Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 3
При свертке параллельных ветвей эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сворачиваемых.
Если параллельно соединены n одинаковых сопротивлений (Рис. 3.3), эквивалентное сопротивление в n раз меньше сопротивления любой из ветвей.
Рис. 3.3
Если на участке цепи параллельно соединены лишь два элемента (Рис. 3.4), выражение (3.2) упрощается. В этом случае эквивалентное сопротивление можно определить как отношение произведения двух сопротивлений к их сумме:
Рис. 3.4
4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
К основным законам электрических цепей относятся закон Ома и законы Кирхгофа.
Закон Ома
Если в ветви не содержится ЭДС, к ней применим уже известный закон Ома для пассивного участка цепи (1.1). Его можно сформулировать и следующим образом. Ток в ветви, не содержащей ЭДС, равен падению напряжения в ветви, деленному на сопротивление ветви (Рис. 4.1):
Рис. 4.1
Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС, позволяет найти ток этой ветви по известной разности потенциалов на концах ветви. Ток в ветви, содержащей ЭДС, равен дроби, знаменатель которой – это сопротивление ветви. В числителе дроби – напряжение на концах ветви плюс алгебраическая сумма ЭДС, заключенных между концами ветви. С плюсом берутся напряжения и ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, с минусом – противоположные.
В частности, ток в ветви, изображенной на Рис. 4.2, равен:
.
Рис. 4.2Первый закон Кирхгофа
В любом узле цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. При этом, токи, направленные к узлу, принято считать положительными, токи, направленные от узла, принято считать отрицательными (Рис. 4.3).
Рис. 4.3
По первому закону Кирхгофа можно написать столько уравнений, сколько узлов содержит схема. Но не все они будут независимыми. Если схема содержит узлов, независимыми будут уравнений. Оставшееся уравнение будет являться следствием всех предыдущих.
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в контур.
При этом, положительными считаются те напряжения и ЭДС, которые совпадают с направлением обхода контура, отрицательными считаются напряжения и ЭДС, которые противоположны направлению обхода контура. Направление обхода контура можно выбирать произвольно.
Алгоритм составления уравнения по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи
Для заданного контура (Рис. 4.4 а) уравнение по второму закону Кирхгофа составляется в следующем порядке:
Рис. 4.4 а
- Задается направление токов в ветвях (Рис. 4.4 б).
Рис. 4.4 б
- Выбирается направление обхода контура (Рис. 4.4 в).
Рис. 4.4 в
- Записывается уравнение, в левой части которого – сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. В правой части – сумма ЭДС контура.
Примечание: Падение напряжения на сопротивлении ветви записывается в соответствии с известным уже законом Ома (1.1):
Применение второго закона Кирхгофа для незамкнутого участка цепи
Второй закон Кирхгофа справедлив только для замкнутого контура. При этом, любой незамкнутый участок цепи можно дополнить до замкнутого контура с помощью напряжения в разрыве незамкнутого участка.
Пример 4.1:
Незамкнутый участок цепи abcd изображен на Рис. 4.5 а.
а)
б)
Рис. 4.5
Дополняем участок до замкнутого контура, добавляя напряжение между незамкнутыми точками c и d (Рис. 4.5 б). Теперь для контура abcd можно записать второй закон Корхгофа:
Применение законов Кирхгофа при наличии в цепи источника тока
Источник тока имеет бесконечно большое сопротивление, поэтому не образует замкнутого контура и не может входить в уравнения второго закона Кирхгофа. Однако, в уравнениях первого закона Кирхгофа источник тока должен содержаться обязательно.
При необходимости записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока, его заменяют напряжением на выводах источника тока.
Пример 4.2:
Написать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a и уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd (Рис. 4.6 а).
а)
б)
Рис. 4.6
Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a содержит источник тока и имеет вид:
Для того чтобы написать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd, заменяем источник тока напряжением на его выводах (Рис. 4.6 б), задаем направление обхода контура против часовой стрелки и получаем:
Для упрощения расчетов источник тока с параллельным сопротивлением можно заменить на эквивалентный источник ЭДС (Рис. 4.7). После расчета необходимо обязательно вернуться к исходной схеме.
Рис. 4.7
Независимый контур цепи
В принципе, по второму закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько контуров содержит цепь. Но не все эти уравнения будут независимыми. Для определения независимости уравнений по второму закону Кирхгофа вводится такое понятие как независимый контур цепи.
Независимый контур цепи – это такой контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не вошедшую в другие контуры цепи.
Независимые контуры в общем случае выбираются произвольно, но проще всего выбирать их так, чтобы они совпадали с ячейками цепи (Рис. 4.8 б).
а)
б)
Рис. 4.8
Если схема содержит ветвей и узлов, число независимых контуров равно
.
Схема на Рис. 4.8 б содержит три независимых контура.
5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТА ТОКОВ ЦЕПИ
Законы Кирхгофа можно использовать для расчета токов в ветвях цепи. Главное требование при этом – получение системы независимых уравнений, в которой число неизвестных равно количеству токов, подлежащих определению.
Алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа
vunivere.ru
Закон кирхгофа с источником постоянного тока решение. Закон кирхгофа простыми словами
В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, ЭДС и сопротивлением всей цепи или, между напряжением и сопротивлением на каком-либо участке цепи определяется законом Ома .
