Резонанс тока и напряжения: №326 Изучение резонанса токов и напряжений

Резонанс токов: применение, принцип резонса тока, расчет контура

Знание физики и теории этой науки напрямую связано с ведением домашнего хозяйства, ремонтом, строительство и машиностроением. Предлагаем рассмотреть, что такое резонанс токов и напряжений в последовательном контуре RLC, какое основное условие его образования, а также расчет.

Что такое резонанс?

Определение явления по ТОЭ: электрический резонанс происходит в электрической цепи при определенной резонансной частоте, когда некоторые части сопротивлений или проводимостей элементов схемы компенсируют друг друга. В некоторых схемах это происходит, когда импеданс между входом и выходом схемы почти равен нулю, и функция передачи сигнала близка к единице. При этом очень важна добротность данного контура.

Соединение двух ветвей при резонансе

Признаки резонанса:

1. Составляющие реактивных ветвей тока равны между собой IPC = IPL, противофаза образовывается только при равенстве чистой активной энергии на входе;
2. Ток в отдельных ветках, превышает весь ток определенной цепи, при этом ветви совпадают по фазе.

Иными словами, резонанс в цепи переменного тока подразумевает специальную частоту, и определяется значениями сопротивления, емкости и индуктивности. Существует два типа резонанса токов:

1. Последовательный;
2. Параллельный.

Для последовательного резонанса условие является простым и характеризуется минимальным сопротивлением и нулевой фазе, он используется в реактивных схемах, также его применяет разветвленная цепь. Параллельный резонанс или понятие RLC-контура происходит, когда индуктивные и емкостные данные равны по величине, но компенсируют друг друга, так как они находятся под углом 180 градусов друг от друга. Это соединение должно быть постоянно равным указанной величине. Он получил более широкое практическое применение. Резкий минимум импеданса, который ему свойствен, является полезным для многих электрических бытовых приборов. Резкость минимума зависит от величины сопротивления.

Схема RLC (или контур) является электрической схемой, которая состоит из резистора, катушки индуктивности, и конденсатора, соединенных последовательно или параллельно.

Параллельный колебательный контур RLC получил свое название из-за аббревиатуры физических величин, представляющих собой соответственно сопротивление, индуктивность и емкость. Схема образует гармонический осциллятор для тока. Любое колебание индуцированного в цепи тока, затухает с течением времени, если движение направленных частиц, прекращается источником. Этот эффект резистора называется затуханием. Наличие сопротивления также уменьшает пиковую резонансную частоту. Некоторые сопротивление являются неизбежными в реальных схемах, даже если резистор не включен в схему.

Применение

Практически вся силовая электротехника использует именно такой колебательный контур, скажем, силовой трансформатор. Также схема необходима для настройки работы телевизора, емкостного генератора, сварочного аппарата, радиоприемника, её применяет технология «согласование» антенн телевещания, где нужно выбрать узкий диапазон частот некоторых используемых волн. Схема RLC может быть использована в качестве полосового, режекторного фильтра, для датчиков для распределения нижних или верхних частот.

Резонанс даже использует эстетическая медицина (микротоковая терапия), и биорезонансная диагностика.

Принцип резонанса токов

Мы можем сделать резонансную или колебательную схему в собственной частоте, скажем, для питания конденсатора, как демонстрирует следующая диаграмма:

Схема для питания конденсатора

Переключатель будет отвечать за направление колебаний.

Схема: переключатель резонансной схемы

Конденсатор сохраняет весь ток в тот момент, когда время = 0. Колебания в цепи измеряются при помощи амперметров.

Схема: ток в резонансной схеме равен нулю

Направленные частицы перемещаются в правую сторону. Катушка индуктивности принимает ток из конденсатора.

Когда полярность схемы приобретает первоначальный вид, ток снова возвращается в теплообменный аппарат.

Теперь направленная энергия снова переходит в конденсатор, и круг повторяется опять.

В реальных схемах смешанной цепи всегда есть некоторое сопротивление, которое заставляет амплитуду направленных частиц расти меньше с каждым кругом. После нескольких смен полярности пластин, ток снижается до 0. Данный процесс называется синусоидальным затухающим волновым сигналом. Как быстро происходит этот процесс, зависит от сопротивления в цепи. Но при этом сопротивление не изменяет частоту синусоидальной волны. Если сопротивление достаточно высокой, ток не будет колебаться вообще.

Обозначение переменного тока означает, что выходя из блока питания, энергия колеблется с определенной частотой. Увеличение сопротивления способствует к снижению максимального размера текущей амплитуды, но это не приводит к изменению частоты резонанса (резонансной). Зато может образоваться вихретоковый процесс. После его возникновения в сетях возможны перебои.

Расчет резонансного контура

Нужно отметить, что это явление требует весьма тщательного расчета, особенно, если используется параллельное соединение. Для того чтобы в технике не возникали помехи, нужно использовать различные формулы. Они же Вам пригодятся для решения любой задачи по физике из соответствующего раздела.

Очень важно знать, значение мощности в цепи. Средняя мощность, рассеиваемая в резонансном контуре, может быть выражена в терминах среднеквадратичного напряжения и тока следующим образом:

R _ср= I²_конт * R = (V²_конт / Z²) * R.

