Закон кирхгофа для переменного тока – Применение законов Кирхгофа для цепей переменного тока. — КиберПедия

Применение законов Кирхгофа для расчета цепей переменного тока

Формулировка этих законов точно такая же для цепей переменного тока, если использовать мгновенные или комплексные значения этих величин.

Рассмотрим их на примере схемы

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа, определим емкостное сопротивление каждого из конденсаторов и индуктивного сопротивления катушек.

X_C1=X_C2=

Определяем комплексные сопротивления

Z_C1=-jX_C

1Z_C2=-jX_C2Z_L2=jX_L2Z_L3=jX_l3

I1=I2+I3

R1I1+JX_L2I2-jX_C2I2-jX_C1I1=E2

R3I3+jX_L3I3-(-jX_C2)I2-jX_L2I2=E2-E3

Часто условия задачи или схема заданы так:

Найти: I

В задаче R=10 Ом X_L=20 Ом X_C=30 Ом

В комплексной форме: Z_L=20j Z_C=-30j

Z=R+jX_L-JX_C=10+20j-30j=10-10j Ом

U=20В U=Um*Sin(ωt±φ) φ=0 => U=Ue^iφ=20e^iφ=20

Схема замещения реальных элементов

Ранее было показано, что в целях переменного тока сопротивление оказывают:

1. L_p – индуктивность тока

2. R_общ – сопротивление провода обмотки

3. R_g – сопротивление диэлектрика

При расчете задач с сопротивлением мы всегда считали, то сопротивление в чистом виде. На тех частотах, на которых работают электротехнические устройства так и есть, но на высоких частотах в основном для радиотехнических устройств картина меняется. В качестве примера рассмотрим кусок провода.

ρ – удельное сопротивление (по таблице)

S – площадь поперечного сечения

На высоких частотах (начиная с сотен кГц) сказывается поверхностный эффект. Его суть в том, что переменное магнитное поле наводит в проводнике вихревые токи. Они вытесняют рабочий ток к поверхности проводника и внутренняя часть проводника не используется. Условно получается трубка. Очевидно, что резко уменьшается площадь, а значит повышается сопротивление. Поэтому проводные линии высокочастотных связей изготавливают би-металлическими.

Если рассмотреть проволочный реостат, то в схеме замещения приходится учитывать индуктивность обмотки, хотя она так же сказывается на высоких частотах.

X_L=ωL_P R>>ωL_P

Сопротивление проводника так же зависит от температуры

R=R0(1+α∆t), где α – температурный коэффициент (по справочнику)

В катушках индуктивности существует сопротивление обмотки, особенно, если провод имеет малый диаметр, а обмотка большое число витков. В идеальной катушке напряжение и ток сдвинуты на π/2, а в реальности меньше.

Качество элементов оценивается его добротностью.

В конденсаторах далее не учитывали сопротивление диэлектриков, считая его бесконечно большим. Токи утечек внутри конденсатора отсутствовали.

ωс – емкостная проводимость g=1/Rg – проводимость утечки.

Рассмотренные схемы замещения относятся к конкретным элементам электрических цепей. Аналогичным образом приходится учитывать сопротивление дорожек схемы и контактное сопротивление, емкость между дорожками или индуктивность проводов.

На высоких частотах возможны и резонансные явления (из-за паразитных L и C) Цепи с индуктивными связанными элементами взаимная индуктивность.

Два элемента электрической цепи называются индуктивно связанными, если протекание тока по 1 из них вызывает появление ЭДС в другом.

w1,w2 – число витков катушки

Пропустим ток I по первой катушке. При протекании тока по обмотке с числом витков w и можно определить потокосцепление.

Ψ11=w11*Φ

‘11’ – значит поле создано первой катушкой и обхватывает именно эту катушку.

Из рисунка видим, что поле 1й катушки охватывает 2ю катушку. Ее потокосцепление равно:

При влиянии поля первой катушки на вторую, вводим понятие взаимной индуктивности. M21 [Гн] Генри.

Допустим, ток протекает по 2й обмотке:

Картина распределяет поле аналогичная и так же можно определить взаимную индуктивность этих обмоток. Оказывается, что нет разницы с какой стороны эту взаимную индуктивность определять.

M21=M12=M {X_М}=ωM – сопротивление взаимной индуктивности.

Степень индуктивной связи

<1

studfile.net

ТОЭ Лекции — №18 Законы Кирхгофа в цепях переменного тока

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

где n — число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

где m — число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Киргофа в символической форме

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).

Токи первых двух ветвей известны:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Решение 1.

Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

откуда

Итак

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

По первому закону Киргофа в символической форме

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент — начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.

toehelp.com.ua

Лекция 6. Направление эдс, тока, напряжения. Второй закон Кирхгофа.Электрические цепи переменного тока. Характеристики переменного тока

Для однозначного описания процессов в электрической цепи необходимо знать не только значение величин, но и направление этих величин.

За направление тока принято движение положительных зарядов от большего потенциала к меньшему (φ_А>φ_В).

Направление напряжения в элементе электрической цепи совпадает с направлением тока в данном элементе (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Направление тока и напряжения

Рис.6.2. Направление ЭДС внутри источника

Направление ЭДС внутри источника – в сторону большего потенциала (рис. 6.2).

ЭДС самоиндукции направлена внутри катушки в сторону большего потенциала (рис. 6.3).

Рис. 6.3 – Направление ЭДС внутри катушки

При указанном направлении ЭДС самоиндукции правило Ленца уже учтено.

. (6.1)

Единица измерения ЭДС: [e] = 1 В.

Второй закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре численно равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

, (6.2)

где – падение напряжения на i-том элементе электрической цепи;n, m – соответственно число элементов и источников замкнутого участка электрической цепи;– ЭДСk-того источника.

Алгебраическая сумма означает, что токи, напряжения, ЭДС (I,U,e) могут браться со знаком «+» или со знаком «–».

Направления обхода контура и токов в ветвях цепи выбирается произвольно.ЭДС и паде­ния напряжения, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком «+», иначе – со знаком «–».

Рассмотрим замкнутый участок электрической цепи, который представляет часть более сложной электрической схемы (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Замкнутый участок электрической цепи

Согласно выражению (6.2) для рис. (6.3) уравнение имеет вид:

. (6.4)

Электрические цепи переменного тока. Характеристики переменного тока

Электрическая энергия в большинстве случаев производится, распределяется, потребляется в виде электроэнергии переменного тока. В первую очередь это обусловлено тем, что переменный ток легко передавать с одного места в другое.

В цепях переменного тока значение тока, напряжения, ЭДС периодически меняются по гармоническому закону, а сами изменения величин называются гармоническими колебаниями

;, (6.5)

где х– переменная функция, роль которой могут игратьi,u,e, и т.д.;

А – амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение колеблющейся величины;

– полная фаза колебаний;

– циклическая частота собственных гармонических колебаний.

Значение А удовлетворяет следующим условиям:

1);

2) так как , то.

Амплитуда определяется первоначальным толчком энергии, который выводит колеблющуюся (энергию) систему из положения равновесия.

Пусть , тогда при, т.е.– фаза колебания в начальный момент времени. Она называется начальной фазой колебания и определяется выбором начала отсчета времени.

Периодом Т называется промежуток времени, за который фаза колебаний изменяется на 2π, размерность периода .

Рассмотрим два момента времени t₁мt₂:

; (6.7)

; (6.8)

. (6.9)

Согласно определению периода

или , (6.10)

Единица циклической частоты: .

Частота ν– число полных колебаний за 1 секунду.

. (6.11)

Единица частоты:.

1 Гц – это частота таких колебаний, при которых за 1 секунду совершается одно полное колебание.

, (6.12)

Таким образом, – физическая величина, численно равная числу полных колебаний за время.

Рис. 6.4. График гармонических колебаний

Целесообразность использования гармонических законов по сравнению с негармоническими обусловлена следующими факторами:

• большими значениями КПД генераторов, двигателей, трансформаторов;

studfile.net

Занятие 20. Законы Кирхгофа

а) Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

где m– число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус».

Например, для узла а :

I — I₁ — I₂ = 0.

Рис.20.1. Токи в узле электрической цепи

б) Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

где n– число источников ЭДС в контуре;m– число элементов с сопротивлениемRк в контуре;U_к = R_кI_к– напряжение или падение напряжения на к_-мэлементе контура.

Для заданной схемы запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

E = UR + U1.

Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде:

алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС равна нулю

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

• задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

• выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

• записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической заданной схемы:

• контур I: E = R_I + R₁I₁ + r₀I,

• контур II: R₁I₁ + R₂I₂ = 0,

• контур III: E = RI + R₂I₂ + r₀I.

Занятие 21 Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник».

Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением Rэкв,и вся схема представляется в виде схемы , представленной на рисунке, гдеR=Rэкв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.

а) Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Рис.21.1. Последовательное соединение элементов цепи

Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I

При последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков.

Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэкв.

Для заданной схемы: Rэкв = R₁ + R₂ + R₃.

