Задачи на правило кирхгофа с решением: Задачи на правило Кирхгофа с решением

7.2. Порядок решения задач на законы Кирхгофа

1. Нарисовать схему цепи. На рисунке выбрать и показать направления токов на всех участках цепи, при этом надо учесть, что в узел токи не могут только входить или только выходить из узла. Это следует из первого закона Кирхгофа.

2. Выбрать замкнутые контуры обхода для применения второго закона Кирхгофа. Показать на рисунке направление обхода по контуру. Контуров может быть несколько. Число независимых уравнений, которые можно составить по второму закону Кирхгофа, меньше чем число контуров. Чтобы составить необходимое число независимых уравнений надо придерживаться следующего правила: Выбирать контуры так, чтобы в каждый новый контур входил хотя бы один участок цепи, которого бы не было нив одном ранее рассмотренных контуров.

3. Используя первый закон Кирхгофа можно написать ( n – 1) уравнений, где n— число узлов в рассматриваемой цепи.

4.

Воспользоваться вторым законом Кирхгофа и записать такое число уравнений, чтобы число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равнялось числу неизвестных величин в задаче. При этом надо учитывать следующее правило знаков: падение напряжения на каждом участке записывается со знаком «+», если направление обхода по этому участку совпадает с направлением тока на нем. И наоборот, если обход совершался по этому сопротивлению обратно направлению тока, то ставится знак « – ».

ЭДС записывается со знаком «+» в том случае, когда направление обхода совпадает с направлением поля сторонних сил в источнике тока и наоборот.

Поле сторонних сил внутри источника всегда направлено от отрицательного полюса к положительному.

5. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

В результате решения полученной системы уравнений определяемые величины могут получаться отрицательными.

Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно тому, которое мы выбрали.

П р и м е р 1.

Два элемента с одинаковыми ЭДС e₁ = e₂ = 2В и внутренними сопротивлениями r₁ = 1 Ом, r₂ = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через первый элемент течет ток I₁ = 1 А. Найдите сопротивление R, ток I₂, текущий через второй элемент, и ток I, текущий через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Дано:

e₁ = e₂ = 2 D;

r₁ = 1 Ом;

r₂ = 2 Ом;

I₁

= 1 A

________

Найти:

I₂ =? R=? I=?

Решение:

1. Выберем направления токов на всех участках цепи так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

2. Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним. Контуров выбрали два и нарисовали направления обхода по ним.

3. Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа. Узлов два, поэтому можно составить только одно уравнение, например для первого узла:

I₁ + I₂

— I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком «+», а выходящие с знаком»–». Уравнение для второго узла будет тождественно первому.

4. Применим второй закон Кирхгофа для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках этого контура пишем со знаком «+», т. к. направление обхода на всех участках совпадает с направлением тока на этих участках

U_å = IR +I₁ r.

В этот контур входит только один источник тока e₁, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному, т.е. вниз.

Запишем уравнение

IR + I₁r₁ = e₁

.

Для второго контура, рассуждая аналогично, получим U₂ = +I₂r₂ + IR. ЭДС будет входить в уравнение также со знаком «+».

Второе уравнение имеет вид: I₂R₂ + IR = e₂.

5. Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, находим величину тока I₂

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I₁ + I₂ = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений системы:

.

Ответ: ток через второй источник равен I₂ = 0,5 А, суммарный ток

I = I₁ + I₂ = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 0,66 Ом.

П р и м е р 2.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС e₁ = e₂ = 2 В и внутренние сопротивления r₁ = r ₂ = 0,5 Ом. Найдите токи I₁ и I₂, текущие через сопротивления R₁ = 0,5 Ом и R₂ = 1,5 Ом, а также ток I через первый элемент. Схема заданной цепи изображена на рисунке.

Дано:

e₁ = e₂ = 2 В;

r₁=r₂

=0,5 Ом;

R₁ = 0,5 Ом;

R₂ = 1,5 Ом

I₁ – ? I₂ – ? I – ?