При этом, помните, что коэффициент мощности при резонансе равен cos φ = 1

Сама же формула резонанса имеет следующий вид:

ω₀ = 1 / √L*C

Нулевой импеданс в резонансе определяется при помощи такой формулы:

F_рез = 1 / 2π √L*C

Резонансная частота колебаний может быть аппроксимирована следующим образом:

F = 1/2 р (LC) 0.5

Где: F = частота

L = индуктивность

C = емкость

Как правило, схема не будет колебаться, если сопротивление (R) не является достаточно низким, чтобы удовлетворять следующим требованиям:

R = 2 (L / C) 0.5

Для получения точных данных, нужно стараться не округлять полученные значения вследствие расчетов. Многие физики рекомендуют использовать метод, под названием векторная диаграмма активных токов. При правильном расчете и настройке приборов, у Вас получится хорошая экономия переменного тока.

Резонанс напряжений и условия его возникновения

Явление резонанса электрических напряжений наблюдается в цепи последовательного колебательного контура, состоящего из емкости (конденсатора), индуктивности и резистора (сопротивления). Для обеспечения энергетической подпитки колебательного контура в последовательную цепь включается также источник электродвижущей силы Е. Источник вырабатывает переменное напряжение с частотой W. При резонансе ток, циркулирующий в последовательной цепи, должен совпадать по фазе с э.д.с. Е. Это обеспечивается, если общее сопротивление схемы Z = R+J(WL – 1/WС) будет лишь активным, т.е. Z=R. Равенство:

(L – 1/WС) = 0 (1),

является математическим условием резонанса в колебательном контуре. При этом величина тока в цепи составит I = E/R. Если преобразовать равенство (1), то получим:

WL = 1/WС.

В этом выражении W — является резонансной частотой контура.

Важно то, что в процессе резонанса напряжение на индуктивности равно напряжению на конденсаторе и составляет:

UL = U = WL * I = WLE/R

Общая сумма энергий в индуктивности и емкости (магнитного и электрического полей) постоянна. Это объясняется тем, что между этими полями происходит колебательный обмен энергиями. Суммарное ее количество в любой момент неизменно. При этом обмена энергией между ее источником Е и цепью не происходит. Вместо этого имеет место непрерывное преобразование одного вида энергии в другой.

Для колебательных контуров применятся термин добротность, которая показывает, как соотносятся напряжение на реактивном элемента (емкость или индуктивность) и входное напряжение контура. Добротность вычисляется по формуле:

Q = WL/R

Для идеальной последовательной цепи с нулевым активным сопротивлением возникновение резонанса сопровождается незатухающими колебаниями. На практике затухание колебаний компенсируется подпиткой контура от генератора колебаний с частотой резонанса.

Явление колебательного резонанса широко используется в радиоэлектронике. В частности, входная цепь любого радиоприемника представляет собой регулируемый колебательный контур. Его резонансная частота, изменяемая с помощью регулировки емкости конденсатора, совпадает с частотой сигнала радиостанции, которую необходимо принять.

В электроэнергетике возникновение резонанса напряжений вследствие сопутствующих ему перенапряжений чревато нежелательными последствиями. Например, в случае подключения к генератору или промежуточному трансформатору длинной кабельной линии (являющейся колебательным контуром с распределенной емкостью и индуктивностью), не соединенной на приемном конце с нагрузкой (это называется режимом холостого хода), весь контур может оказаться в резонансом состоянии.

В такой ситуации напряжения, возникающие на некоторых участках цепи, могут оказаться выше расчетных. Это может грозить пробоем изоляции кабеля и выходом его из строя. Такая ситуация предотвращается применением вспомогательной нагрузки.

Похожие статьи

Рекомендуемые товары

+

Отправить заявку:

Гарантия качества и сертифицированное оборудование

Собственное производство и квалифицированный персонал

Быстрые сроки производства и гибкая ценовая политика

Работаем по всей России и странам СНГ

Резонансный контур генерирует высокочастотное магнитное поле

Скачать эту статью в формате .PDF Этот тип файла включает в себя графику и схемы высокого разрешения, если это применимо.

Создание высокочастотного магнитного поля может быть довольно сложной задачей из-за ряда технических проблем. На высокой частоте импеданс магнитной катушки велик. Для получения достаточного тока через магнитную катушку требуется высоковольтный и высокочастотный генератор. Однако сложно одновременно генерировать высокую частоту и большой ток, используя обычные усилители и драйверы.

Классические последовательные резонансные методы использовались для генерации высокочастотного магнитного поля. ¹ Резонансный контур, предложенный в этой статье, дополнительно увеличит ток катушки в 2 раза.

Классические резонансные резервуары

На рис. 1 показаны последовательные и параллельные резервуары LC. Резонатор серии LC имеет низкий импеданс при резонансе. Импеданс катушки компенсирует импеданс конденсатора; таким образом, достижение низкого импеданса позволяет пропускать большой ток через цепь LCR. До настоящего времени наиболее практичным и эффективным способом подачи большого тока через магнитную катушку было использование последовательного резонансного контура. ¹ Несомненно, что метод последовательного резонанса часто используется для генератора высокочастотного магнитного поля.

1. Показаны последовательный резонансный контур (а) и параллельный резонансный контур (б).

С другой стороны, сопротивление параллельного резонансного LC-контейнера максимально при резонансе. При резонансе ток резонирует между катушкой и конденсатором. Ток, проходящий через магнитную катушку, очень высок, а ток источника очень низок; следовательно, высокое сопротивление. Следовательно, параллельный резонансный контур усиливает ток источника в резонансе. Ток катушки обычно невелик в параллельном резонансе, даже с эффектом усиления тока.

