Приведение матрицы к треугольному виду онлайн
Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн
Исходная матрица:
|
|
или |
|
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
Выберите размерность матрицы
234567
x
234567
Пример №1.
Привести матрицу к треугольному виду.
Решение:. Запишем матрицу в виде:
| 2 | 6 | -1 |
| 0 | 2 | 1 |
| 2 | -1 | 0 |
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 2 | 6 | -1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 2 | -1 | 0 |
| 2 | 6 | -1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 0 | -2 | -1 |
| 2 | 6 | -1 |
| 0 | -5 | 2 |
| 0 | -2 | -1 |
Умножим 2-ую строку на (k = -2 / 5 = -2/5) и добавим к 3-ой:
| 2 | 6 | -1 |
| 0 | -5 | 2 |
| 0 | -9/5 |
Пример №2.
Преобразовать матрицу к ступенчатому виду.
Запишем матрицу в виде:
| 3 | 0 | 6 |
| 4 | 2 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
| 0 | -6 | -3 |
| 4 | 2 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
| 0 | -6 | -3 |
| 0 | 14 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
| 0 | 0 | 12 |
| 0 | 14 | 9 |
| -1 | 3 | 0 |
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Вычислить определитель матрицы с примерами решения
Содержание:
- Примеры с решением
Выбирается строка (или столбец) определителя, содержащие больше всего нулей. Используя свойство 6, зануляют в этой строке (или столбце) все элементы, кроме одного. После чего разлагают oт разделителя по этой строке (или столбцу). К полученному определителю применяют эту же схему.
Примеры с решением
Пример 1.
Вычислим определитель Мы видим, что все элементы отличны от нуля.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
В таком случае можно начать с любой строки или любого столбца. Например, с 1-го столбца. Наша цель — занулить все элементы, кроме одного, в 1-м столбце.
Прибавим 2-ю строку поэлементно к 4-й строке, а из 3-й строки вычтем поэлементно 1-ю строку, умноженную на 2:
Вынесем из последней строки общий множитель (2) за знак определителя
Мы получили в 1-м столбце два нуля.
Также два нуля получены в 3-й строке. Прибавим 2-й столбец поэлементно к 4-му столбцу: Разложим определитель по 3-й строке: Вынесем из 1-й строки общий множитель (2) за знак определителя:
Также два нуля получены в 3-й строке. Прибавим 2-й столбец поэлементно к 4-му столбцу: Разложим определитель по 3-й строке: Вынесем из 1-й строки общий множитель (2) за знак определителя:Возможно вам будут полезны данные страницы:
Матрица перехода
Действия над матрицами
Сложение матриц: примеры решения
Вычитание матриц: примеры решения
По одному нулю в 1-м столбце и 3-й строке. Вычтем из 2-й строки 1-ю строку, умноженную на 3:
Разложим определитель по 1-му столбцу:
Пример 2.
Вычислим определитель Основные методы вычисления определителей -го порядка. Метод понижения порядка определителя основан на следующем соотношении ( фиксировано):
где называется алгебраическим дополнением элемента и представляет собой (с точностью до знака ) определитель -го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием -й строки и -ro столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Соотношение (4) называется разложением определителя по -й строке. Аналогично определяется разложение определителя по столбцу.
Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).
Пример 3.
Вычислить определитель Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме элемента в левом верхнем углу, и затем вычисляем определитель второго порядка:
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.
Пример 4.
Вычислить определитель
Вычитая первую строку из всех остальных, получаем
Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением. |
Пример 5.
Вычислить определитель Вандермонда
Покажем, что при любом определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей .Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррентных соотношений.
Действительно, при имеем
Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда порядка , т.е.
Преобразуем определитель следующим образом: из последней -й строки вычитаем -ю, умноженную на и, вообще, последовательно вычитаем из -Vi строки -ю, умноженную на . Получаем Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение индукции, окончательно выводим:
Нулевые матрицы — Mathonline
Нулевые матрицы
Сложить Содержание Нулевые матрицы |
Определение Матрица $m \times n$ $A$ является нулевой матрицей , если все элементы в матрице равны $0$, то есть $a_{ij} = 0$ для всех $1 ≤ i ≤ m$ и $1 ≤ j ≤ n$, $i, j \in \mathbb{N}$. |
Определение нулевой матрицы не требует пояснений. Например, если $A$ является нулевой матрицей $2 \times 3$, она будет выглядеть так: $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Часто нулевые матрицы размера $m \times n$ обозначаются просто $0_{m \times n }$.