Решение:

1. Выберем направления токов на всех участках так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны верно.

2. Выберем два контура обхода: большой и малый. Укажем направления обходов по контурам. Контуров обхода в заданной цепи можно выбрать три, но для нахождения трех неизвестных величин достаточно трех уравнений. Узлов всего два, поэтому можно составить только одно уравнение, применяя первый закон Кирхгофа. Недостающих два уравнения составим используя второй закон Кирхгофа.

3. Для первого узла запишем:

I₂ + I₁ – I = 0.

4. Учитывая правила определения знаков всех слагаемых при применении второй закон Кирхгофа для большого контура, получаем уравнение:

I r₁ + I₂r₂ + I₂R₂ = e₁ + e₂.

Для малого контура:

I r₁ + I₁R₁ = e₁.

5.Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными величинами I₁; I₂ и I.

Решать систему линейных уравнений можно разными способами. В случае, когда система состоит из большого числа уравнений удобно пользоваться методом Крамера (методом определителей). Проиллюстрируем применение этого метода решения на нашей системе уравнений. Для этого перепишем систему ещё раз:

или в численном виде; если поделить правую и левую части второго и третьего уравнении на « 0,5» получим

Искомые величины токов по методу определителей находятся следующим образом: и ,

где определители — определитель системы уравнений, и -определители, которые получаются заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, полученными из свободных членов уравнений образующих систему (с учетом заданных числовых значений). Запишем эти определители:

По приведенным выше формулам, получаем

и .

Значение третьего тока можно найти аналогичным способом, но проще его значение получить из первого уравнения нашей системы:

I₂ + I₁ – I = 0 или I = I₂ + I₁ = 1,33 + 1,33 = 2,66 А

Знаки у всех полученных значений силы тока положительные, это свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, все направления токов были выбраны правильно.

Ответ: I₁ = 1,33 А ; I₂ = 1.33 А;I = I₁ + I₂ = 2.66 А.

П р и м е р 3.

Два элемента с одинаковыми ЭДС ₁ = ₂ = 2В и внутренними сопротивлениями r₁ = 1 Ом, r₂ = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R.

Через элемент с ЭДС ₁ — течет ток I₁ = 1 А. Найти сопротивление R и ток I₂, текущий через элемент с ЭДС ₂. Какой ток течет через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Д ано:

₁ = ₂ = 2 D;

r₁ = 1 Ом;

r₂ = 2 Ом;

I₁ = 1 A

__________

+I₂ — ?

R — ? I — ?

Выберем направления токов на всех участках цепи. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним.

Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для первого узла:

I₁ + I₂ — I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком «+», а входящие с «–». Всего можно написать одно уравнение, т.к. второе будет тождественно первому.

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Запишем уравнение для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках 1-го контура напишем со знаком «+», т.к. направление обхода на этих участках совпадает с направлением тока

U_ = IR +I₁ r.

В этот контур входит только ЭДС ₁, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному.

Запишем уравнение

IR + I₁r₁ = ₁.

Для второго контура U₂ = +I₂r₂ + IR. И ЭДС будет входить в уравнение также со знаком «+».

Запишем уравнение I₂R₂ + IR = ₂.

Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, получаем

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I₁ + I₂ = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений

.

Ответ. Ток через второй источник равен I₂ = 0,5 А, суммарный ток

I = I₁ + I₂ = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 2/3 Ом.

П р и м е р 4.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС ₁ = ₂ = 2 В и внутренние сопротивления r₁ = l₂ =0,5 Ом. Найти токи I₁ и I₂, текущие через сопротивления R₁ = 0,5 Ом и R₂ = 1,5 Ом, а также ток I через элемент с ЭДС. Схема изображена на рисунке.

Д ано:

₁ = ₂ = 2 В;

r₁ = r₂ = 0,5 Ом;

R₁ = 0,5 Ом;

R₂ = 1,5 Ом

_____________

I₁ — ?