Резонансный с усилением тока

Новый резонансный контур с усилением тока отличается низким импедансом при резонансе и усилением тока в магнитной катушке (рис. 2) . Этот резонатор представляет собой мощный высокочастотный генератор магнитного поля. Как будет показано ниже, усиление тока в два раза превышает ток источника или генератора. Кроме того, резонансный контур с усилением тока представляет собой трансформатор импеданса — при резонансе он преобразует сопротивление в четыре раза. Следовательно, сопротивление катушки увеличивается в 4,9 раза.0016 2. Новый резонансный контур с усилением тока представляет собой мощный высокочастотный генератор магнитного поля.

Условия резонанса

Условием резонанса является ситуация, когда мнимая часть импеданса Z равна нулю.

(1)

(2)

Сопротивление на рисунке 2 носит паразитный характер и, как правило, невелик. Это оказывает незначительное влияние на резонансную частоту. В целях расчета резонансной частоты R не учитывается. Как мы обсудим позже, меньшее сопротивление лучше для сильного и высокочастотного магнитного поля. Оба конденсатора имеют одинаковую емкость (C _S = C _P = C). Из Приложения, уравнение A3, мнимая часть параллельного резонансного импеданса Z

P дается в уравнении. 3. Воображаемая часть Z _S — это просто простое реактивное сопротивление конденсатора:

(3)

(4)

Заместительное уравнение 3 и 4 в уравнение 2 И это:

.0016

                              

 

 

 

                              (5)

 

 

 

 

 

Solving for ω, which is the current-amplified resonant frequency ω _O :

             (6)

 

                               

                                 (7)

Отзыв, 8 O 9004 = 1/√LC — классический параллельный или последовательный резонанс. Из уравнений 6 и 7 новая резонансная частота с усилением тока в 1/√2 раза превышает резонансную частоту классического резервуара LC. Это потому, что в новом резонансном контуре два конденсатора.

Усиливающий ток

3. Закон Кирхгофа для напряжения (KVL) и закон Кирхгофа для тока (KCL) используются для расчета тока магнитной катушки (индуктора).

Самая интересная особенность нового резонансного контура с усилением тока заключается в том, что он в два раза усиливает ток магнитной катушки при резонансе. То есть ток электромагнита вдвое превышает ток генератора источника. Обратитесь к рисунку 3, используя закон напряжения Кирхгофа (KVL) вокруг контура в параллельном резервуаре. Снова маленькое паразитное R игнорируется.

(8)

Отзыв из уравнения 6, которое при резонансе, ω = 1/√2lc. Вставка уравнения 6 в уравнение 8.

(9)

Ток магнитной катушки в два раза больше, чем конденсатор C _P или C _S Ток (фиг. 3) . На самом деле сумма C _P и C _S ток равен току магнитной катушки.

Теперь используйте текущий закон Кирхгофа (KCL) для расчета тока в узле, где все три тока (I _S , I _C , I _L ). I _C составляет половину I _L :

 

                                                                    (11) 6

 013 Таким образом, ток катушки в два раза превышает ток генератора источника сигнала. Для данного генератора сигналов ток катушки в два раза превышает максимально доступный ток! Это важнейшее свойство научной аппаратуры, для которой требуется сильное и высокочастотное магнитное поле. На рис. 4 показано протекание тока и то, как резонансный контур усиливает ток.

4. Ток, протекающий через катушку, усиливается вдвое по сравнению с током источника при резонансе.

Резонансное сопротивление

Как обсуждалось выше, при резонансе реактивное (мнимая часть) полное сопротивление равно нулю. Импеданс реальный (резистивный) при резонансе. Поскольку Z _S является только реактивным, реальный компонент Z исходит от Z _P . Из приложения уравнения A2 реальная часть Z приведена как:

(12)

Напомним, что ω = 1/√2LC при резонансе и подставление его на уравнение 12 и упрощающую иельдс: 9(13)

 

поэтому R ² не учитывается. Таким образом, уравнение 13 сводится к следующему: Это увеличивает сопротивление высокочастотной катушки в 4 раза. Этот новый резонансный контур наиболее выгоден для сильноточных и низкоомных магнитных катушек. Он позволяет генерировать высокочастотное магнитное поле при низком напряжении источника.

Коэффициент качества Q

Наиболее важной особенностью этого нового резонансного контура с усилением тока является его способность бесплатно увеличивать ток в 2 раза для создания высокочастотного магнитного поля. Следовательно, добротность Q не влияет на текущее усиление; вместо этого он влияет на сопротивление. Для полноты здесь обсуждается Q.

5. Модель сигнала резонансного контура с усилением тока сводится к простому параллельному резонансу с удвоенной емкостью.

Источник переменного напряжения, V _S , эквивалентен короткому замыканию с точки зрения модели сигнала переменного тока. Резонаторный резервуар с усилением тока на рис. 2 перерисован на рис. 5 с точки зрения модели сигнала (или энергии). Как видно, два конденсатора включены параллельно и образуют один параллельный резонансный резервуар. Напомним, что Q для классического параллельного резервуара равен:

                                           (15)

 

Следовательно, добротность резонансного резервуара с усилением тока такая же, как у классического параллельного резонансного резервуара. 9(16) )

 

 

Результаты моделирования

6. Ток магнитной катушки в два раза превышает ток источника.