На практике в цепях, токи, от какой-либо точки, идут по разным путям.
В замкнутой электрической цепи ни в одной ее точке не могут скапливаться электрические заряды так, как это вызвало бы изменение потенциалов точек цепи. Поэтому электрические заряды притекающие к какому-либо узлу в единицу времени, равны зарядам, утекающим от этого узла за ту же единицу.
Разветвлённая цепь.
В узлеА цепь разветвляется на четыре ветви, которые сходятся в узел В .
Обозначим токи в неразветвленной части цепи —I , а в ветвях соответственно
I1 , I2 , I3 , I4 .
У этих токов в такой цепи будет соотношение:
I = I1+I2+I3+I4;
Cумма токов, подходящих к узловой точке электрической цепи,
равна сумме токов, уходящих от этого узла.
При параллельном соединении резисторов ток проходит по четырем направлениям, что уменьшает общее сопротивление или увеличивает общую проводимость цепи, которая равна сумме проводимостей ветвей.
Обозначим силу тока в неразветвленной ветви буквойI .
Силу тока в отдельных ветвях соответственно I1 , I2 , I3 и I4 .
Напряжение между точками A и B — U .
Общее сопротивление между этими точками — R
.
По закону Ома напишем:
I = U/R ; I1 = U/R1 ; I2 = U/R2 ; I3 = U/R3 ; I4 = U/R4 ;
Согласно первому закону Кирхгофа:
I = I1+I2+I3+I4 ; или U/R = U/R1+U/R2+U/R3+U/R4 .
Сократив обе части полученного выражения на U получим:
1/R = 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4 , что и требовалось доказать.
Cоотношение для любого числа параллельно соединенных резисторов.
В случае, если в цепи содержится два параллельно соединенных резистора
R1 и R2 , то можно написать равенство:
1/R =1/R1+1/R2 ;
Из этого равенства найдем сопротивление R , которым можно заменить два параллельно соединенных резистора:
Полученное выражение имеет большое практическое применение.
Благодаря этому закону производятся расчёты электрических цепей.
Второй закон Кирхгофа
В замкнутом контуре электрической цепи сумма всех эдс равна
сумме падения напряжения в сопротивлениях того же контура.
E1 + E2 + E3 +…+ En = I1R1 + I2R2 + I3R3 +…+ InRn . При составлении уравнений выбирают направление обхода цепи и произвольно задаются направлениями токов.Если в электрической цепи включены два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, т. е. согласно изо1, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников,
т. е.
E = E1+E2 .Если же в цепь включено два источника, эдс которых имеют противоположные направления, т. е. включены встречно изо2, то общая эдс цепи равна разности эдс этих источников
Е = Е1-Е2 .
При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением эдс общая эдс равна сумме эдс всех источников. Складывая эдс одного направления, берут со знаком плю
les74.ru
Расчет электрических цепей с применением законов Кирхгофа и Ома
Законы Кирхгофа наиболее общие. Они являются отдельным случаем универсальных уравнений электрического поля относительно произвольных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Закон Ома используется для расчета только линейных цепей.
Алгоритм расчета:
1. Начертить по принципиальной схеме схему замещения; упростить схему, преобразовав последовательно и параллельно соединенные резисторы в эквивалентные, пронумеровать ЭДС соответствующих ветвей, узлы; произвольно выбрать и обозначить положительные направления токов в ветвях.
2. Записать n – 1 уравнений по первому и m – (n – 1) уравнений по второму закону Кирхгофа, где n – количество узлов, m – количество ветвей в цепи. Если бы мы записывали n уравнений по первому закону Кирхгофа, то одно из них – это линейная комбинация оставшихся, что привело бы к линейной зависимости уравнений.
Источник тока J входит только в уравнение первого закона Кирхгофа (баланс тока в узлах) и переносится как известное в правую часть уравнения.
Для схемы (рис. 1) n = 3, m = 4.
Смотрите еще:
Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 1
Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 2
Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 3
Рис. 1.
Ветвь с идеальным источником тока не учитывается, поскольку ее сопротивление бесконечно велико.
Уравнение по первому закону Кирхгофа при n – 1 = 2 для узла 1: – I1 – I3 + I4 + J = 0; для узла 2: I1 + I2 – I4 = 0.
Уравнение по второму закону Кирхгофа при m – (n – 1) = 4 – 2 = 2 для контура 1 (направление обхода указано пунктиром):
I1R1 + I2R2 = E1; для контура 2 (направление обхода то же самое, но можно было взять и противоположное): I2R2 – I3R3 – I4R4 = – E2.
3. Решить систему уравнений относительно тока I:
Если среди компонент вектора I есть отрицательные, то это означает, что их направление противоположно положительному направлению, приведенному в схеме (рис. 1).
4. По закону Ома определить напряжения на элементах.
Сложность использования этого метода связана с чрезмерно большой размерностью систем уравнений.
freewriters.narod.ru
МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА
Пусть дана сложная цепь (рис.1.16).
Данная цепь содержит два источника ЭДС Е2 и Е3 и один источник тока J2, находящиеся в разных ветвях, т.е. относится к сложным цепям.