I₂ — ?

I — ?

Решение:

Выберем направления токов на всех участках. Запишем первый закон Кирхгофа для 1-го узла

I₂ + I₁ = I .

Выберем большой и малый контуры обхода. Для большого контура уравнение будет иметь вид:

Ir₁ + I₂r₂ + I₂R₂ = ₁ + ₂.

Для малого контура

Ir₁ + I₁R₁ = ₁.

Получили три уравнения

В эти уравнения входят три неизвестных величины I₁; I₂ и I. Решаем систему уравнений и находим

I₁ = 2,28 А ; I₂ = 0,56 А;I = I₁ + I₂ = 1,72 А.

Простая физика — EASY-PHYSIC

При решении задач на законы Кирхгофа лучше придерживаться определенного алгоритма: 1. определить число неизвестных токов — столько уравнений должно быть в системе ; 2. определить количество узлов — уравнений по первому закону тогда нужно составить на одно меньше; 3. проложить контуры и записать для них уравнения по второму закону. Кто хочет разобраться досконально — есть видео.

Задача 1. Два элемента с В и В соединены по схеме, показанной на рисунке . Сопротивление Ом. Внутреннее сопротивление элементов одинаково Ом. Определить силу тока, идущего через сопротивление .

К задаче 1

Обозначим токи в ветвях произвольно. По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна 0:

Будем обходить верхний контур против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

Будем обходить второй контур по часовой стрелке:

Неизвестных токов – три, мы составили три уравнения. Этого достаточно, чтобы найти токи:

Выразим из второго уравнения, а — из третьего:

Подставим эти выражения в первое уравнение:

Тогда токи и

Ответ: A, A, A.

Задача 2.

Найти силу тока на всех участках цепи‚ если В, В‚ В, Ом‚ Ом‚ Ом‚ Ом‚  Ом, Ом.

К задаче 2

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас два узла, поэтому уравнение будет одно.

Затем, обходя контуры, составим два уравнения по второму закону: их нужно составить два, так как неизвестных токов в цепи три.

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , .

Ответ: , , .

 

Задача 3.

В схеме, показанной на рисунке, найти силу тока через гальванометр, если В, кОм; В, кОм.  Сопротивлением гальванометра пренебречь.

К задаче 3

Нам неизвестно сопротивление гальванометра, запишем для напряжения на нем два уравнения:

Приравнивая, получим

Заметим, что, если  , то равенство будет выполнено. Таким образом, ток через гальванометр не течет.

Ответ: .

Задача 4.

В цепи   В‚ В, Ом,  Ом. Найти распределение токов в цепи. Внутреннее сопротивление источников тока не учитывать.

К задаче 4

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас три узла, поэтому уравнений будет два.  Затем, обходя контуры, составим три уравнения по второму закону: их нужно составить именно три, так как неизвестных токов в цепи шесть.

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , , , , .

Ответ: , , , , , .

Задача 5.

Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? Сопротивлением амперметра пренебречь.

К задаче 5

Обозначим токи в цепи произвольно. Обозначим направления обхода контуров. Запишем систему уравнений: составим три уравнения по первому закону (на одно меньше, чем количество узлов) и три уравнения по второму закону, так как неизвестных токов шесть и система должна состоять из шести уравнений.

Чтобы воспользоваться калькулятором, я задала Ом и В.  В итоге получилось: , , , , , .

Минусы свидетельствуют о противоположном направлении тока в этой ветви тому, что мы нарисовали.

Закон Кирхгофа – задачи и решения

Александр Сан Лохат

1. Если R ₁ = 2 Ом, R ₂ = 4 Ом, R ₃ = 6 Ом, определить электрический ток, протекающий в цепи. ниже.