Теперь рассмотрим довольно простую теорему о различных операциях с нулевой матрицей.
| Теорема 1: Пусть $A$ — матрица $m \times n$, а $0$ — нулевая матрица $m \times n$. Тогда: а) $A + 0 = 0 + A = A$. б) $0 — A = -A$. г) $A \cdot 0 = 0$. |
- Доказательство (a): Предположим, что $A$ и $0$ — матрицы размера $m \times n$. Таким образом:
(1)
\begin{align} \quad A + 0 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots& a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11}+0 & a_{12}+0 & \cdots & a_{1n}+0\\ a_{21}+0 & a_{22}+0 & \cdots & a_{2n }+0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}+0 & a_{m2}+0 & \cdots& a_{mn}+0 \end{bmatrix} = A \\ \ черный квадрат \end{align}
- Доказательство (b): Мы знаем, что по (a) $A + 0 = 0 + A = A$. Отсюда следует, что $0 — A = 0 + (-A) = -A$. $\blacksquare$
Отсюда следует, что $0 — A = 0 + (-A) = -A$. $\blacksquare$- Доказательство (c): Предположим, что $A$ — матрица размера $m \times n$, тогда:
(2)
\begin{align} \quad A — A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots& a_{mn} \end{bmatrix} — \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1 } & a_{m2} & \cdots& a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} — a_{11} & a_{12} — a_{12} & \cdots & a_{1n } — a_{1n}\\ a_{21} — a_{21} & a_{22} — a_{22} & \cdots & a_{2n} — a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} — a_{m1} & a_{m2} — a_{m2} & \cdots& a_{mn} — a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n} = 0 \\ \blacksquare \end{align}
- Доказательство (d): Напомним, что любой элемент произведения двух матриц можно определить по формуле $(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_ {2j} + . .. + a_{ir}b_{rj}$. Пусть $A$ — матрица $m \times r$, а $0$ — матрица $r \times n$. По определению все элементы $B$ равны нулю, поэтому $b_{ij} = 0$ для всех $i$ и $j$, а значит, $(A \cdot 0)_{ij} = a_{i1}\ cdot 0 + a_{i2}\cdot 0 + … + a_{ir} \cdot 0 = 0_{m \times n}$. $\blacksquare$
.. + a_{ir}b_{rj}$. Пусть $A$ — матрица $m \times r$, а $0$ — матрица $r \times n$. По определению все элементы $B$ равны нулю, поэтому $b_{ij} = 0$ для всех $i$ и $j$, а значит, $(A \cdot 0)_{ij} = a_{i1}\ cdot 0 + a_{i2}\cdot 0 + … + a_{ir} \cdot 0 = 0_{m \times n}$. $\blacksquare$Если не указано иное, содержимое этой страницы находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License
Матрицы и системы уравнений
6.1 — Матрицы и системы уравненийОпределение матрицы
- Прямоугольный массив действительных чисел
- м рядов по n столбцов
- Названо с использованием заглавных букв
- Первый нижний индекс — строка, второй нижний индекс — столбец
Терминология
- Матрица с m строк и n столбцов называется матрицей порядка м x n .
- Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов. Поскольку количество
строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .
- Главной диагональю квадратной матрицы являются элементы от левого верхнего угла к правому нижнему матрица.
- Матрица-строка — это матрица, имеющая только одну строку.
- Матрица-столбец — это матрица, имеющая только один столбец.
- Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.
Поскольку количество
строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .Преобразование систем линейных уравнений в Матрицы
Каждое уравнение в системе становится строкой. Каждая переменная в система становится столбцом. Переменные удаляются, и коэффициенты помещаются в матрицу. Если включена правая сторона, это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не включена, это называется матрицей коэффициентов.