В общем случае

Общее сопротивление такой цепи равно:

R общ = R₁+ R₂+ ….. + Rn

Напряжения в такой цепи равны:

Uобщ = U₁+ U₂+ ….. + Un

Токи в такой цепи равны:

I общ = I₁= I₂= ……= In

б) Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным соединением резисторов называется такое соединение, при котором начала всех резисторов соединены в одну общую точку, концы резисторов соединены в другую общую точку.

Эти точки называются узловыми точками или узлами.

Линии цепи между двумя узловыми точками называются ветвями.

Рис.21.2. Параллельное соединение резисторов

Общее сопротивление такой цепи равно:

Для двух резисторов:

Напряжения в такой цепи равны:

Uобщ = U₁= U₂= …..= Un

Токи в такой цепи равны:

I общ = I₁+ I₂ +…..+ In

в) Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

В схемах со смешанным соединением резисторов имеются элементы как последовательного, так и параллельного соединения . (например : см.рис.20..3)

Рис.21. 3. Пример смешанного соединения.

При расчете схем со смешанным соединением необходимо учитывать формат схемы, т.е. каким образом соединены резисторы между собой. Для каждой схемы необходимо составлять свою систему уравнений.

Методика расчета схем смешанного соединения резисторов следующая:

• определить наличие и количество контуров с параллельно соединенными резисторами;

• определить величину эквивалентного сопротивления каждого из данных контуров;

• найти сумму значений эквивалентных сопротивлений и сопротивлений последовательно соединенных резисторов.

Например, имеем схему из трех резисторов. в которой два резистора R₁ иR₂ включены параллельно, а к ним последовательно подсоединены два резистораR₃ иR₄.

Расчет произведем следующим образом:

Определим эквивалентное сопротивление контура из параллельно соединенных резисторов:

Определим общее сопротивление всей цепи:

R_общ = R_экв + R₃ + R₄

г) Потенциальная диаграмма неразветвленной электрической цепи

Потенциальная диаграмма– график распределения потенциалов вдоль любого участка цепи или контура.

При этом по оси абсцисс откладывается сопротивление участков цепи, а по оси ординат – потенциалы между этими участками.

Возьмем цепь (см. рис.21.4)

Рис.21.4 Электрическая схема Рис.21.5. Потенциальная диаграмма цепи

studfile.net

Первый закон кирхгофа

Формулируется для токов и узлов схемы. Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна 0.

∑ I=0

Со знаком + берутся токи идущие от узла, — идет ток входящий в узел.

“a” 3 2 1 ток I1+I2+I3=0 3 ветви, 3 тока

“b” -I2-I5+I4=0

“c” I5-I1-I6=0

“d” -I3+I6-I4=0

Второй закон кирхгофа

Формулируется для замкнутого контура. Используем независимые контуры 1 2 3.

Алгебраическая сумма падений напряжений контура равна алгебраической сумме ЭДС этого контура.

Со знаком + сюда входят слагаемые совпадающие по направлению обхода контура. Падение напряжения на каждом элементе определяются по закону Ома и они направлены в соответствие с током в этой же ветви. (по часовой стрелке)

1 контур -I1R1-I1R1’+I2R2-I5R5=E1-E2

E1 совпадает –E2 встречно; 4 резистора

2 контур +I3R3-I4R4-I2R2=E2+E4

3 контур I5R5+I4R4+I6R6=-E6-E4

Допустим в схеме добавлен вольтметр. Определить показание вольтметра. Использовать 2 закон Кирхгофа

U+I6R6=-E6

U=-E6-I6R6

-U+I5R5+I4R4=-E4

U=I5R5+I4I4+E4

Баланс мощности в цепях постоянного тока

Позволяет проверить правильность найденных токов и напряжений. Согласно закону сохранения энергии вся мощность, отдаваемая источниками должна быть полностью рассеиваться в приемниках. При правильном расчете мощность источников и приемников одинаковы.

Pист=Pпр

На любом резисторе.

P=I²*R

Мощность источника ЭДС определяется следующем образом

P=±E*I

“+” если направление E и I совпадают, “-“ наоборот.

Для схемы:

Pпр=I1²*R1+I1²*R1’+I²*R2+I3²*R3+I4²*R4+I5²*R5+I6²*R6

Pист=-E1*I1-E2*I2-E4*I4-E6*I6

Часто в электрических схемах приходится учитывать источники тока.

Идеальный источник тока имеет внутреннее сопротивление. P=∞ и так весь ток идет в нагрузку. В ветви с источником тока ток всегда равен току этого источника, причем не зависимо от количества резисторов и источников ЭДС в этой ветви.

