Система уравнений по законам кирхгофа: 1) Составить уравнения по законам Кирхгофа. — Интернет-магазин инструмента. — yato-tools.ru. Электротовары и инструмент.

Содержание

1) Составить уравнения по законам Кирхгофа.

Некоммерческое акционерное общество

«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ»

Кафедра теоретических основ электротехники

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

По дисциплине «Основы теории цепей»

На тему «Расчет линейных электрических цепей постоянного тока с зависимыми источниками»

Специальность «Информационные системы»

Выполнил Ануарбеков Шыңғыс Группа ИС-16-2

Принял доцент каф. ТОЭ Айтжанов Н.М.

_________ «____»____________2017г.

Алматы 2017

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………. ………..3

Задание………………………………………………………………………………………………………4

Расчетная часть………………………………………………………………………………………….6

Уравнения по законам Кирхгофа………………………………………………………..6

Метод контурных токов……………………………………………………………………..7

Метод узловых потенциалов………………………………………………………………9

Сравнение результатов МКТ и МУП…………………………………………………10

Метод эквивалентного генератора……………………………………………………..11

Напряжение на зажимах источника тока……………………………………………13

Баланс мощностей…………………………….

………………………………………………13

Заключение………………………………………………………………………………………………14

Список литературы…………………………………………………………………………………..15

Введение

Цель работы: умение составлять систему уравнений по законам Кир-хгофа; применение закона Ома; получение навыков расчётов электрических цепей постоянного тока с зависимыми источниками методами контурных токов, методом узловых потенциалов, эквивалентного генератора.

В цепи действуют независимые источники напряжения с ЭДС Е₁, Е₂, Е₃, источник тока J и зависимый источник напряжения Е_и,

управляемый током. Номер схемы определяется по таблице 1.1, числовые значения параметров цепи приведены в таблицах 1.2 и 1.3.

Таблица 1. 1

Год поступления	Первая буква фамилии
Четный	А БЯ	ГЭЕ	ЖЗЩ	КЛ	МН	ОПР	СТУ	ФЧЦ	ХШИ	ДЮВ
№ схемы	1.1	1.2	1.3	1. 4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	1.10
МЭГ	I₁	I₃	I₄	I₂	I₁	I₄	I₃	I₃	I₁	I₂

Таблица 1.2

Год поступления	Последняя цифра номера студенческого билета
Четный	0	9	8	7	6	5	4	3	2	1
E₁, В	25	20	30	40	20	25	15	35	40	15
E₂, В	10	15	25	20	30	20	15	10	20	25
E₃, В	25	30	35	20	30	20	25	15	30	10
J, А	3	5	2	6	4	10	8	5	3	5
r, Ом	10	20	15	16	25	30	35	40	15	20

Таблица 1. 3

Год поступления	Предпоследняя цифра номера студенческого билета
Четный	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
R₁, Ом	25	20	15	20	10	30	20	10	30	15
R₂, Ом	15	30	20	12	20	10	20	25	40	20
R₃, Ом	20	16	25	35	30	20	30	16	10	30
R₄, Ом	30	20	30	40	15	40	15	25	20	30
R, Ом	6	10	8	10	10	15	20	15	5	8

Рисунок 1. 1

Задание:

1) Составить уравнения по законам Кирхгофа.

2) Рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов.

3) Рассчитать токи во всех ветвях методом узловых потенциалов. 4) Сравнить результаты, полученные в пунктах 2, 3 и свести их в

одну таблицу.

5) Рассчитать ток в одной ветви методом эквивалентного генератора (см. таблицу 1.1).

6) Определить напряжение на зажимах источника тока.

7) Проверить выполнение баланса мощности.

Расчетная часть

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю: . Со знаком «+» записываются токи, направленные к узлу, со знаком «-» записываются токи, направленные от узла (или наоборот). Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно , где — число узлов в цепи. В цепи (рис 1.1) имеются 4 узла, исходя из этого У = 4-1 = 3 (количество уравнений по I закону Кирхгофа). Следовательно, достаточно записать уравнения для узлов 1, 2 и 3.

Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур равна алгебраической сумме ЭДС: . Напряжения записываются со знаком «+», если положительное направление тока совпадает с направлением обхода контура, со знаком «-», если направление тока противоположно направлению обхода контура; ЭДС , направления, которых совпадают с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а ЭДС , направленные против обхода контура – со знаком «-». Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно: , где — число ветвей, — число источников тока. Исходя из этого, в цепи (рис 1.1) 6 ветвей, 1 источник тока и как было выше сказано – 4 узла. Следовательно, для второго закона Кирхгофа понадобится К = 6-1-3=2 уравнения. Выбираем два независимых контура, не имеющих источника тока, затем произвольно выбираем обход контура (рис 1. 1). И для каждого контура (внешний контур и контур 1241) запишем уравнение по II закону Кирхгофа:

Общая система уравнений по законам Кирхгофа будет выглядеть следующим образом

Составим систему уравнений по методу контурных токов для цепи постоянного тока (рис 1.2):

Рисунок 1.2.

, где

= (

Решение:

= = =

= =

= = =

, тогда

=7,73 – 7,53 = 0,2А

= 7,53А

= 7,73А

= 10 – 7,53 = 2,47А

= 010– 7,73 = 2,27А

3) Рассчитать токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число уравнений системы до числа . Суть метода узловых потенциалов заключается в определении потенциалов узлов электрической цепи, токи рассчитываются по закону Ома. При составлении уравнений по методу узловых потенциалов, потенциал одного из узлов принимают равным нулю, для определения потенциалов оставшихся узлов составляются уравнения.

Возьмем узел 3 за базовый и будем считать, что он равен нулю. Автоматически значение потенциала в узле 4 становится равным .

().

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для цепи постоянного тока (рис 1.3), так как значения потенциалов в узлах 3 и 4 известны, то нам необходимо составить систему из 2 уравнений для узлов 1 и 2:

Рисунок 1.3

найдем, применив I закон Кирхгофа

Решение:

, тогда

=0,99*68,2694 = 67,586706В

= 0,115 А

= 7,47А

= 2,46А

= 2,25А

7,35А

Законы Кирхгофа в матричной форме

Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.
Матрица соединений, или узловая А,- это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для У — 1 узлов. Строки (i) соответствуют узлам (их число равно У- 1), столбцы (j) — ветвям (их число равно В). Элемент матрицы a_ij = + 1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от узла i (положительное направление тока в ветви j выбрано от узла i). Элемент матрицы a_ij = — 1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена к узлу i. Элемент матрицы a_ij = 0, если ветвь j не присоединена к узлу i.
Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В = 6 ветвями для первых трех узлов

что соответствует первым трем уравнениям ( 1.21а).
Так как -матрица А определяет, какие ветви присоединены к каждому узлу и как направлены токи в этих ветвях, то произведение матрицы соединений на матрицу-столбец токов ветвей I дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и, следовательно, равно нулю:

АI = 0 (1. 26а)

— это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14

и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а).
Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы.
Матрица сечений Q — это таблица коэффициентов, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки i матрицы соответствуют сечениям (их число равно У — 1), столбцы j — ветвям (их число равно В). Элемент матрицы q_ij = +1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения. Элемент матрицы q_ij = -1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения. Элемент матрицы q_ij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i. Для главных сечений составляется матрица главных сечений.
Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях

В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений

QI=0 (1. 26 б)

После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.
Матрица контуров В — это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для К = В — (У- 1) независимых контуров. Строки к соответствуют контурам (их число равно К), столбцы j — ветвям (их число равно В).
Элемент матрицы b_kj=+1, если ветвь j входит в состав контура k и ее направление совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы b_kj,= -1, если ветвь j входит в состав контура k и ее направление противоположно направлению обхода контура. Элемент матрицы b_kj = 0, если ветвь j не входит в состав контура k.
Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (б) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки

Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1. 20а)

BU = 0, (1.27)

так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.
Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

Эта система с учетом равенства

и соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).
Для любой планарной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14, а это ячейки I, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, то

После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1. 20 а):

которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).
Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).