Чтобы подтвердить новую математическую модель резонансного контура, описанную выше, инструмент имитационного моделирования Spice был использован для моделирования резонансного резервуара с усилением тока на рис. 2. При резонансе ток источника составляет пиковое значение 5 А, а ток катушки составляет пиковое значение 10 А (рис. 6) . Это подтверждает токоусиливающий эффект нового резонансного бака. При использовании конденсатора емкостью 10 мкГн и двух конденсаторов емкостью 1,26 нФ расчетный резонанс составляет 1,0026 МГц. Моделируемый резонанс составляет 1,025 МГц (рис. 7) .

7. Показана нормализованная зависимость тока катушки от частоты.

В моделировании сопротивление катушки составляет 125 мА¦, напряжение источника составляет 2,5 В, а ток источника составляет 5 А. Это также подтверждает, что эквивалентное полное сопротивление резервуара составляет 500 мА¦, как рассчитано по уравнению 14: 4 × 125 м² = 500 м². При использовании инструмента моделирования увеличение сопротивления до 10 Ом не меняет текущий коэффициент усиления. На рис. 8 показана зависимость тока источник-генератор от частоты резонансного контура с усилением тока. Он выявляет два резонанса — новый резонансный и классический параллельный резонанс. Резонансная частота, усиленная током, ниже классической резонансной частоты в 1/√2 раза.

8. Здесь приведены два резонанса при сравнении нормализованного тока источника с частотой.

Эксперимент с высокочастотным магнитным полем

Для проверки эффекта усиления тока магнитной катушки использовалась реальная катушка (индуктор). Источником генератора тока является сильноточный усилитель функционального генератора TS250 ² от Accel Instruments. Как показано на рисунке 9, катушка представляет собой сильноточный индуктор на 100 мкГн. Два конденсатора по 10 нФ рассчитаны на 1 кВ.

9. В этой установке для эксперимента с высокочастотным магнитным полем используется усилитель сигнала TS250.

Резистор серии 1-¦ (R1) вставлен для контроля тока катушки. Другой токоизмерительный резистор (R2) используется для контроля тока источника. Для измерения тока необходимо измерить падение напряжения на резисторах R1 и R2. В ходе эксперимента для R1 использовалось как 10 м², так и 100 м². Для низкого сопротивления напряжение на чувствительном резисторе настолько мало, что высокочастотное магнитное поле, создаваемое катушкой, мешало измерению напряжения. Увеличение R1 до 1 ¦ не показало никаких признаков помех.

10. Ток источник-генератор (3 AP-P) измеряется через R2 (1 В = 1 А).

Исходное напряжение источника сигнала усилителя TS250 было установлено равным 10 В _P-P , а начальная частота была установлена ​​равной расчетной резонансной частоте 112,5 кГц. Затем частота медленно изменялась до тех пор, пока не наблюдался максимальный ток. Это резонансная частота с усилением тока 116,5 кГц. Затем амплитуду напряжения медленно увеличивали для получения более высокого тока. Около 30 В _П-П , ток источника около 3 А _P-P (рис. 10) . Как показано на рисунке 11, ток магнитной катушки составлял 6 А _P-P . Как и предполагалось, ток катушки увеличивается в 2 раза.

11. Ток магнитной катушки (6 AP-P) измеряется на резисторе R1 (1 В = 1 А).

Теоретический импеданс резонансного контура с усилением по току составляет 4 Ом (не включая R2), который рассчитывается по уравнению 14. Сопротивление R1 увеличивается в 4 раза. Добавление R2 привело к общему теоретическому сопротивлению ~5 ¦. Однако данные указывают на то, что 30-V _P-P напряжение составило 3 А _P-P , что означает, что общее сопротивление равно 10 Ом. Сопротивление магнитной катушки постоянному току составляет 25 мА. Поэтому предполагается, что сопротивление катушки переменного тока на частоте 116 кГц намного выше из-за скин-эффекта на высокой частоте. Кроме того, конденсаторы добавляют паразитное сопротивление. При проектировании высокочастотных магнитных катушек для резонансной техники с усилением тока важно, чтобы сопротивление переменному току было как можно ниже.

Вывод

Представленная здесь новая резонансная схема с усилением тока предлагает мощную технику для создания высокочастотных магнитных полей в научном и научно-исследовательском оборудовании. Математическая модель предсказала эффект усиления тока в высокочастотном электромагните. Как моделирование, так и лабораторные эксперименты подтвердили, что ток катушки увеличивается в 2 раза. Скачать эту статью в формате .PDF
Этот тип файла включает в себя графику и схемы высокого разрешения, если это применимо.

Ссылки:

1. «Сильноточный и высокочастотный электромагнит с использованием резонансной техники», Accel Instruments.

2. «Усилитель сигнала для функционального генератора», Accel Instruments.

Приложение – Расчет импеданса для параллельного резонанса

Классическая схема с параллельным резонансом состоит из RLC для расчета импеданса и реактивного сопротивления.

Рисунок A. Классический параллельный резонансный контур состоит из RLC для расчета импеданса и реактивного сопротивления.

 

 

 

 

                                  

                                             (A1)

 

 

 

 

                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(A2)

(A3)

RLC -схемы AC Currests | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Вычислять импеданс, фазовый угол, резонансную частоту, мощность, коэффициент мощности, напряжение и/или ток в последовательной цепи RLC.
• Нарисуйте принципиальную схему последовательной цепи RLC.
• Объясните значение резонансной частоты.