По первому закону Кирхгофа составляют n–1 уравнений, где n – число узлов схемы. Последнее n-ное уравнение не будет содержать новой связи между неизвестными, т.е. будет линейно зависимым.
По второму закону Кирхгофа составляют y – yj– n + 1 число уравнений, где y – число ветвей в схеме; yj – число ветвей с источниками тока, ток в которых изначально известен.
Независимость уравнений, или, как говорят, независимость контуров, будет обеспечена, если эти контуры выбирать так, чтобы каждый последующий отличался от предыдущих, по крайней мере, одной новой ветвью.
Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.16)
n = 5, у = 8, yj = 1.
Следовательно,запишем четыре (5 – 1 = 4) уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, d, c и m и три (8 -1 -5 +1 = 3) уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров I, II, III:
Решив полученную систему, найдём значения токов в ветвях.
Недостатком рассмотренного метода является большое число уравнений, а следовательно, громоздкость вычислений. Достоинством метода является то, что в результате расчёта получим значения действительных токов в ветвях.
1.6.2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Метод контурных токов позволяет уменьшить число уравнений системы и обеспечивает некоторый автоматизм в записи системы уравнений, что облегчает расчёт.
В этом методе считаем, что в каждом независимом контуре k протекает свой контурный ток Ikk. При этом действительные токи в ветвях, являющихся общими для двух и более контуров, равны алгебраической сумме соответствующих контурных токов. При введении в рассмотрение контурных токов отпадает необходимость в записи уравнений по первому закону Кирхгофа, и порядок системы равен числу независимых контуров.
Если в схеме имеется ветвь с источником тока, то независимые контуры выбираются так, чтобы она вошла только в один из них. Контурный ток такого контура считается известным и равным току источника тока, а уравнение для этого контура не составляется.
В рассматриваемой сложной цепи (рис.1.17) можно выделить четыре независимых контура.
Для четвертого контура, содержащего источник тока J2, контурное уравнение не составляется, так как ток в этом контуре I44 известен и равен току источника J2, а все слагаемые с этим током, входящие в систему, считаются известными и при расчёте переносятся в правую часть системы.
При записи системы уравнений по методу контурных токов в общем виде учитываем, что всего контурных токов четыре (I11, I22, I33, I44), но один из них известен (I44 = J2), следовательно, уравнений в системе будет три – по числу неизвестных.
По второму закону Кирхгофа
Коэффициенты R11, R22, R33, R44 имеют размерность сопротивлений, называются собственными сопротивлениями контуров и равны сумме сопротивлений, входящих в данный контур:
R11=R2+R4+R5; R22=R1+R3+R4; R33=R3+R5+R6.
Коэффициенты R12, R21, R13, R31, R23, R32, R14, R24, R34 имеют размерность сопротивлений, называются взаимными сопротивлениями контуров и равны сопротивлению смежной (общей) ветви между соответствующими контурами, взятому со знаком «+», если контурные токи обтекают эту ветвь в одном направлении, и со знаком «–», если контурные токи обтекают эту ветвь в противоположных направлениях:
R12= R21=R4; R13=R31=R5; R23=R32=R3; R14=R2; R24=0; R34=0.
Правые части уравнений системы Е11, Е22, Е33 называются контурными ЭДС и равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в соответствующие контуры:
Е11 = Е2; Е22 = —Е3; Е33 = Е3.
Слагаемые R14I44 = R14J2, R24I44 = R24J2, R34I44 = R34J2 в полученной системе известны. Перенеся их в правые части уравнений, получим
Решив данную систему, найдём значения контурных токов.
Действительные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по данным ветвям.
В рассматриваемом примере окончательно имеем
I1 = —I22; I2 = I11; I3 = —I22+I33; I4 = I11+I22;
I5 = I11—I33; I6 = —I33; I7 = I11—I44 = I11—J2.
1.6.3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Метод узловых напряжений (потенциалов) применяется в тех случаях, когда число узлов меньше числа независимых контуров или когда требуется определить потенциалы узлов цепи.
В этом методе за неизвестные принимаются потенциалы узлов.
Так как один из n узлов схемы мы можем мысленно заземлить (принять его потенциал равным нулю, т.е. известным), то для определения потенциалов оставшихся узлов методом узловых напряжений требуется составить n–1 уравнений.
После определения потенциалов всех узлов цепи токи в ветвях могут быть найдены по закону Ома.
Перед началом расчета рекомендуется ввести цифровое обозначение узлов схемы, а также преобразовать идеальный источник тока с параллельно присоединенным сопротивлением в эквивалентный идеальный источник ЭДС с последовательно присоединенным сопротивлением (при отсутствии присоединенных указанным образом сопротивлений преобразование идеального источника тока в идеальный источник ЭДС и наоборот невозможно).
Рассмотрим цепь, представленную на рис.1.16.
Заменим источник тока J2 на эквивалентный источник ЭДС (рис.1.18).
После этого преобразования схема приобретает следующий вид (рис.1.19).
В полученной схеме (см. рис.1.19) .
Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю: j 4 = 0.
