.

Нравится обрушение моста, упомянутое собеседниками в видео?

Точно! Они имели в виду обрушение Анжерского моста в 1850 году. Этот висячий мост сломался, когда по нему маршировал батальон солдат. Хотя износ моста и плохая погода в тот день определенно сыграли свою роль, считается, что резонанс их марша был тем, что действительно спровоцировало обрушение моста. (Изображение из Викимедиа)

На самом деле, в то время явление резонанса было уже хорошо известно военачальникам, так как они требовали, чтобы батальоны ломали ступени при пересечении мостов. Но этого было явно недостаточно, чтобы предотвратить обрушение моста Анже…

Не могут ли инженеры-строители что-нибудь предпринять, чтобы предотвратить резонанс?

Это не так просто. Каждая искусственная конструкция имеет собственные частоты, и резонанс с непредвиденными вибрациями может быть впечатляюще пугающим. Один особенно вопиющий пример произошел с небоскребами в Японии, чуть позже 9.0 землетрясение:

О, мой… Боже! Надеюсь, приняли меры по противодействию резонансу в современных огромных небоскребах!

Есть! Забавно, но решение избежать колебаний ранее самого высокого здания в мире Taipei 101 состоит в том, чтобы позволить некоторым массивным объектам внутри здания колебаться вне самого здания. Точнее, внутрь Taipei 101 инженеры поместили огромные маятники. Эти маятники естественным образом улавливают вибрации всего здания.

Я не уверен, что понимаю, почему это работает…

Упрощенно это выглядит следующим образом. Что касается вибраций, то это колебания центра масс. При землетрясении все здание должно будет вибрировать. Однако, позволяя некоторой части его массы вибрировать независимо от самого здания, вибрации самого здания уменьшаются. Вот видео простого эксперимента, демонстрирующего явление так называемого массового демпфера путем сравнения первого случая без массового демпфера и второго случая с массовым демпфером:

Предотвращение резонанса или, по крайней мере, уменьшение его последствий является важной частью других усилий в области гражданского строительства. Производители судов предотвращают резонанс между волнами и судном, производители автомобилей избегают шумового резонанса между двигателем и корпусом автомобиля, а строители железных дорог ограничивают резонанс между воздушными линиями. Чтобы вернуться к зданиям, прежде чем перейти к полезному резонансу, вот отличное более полное видео TedEds:

Delightful Resonance

Но резонанс — это не всегда плохо. Во-первых, это позволяет проводить впечатляющие шоу с катушками Теслы, как блестяще показано в следующем потрясающем видео Джентльмена-физика:

Ух ты! Вы собираетесь объяснить здесь катушку Тесла?

Извините… нет. Вы можете посмотреть отличное объяснение в этом видео Дрю Колпурс. Вместо этого я хочу поговорить о еще более существенных применениях резонанса.

Нравится что?

Как радио. Вы когда-нибудь думали об этом? Когда вы слушаете 100 утра, вы слышите только 100 утра. Разве это не сводит тебя с ума?

Никогда об этом не думал… Но ДА!!! Это умопомрачительно!

И это благодаря резонансу!

Правда? Какое отношение радио имеют к резонансу?

Ключом является цепь RLC.

Что такое цепь RLC?

Я не хочу вдаваться в подробности, но в основном схема RLC состоит из 3 компонентов: сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора. Важно отметить, что эта схема имеет собственную частоту, которая в основном зависит от катушки индуктивности и конденсатора.

Цепь имеет собственную частоту? Что это значит?

Это означает, что если подать электрический ток сразу в цепь RLC, то напряжение в точке будет колебаться с этой собственной частотой. Но что еще более важно, если вы подаете переменный электрический ток, частота которого совпадает с собственной частотой цепи RLC, то из-за резонанса электрический ток в цепи RLC будет сильно усилен.

И все же я не понимаю, какое это имеет отношение к радио… 94$ герц, что равно 1 МГц. Это означает, что сигнал 100 AM колеблется один миллион раз в секунду.

Минуточку… Когда мы слушаем 100 утра, разве мы не слышим настоящий звук, а не звук, соответствующий частоте 100 утра?