Полное сопротивление

В цепи переменного тока катушки индуктивности, конденсаторы и резисторы препятствуют току. Как они ведут себя, когда все три встречаются вместе? Интересно, что их индивидуальные сопротивления в омах не просто складываются. Поскольку катушки индуктивности и конденсаторы ведут себя противоположным образом, они частично или полностью компенсируют эффект друг друга. На рис. 1 показана схема серии RLC с источником переменного напряжения, поведение которой рассматривается в этом разделе. Суть анализа 9Цепь 0032 RLC представляет собой частотную зависимость X _L и X _C и влияние, которое они оказывают на фазу зависимости напряжения от тока (установлено в предыдущем разделе). Это приводит к частотной зависимости схемы с важными «резонансными» свойствами, которые лежат в основе многих приложений, таких как радиотюнеры.

Рис. 1. Цепь серии RLC с источником переменного напряжения.

Комбинированный эффект сопротивления R , индуктивное сопротивление X _L и емкостное сопротивление X _C определяется как импеданс в цепи аналог сопротивления переменного тока. Ток, напряжение и импеданс в цепи RLC связаны версией закона Ома для переменного тока:

[латекс]{I}_{0}=\frac{{V}_{0}}{Z}\ text{ или }{I}_{\text{rms}}=\frac{{V}_{\text{rms}}}{Z}\\[/latex].

Здесь I ₀ — пиковое значение тока, В ₀ — пиковое напряжение источника, а Z — импеданс цепи. Единицами импеданса являются омы, и его влияние на цепь, как и следовало ожидать: чем больше импеданс, тем меньше ток. Чтобы получить выражение для Z через R , X _L и X _C , мы теперь рассмотрим, как различные компоненты связаны с напряжением на источнике. Напряжение. Эти напряжения обозначены цифрой 9.0032 V _R , V _L и V _C , и V _C на рис. так что мы можем сказать, что токи в R , L и C равны и находятся в фазе. Но из предыдущего раздела мы знаем, что напряжение на катушке В _L опережает ток на одну четвертую периода, напряжение на конденсаторе В _С соответствует току на одну четвертую цикла, а напряжение на резисторе В _R точно совпадает по фазе с током. Figure 2 shows these relationships in one graph, as well as showing the total voltage around the circuit V  =  V _R  +  V _L  +  V _C , где все четыре напряжения являются мгновенными значениями. Согласно петлевому правилу Кирхгофа, общее напряжение в цепи равно В также является напряжением источника. Из рисунка 2 видно, что в то время как V _R находится в фазе с током, V _L опережает на 90°, а V

следует за ним на _{. Таким образом, V L и V C сдвинуты по фазе на 180º (гребень к впадине) и имеют тенденцию сокращаться, хотя и не полностью, если они не имеют одинаковую величину. Поскольку пиковые напряжения не выровнены (не по фазе), пиковое напряжение 9{2}}} \\ [/latex],}

, где V _{0 R} , V _{0 L} и V _{0 C —} и V _{0 CO} . R , L и C соответственно. Теперь, используя закон Ома и определения из Реактивного, Индуктивного и Емкостного, подставляем В ₀  =  I ₀ Z в приведенное выше, а также В _{0 9{2}}\\[/latex],}

, который представляет собой импеданс цепи переменного тока серии RLC . Для цепей без резистора принять R = 0; для тех, у кого нет индуктора, принять X _L = 0; а для тех, у кого нет конденсатора, возьмите X _C = 0.

Рисунок 2. На этом графике показано отношение напряжения в цепи RLC к току. Напряжения на элементах схемы складываются, чтобы равняться напряжению источника, которое, как видно, не совпадает по фазе с током.

Пример 1. Расчет импеданса и тока

Цепь серии RLC имеет резистор 40,0 Ом, катушку индуктивности 3,00 мГн и конденсатор 5,00 мкФ. (a) Найдите полное сопротивление цепи при 60,0 Гц и 10,0 кГц, отметив, что эти частоты и значения для L и C такие же, как в Примере 1 и Примере 2 из Реактивного, Индуктивного и Емкостного. (b) Если источник напряжения имеет В _СКЗ = 120 В, чему равно I _{СКЗ 9{2}}\\[/latex] , чтобы найти импеданс, а затем закон Ома, чтобы найти ток. {2 }}\\[/латекс] дает 9{2}}\\ & =& 190\text{ }\Omega\text{ на частоте }10,0\text{ кГц}\end{array}\\[/latex]}

Обсуждение для (a)

In В обоих случаях результат почти совпадает с наибольшим значением, а импеданс определенно не является суммой отдельных значений. Видно, что на высокой частоте доминирует X _L , а на низкой частоте X _C .

Раствор для (б)

Текущий I _{среднеквадратичное значение} можно найти, используя версию закона Ома для переменного тока в уравнении rms}}=\frac{{V}_{\text{rms}}}{Z}=\frac{120\text{V}}{531\text{}\Omega}=0,226\text{A}\ \[/латекс] при 60,0 Гц

Наконец, при 10,0 кГц мы находим

[латекс]{I}_{\text{rms}}=\frac{{V}_{\text{rms}}} {Z}=\frac{120\text{ V}}{190\text{ }\Omega}=0,633\text{ A}\\[/latex] на частоте 10,0 кГц

Обсуждение для (a)

Ток при частоте 60,0 Гц такой же (с точностью до трех цифр), что и для конденсатора в примере 2 из Reactance, Inductive, and Capacitive. Конденсатор доминирует на низких частотах. Ток на частоте 10,0 кГц лишь немного отличается от тока, найденного только для индуктора в примере 1 из Reactance, Inductive, and Capacitive. Индуктор доминирует на высоких частотах.