Тогда система уравнений по методу узловых напряжений для определения трех неизвестных потенциалов в общем виде [1,2,3] имеет вид
Коэффициенты G11, G22, G33имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, подходящих к данному узлу:
Коэффициенты G12, G21, G13, G31, G23, G32имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, соединяющих соответствующие узлы схемы, взятой со знаком «–»:
Правые части уравнений системы J11, J22, J33 называются узловыми токами. Узловой ток – это расчетная величина, равная алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к данному узлу, на проводимости этих ветвей. Если ЭДС направлена к узлу, то произведение берётся со знаком «+», а если от узла – то со знаком «–».
Если к узлу подходит ветвь с источником тока, то его ток войдет в узловой ток со знаком «+», если он направлен к узлу, или со знаком «–», если от узла.
В рассматриваемой схеме (см. рис.1.19)
В результате расчёта системы получим значения потенциалов всех узлов ( ) и по ним найдём значения токов в ветвях по закону Ома:
Ток I7 в исходной схеме с источником тока (см. рис.1 .16) получим по первому закону Кирхгофа:
I7 = I2 – J .
1.6.4. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
Метод наложения основан на принципе наложения (суперпозиции): ток в любой ветви сложной цепи при действии всех источников равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых в этой ветви каждым из источников в отдельности.
Таким образом, исходная сложная электрическая цепь может быть разбита на ряд простых, получаемых путем последовательного исключения из схемы всех источников кроме одного. При исключении источников они удаляются из схемы, а на их месте остаются только их внутренние сопротивления. Соответственно, на месте идеального источника ЭДС остается закороченный участок, а на месте идеального источника тока – разрыв.
В полученных простых цепях рассчитываются частичные токи во всех ветвях от действия каждого источника в отдельности, а действительные токи ветвей исходной сложной цепи находятся как алгебраическая сумма соответствующих частичных токов.
При применении метода наложения к цепи (см. рис.1.16) последовательность действий выглядит следующим образом:
исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е3 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е2;
исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е3;
исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2 и источник ЭДС Е3 (замыкаем их зажимы) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только источника тока J2;
находим полные токи в ветвях исходной сложной схемы как алгебраическую сумму соответствующих частичных токов.
Недостатком метода наложения является его громоздкость в случае расчета достаточно сложной схемы с большим количеством источников.
1.6.5. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Метод эквивалентного генератора рационально применять в том случае, когда требуется определить ток (или найти его аналитическое выражение) лишь в одной ветви цепи, без нахождения токов в остальных ветвях.
В основе метода лежит замена части цепи, подключенной к зажимам заданной ветви, эквивалентным источником и определение параметров этого источника. В зависимости от выбора вида эквивалентного источника различают метод эквивалентного генератора напряжения (источник ЭДС) или эквивалентного генератора тока (источник тока).
Расчёт методом эквивалентного генератора напряжения заключается в определении ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного источника и состоит в следующем.
1. В заданной схеме обрывается ветвь, в которой требуется определить ток, и любым из известных методов определяется напряжение холостого хода UХХ на разрыве.
Получаем ЭДС эквивалентного источника: EЭ = UХХ.
2. Определяется входное сопротивление RВХ цепи относительно заданной ветви. Для этого исключаем из схемы все источники и полученную схему преобразовываем (сворачиваем) к одному эквивалентному сопротивлению.
Получаем внутреннее сопротивление эквивалентного источника: rЭ = RВХ.
3. С помощью этих двух преобразований исходная сложная электрическая цепь заменяется эквивалентной одноконтурной схемой (рис.1.20).
Здесь R – сопротивление ветви, в которой необходимо найти ток.
Ток заданной ветви
Преобразовав в схеме (см. рис.1.20) источник ЭДС в источник тока, получим схему эквивалентного генератора тока, ток которого равен току короткого замыкания в заданной ветви. Для определения этого тока необходимо замкнуть накоротко сопротивление R заданной ветви и найти ток в ней любым известным методом [2].
Ток заданной ветви в этом случае находится по формуле
В качестве примера применения метода эквивалентного генератора рассмотрим нахождение тока I1 в схеме (см. рис.1.19).
1. Обрывая первую ветвь, получим схему (рис.1.21).
Найдём напряжение на разрыве UХХ методом узловых потенциалов.
Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю:
j4 = 0. Тогда система уравнений по методу узловых напряжений в общем виде выглядит следующим образом:
Коэффициенты и свободные члены в системе
Здесь ЭДС .
Подставляем эти значения в систему уравнений. Решив её, получим значения потенциалов всех узлов: , , и .
Тогда напряжение холостого хода будет
2. Определим входное сопротивление цепи RВХ относительно первой ветви. Для этого исключим из схемы оба источника, оставив только их внутреннее сопротивление (внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю).
Полученная схема (рис.1.22) не содержит ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений, поэтому для решения задачи необходимо применить преобразование «звезды» в «треугольник» или наоборот.
Преобразуем «треугольник» сопротивлений R2R4R5 в эквивалентную «звезду» R24R25R45 (рис.1.23):
В результате этого преобразования получаем новую схему. Преобразуя последовательно и параллельно соединенные сопротивления (рис.1.24), найдем входное сопротивление схемы RВХ относительно оборванной ветви:
Таким образом, зная параметры эквивалентного генератора, находим ток I1:
Проверим расчёт цепи балансом мощностей.