Да! Это потому, что сигнал 1 МГц — это просто несущая волна . Чтобы отправить фактический сигнал через несущую, вам необходимо модулировать несущую волну. Это можно сделать, умножив несущую волну на фактический голосовой сигнал, который имеет гораздо более низкую частоту. Это соответствует рисунку справа, где первая кривая, помеченная как «сигнал», представляет собой фактическое сообщение, которое необходимо отправить.

Существует небольшая разница между амплитудной модуляцией (AM) и частотной модуляцией (FM). В первом случае колебания фактического сообщения умножаются на колебания несущей волны, а во втором случае частота уменьшается, когда фактический передаваемый сигнал имеет низкую амплитуду, что снижает резонанс.

AM-сигнал выглядит знакомо…

Если вы когда-либо работали со звуковыми сигналами, то обязательно должны! Просто взгляните на результаты Google Image для «Звук».

Что это значит? Являются ли голосовые сигналы модуляциями?

Удивительно, да. Когда вы говорите, вы в основном модулируете высоту своего голоса, который действует как носитель волны, умножая его на звук слов, который содержит фактическое сообщение! Очевидно, небольшая разница с радио заключается в том, что вместо электромагнитной волны вы используете механическую волну давления воздуха.

Вы хотите сказать, что наши уши работают как радиоприемники?

Да! Разве это не удивительно?

Но как они это делают? Я имею в виду… У ушей нет внутренних цепей RLC, не так ли?

Нет. Давайте заглянем внутрь наших ушей с помощью этого тизера шоу BBC:

Важно отметить, что внутри наших ушей есть набор крошечных волосковых клеток разной высоты, погруженных в жидкость. Эти волосковые клетки точно такие же, как струны наших массажеров для головы. Они будут вибрировать только в том случае, если жидкость, в которую они погружены, вибрирует с их собственной частотой. Теперь, поскольку эта жидкость находится в контакте с давлением воздуха прямо за нашими ушами, она вибрирует соответственно звуковым волнам. Таким образом, удивительно, обнаруживая, какие волосковые клетки вибрируют, наши нейронные системы могут различать частоты, из которых состоят звуковые волны, которые мы слушаем! Разве это не удивительно?

Вау! Это так круто!

Так что на самом деле массажеры для головы — это просто макроскопическая копия потрясающей физической установки, которая находится в наших ушах! Это умопомрачительно! Теперь я должен упомянуть, что есть и другие применения резонанса в медицине. Прежде всего, это знаменитая магнитно-резонансная томография (МРТ), которая позволяет отслеживать активность мозга. Еще одним интересным применением может стать лечение рака.

Музыка и несколько частот

Реальные звуки на самом деле являются дополнением множества различных частот. На самом деле удивительным и в то же время фундаментальным результатом анализа Фурье является тот факт, что все сигналы представляют собой композиции различных частот. Но на самом деле то же самое верно и для собственных частот.

Что ты имеешь в виду?

Я имею в виду, что объекты на самом деле имеют несколько собственных частот. Конечно, некоторые из них более «естественные », чем другие, но тот факт, что у них действительно есть несколько таких частот, является существенным для музыки явлением. Как оказалось, причина, по которой несколько разных музыкальных тонов называются одним и тем же именем от до , сильно зависит от этого факта!

Правда? Вы хотите сказать, что существует сильная связь между двумя нотами 9?0184 до ?

Да! Именно на это прекрасно указал замечательный Маркус дю Сотуа в программе BBC Story of Math:

Но в чем заключается эта сильная связь? Какое отношение деление струны вдвое имеет к гармонии звука?

Важно отметить, что струна имеет не только одну форму собственных колебаний. Конечно, основная мода вибрации соответствует вибрации струны только с двумя конечными точками. Но есть и вибрации с неподвижной средней точкой, называемые второй модой. Или, с первой и второй третьей точками, называемой третьим режимом. И так далее… Прекрасную визуализацию этого феномена создал великий Брайан Кокс в вечернем шоу BBC:

Частоты различных форм колебаний соответствуют собственным частотам колебаний струны. Таким образом, когда мы возбуждаем гитарную струну, она будет вибрировать на всех различных модах колебаний (хотя первая мода является основной). Теперь, что очень важно, многие из этих режимов вибрации для полной струны являются общими для половинной струны! Фактически все четные моды колебаний являются модами колебаний полуструны. Удивительно, но октава выше до содержит все вибрации октавы ниже 9.0184 до . Вот почему они звучат так гармонично!