Резонанс в цепях переменного тока серии

RLC 9{2}}}\\[/latex]

Реактивные сопротивления зависят от частоты: X _L большие на высоких частотах и ​​ X _C большие на низких частотах, как мы видели в трех предыдущих примерах. На некоторой промежуточной частоте f ₀ реактивные сопротивления будут равны и сокращаются, что дает Z = R — это минимальное значение импеданса и максимальное значение для I _{среднеквадратичное значение} результатов. Мы можем получить выражение для f ₀ , взяв

X _L = X _C .

Подстановка определений X _L и X _C ,

[latex]2\pi f_{0}L=\frac }C}\\[/латекс].

Решение этого выражения для f ₀ дает

[латекс]{f}_{0}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\\[/latex],

, где f ₀ — резонансная частота цепи серии RLC . Это также собственная частота , при которой схема будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения. При f ₀ влияние катушки индуктивности и конденсатора компенсируется, так что Z = R , а I _{среднеквадратичное значение} является максимальным.

Резонанс в цепях переменного тока аналогичен механическому резонансу, где резонанс определяется как вынужденные колебания (в данном случае вызванные источником напряжения) на собственной частоте системы. Приемник в радио — это Цепь RLC , лучше всего генерирующая f ₀ . Переменный конденсатор часто используется для настройки f ₀ для получения желаемой частоты и отклонения других. На рисунке 3 представлен график зависимости тока от частоты, иллюстрирующий резонансный пик в I _{среднеквадратичных значений} при f ₀ . Две кривые относятся к двум разным цепям, которые отличаются только величиной сопротивления в них. Пик ниже и шире для схемы с более высоким сопротивлением. Таким образом, цепь с более высоким сопротивлением не резонирует так сильно и не будет такой избирательной, например, в радиоприемнике.

Рис. 3. График зависимости тока от частоты для двух цепей серии RLC, отличающихся только величиной сопротивления. Оба имеют резонанс при f ₀ , но при более высоком сопротивлении он ниже и шире. Источник управляющего переменного напряжения имеет фиксированную амплитуду В ₀ .

Пример 2. Расчет резонансной частоты и тока

Для той же цепи серии RLC , имеющей резистор 40,0 Ом, катушку индуктивности 3,00 мГн и конденсатор 5,00 мкФ: (a) Найдите резонансную частоту. (б) Вычислить I _rms при резонансе, если V _rms равно 120 В.

Стратегия

Резонансная частота находится с помощью выражения 1}{2\pi\sqrt{LC}}\\[/латекс]. Ток на этой частоте такой же, как если бы в цепи был только резистор.

Решение для (a)

Ввод заданных значений для L и C в выражение для f 9{-6}\text{ F}\right)}}=1.30\text{ кГц}\end{array}\\[/latex]

Обсуждение для (a)

Мы видим, что резонансная частота равна между 60,0 Гц и 10,0 кГц, двумя частотами, выбранными в предыдущих примерах. Этого и следовало ожидать, поскольку на низкой частоте преобладал конденсатор, а на высокой частоте — катушка индуктивности. Их эффекты одинаковы на этой промежуточной частоте.

Решение для (b)

Ток определяется законом Ома. В резонансе два реактивных сопротивления равны и компенсируются, так что импеданс равен одному сопротивлению. Таким образом,

[латекс] {I} _ {\ text {rms}} = \ frac {{V} _ {\ text {rms}}} {Z} = \ frac {120 \ text {V}} {40,0 \ text { }\Omega}=3.00\text{ A}\\[/latex].

Обсуждение для (b)

При резонансе ток больше, чем на более высоких и более низких частотах, рассматриваемых для той же цепи в предыдущем примере.

Мощность в цепях переменного тока серии

RLC

Если ток в цепи RLC зависит от частоты, то подаваемая на нее мощность также зависит от частоты. Но средняя мощность — это не просто ток, умноженный на напряжение, как в чисто резистивных цепях. Как видно на рисунке 2, напряжение и ток не совпадают по фазе в Цепь RLC . Существует фазовый угол ϕ между напряжением источника В и током I , который можно найти из

[латекс]\cos\varphi =\frac{R}{Z}\\[ /latex]

Например, на резонансной частоте или в чисто резистивной цепи Z  =  R , так что [latex]\text{cos}\varphi =1\\[/latex]. Это означает, что ϕ  = 0º и что напряжение и ток совпадают по фазе, как и ожидается для резисторов. На других частотах средняя мощность меньше, чем на резонансе. Это происходит как из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе, так и из-за того, что I _{среднеквадратичное значение} ниже. Тот факт, что напряжение и ток источника не совпадают по фазе, влияет на мощность, подаваемую в цепь. Можно показать, что средняя мощность равна

[латекс] {P} _ {\ text {ave}} = {I} _ {\ text {rms}} {V} _ {\ text {rms }}\cos\varphi\\[/latex],

Таким образом, cos  ϕ  называется коэффициентом мощности , который может принимать значения от 0 до 1. Коэффициенты мощности, близкие к 1, желательны, например, при разработке эффективного двигателя. . На резонансной частоте cos ϕ = 1.