Как схемы становятся уравнениями | Spinning Numbers

«Решение схемы» означает решение системы одновременных уравнений для определения токов и напряжений. Может показаться удачей, что вы получаете правильное количество уравнений при использовании одного из методов анализа цепей. Это не везение. Методы предназначены для надежного сбора информации, необходимой для решения схемы.

Автор Вилли Макаллистер.

Содержание

Проверка концепции: пример схемы
Откуда берутся уравнения?
- Половина уравнений исходит из законов элементов
- Половина уравнений исходит из законов Кирхгофа
Что такое независимое уравнение?
- Сколько независимых уравнений получается из KCL?
- Сколько независимых уравнений получается из КВЛ?
- Убедитесь, что уравнения КВЛ независимы
- Выбор сеток и петель
Проверка концепции
Артикул

Куда мы движемся

Сколько уравнений нужно, чтобы решить схему?
Каждый элемент вносит два неизвестных, $i$ и $v$. Итак, нам нужны два независимых уравнения для каждого элемента схемы, $2E$, где $E$ — количество элементов.

Откуда берутся эти уравнения?

Уравнения $E$ получаются из законов $i$-$v$ для каждого элемента цепи — закона Ома и им подобных.
Дополнительные уравнения $E$ получены из,
- Текущий закон Кирхгофа — KCL вносит $N — 1$, где $N$ — количество узлов.
- Закон Кирхгофа о напряжении — KVL вносит $E — (N — 1)$.

В этой статье мы задаем несколько вопросов,

Сколько уравнений требуется для решения схемы?
Откуда они берутся?

Ответы на эти вопросы содержатся в различных методах анализа цепей,

Прямое применение основных законов
Метод напряжения узла
Mesh Current Method и его близкий родственник, Loop Current Method

Сколько независимых уравнений необходимо для решения схемы?

Этот ключевой вопрос определяет количество усилий, необходимых для выполнения анализа схемы. Как мы узнали на уроках алгебры при решении одновременных уравнений, количество независимых уравнений, необходимых для решения системы, равно количеству неизвестных переменных. Если у вас есть система с $10$ неизвестными, вам нужно $10$ уравнений.

Сколько неизвестных в схеме?

Каждый двухконтактный элемент вносит одно неизвестное напряжение и один неизвестный ток. Таким образом, $E$ элементов вносят $2E$ неизвестных. Таким образом, для схемы с $E$ элементами требуется система из $2E$ независимых уравнений.

Проверка концепции: пример схемы

Мы проиллюстрируем эти вопросы этим примером схемы. Если вы хотите проверить свое понимание терминологии схем, проверьте здесь.

Сколько элементов в цепи?

$E = $ ______ элементов.

показать ответ

Эта схема имеет $E = 5$ элементов.

Сколько узлов в схеме?

$N = $ ______ узлов.

показать ответ

В этой схеме $N = 3$ узлов.

Сколько петель в схеме?

______ петель.

показать ответ

$6$ петель. Петли $3$ $\goldD{\text{I}}$, $\goldD{\text{II}}$ и $\goldD{\text{III}}$ называются 9.0119 ячеек . Сетка — это цикл, который не содержит других циклов. Сетку также называют внутренним циклом .

Сколько из этих петель являются сетками?

______ ячеек.

показать ответ

Из $6$ циклов в схеме $3$ являются сетками (также известными как внутренних циклов ). Сетки пронумерованы $\goldD{\text{I}}$, $\goldD{\text{II}}$ и $\goldD{\text{III}}$.

Сколько уравнений нам нужно, чтобы решить эту схему?

_______ уравнения.

показать ответ

Эта схема имеет $E = 5$ элементов. Чтобы решить эту схему, нам нужно составить $2E = 10$ независимых уравнений.

Откуда берутся уравнения?