Для схемы (см. рис.1.16) составим уравнение энергетического баланса:
Для учёта мощности источника тока найдём напряжение на его зажимах
и его мощность
.
Так как направления токов через оба источника ЭДС совпадают с направлениями этих ЭДС, то мощности этих источников E2I2 и E3I3 войдут в баланс мощностей со знаком «+»:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называется электрической цепью?
2. Что такое источник ЭДС? Что такое источник тока?
3. Закон Ома для участка цепи.
4. Первый закон Кирхгофа.
5. Второй закон Кирхгофа.
6. Отличительный признак последовательного соединения.
7. Что называется эквивалентным сопротивлением?
8. Как находится эквивалентное сопротивление участка цепи при последовательном соединении?
9. Отличительный признак параллельного соединения.
10. Как находится эквивалентное сопротивление (проводимость) участка цепи при параллельном соединении?
11. Что такое смешанное соединение потребителей?
12. Какая задача называется прямой? Какая задача называется обратной?
13. В чем заключается расчет методом пропорциональных величин?
14. В чем заключается расчет методом законов Кирхгофа?
15. В чем заключается расчет методом контурных токов?
16. В чем заключается расчет методом узловых напряжений?
17. В чем заключается расчет методом эквивалентного генератора?
18. В чем заключается расчет методом наложения?
19. Какими способами можно проверить правильность расчёта цепи?
20. В чём заключается баланс мощностей?
21. Что представляет собой потенциальная диаграмма?
Похожие статьи:
poznayka.org
Законы Кирхгофа для электрической и магнитной цепи
Для расчетов задач по электротехнике в физике есть ряд правил, часто используют первый и второй закон Кирхгофа, а также закон Ома. Немецкий ученый Густав Кирхгоф имел достижения не только в физике, но и в химии, теоретической механике, термодинамике. В электротехнике используется закономерность, которую он установил для электрической цепи, из двух соотношений. Законы Кирхгофа (также их называют правилами) описывают распределение токов в узлах и падений напряжений на элементах контура. Далее мы попытаемся объяснить простым языком, как применять соотношения Кирхгофа для решения задач.Первый закон Кирхгофа
Определение первого закона звучит так: «Алгебраическая сума токов, протекающих через узел, равна нулю». Можно сказать немного в другой форме: «Сколько токов втекло в узел, столько же и вытекло, что говорит о постоянстве тока».
Узлом цепи называют точку соединения трех и больше ветвей. Токи в таком случае распределяются пропорционально сопротивлениям каждой ветви.
I1=I2+I3
Такая форма записи справедлива для цепей постоянного тока. Если использовать первый закон Кирхгофа для цепи переменного тока, то используются мгновенные значения напряжений, обозначаются буквой İ и записывается в комплексной форме, а метод расчета остаётся прежним:
Комплексная форма учитывает и активную и реактивную составляющие.
Второй закон Кирхгофа
Если первый описывает распределение токов в ветвях, то второй закон Кирхгофа звучит так: «Сумма падений напряжений в контуре равна сумме всех ЭДС». Простыми словами формулировка звучит так: «ЭДС, приложенное к участку цепи, распределится по элементам данной цепи пропорционально сопротивлениям, т.е. по закону Ома».
Тогда как для переменного тока это звучит так: «Сумма амплитуд комплексных ЭДС равняется сумме комплексных падений напряжений на элементах».
Z – это полное сопротивление или комплексное сопротивление, в него входит и резистивная часть и реактивная (индуктивность и ёмкость), которая зависит от частоты переменного тока (в постоянном токе есть только активное сопротивление). Ниже представлены формулы комплексного сопротивления конденсатора и индуктивности:
Вот картинка, иллюстрирующая вышесказанное:
Тогда:
Методы расчетов по первому и второму законам Кирхгофа
Давайте приступим к применению на практике теоретического материала. Чтобы правильно расставить знаки в уравнениях, нужно выбрать направление обхода контура. Посмотрите на схему:
Предлагаем выбрать направление по часовой стрелке и обозначить его на рисунке:
Штрих-пунктирной линией обозначено, как идти по контуру при составлении уравнений.
Следующий шаг – составить уравнения по законам Кирхгофа. Используем сначала второй. Знаки расставляем так: перед электродвижущей силой ставится минус, если она направлена против движения часовой стрелки (выбранное нами в предыдущем шаге направление), тогда для ЭДС направленного по часовой стрелке – ставим минус. Составляем для каждого контура с учетом знаков.
Для первого смотрим направление ЭДС, оно совпадает со штрих-пунтирной линией, ставим E1 плюс E2:
Для второго:
Для третьего:
Знаки у IR (напряжения) зависят от направлением контурных токов. Здесь правило знаков такое же, как и в предыдущем случае.
IR пишется с положительным знаком, если ток протекает в сторону направления обхода контура. А со знаком «–», если ток течет против направления обхода контура.
Направление обхода контура — это условная величина. Нужна она только для расстановки знаков в уравнениях, выбирается произвольно и на правильность расчётов не влияет. В отдельных случаях неудачно выбранное направление обхода может усложнить расчёт, но это не критично.
Рассмотрим еще одну цепь:
Здесь целых четыре источника ЭДС, но порядок расчета тот же, сначала выбираем направление для составления уравнений.