Система линейных уравнений…
х + у - г = 1 3х - 2у + г = 3 4x + у - 2z = 9
становится расширенной матрицей…
| х | г | г | правая сторона | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 | 1 | ||
| 3 | -2 | 1 | 3 | ||
| 4 | 1 | -2 | 9 |
Элементарные операции с рядами
Элементарные операции со строками — это операции, которые могут выполняться над матрицей и которые дадут
эквивалентная строкам матрица.
Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных
уравнений, то матрица, эквивалентная строкам, будет иметь тот же набор решений, что и исходная матрица.
При работе с системами линейных уравнений можно было выполнить три операции. что не изменит множество решений.
- Поменять местами два уравнения.
- Умножение уравнения на ненулевую константу.
- Умножить уравнение на ненулевую константу и добавить его к другому уравнению, заменив это уравнение.
Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится строка. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые дадут эквивалент строки матрица.
- Поменять местами два ряда
- Умножить строку на ненулевую константу
- Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку.
Формы рядного эшелона и сокращенного рядного эшелона
Это строковые эквивалентные формы матрицы.
Можно легко решить систему линейных уравнений
когда матрицы находятся в одной из этих форм.
Форма рядного эшелона
Матрица имеет форму строки-эшелона, если выполняются следующие условия.
- Если есть строка из всех нулей, то она находится внизу матрицы.
- Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
- Начальный элемент любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущего ряда.
- Ведущий в ряду не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в ряду предыдущий ряд.
- Матрица в ступенчатой форме будет иметь нули под ведущими единицами.
- Исключение по Гауссу переводит матрицу в эшелонированную форму, а затем выполняется обратная замена. требуется для завершения поиска решений системы.
- Строково-ступенчатая форма матрицы не обязательно уникальна.
Сокращенная форма рядного эшелона
Матрица находится в сокращенной форме строки-эшелона, когда выполняются все условия формы строки-эшелона
и все элементы выше, как и ниже, ведущие равны нулю.
- Если есть строка из всех нулей, то она находится внизу матрицы.
- Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
- : Ведущий в любой строке находится справа от ведущего в предыдущем ряду.
- Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.
- Ведущий в ряду не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в ряду предыдущий ряд.
- Матрица в строчно-ступенчатой форме будет иметь нули как над, так и под ведущими единицами.
- Исключение Гаусса-Жордана переводит матрицу в редуцированную ступенчато-строковую форму.
- Для завершения поиска решений системы не требуется обратной подстановки.
- Приведенная ступенчато-строковая форма матрицы уникальна.
Исключение Гаусса
- Записать систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
- Выполните элементарные операции над строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму строк
- Преобразование матрицы обратно в систему линейных уравнений
- Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы
Исключение Гаусса-Джордана
- Записать систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
- Выполните элементарные операции над строками, чтобы привести матрицу в сокращенную ступенчатую форму строк
- Преобразование матрицы обратно в систему линейных уравнений
- Обратная замена не требуется
Поворотный
- Поворот — это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядно-эшелонная или редуцированная рядно-эшелонная форма
- В частности, поворот превращает элементы выше или ниже ведущей единицы в нули
Типы растворов
Возможны три типа решений при решении системы линейных уравнений
Независимый- Согласованный
- Уникальное решение
- Матрица с уменьшенным числом строк имеет то же количество ненулевых строк, что и переменные
- Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
- Чтобы получить независимое решение, уравнений должно быть не меньше числа переменных.
| х | г | г | правая сторона | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 3 | ||
| 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| 0 | 0 | 1 | 2 |
Когда вы преобразуете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x=3, у=1 и г=2.
Зависимый- Согласованный
- Много решений
- Запишите ответ в параметрической форме
- Матрица с уменьшенным числом строк содержит больше переменных, чем ненулевые строки
- Не обязательно должен быть ряд нулей, но обычно он есть.
- Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
| х | г | г | правая сторона | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 3 | 4 | ||
| 0 | 1 | -2 | 3 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Первое уравнение будет x + 3z = 4. Решение для x дает x = 4 — 3z.
Второе уравнение будет y — 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.
Столбец z не очищен (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, г будет параметр т и решение …
х = 4 — 3т, у = 3 + 2т, г = т
Несоответствие- Нет решения
- Матрица с уменьшенным числом строк имеет ряд нулей в левой части, но
правая часть не равна нулю.