Уравнения возникают из двух мест: ограничений, налагаемых самими элементами схемы (законы элементов $i$-$v$), и связями между элементами (KCL и KVL). Система уравнений, которую вы пишете, отражает эти ограничения.

Половина уравнений исходит из законов стихий.
Другая половина принадлежит либо KCL, либо KVL.

Половина уравнений исходит из законов элементов

Представьте несвязанные компоненты схемы, разбросанные по поверхности стола,

Каждый элемент имеет неизвестный ток и неизвестное напряжение,

Каждый элемент приносит с собой $i$-$ уравнение v$. Думайте о каждом элементе как о небольшом кусочке математики.

Эти отношения $i$-$v$ представляют собой $E$ независимых уравнений. Это половина необходимой суммы.

Как насчет конденсаторов и катушек индуктивности?

В этой примерной схеме не используются конденсаторы или катушки индуктивности. Если бы это было так, каждый из них внес бы один вклад в уравнение $i$-$v$,

$i = \text C \,\dfrac{dv}{dt}\quad$ или $\quad v = \text L\,\dfrac{di}{dt}$

Половина уравнений основана на законах Кирхгофа.

Остальные уравнения $E$ основаны на ограничениях, создаваемых связями между элементами. Пример ограничения: «Эти два элемента соединены последовательно, поэтому их токи должны быть одинаковыми». Мы разрабатываем уравнения связности $E$, используя закон тока Кирхгофа (KCL) и закон напряжения Кирхгофа (KVL).

Допустим, в схеме есть $E$ элементов и $N$ узлов. В нашем примере $E = 5$ элементов и $N = 3$ узлов. Мы также знаем, что у него есть $6$ петель, и $3$ из этих петель являются сетками.

Покажи мне узлы

Покажи мне петли и сетки

В этой примерной схеме есть циклы $6$. Петли $3$ $\goldD{\text{I}}$, $\goldD{\text{II}}$ и $\goldD{\text{III}}$ называются сетками . Сетка — это цикл, который не содержит других циклов.

Имея $3$ узлов и $6$ петель, можно получить еще $E=5$ уравнений, но мы должны быть осторожны. Уравнения, которые мы генерируем, должны быть независимы друг от друга.

Что такое независимое уравнение?

Уравнение является линейно независимым , если оно не может быть получено с помощью линейных комбинаций других уравнений. Линейные комбинации — это когда вы объединяете уравнения с добавлением, вычитанием или умножением на константу.

Мы сделаем пример с набором уравнений KCL. Одно из них , а не независимое, потому что оно может быть получено из других уравнений.

Сколько независимых уравнений получается из KCL?

Мы можем написать KCL уравнение для каждого узла в схеме. Узлы $N$ дадут вам $N$ уравнений. НО, набор $N$ уравнений , а не независимых. Один из них лишний. Всегда существует одно зависимое от уравнение KCL , которое не дает никакой новой информации, поэтому оно не требуется.

Напишем все три уравнения KCL и покажем, что внутри скрывается линейная зависимость,

KCL для узла $\green a$: $\quad +i_1 -i_1 = 0$
KCL для узла $\green b$: $\quad +i_1 — i_2 — i_3 +i_{\text S} = 0$
KCL для узла $\green c$: $\quad -i_1 + i_2 + i_3 -i_{\text S} = 0$

Узел $a$ имеет тривиальное уравнение KCL. Один ток входит и один уходит. Он соединяет источник напряжения с резистором $20\,\Omega$ и отвечает за доставку $i_1$ к узлу $b$.

Уравнения ККЛ для узлов $b$ и $c$ оказываются линейно зависимыми. Мы демонстрируем это, используя уравнение узла $b$, чтобы получить уравнение для узла $c$. Если вы умножите узел $b$ на $-1$, вы получите узел $c$. (Это пример линейной комбинации — умножить на константу.)

Это говорит нам о том, что уравнения $b$ и $c$ содержат одинаковую информацию. Это означает, что один из них лишний. Нет необходимости носить с собой обоих. Вы можете оставить один из системы уравнений. Узел, который мы пропускаем, является нашим выбором. Обычно мы опускаем наземный узел, потому что он самый сложный (имеет наибольшее количество соединений).