Вы хотите сказать, что когда мы слушаем до высокой октавы, мы слышим до нижней октавы?

Именно это я и говорю! При переключении с одного на другое некоторые волосковые клетки наших ушей продолжают вибрировать, как раньше. И именно поэтому в нашем построении музыки существует такая важная гармония!

Отлично!

Я знаю!

Немного математики

Теперь, как математик, я не могу оставить вас с впечатлением, что резонанс работает из-за какой-то необъяснимой магии. Итак, в этом последнем разделе я объясню универсальный лежащий в основе феномен. Для этого нам потребуется обобщить этот паттерн, который соответствует занятиям математикой.

Возможно, это прозвучит странно, поскольку я буду описывать резонанс с очень математической точки зрения, а не выводить уравнения из физического моделирования. Моя статья о тождестве Эйлера является обязательным условием для этого раздела.

Итак, как использовать математику для описания резонанса?

Сначала нам нужно описать частоты.

Как бы вы это описали?

Частота описывает повторяющееся явление, так как подсчитывает, сколько раз начальное состояние возникает в единицу времени. Какая простейшая математическая структура соответствует этому?

Хм… не знаю…

Что-то, что возвращается в исходное состояние… Как это звучит?

Как петля?

Точь-в-точь как петля! На самом деле, давайте рассмотрим самый простой вид петли: круг! Я утверждаю, что зацикливание на круге — это простейшая установка, в которой понятие частоты начинает обретать смысл. Итак, давайте представим точку, вращающуюся против часовой стрелки (а почему бы и нет?) по окружности. Тогда количество циклов в секунду соответствует частоте вибрации. 9{i\tau k} = 1$. Между моментами времени $t=0$ и $t=1$ это происходит для целых чисел $k$ между $f t= 0$ и $f t = f$. Таким образом, это происходит $f$ раз, а это означает, что в течение 1 единицы времени происходит $f$ колебаний. Итак, да, $f$ — это действительно частота.

Итак, $z(t)$ представляет вибрацию с частотой $f$… Как это связано с собственными частотами?

Важно отметить, что естественные движения индуцируются дифференциальными уравнениями. Таким образом, если $f$ представляет собой собственную частоту объекта, то $z(t)$ должно быть решением физического закона, которому должен подчиняться объект. Этот физический закон математически представляет собой дифференциальное уравнение, которое обычно выводится из законов Ньютона или Максвелла. Но, в общем, давайте не будем включать какой-либо конкретный закон, а скорее выведем физический закон объекта просто из его собственной частоты. 9{i \tau F t}$ окончательно получаем уравнение $i \tau a (F – f) = A$. В частности, амплитуда вибрации физического объекта имеет по абсолютной величине $|a|$ равную:

Эта формула означает, что амплитуда вращения автомобиля пропорциональна амплитуде $A$ внешнего источника, который не является большим сюрпризом. Но, что более важно, она обратно пропорциональна разнице частот. Итак, поразительно, если частота источника точно совпадает с частотой нашего физического объекта, амплитуда колебаний нашего физического объекта бесконечна! Это резонанс в его крайней степени!

И я предполагаю, что это почти всегда уничтожает физический объект!

Да, действительно! В реальной жизни крайне маловероятно, что $F=f$. И, даже если у нас есть $F=f$, существуют трения, которые должны предотвратить любой взрыв. Чтобы смоделировать эти трения, мы должны были заметить, что окружности не идеально возвращаются в исходную точку. Вернее, почти доходят, но амплитуда немного уменьшается, получая спирали, а не круги. Моделью этого является использование траекторий $z(t) = e^{-rt}e^{i \tau ft}$, фундаментальные дифференциальные уравнения которых имеют вид $\dot z + (r-i\tau f) z = 0$ .