Теперь нужно составить уравнения согласно первому закону Кирхгофа. Для первого узла (слева на схеме цифра 1):
I3 втекает, а I1, I4 вытекает, отсюда и знаки. Для второго:
Для третьего:
Вопрос: «Узла четыре, а уравнения всего три, почему?». Дело в том, что число уравнений первого правила Кирхгофа равно:
Nуравнений=nузлов-1
Т.е. уравнений всего на 1 меньше, чем узлов, т.к. этого достаточно, чтобы описать токи во всех ветвях, советую еще раз подняться к схеме и проверить, все ли токи записаны в уравнениях.
Теперь перейдем к построению уравнений по второму правилу. Для первого контура:
Для второго контура:
Для третьего контура:
Если подставить значения реальных напряжений и сопротивлений, тогда выяснится, что первый и второй законы справедливы и выполняются. Это простые примеры, на практике приходится решать гораздо более объёмные задачи.
Вывод. Главное при расчётах с помощью первого и второго законов Кирхгофа – соблюдения правила составления уравнений, т.е. учитывать направления протекания токов и обхода контура для правильной расстановки знаков для каждого элемента цепи.
Законы Кирхгофа для магнитной цепи
В электротехнике также важны и расчёты магнитных цепей, оба закона нашли своё применение и здесь. Суть остаётся той же, но вид и величины изменяются, давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Сначала нужно разобраться с понятиями.
Магнитодвижущая сила (МДС) определяется произведением количества витков катушки, на ток через неё:
F=w*I
Магнитное напряжение – это произведение напряженности магнитного поля на ток, через участок, измеряется в Амперах:
Um=H*I
Или магнитный поток через магнитное сопротивление:
Um=Ф*Rm
L – средняя длина участка, μr и μ0 – относительная и абсолютная магнитная проницаемость.
Проводя аналогии запишем первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:
То есть сумма всех магнитных потоков через узел равна нулю. Вы заметили, что звучит почти так же, как и для электрической цепи?
Тогда второй закон Кирхгофа звучит, как «Сумма МДС в магнитном контуре равна сумме UM (магнитных напряжений).
Магнитный поток равен:
Для переменного магнитного поля:
Он зависит только от напряжения на обмотке, но не от параметров магнитной цепи.
В качестве примера рассмотрим такой контур:
Тогда для ABCD получится такая формула:
Для контуров с воздушным зазором выполняются следующие соотношения:
Сопротивление магнитопровода:
А сопротивление воздушного зазора (справа на сердечнике):
Где S — это площадь сердечника.
Чтобы полностью усвоить материал и наглядно просмотреть некоторые нюансы использования правил, рекомендуем ознакомиться с лекциями, которые предоставлены на видео:
Открытия Густава Кирхгофа внесли весомый вклад в развитие науки, в особенности электротехники. С их помощью довольно просто рассчитать любой электрический или магнитный контур, токи в нём и напряжения. Надеемся, теперь вам стали более понятны правила Кирхгофа для электрической и магнитной цепи.
Похожие материалы:
samelectrik.ru
2.7. Правила Кирхгофа
Простые электрические цепи достаточно легко рассчитываются с применением законов Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводов. Более сложные разветвленные электрические цепи удобнее рассчитывать при помощи правил Кирхгофа.
Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, на отдельных участках которой включены источники тока с известными характеристиками. Точка цепи, в которой сходится более двух проводов (рис. 2.13), называется узлом.
Первое правило Киргхофа.Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла:. (2.19)
Эквивалентная формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю . При этом втекающим и вытекающим из узла токам приписываются противоположные знаки. В нашем случае (рис. 2.13):.
Первое правило Кирхгофа, по сути, является следствием закона сохранения заряда. Оно также отражает тот факт, что при постоянном токе в узле не происходит нарастающее во времени накопление заряда того или иного знака. Для этого нужно, чтобы количество заряда, втекающее в узел в единицу времени, было равно количеству заряда, вытекающего из него.
Второе правило Кирхгофа. В произвольном замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре, рана сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура:
(2.20)
Некоторые слагаемые в (2.20) как слева, так и справа могут быть отрицательными. При решении конкретных задач токи на отдельных участках первоначально расставляются произвольным образом. Затем произвольным образом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура (по часовой или против часовой стрелки). Если ток течет вдоль положительного направления, его берут со знаком «+», если против положительного направления – со знаком «». Если ЭДС действует вдоль положительного направления, т.е. при обходе контура источник проходится от клеммы «» к клемме «+», то значение ЭДС берется со знаком «+», и наоборот. Если в результате расчета сила тока получится отрицательной, то значит, мы не угадали направление тока на данном участке и его просто следует изменить на противоположное. Сама же величина тока, независимо от того, как мы расставим токи в начале решения задачи, получится правильной.
Для доказательства второго правила Кирхгофа рассмотрим произвольный замкнутый контур в цепи, который в общем случае может включать в себя внешние сопротивления и ЭДС на каждом участке (от узла до узла). Положительным будем считать направление по часовой стрелке. Пусть для определенности наш контур включает три участка (рис. 2.14). Направление токов расставим произвольно. Применим закон Ома (2.18) к каждому из трех неоднородных участков цепи. Для первого участка 2-1 работа электрического поля положительна, а работа источника (он заряжается) отрицательна, поэтому:
.На втором участке цепи 2-3 также работа электрического поля положительна, а работа источника отрицательна, поэтому:
.