Имеется $N = 3$ узлов, но число независимых уравнений равно $N-1 = 2$.

В общем, KCL вносит $N-1$ независимых уравнений.

Наш статус поиска уравнений на данный момент:

Нам нужно $2E$ уравнений.
Мы получаем $E$ из уравнения $i$-$v$ каждого элемента.
Мы получаем $N-1$ от KCL.

Осталось найти $2E — E — (N-1) = E — (N-1)$ уравнений.

Мы получаем их от КВЛ.

Сколько независимых уравнений получается из КВЛ?

После написания $N-1$ уравнений с использованием KCL мы не досчитались до $2E$ уравнений на $E — (N-1)$. Для нашего примера схемы нам нужно $5 — (3-1) = 3$ больше уравнений. Откуда возьмутся эти дополнительные уравнения? Используем КВЛ вокруг петель схемы.

Теория графов говорит нам о двух замечательных вещах:

KVL может вывести нужное количество независимых уравнений, $E — (N-1)$.
$E — (N-1)$ совпадает с количеством мешей.

Это означает, что мы знаем необходимое количество уравнений КВЛ, подсчитав сетки. Вам даже не нужно выполнять вычисление $E — (N-1)$. Просто посчитайте сетки.

В нашем примере схема имеет 3$ ячейки. Мы сразу знаем, что нам нужно написать $3$ уравнений КВЛ; Не больше, не меньше.

Ограничение: планарные и непланарные схемы

KVL выдает $E — (N-1)$ уравнений для любых цепей. Вы можете получить эти уравнения только с сетками , только если схема плоская .

Плоская схема — это схема, которую можно нарисовать плоской без пересечения проводов. Если цепь нельзя нарисовать плоской без пересечения проводов, она неплоская . Схема в нашем примере плоская, как и большинство схем, которые вам будет предложено проанализировать вручную.

Слева: плоская схема, которую можно нарисовать без пересечения проводов.
Справа: неплоская схема, может быть нарисована только перекрещенным проводом.

Метод контурного тока работает с неплоскими цепями.

Убедитесь, что уравнения КВЛ независимы.

Мы хотим, чтобы уравнения КВЛ были независимыми. Это требует осторожности.

Простейшее руководство: Напишите уравнения KVL для сеток. Сети гарантированно будут давать нужное количество уравнений, и они будут независимыми.

Если по какой-то причине вы хотите (или должны) включить другие уравнения контура, не связанные с сеткой, есть еще одна рекомендация. Вы получите независимые уравнения, если каждая петля включает один элемент, которого нет ни в одной другой петле. Обычно этого достаточно, чтобы получить необходимые уравнения (есть интересное исключение, описанное ниже).

Выбор мешей и петель

В нашей примерной схеме доступно $6$ петель. Из этого набора вариантов нам нужно составить $3$ независимых уравнения KVL.

Самый простой способ — выбрать три сетки: $\goldD{\text{I}}$, $\goldD{\text{II}}$ и $\goldD{\text{III}}$ . Мы выигрываем! Сетки производят нужное количество уравнений, и они гарантированно независимы. Это основа метода Mesh Current.

Мы могли бы выбрать другой допустимый набор циклов из примера схемы, $\greenD{\text{IV}}$, $\blueD{\text V}$ и $\maroonC{\text{VI}}$. Почему это может быть хороший набор?

Циклы $3$ дают уравнения $3$, как того требует $E-(N-1) = 3$.
Каждый элемент включен в цикл.

Этот набор петель имеет интересную особенность. Проследите петли $\greenD{\text{IV}}$ и $\blueD{\text V}$ и обратите внимание, что вместе они содержат все элементы схемы. Зачем вам нужно еще одно уравнение цикла? Можно ли опустить $\maroonC{\text{VI}}$? Нет! Нам по-прежнему нужны $3$ уравнений. Посмотрите еще раз внимательно на петли $\greenD{\text{IV}}$ и $\blueD{\text V}$. У них общих элементов, а не элементов. На самом деле это две отдельные цепи, которые не соприкасаются. Задача уравнения петли $\maroonC{\text{VI}}$ состоит в том, чтобы связать две другие петли вместе.