Известный :

Резистор 1 (R ₁ ) = 2 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 4 Ом

Резистор 90 0 (R 6 3

Резистор 90 0 (R

90 0 0 ) 6 Ом

Источник ЭДС 1 (Е ₁ ) = 9 В

Источник ЭДС 2 (Е ₂ ) = 3 В

Требуется: Электрический ток (I)

Решение:

Этот вопрос относится к закону Кирхгофа. Как решить эту задачу:

Сначала выберите направление тока. Вы можете выбрать противоположный ток или направление по часовой стрелке.

Второй , при протекании тока через резистор (R) происходит уменьшение потенциала так, что V = IR со знаком минус. Третий , если ток движется от низкого к высокому напряжению (- к +), то источник ЭДС (Е) имеет положительный знак из-за заряда энергии в источнике ЭДС. Если ток движется от высокого к низкому напряжению (+ к -), то источник ЭДС (Е) имеет отрицательный знак из-за потери энергии в источнике ЭДС.

В этом решении направление тока совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.

– ИР ₁ + Е ₁ – ИР ₂ – ИР ₃ – Е ₂ = 0

– 2 И + 9 – 0 0 4 0 – 0 0 0 – 9 0 – 12 I + 6 = 0

– 12 I = – 6

I = -6 / -12

I = 0,5

Электрический ток, протекающий в цепи, равен 0,5 А. Положительный знак электрического тока означает, что направление электрический ток совпадает с направлением вращения по часовой стрелке. Если электрический ток отрицательный, то электрический ток направлен против часовой стрелки.

2. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Решение:

В этом решении направление тока совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.

-20 – 5I -5I – 12 – 10I = 0

-32 – 20I = 0

-32 = 20I

I = -32 / 20

I = -1,6 А

3 900 отрицательное, направление электрического тока на самом деле противоположно направлению по часовой стрелке. Направление электрического тока не совпадает с оценкой.

3. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Решение:

В этом решении направление тока совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.

– I – 6I + 12 – 2I + 12 = 0

-9I + 24 = 0

-9I = -24

I = 24/9

I = 8/3 A

4. 0004 Электрический цепь состоит из четырех резисторов, R ₁ = 12 Ом, R ₂ = 12 Ом, R ₃ = 3 Ом и R ₄ = 6 Ом, подключены к источнику ЭДС E ₁ = 6 Вольт, E ₂ = 12 Вольт. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Известно:

Резистор 1 (R ₁ ) = 12 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 12 Ом ) = 3 Ом

Резистор 4 ( R ₄ ) = 6 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 6 Вольт

Источник ЭДС 2 (E ₂ ) = 12 Вольт

Требуется : Электрический ток протекает в цепи (I)

Решение :

Резистор 0 1 (R 0 6 90 0 ) и 905 2 (R ₂ ) соединены параллельно. Эквивалент резистора:

1/R ₁₂ = 1/R ₁ + 1/R ₂ = 1/12 + 1/12 = 2/12

R ₁₂ = 12/2 Ом

В этом решении направление тока совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.

– ИР ₁₂ – Е ₁ – ИР ₃ – ИР ₄ + Е ₂ = 0

– 6 И – 03 – 9 0 0 0 1 – 6И + 6И – 6И – 3И – 6I = 6 -12

– 15I = – 6

I = -6/-15

I = 2/5 A

5. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Известно:

Резистор 1 (R ₁ ) = 10 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 6 Ом

Резистор 3 (R ₃ ) = 5 Ом

Резистор 4 (R ₄ ) = 20 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 8 Вольт 2 ) = 12 вольт

Требуется: Электрический ток, протекающий в цепи

Решение:

Резистор 3 (R ₃ ) и резистор 4 (R _{6 9 4) соединены параллельно. Эквивалент резистора:}

1/R ₃₄ = 1/R ₃ + 1/R ₄ = 1/5 + 1/20 = 4/20 + 1/20 = 5/20

R ₃₄ = 20/5 = 4 Ом

В этом решении направление ток совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.