На третьем участке цепи 3-1 работа источника положительна, поэтому:
.
Сложим правые и левые части трех последних уравнений, предварительно домножив первое уравнение на «1». Тогда все потенциалы сократятся, в результате получим:
.
Последнее уравнение совпадает с формулировкой второго правила Кирхгофа (2.20) с учетом всех замечаний, сделанных по поводу знаков токов и ЭДС (выражения типа можно формально рассматривать как падения напряжений на внутренних сопротивлениях).
Отметим, что второе правило Кирхгофа, являясь следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, по сути дела является следствием закона сохранения энергии.
Правила Кирхгофа применимы и в том случае, когда в цепь включены неомические, т.е. не подчиняющиеся закону Ома () элементы. Такие элементы еще называются нелинейными, поскольку зависимость напряжения на них от силы тока нелинейная. Нелинейными являются, например, большинство радиотехнических элементов: диоды, транзисторы, электронные лампы. Расчеты ведутся также, только падение напряжения на нелинейном элементе следует обозначать не, а. Второе правило Кирхгофа при этом имеет вид:.
Рассмотрим примеры.
Пример 2.9. Параллельное соединение источников тока. В схеме на рис. 2.15 1=14 В, Ом,2=12 В, Ом,Ом. Определить токи во всех ветвях.Решение. Произвольно расставим токи во всех ветвях (рис. 2.15).
В цепи имеется два узла: В и Е. Запишем первое правило Кирхгофа для узла В (для узла Е получится то же самое уравнение):
.
Так как в задаче три неизвестных тока, необходимо три уравнения. Для этого достаточно рассмотреть какие-либо два замкнутых контура цепи и записать для них второе правило Кирхгофа.
Контур АВЕFA: .
Контур АВСDEFA: .
Отметим, что положительное направление обхода контуров задает последовательность букв, которыми они обозначены. Например, в контуре АВЕFA положительное направление обхода – по часовой стрелке. Напомним, что ЭДС первого источника взята со знаком «+», так как при движении вдоль контура по часовой стрелке он проходится от клеммы «» к клемме «+». ЭДС второго источника взята со знаком минус, так как при движении по часовой стрелке он проходится от клеммы «+» к клемме «». В правой части уравнения оба тока взяты знаком «+», поскольку они текут вдоль положительного направления обхода — по часовой стрелке. Такие же правила использованы и для контура АВСDEFA.
Перед решением полученной систему из трех уравнений удобно подставить в них известные величины:
В результате решения системы получаем ответ: А,А,А. Так как все токи получились положительными, их направления были случайно указаны верно.
Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что первый источник питает не только нагрузку , но и заряжает второй источник. Второй источник играет роль «паразита». Однако такая схема все-таки иногда используется на практике. Например, в системах электрического питания автомобилей роль первого источника играет генератор постоянного тока, а роль второго – аккумулятор. Если на питание нагрузки расходуются небольшие токи (общее сопротивление внешней цепи велико), то генератор не только питает нагрузку, но и еще подзаряжает аккумулятор. При увеличении тока, потребляемого нагрузкой, направление тока(рис. 2.15) может изменится, и аккумулятор начинает разряжаться, работая синхронно с генератором. Допустим, что к нагрузке(рис. 2.15) параллельно подключена еще точно такая же нагрузка. Тогда сопротивление внешней цепи становится равнымОм. Третье уравнение системы изменится, и решение становится другим:А,А,А. Отрицательное значение второго тока и свидетельствует о том, что он теперь направлен в сторону, противоположную указанной на рис. 2.15, т.е. разряжается.
studfile.net
Второй закон Кирхгофа
Господа, всем привет!
Сегодня мы рассмотрим второй закон Кирхгофа. Он чуть сложнее, чем первый закон Кирхгофа, который мы уже рассматривали ранее, поэтому я сперва дам общую формулировку, а потом мы постараемся аккуратно разобраться во всем этом деле.
Итак, второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Может быть сложновато для восприятия, если вы читаете это в первый раз, не спорю. Но сейчас попробуем разобраться более детально во всем этом. Для начала давайте определим, что же такое контур электрической цепи, где эти самые ЭДС действуют. Пожалуй, это тот случай, когда проще нарисовать картинку, чем объяснять словами. Взглянем на рисунок 1.
Рисунок 1 – Контура в схеме
На нем мы можем видеть три контура: я обозначил их красным, оранжевым и синим цветами. То есть контур – это некоторая замкнутая часть электрической цепи, состоящая из нескольких ветвей.
То есть что говорит второй закон Кирхгофа? У нас есть большая и сложная электрическая схема. В ней много различных контуров. Будем рассматривать подробно один из этих контуров, любой на выбор. И вот если мы в этом контуре сложим ЭДС всех источников, какие там есть, то их сумма будет равна сумме падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура. И это верно для любого контура в нашей схеме. Довольно интересный факт. И если про первый закон Кирхгофа можно говорить, что он интуитивно очевиден, то здесь, вообще говоря, это не совсем так. А поскольку он не очевиден на первый взгляд, тем больше поводов показать его верность математически.