Введем источник тока в изображенную ранее схему. Добавление источника увеличивает количество контуров, поэтому для исключения лишнего контура преобразуем источник тока в эквивалентный ЭДС

Eэкв=I*R1

Направлен на встречу току источника!

При составлении баланса мощности источник тока так же необходимо учитывать.

Py=I*Uy где Uy=I1R1+E1

Эквивалентные преобразования схем

1. Последовательное соединение элементов

В пределах ветви протекает один и тот же ток.

По закону ома U1=I*R1 U2=I*R2 U3=I*R3

По 2му закону Кирхгофа U1+U2+U3-U=0 U=U1+U2+U3= общее питающее напряжение

=I*R1+I*R2+I*R3=I(R1+R2+R3)=IRэкв , где Rэкв =R1+R2+R3

Вывод:

При последовательном соединении эквивалентное сопротивление больше каждого из элементов.

2. Параллельное соединение элементов.

I1+I2+I3-I=0 I=I1+I2+I3

I=

I1=I2=I3=

=++(:U)

=++

Часто в задачах параллельно соединяется только 2 элемента. Тогда

=+=Rэкв=

Их эквивалентное сопротивление всегда меньше меньшего из них. 100*10/100+10=9…

Если параллельно соединяются два элемента одинакового номинала, то их общее сопротивление будет ровно половина этого номинала. 10*10/10+10=5 (для 3 1/3, для 4 ¼)

3. Взаимное образование трехлучевой звезды сопротивления и треугольника сопротивления.

Такое преобразование часто применяется при определении входного сопротивление сложной схемы по отношению к какой-либо ветви или при определении входного сопротивление двухполюсника.

Часто удобнее использовать не сопротивления, а проводимости

g1=g2=g3=

g12=  g13=  g23=

Не путать с взаимными проводимостями ветвей!

Звезды в треугольник

g12=

g13=

g23=

Треугольник в звезду

R1=

R2=

R3=

studfile.net

Законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока

Законы Кирхгофа, рассмотренные ранее для цепей постоянного тока, справедливы и для мгновенных значений синусоидального тока.

Первый закон Кирхгофаприменяется к узлам электрической цепи и гласит:алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.

i_k = 0,

где i_k— токk-й ветви, присоединенной к данному узлу;n— число ветвей, подключенных к данному узлу.

Токи, направленные к узлу, записываются со знаком “+”, а направленные от узла — со знаком “–” (или наоборот).

Второй закон Кирхгофаприменяется к контурам электрической цепи. Контур — любой путь вдоль ветвей электрической цепи, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке. Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом:алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, действующих в этом контуре:

u_k = e_k,

где u_k— напряжение на к-м сопротивлении контура;e_k — к-я ЭДС, входящая в данный контур;n — число сопротивлений в контуре;m — число ЭДС в контуре.

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа направление обхода контура выбирается произвольно. ЭДС и падения напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода контура, считаются положительными.

Законы Кирхгофамогут быть представлены в векторной или комплексной формах:

_k = 0, _k = _k,

Расчет электрических цепейпо законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока проводится в том же порядке, что и для цепей постоянного тока.

Резистивный элемент в цепи синусоидального тока

Рассмотрим цепь, содержащую только резистивный элемент (резистор) с сопротивлением R. Мгновенное значение тока в цепи с резистором (рис. 3,а) определяется по закону Ома:

i_R = u_R / R,

если u_R  = U_m sin t, получимi_R= (U_m /R) sint = I_m sin t, гдеI_m= U_m/R, разделив левую и правую части на, получим закон Ома для цепи с резистором, выраженный через действующие значения напряжения и тока в нем:

I = U / R.

Сравнивая выражения для тока i_R и напряженияu_Rможно сделать вывод о том, чтона резистивном элементе фазы напряжения и тока совпадают. Для цепи с резистором закон Ома в комплексной форме имеет вид:

, .

Мгновенная мощность произвольного участка цепи может быть определена как произведение мгновенных значений напряжения и тока этого участка и представляет собой скорость изменения энергии в данный момент времени. Учитывая отсутствие фазового сдвига между напряжением u_Rи токомi_Rна резистивном элементе, а также принимая значения начальных фаз напряжения и тока равными нулю, получим для мгновенной мощности резистивного элементаp_R:

p_R = u_Ri_R= U_msin(t)I_msin(t) = UI(1—cos(2t)).