Проверка концепции

Некоторые варианты не соответствуют рекомендациям. Можете ли вы сказать, почему?

$\goldD{\text I}$, $\blueD{\text V}$ и $\maroonC{\text{VI}}\quad$

почему?

В этом наборе отсутствует резистор рядом с источником тока. Каждому элементу нужен шанс повлиять на результат.

$\greenD{\text{IV}}$ и $\blueD{\text{V}}$

почему?

Этот набор дает только $2$ уравнений, а требуется $3$. Это верно, даже несмотря на то, что петли вместе проходят через каждый элемент. Вам по-прежнему необходимо иметь $3$ уравнений для полного описания/ограничения схемы. Вот почему хороший набор, перечисленный выше, работает, $\greenD{\text{IV}}$, $\blueD{\text V}$ и $\maroonC{\text{VI}}$.

$\goldD{\text I}$, $\goldD{\text{II}}$, $\goldD{\text{III}}$ и $\maroonC{\text{VI}}$

почему?

Вы могли бы получить ответ с циклами $4$, но это больше, чем вам нужно. $4$ превышает количество требуемых уравнений, $E-(N-1) = 3$. Это означает, что одно из уравнений линейно зависит от других и может быть опущено.

Не стесняйтесь использовать циклы; просто будьте бдительны и вдумчивы об этом.

Когда я могу захотеть выбрать петли без сетки? Есть несколько цепей, где мы хотят, чтобы использовал петли, а другие, где мы , заставляли использовать петли в дополнение к сеткам. Эти особые случаи описаны в методе контурного тока.

Резюме

Существуют три ограничения на токи и напряжения в цепи,

Законы элементов $i$-$v$
Текущий закон Кирхгофа
Закон напряжения Кирхгофа

Система уравнений, которую вы пишете, отражает эти ограничения.

Для схемы с $E$ элементами и $N$ узлами

Вам нужно $2E$ независимых уравнений, чтобы решить схему.
Вы получаете
- $E$ уравнения из закона $i$-$v$ для каждой составляющей (закон Ома и т.п.).
- $N-1$ независимых узловых уравнений с использованием KCL.
- $E — (N-1)$ уравнения независимых контуров с использованием KVL.

Подсчет сеток дает вам правильное количество независимых уравнений KVL для плоских схем.

Если вы пишете уравнения KVL для петель без сетки, то петля, по крайней мере, с одним элементом, не входящим ни в одну другую петлю, обязательно будет независимой.

Продолжайте выбирать циклы и писать уравнения, пока не получите $E — (N-1)$ уравнений.

Ссылка

Фельдманн, Питер и А. Рорер, Рональд. (1991). «Доказательство числа независимых уравнений Кирхгофа в электрической цепи». Схемы и системы, транзакции IEEE. 38. 681 — 684. 10.1109/31. 135739. Также попробуйте здесь.

В этой короткой статье представлено индуктивное доказательство, показывающее: для схемы с $b$ ветвями и $n$ узлами число линейно независимых узловых уравнений KCL равно $n — 1$, а количество независимых уравнений контура KVL равно $ б — п + 1$. (Индуктивное доказательство начинается очень просто и добавляет сложности.)

Расчет электрических цепей по законам Кирхгофа

При расчете электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим ее работы.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвям и узлам электрической цепи.

Ветвью электрической цепи является такой ее участок, который состоит только из последовательно соединенных источников ЭДС и сопротивлений, по которым течет одинаковый ток. Электрическая цепь узел — место (точка) соединения трех и более ветвей. При обходе ответвлений, соединенных в узлах, можно получить замкнутую цепь электрической цепи. Каждая цепь представляет собой замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей, при этом каждый узел в рассматриваемой цепи встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

∑i = 0,

или в комплексной форме

∑I = 0.