– ИР ₁ – ИР ₂ – Е ₁ – ИР ₃₄ + Е ₂ = 0

– 10И – 90 0 0 + 81 – 44 4 04 – 10И – 6И – 4I = 8 – 12

– 20I = – 4

I = -4/-20

I = 1/5 A

I = 0,2 A

6. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Известно:

Резистор 1 (R ₁ ) = 1 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 6 Ом 6 Ом

Резистор 4 ( R ₄ ) = 4 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 12 Вольт

Источник ЭДС 2 (E ₂ ) = 6 Вольт

0 Требуется, чтобы в схема

Решение:

Резистор 1 (R ₁ ) и резистор 2 (R ₂ ) соединены параллельно. Эквивалент резистора:

1/R ₁₂ = 1/R ₁ + 1/R ₂ = 1/1 + 1/6 = 6/6 + 1/6 = 7/6

R ₁₂ = 6/7 Ом

Направление тока совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.

E ₁ – IR ₁₂ – E ₂ – IR ₄ – IR ₃ = 0

12 – (6/7)И – 6 – 4И – 6И = 0

12 – 6 – (6/7)И – 4И – 6И = 0

6 – (6/7)И – 10I = 0

6 = (6/7)I + 10I

6 = (6/7)I + (70/7)I

6 = (76/7)I

(6)(7) = 76I

42 = 76I

I = 42/76

I = 0,5 А

Правила Кирхгофа.

Решенные примеры задач: Кирхгофа первое правило (правило тока или правило соединения), второе правило Кирхгофа (правило напряжения или правило петли), мост Уитстона, мост метра

Первое правило Кирхгофа (текущее правило или правило соединения): решенные примеры задач

ПРИМЕР 2. 20

Из данной схемы найдите значение I. 9002

2

Применение правила Кирхгофа к точка P в цепи,

Стрелки, указывающие на P, положительны, а от P — отрицательны.

Следовательно, 0,2 А – 0,4 А + 0,6 А – 0,5 А + 0,7 А – I = 0

1,5 А – 0,9A – I = 0

0,6 A – I = 0

I = 0,6 A

Второе правило Кирхгофа (правило напряжения или правило цикла): решенные примеры задач

проводников, которые можно разделить на две замкнутые петли, такие как ACE и ABC. Примените правило напряжения Кирхгофа.

Решение

Таким образом, применяя второй закон Кирхгофа к замкнутому контуру EACE 

I 1 R 1   +  I 2 R 2   +  I 3 R 3 0   4 9047 9047 4 9048 8 ξ 

и для замкнутого контура ABCA

I 4 R 4   +  I 5 R 5- I 2 R 2= 0

 

9000. 2 002 Рассчитайте ток, протекающий через резистор 1 Ом в следующей цепи.

Решение

Мы можем обозначить ток, который течет от 9-вольтовой батареи, как I1 и он разделяется на I2 и I1 – I2 в переходе в соответствии с правилом тока Кирхгофа (KCR). Это показано ниже.

Теперь рассмотрим контур EFCBE и применим КВР, получим

1I2 + 3I1 + 2I1 = 9

5I1 + I2 = 9 (1)

Применив КВР к контуру EADFE, получим

I– 3 (I11 ) – 1I2 = 6

3I1 – 4I2 = 6 (2)

Решая уравнения (1) и (2), получаем

I1 = 1,83 А и I2 = -0,13 А

Это означает, что ток в резисторе 1 Ом течет от F к E.

Мост Уитстона: Решенные примеры задач 100 Ом, Q = 1000 Ом и R = 40 Ом. Если гальванометр показывает нулевое отклонение, определите значение S.

Решение

 

ПРИМЕР 2.24

Каково значение 0048  когда сеть Уитстона сбалансирована?

P = 500 Ом, Q = 800 Ом, R = x + 400, S = 1000 Ом

х + 400 = 0,625 × 1000

x + 400 = 625

x = 625 – 400

x = 225 Ом Ом в правый зазор, соотношение балансировочной длины 3:2.