Мгновенная мощность p_Rсодержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, частота изменения которой в два раза больше, чем частота напряжения (или тока). Мгновенная мощность резистора никогда не принимает отрицательных значений. Физически это означает, что имеет место только односторонняя передача энергии: от источника энергии к резистору. В резисторе энергия не накапливается, а преобразуется в другие виды энергии (например, в тепловую).

Векторная диаграмма цепи (рис. 3, а) изображена на рис. 3,б, а графики мгновенных значений токаi_R, напряженияu_Rи мощностиp_Rрезистивного элемента представлены на рис. 3,в.

Рис. 3

studfile.net

Законы Кирхгофа

Первый закон (закон Кирхгофа для токов): алгебраическая сумма всех токов в каждом узле цепи всегда равна нулю, т.е.

(2.4)

Здесь k – номера ветвей, которые присоединены к данному узлу. При этом токи, направления отсчетов которых ориентированы к узлу и от него, берутся с противоположными знаками (рис. 2.5а).

Рис. 2.5. Системы отсчетов:

а) токов; б) напряжений

Второй закон (закон Кирхгофа для напряжений): алгебраическая сумма всех напряжений ветвей в любом контуре цепи всегда равна нулю, т.е.

. (2.5)

Здесь k – номера ветвей, входящих в контур. При этом напряжения, направления отсчетов которых совпадают с выбранным направлением обхода контура, берутся со знаком плюс, а напряжения, направления отсчетов которых не совпадают с выбранным направлением обхода контура – берутся со знаком минус (рис. 2.5б).

2.2 Методы анализа электрических цепей

Анализ электрической цепи заключается в определении токов и напряжений при заданных параметрах источников энергии.

Для этого на основании законов Кирхгофа составляют уравнения, которые описывают электрическое состояние цепи.

Большой круг электронных устройств представляются линейными цепями, т.е. цепями, токи и напряжения в которых связаны между собой линейными зависимостями. Например, для цепи, приведенной на рис. 2.6, на основании второго закона Кирхгофа, с использованием связи между током и напряжениями на идеальных элементах R, L, C (2.1) – (2.3), получим линейное интегро-дифференциальное уравнение:

. (2.6)

Рис. 2.6. Последовательный колебательный контур

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции (наложения), то их удобно анализировать при гармоническом входном воздействии, а отклик цепи на сложный вынуждающий входной сигнал удобно представить в виде разложения по гармоническим составляющим – рядом Фурье или преобразованием Фурье.

Анализ линейных цепей при гармоническом воздействии существенно упрощается, если воспользоваться методом комплексных амплитуд.

2.2.1. Основы метода комплексных амплитуд

Гармоническому колебанию какой-либо физической величины

(2.7)

сопоставляется комплексное представление

. (2.8)

Здесь: – сомножитель, описывающий временную зависимость;– мнимая единица;– комплексная величина, называемаякомплексной амплитудой соответствующей физической величины. Модуль комплексной амплитуды определяет амплитуду исходного колебания, а аргумент– начальную фазу.

В теории цепей гармоническим колебаниям напряжения и тока сопоставляются комплексы:

, (2.9)

, (2.15)

где и– комплексные амплитуды напряжения и тока. В конкретных цепяхиявляются искомыми переменными в уравнениях электрического равновесия. Решение этих уравнений в комплексной форме определяет амплитуды и начальные фазы изначально искомых напряжений и токов:,;,. Формально переход от комплексных амплитуд к мгновенным значениям напряжений и токов осуществляется посредством формулы:

. (2.10)

Представленные выше исходные понятия теории электрических цепей в комплексной форме принимают вид, приведенный в таблице 2.2.

Важным свойством метода комплексных амплитуд является то, что операциям дифференцирования и интегрирования соответствуют умножение и деление на . Это приводит к тому, что, например, электрическое состояние цепи, приведенной на рис. 2.6, методом комплексных амплитуд будет представлено не интегро-дифференциальным уравнением (2.6), а линейным алгебраическим уравнением

, (2.6а)

решение которого, с учетом формулы (2.10), легко находится.

Таким образом, применение метода комплексных амплитуд существенно упрощает получение результатов при анализе гармонических колебаний в линейных физических системах. Его положительным качеством также является наглядность представления гармонических процессов посредством векторных диаграмм на комплексной плоскости.

Таблица 2.2

Основные понятия теории электрических цепей в комплексной форме

Напряжение
Ток
Источник напряжения			(2.11)
Источник тока			(2.12)
Резистивность			(2.13)
Емкость			(2.14)
Индуктивность			(2.15)
Первый закон Кирхгофа			(2.16)
Второй закон Кирхгофа			(2.17)

studfile.net