Второй закон Кирхгофа применяется к цепям любой замкнутой электрической цепи и формулируется следующим образом: цепи, алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в эту цепь, равна алгебраической сумме ЭДС:

∑Z ∙ I = ∑ 9 9 E

Количество уравнений, составленных для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно N _n – 1, где N _n — количество узлов. Количество уравнений, составленных для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно N _b – N _n + 1, где N _b – число ветвей. Количество уравнений, которые необходимо составить по второму закону Кирхгофа, легко определить по типу схемы: для этого достаточно подсчитать количество «окон» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что цепь с источником тока не считается .

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим ее на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

(рис. 2).

Рис. 2. Установка направления токов и направления обхода цепи для электрической цепи

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, в этом случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окон» в данном случае 4. Но напомним, что «окно», содержащее ток источника Дж ₁, не рассматривается.

Составьте уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого возьмем «втекающие» в узел токи со знаком «+», а «вытекающие» со знаком «-». Следовательно, для узла «1 n. » Уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть так:

I ₁ – I ₂ – I 9 = 90;

для узла «2 н.» Уравнение в соответствии с первым законом Кирххоффа будет выглядеть следующим образом:

— I ₁ — I ₄ + I _{40439 + I + I 8} + I 9013 + .

для узла «3 н.»:

I ₂ + I ₄ + I ₅ – I ₇ = ;

для узла «4 н.»

I ₃ — I ₅ — J ₁ = 0,00003 9000 2 9000 2 9000 2

9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2

9000 2

9000 2 9000 2 9000 2 9000 2

9000 2 9000 2 9000 2

9000 2 9000 2 9000 2. вы не можете сделать.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях выбираются положительные значения токов и ЭДС, если они совпадают с направлением цепи. Для «1 в.» цепи уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть так:

Z _C ₁ ∙ I ₁ + R ₂ ∙ I ₂ – Z _L ₁ ∙ I ₄ = E ₁ ;

для «2 гр.» цепи уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:

-R ₂ ∙ I ₂ + R ₄ ∙ I ₃ + Z _C ₂ ∙ I ₅ = E ₂ ;

для «3 в. » цепь:

Z _L ₁ ∙ I ₄+ ( Z _L ₂ + R ₁ ) ∙ I ₆ + R ₃ ∙ I ₇ = E ₃,

, где Z _C = — 1/(ωc), Z _L = or = or = or = or = or = or = or = .

Таким образом, чтобы найти требуемые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения этой системы уравнений удобно использовать Matlab. Для этого представьте эту систему уравнений в матричной форме:

Для решения этой системы уравнений воспользуемся следующим скриптом:

 >> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> А = [1 -1 -1 0 0 0 0;
       -1 0 0 -1 0 1 0;
        0 1 0 1 1 0 -1;
        0 0 1 0 -1 0 0;
      Zc1 R2 0 -Zl1 0 0 0;
        0 -R2 R4 0 Zc2 0 0;
        0 0 0 Zl1 0 (R1+Zl2) R3];
>> б = [0;
        0;
        0;
       J1;
       Е1;
       Е2;
       Е3];
>> I = А\б

В результате получаем вектор-столбец I токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде.

1) Составить уравнения по законам Кирхгофа.

Законы Кирхгофа в матричной форме

Как схемы становятся уравнениями | Spinning Numbers

Содержание

Куда мы движемся

Проверка концепции: пример схемы

Откуда берутся уравнения?

Половина уравнений исходит из законов элементов

Половина уравнений основана на законах Кирхгофа.

Что такое независимое уравнение?

Сколько независимых уравнений получается из KCL?

Сколько независимых уравнений получается из КВЛ?

Убедитесь, что уравнения КВЛ независимы.

Выбор мешей и петель

Проверка концепции

Резюме

Ссылка

Расчет электрических цепей по законам Кирхгофа

Добавить комментарий Отменить ответ