Господа, прошу обратить внимание на рисунок 2. На нем изображен один из контуров какой-то сложной электрической схемы.
Рисунок 2 – Контур схемы
Почему он именно такой, можете вы спросить? Да просто так! Я рисовал его так, как подскажет фантазия в тот момент. Вы можете смело заявить, что ваша фантазия лучше и нарисовать какой-либо другой контур с другими компонентами. Потом повторите все действия, которые я буду производить над этим контуром, и в конечном счете у вас должен получиться точно такой же результат, как и у меня.
Первым делом давайте зададимся направлением обхода контура. Это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода контура у нас по часовой стрелке, и я показал его синей стрелочкой на рисунке 2.
Следующим шагом нам надо расставить предполагаемое направление токов в каждой ветви. Тут опять же все целиком отдается вашей фантазии. На данном этапе можно рисовать любое направление токов. Если мы угадали – отлично, если нет – в конце всех расчетов получим ток с другим знаком. Я расставил на рисунке 2 все токи черными стрелками и рядом с ними подписал их величины (I1…I4).
А теперь внимание, господа. Пришло время вспомнить то выражение, ради получения которого я написал предыдущую статью. На всякий случай, если вдруг кто забыл, напоминаю его
Оно означает, что если потенциалы на концах ветви равны φ1 и φ2, то их разность равна ЭДС источника в ветви минус произведение тока в ветви на сопротивление в ветви.
Применим это выражение для каждой ветви нашего контура, изображенного на рисунке 2. Поскольку у нас в контуре четыре ветви, то всего мы получим четыре уравнения. Резонный вопрос – а как быть со знаками при записи этих уравнений? Правила тут два.
- Если направление работы источника напряжения совпадает с направлением обхода контура, то берем его со знаком плюс. Если не совпадает – со знаком минус. Совсем просто: если стрелка в источнике напряжения совпадает со стрелкой обхода, то Е в уравнении пишется без изменения знака, если стрелки в разные стороны – то надо поставить минус перед E.
- Если направление тока, которое мы сами выбрали чуть раньше, совпадает с направлением обхода, то в нашем уравнении перед произведением тока на сопротивление так и остается знак минус. Если они направлены в разные стороны, то знак минус меняем на плюс.
Пользуясь этими простыми правилами, запишем уравнения для каждой ветви.
Очевидно, что если в цепи нет источника ЭДС, то у нас не будет первого слагаемого в правой части. А если нет сопротивления, то не будет второго слагаемого в правой части. Собственно, это и видно из составленных уравнений.
Господа, надеюсь вы помните, что с уравнениями в одной системе можно творить всякие интересные штуки? Например, можно все их сложить между собой (правые и левые части). Легко заметить, что при сложении всех этих четырех уравнений в левой части будет нолик, то есть все потенциалы волшебным образом самоликвидируются. Сделаем это! Получим
А теперь давайте перенесем все слагаемые с ЭДС в одну сторону, а с током и сопротивлением – в другую. Имеем
А имеем мы, собственно, второй закон Кирхгофа. Все честно, как я и писал в начале – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Надеюсь, господа, после статьи про закон Ома у вас не возникает вопросов, почему произведение тока на сопротивление – это падение напряжения на сопротивлении? Если возникает – срочно, очень срочно, прямо сейчас пройдитесь по этой ссылке и разрешите эти вопросы!
А что же все-таки тут понимается под словом алгебраическая сумма? Это словосочетание нам уже встречалось. Это значит, что складывать надо с учетом знака. А как выбирать правильно этот самый знак? Господа, взгляните еще разок на рисунок 2. Там у нас задано направление обхода контура и направление токов. Все это мы выбирали (я бы даже сказал придумывали) сами. Ну и направление работы источника еще видно по его графическому изображению.
Так вот, если направление работы источника ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то мы ему приписываем знак плюс, а если не совпадает – минус. Аналогично и для правой части. Если направление тока совпадет с направлением обхода, то мы пишем произведение тока на сопротивление со знаком плюс. Иначе – со знаком минус.
Специально для труЪ-математиков привожу запись второго закона Кирхгофа с использованием хитрых значков суммирования. Вне всякого сомнения, если вы будете использовать эту запись, то произведете впечатление человека, который шарит в теме!
Здесь у нас N источников c ЭДС Ei и M ветвей с сопротивлениями Rj и токами Ij. Разумеется, суммирование идет все так же с учетом знаков.
Может возникнуть резонный вопрос: «Как же так? Получается, я сам все придумываю: и направление обхода, и направление токов и это значит, что знак может получиться любой. Поверну стрелку тока в другую сторону и сразу знак у слагаемого поменяется! Но ведь в реальной схеме токи всегда текут в своем направлении вне зависимости от того, что я там нарисую на листочке! Какое-то противоречие!» Господа, вопрос весьма справедливый. Но предлагаю разобраться в нем в следующей статье. Сохраним некоторую интригу на текущий момент, как принято во всяких этих сериальчиках . А сейчас – спасибо, что прочитали статью, огромной вам всем удачи, и пока!
Вступайте в нашу группу Вконтакте
Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.
myelectronix.ru