Пример 3. Расчет коэффициента мощности и мощности

Для той же серии RLC с резистором 40,0 Ом, катушкой индуктивности 3,00 мГн, конденсатором 5,00 мкФ и источником напряжения с V _rms для 120 В: (a) Рассчитайте коэффициент мощности и фазовый угол для f = 60,0 Гц. {-1} 0,0753=\текст{85,7º}\текст{ при }60,0\текст{Гц}\\[/латекс].

Обсуждение для (a)

Фазовый угол близок к 90º, что согласуется с тем фактом, что конденсатор доминирует в цепи на этой низкой частоте (чистая цепь RC имеет напряжение и ток, сдвинутые по фазе на 90º) .

Стратегия и решение для (B)

Средняя мощность при 60,0 Гц составляет

P _AVE = I _RMS V 33398._.

I _{Среднеквадратичное значение} оказалось равным 0,226 А в Пример 1: Расчет импеданса и тока . Ввод известных значений дает

P _ср = (0,226 А)(120 В)(0,0753) = 2,04 Вт при 60,0 Гц.

Стратегия и решение для (c)

На резонансной частоте мы знаем, что cos ϕ = 1, и I _{среднеквадратичное значение} равно 6,00 А в . . Таким образом, P _ave = (3,00 A)(120 В)(1) = 360 Вт при резонансе (1,30 кГц)

большей мощности, чем на более высоких и более низких частотах.

Мощность, подаваемая в цепь переменного тока серии RLC , рассеивается только за счет сопротивления. Катушка индуктивности и конденсатор имеют входную и выходную энергию, но не рассеивают ее из цепи. Скорее они передают энергию туда и обратно друг другу, при этом резистор рассеивает именно то, что источник напряжения помещает в цепь. Это предполагает отсутствие значительного электромагнитного излучения от катушки индуктивности и конденсатора, такого как радиоволны. Такое излучение может происходить и может быть даже желательным, как мы увидим в следующей главе об электромагнитном излучении, но его также можно подавить, как в случае с этой главой. Схема аналогична колесу автомобиля, движущегося по неровной дороге, как показано на рис. 4. Равномерно расположенные неровности на дороге аналогичны источнику напряжения, приводящему в движение колесо вверх и вниз. Амортизатор аналогичен сопротивлению, демпфирующему и ограничивающему амплитуду колебаний. Энергия в системе переходит туда и обратно между кинетической (аналогично максимальному току и энергии, хранящейся в индукторе) и потенциальной энергией, запасенной в автомобильной пружине (аналогично отсутствию тока и энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора). Амплитуда движения колес максимальна, если удары о неровности дороги происходят на резонансной частоте.

Рис. 4. Принудительное, но демпфированное движение колеса на рессоре автомобиля аналогично цепи переменного тока серии RLC . Амортизатор гасит движение и рассеивает энергию, аналогично сопротивлению в цепи RLC . Масса и пружина определяют резонансную частоту.

Чистая цепь LC с незначительным сопротивлением колеблется на частоте f ₀ , той же резонансной частоте, что и цепь RLC . Он может служить эталоном частоты или тактовой схемой, например, в цифровых наручных часах. При очень малом сопротивлении для поддержания колебаний требуется лишь очень небольшая затрата энергии. Схема аналогична автомобилю без амортизаторов. Как только он начинает колебаться, он некоторое время продолжает работать на своей собственной частоте. На рис. 5 показана аналогия между LC цепь и масса на пружине.

Рис. 5. LC-контур аналогичен массе, колеблющейся на пружине без трения и движущей силы. Энергия движется вперед и назад между катушкой индуктивности и конденсатором точно так же, как она движется от кинетической к потенциальной в системе масса-пружина.

PhET Explorations: комплект для построения цепей (AC+DC), виртуальная лаборатория

Создавайте схемы с конденсаторами, катушками индуктивности, резисторами и источниками переменного или постоянного напряжения и проверяйте их с помощью лабораторных приборов, таких как вольтметры и амперметры.

Нажмите, чтобы загрузить симуляцию. Запуск с использованием Java.

Резюме раздела

• Аналогией переменного сопротивления является импеданс Z , комбинированный эффект резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, определяемый версией закона Ома для переменного тока:

  [латекс] {I}_{0}=\frac{{V}_{0}}{Z}\text{ или }{I}_{\text{rms}}=\frac{{V}_ {\text{rms}}}{Z}\\[/латекс],

  , где I _o — пиковое значение тока, а В _o — пиковое напряжение источника. 9{2}}\\[/латекс].

• Резонансная частота f ₀ , при которой X _L   = X _C , равна

  [латекс]{f}_{0}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\\[/latex]

• В цепи переменного тока имеется фазовый угол ϕ между напряжением источника В и током I , который можно найти из

  [латекс]\text{cos}\varphi =\frac{R}{Z}\\[/латекс],

• ϕ  = 0º для чисто резистивной цепи или Цепь RLC в резонансе.
• Средняя мощность, подаваемая в цепь RLC , зависит от фазового угла и определяется выражением

  [латекс] {P} _ {\ text {ave}} = {I} _ {\ text {rms}} {V} _ {\ text {rms}} \ cos \ varphi \\ [/latex],

  cos ϕ называется коэффициентом мощности, который принимает значения от 0 до 1.

Концептуальные вопросы

1. Зависит ли резонансная частота цепи переменного тока от пикового напряжения источника переменного тока? Объясните, почему да или почему нет.

2. Предположим, у вас есть двигатель с коэффициентом мощности значительно меньше 1. Объясните, почему было бы лучше улучшить коэффициент мощности в качестве метода улучшения выходной мощности двигателя, а не увеличивать входное напряжение.

Задачи и упражнения

1. Схема RL состоит из резистора 40,0 Ом и катушки индуктивности 3,00 мГн. (а) Найдите его импеданс Z при 60,0 Гц и 10,0 кГц. (b) Сравните эти значения Z со значениями, найденными в Пример 1: расчет импеданса и тока , в котором также был конденсатор.

2. Цепь RC состоит из резистора 40,0 Ом и конденсатора 5,00 мкФ. (а) Найдите его импеданс на частотах 60,0 Гц и 10,0 кГц. (b) Сравните эти значения Z со значениями, найденными в Пример 1: Расчет импеданса и тока , в котором также была катушка индуктивности.

3. Схема LC состоит из катушки индуктивности 3,00 мГн и конденсатора 5,00 мкФ. (а) Найдите его импеданс на частотах 60,0 Гц и 10,0 кГц. (б) Сравните эти значения Z с найденными в Пример 1: Расчет импеданса и тока , в котором также был резистор.

4. Какова резонансная частота катушки индуктивности 0,500 мГн, подключенной к конденсатору емкостью 40,0 мкФ?

5. Для приема AM-радио вам понадобится схема RLC , которую можно заставить резонировать на любой частоте от 500 до 1650 кГц. Это достигается с помощью фиксированной катушки индуктивности 1,00 мкГн, соединенной с переменным конденсатором. Какой диапазон емкости нужен?

6. Предположим, у вас есть запас катушек индуктивности в диапазоне от 1,00 нГн до 10,0 Гн и конденсаторов в диапазоне от 1,00 пФ до 0,100 Ф. Каков диапазон резонансных частот, который может быть получен при комбинации одной катушки индуктивности и одного конденсатора ?

7. Какая емкость необходима для получения резонансной частоты 1,00 ГГц при использовании катушки индуктивности 8,00 нГн?

8. Какая индуктивность необходима для получения резонансной частоты 60,0 Гц при использовании конденсатора 2,00 мкФ?

9. Самая низкая частота в диапазоне FM-радио составляет 88,0 МГц. а) Какая индуктивность необходима для получения этой резонансной частоты, если он подключен к конденсатору емкостью 2,50 пФ? (b) Конденсатор переменный, что позволяет регулировать резонансную частоту до 108 МГц. Какая должна быть емкость на этой частоте?

10. Цепь RLC серии имеет резистор 2,50 Ом, катушку индуктивности 100 мкГн и конденсатор 80,0 мкФ. (a) Найдите полное сопротивление цепи при частоте 120 Гц. (b) Найдите полное сопротивление цепи на частоте 5,00 кГц. (c) Если источник напряжения имеет В _{среднеквадратичное значение} = 5,60 В, чему равно I _{среднеквадратичное значение} на каждой частоте? г) Какова резонансная частота цепи? (e) Чему равно I _{среднеквадратичное значение} при резонансе?

11. Цепь серии RLC имеет резистор 1,00 кОм, катушку индуктивности 150 мкГн и конденсатор 25,0 нФ. а) Найдите полное сопротивление цепи на частоте 500 Гц. (b) Найдите полное сопротивление цепи на частоте 7,50 кГц. (c) Если источник напряжения имеет В _{среднеквадратичное значение} = 408 В, чему равно I _{среднеквадратичное значение} на каждой частоте? г) Какова резонансная частота цепи? (e) Чему равно I _{среднеквадратичное значение} при резонансе?

12. Цепь серии RLC имеет резистор 2,50 Ом, катушку индуктивности 100 мкГн и конденсатор 80,0 мкФ. (а) Найдите коэффициент мощности при f  = 120 Гц. (b) Каков фазовый угол на частоте 120 Гц? в) Какова средняя мощность на частоте 120 Гц? г) Найдите среднюю мощность на резонансной частоте контура.

13. Схема серии RLC имеет резистор 1,00 кОм, катушку индуктивности 150 мкГн и конденсатор 25,0 нФ. (а) Найдите коэффициент мощности при f  = 7,50 Гц. б) Каков фазовый угол на этой частоте? в) Какова средняя мощность на этой частоте? г) Найдите среднюю мощность на резонансной частоте контура.

14. Цепь серии RLC имеет резистор 200 Ом и катушку индуктивности 25,0 мГн. При 8000 Гц фазовый угол составляет 45,0º. а) Чему равно сопротивление? б) Найдите емкость цепи. (в) Если 9{2}}\\[/латекс]

резонансная частота:

частота, при которой полное сопротивление в цепи минимально, а также частота, при которой цепь колебалась бы, если бы она не приводилась в действие источником напряжения; рассчитано по формуле [латекс]{f}_{0}=\frac{1}{2\pi \sqrt{\text{LC}}}\\[/latex]

фазовый угол:

обозначается ϕ , величина, на которую напряжение и ток не совпадают по фазе друг с другом в цепи

коэффициент мощности:

величина, на которую мощность, подаваемая в цепь, меньше теоретического максимума цепи из-за несовпадения фаз напряжения и тока; рассчитывается по cos ϕ

Избранные решения задач и упражнений

1. (a) 40,02 Ом при 60,0 Гц, 193 Ом при 10,0 кГц (b) При 60 Гц, с конденсатором Z = 531 Ом, что более чем в 13 раз выше, чем без конденсатора.