Закрыть

Закон кирхгофа с источником тока: МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Содержание

МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Пусть дана сложная цепь (рис.1.16).

Данная цепь содержит два источника ЭДС Е2 и Е3 и один источник тока J2, находящиеся в разных ветвях, т.е. относится к сложным цепям.

По первому закону Кирхгофа составляют n–1 уравнений, где n – число узлов схемы. Последнее n-ное уравнение не будет содержать новой связи между неизвестными, т.е. будет линейно зависимым.

По второму закону Кирхгофа составляют y yj n + 1 число уравнений, где y – число ветвей в схеме; yj – число ветвей с источниками тока, ток в которых изначально известен.

Независимость уравнений, или, как говорят, независимость контуров, будет обеспечена, если эти контуры выбирать так, чтобы каждый последующий отличался от предыдущих, по крайней мере, одной новой ветвью.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.16)

n = 5, у = 8, yj

= 1.

 
 

 

 

Следовательно,запишем четыре (5 – 1 = 4) уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, d, c и m и три (8 -1 -5 +1 = 3) уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров I, II, III:

Решив полученную систему, найдём значения токов в ветвях.

Недостатком рассмотренного метода является большое число уравнений, а следовательно, громоздкость вычислений. Достоинством метода является то, что в результате расчёта получим значения действительных токов в ветвях.

1.6.2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов позволяет уменьшить число уравнений системы и обеспечивает некоторый автоматизм в записи системы уравнений, что облегчает расчёт.

В этом методе считаем, что в каждом независимом контуре k протекает свой контурный ток Ikk. При этом действительные токи в ветвях, являющихся общими для двух и более контуров, равны алгебраической сумме соответствующих контурных токов. При введении в рассмотрение контурных токов отпадает необходимость в записи уравнений по первому закону Кирхгофа, и порядок системы равен числу независимых контуров.

Если в схеме имеется ветвь с источником тока, то независимые контуры выбираются так, чтобы она вошла только в один из них. Контурный ток такого контура считается известным и равным току источника тока, а уравнение для этого контура не составляется.

В рассматриваемой сложной цепи (рис.1.17) можно выделить четыре независимых контура.

Для четвертого контура, содержащего источник тока J2, контурное уравнение не составляется, так как ток в этом контуре I44 известен и равен току источника J2, а все слагаемые с этим током, входящие в систему, считаются известными и при расчёте переносятся в правую часть системы.

При записи системы уравнений по методу контурных токов в общем виде учитываем, что всего контурных токов четыре (I11, I22

, I33, I44), но один из них известен (I44 = J2), следовательно, уравнений в системе будет три – по числу неизвестных.

 
 

 

 

По второму закону Кирхгофа

Коэффициенты R11, R22, R33, R44 имеют размерность сопротивлений, называются собственными сопротивлениями контуров и равны сумме сопротивлений, входящих в данный контур:

R11=R2+R4+R5; R22=R1+R3+R4; R33=R3+R5+R6.

Коэффициенты R12, R21, R13, R31, R23, R32, R14

, R24, R34 имеют размерность сопротивлений, называются взаимными сопротивлениями контуров и равны сопротивлению смежной (общей) ветви между соответствующими контурами, взятому со знаком «+», если контурные токи обтекают эту ветвь в одном направлении, и со знаком «–», если контурные токи обтекают эту ветвь в противоположных направлениях:

R12= R21=R4; R13=R31=R5; R23=R32=R3; R14=R2; R24=0; R34=0.

Правые части уравнений системы Е11, Е22, Е33 называются контурными ЭДС и равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в соответствующие контуры:

Е11 = Е2; Е22 = -Е3; Е33 = Е3.

Слагаемые R

14I44 = R14J2, R24I44 = R24J2, R34I44 = R34J2 в полученной системе известны. Перенеся их в правые части уравнений, получим

Решив данную систему, найдём значения контурных токов.

Действительные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по данным ветвям.

В рассматриваемом примере окончательно имеем

I1 = -I22; I2 = I11; I3 = -I22+I33; I4 = I11+I22;

I5 = I11-I33; I6 = -I33; I7 = I11-I44 = I11-J2.

1.6.3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Метод узловых напряжений (потенциалов) применяется в тех случаях, когда число узлов меньше числа независимых контуров или когда требуется определить потенциалы узлов цепи.

В этом методе за неизвестные принимаются потенциалы узлов.

Так как один из n узлов схемы мы можем мысленно заземлить (принять его потенциал равным нулю, т.е. известным), то для определения потенциалов оставшихся узлов методом узловых напряжений требуется составить n–1 уравнений.

После определения потенциалов всех узлов цепи токи в ветвях могут быть найдены по закону Ома.

Перед началом расчета рекомендуется ввести цифровое обозначение узлов схемы, а также преобразовать идеальный источник тока с параллельно присоединенным сопротивлением в эквивалентный идеальный источник ЭДС с последовательно присоединенным сопротивлением (при отсутствии присоединенных указанным образом сопротивлений преобразование идеального источника тока в идеальный источник ЭДС и наоборот невозможно).

Рассмотрим цепь, представленную на рис.1.16.

Заменим источник тока J2 на эквивалентный источник ЭДС (рис.1.18).

 

После этого преобразования схема приобретает следующий вид (рис.1.19).

 

 

В полученной схеме (см. рис.1.19) .

Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю: j 4 = 0.

Тогда система уравнений по методу узловых напряжений для определения трех неизвестных потенциалов в общем виде [1,2,3] имеет вид

 

Коэффициенты G11, G22, G33имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, подходящих к данному узлу:

 

 

Коэффициенты G12, G21, G13, G31, G23, G32имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, соединяющих соответствующие узлы схемы, взятой со знаком «–»:

Правые части уравнений системы J11, J22, J33 называются узловыми токами.

Узловой ток – это расчетная величина, равная алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к данному узлу, на проводимости этих ветвей. Если ЭДС направлена к узлу, то произведение берётся со знаком «+», а если от узла – то со знаком «–».

Если к узлу подходит ветвь с источником тока, то его ток войдет в узловой ток со знаком «+», если он направлен к узлу, или со знаком «–», если от узла.

В рассматриваемой схеме (см. рис.1.19)

 

В результате расчёта системы получим значения потенциалов всех узлов ( ) и по ним найдём значения токов в ветвях по закону Ома:

Ток I7 в исходной схеме с источником тока (см. рис.1 .16) получим по первому закону Кирхгофа:

I7 = I2J .

 

1.6.4. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Метод наложения основан на принципе наложения (суперпозиции): ток в любой ветви сложной цепи при действии всех источников равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых в этой ветви каждым из источников в отдельности

.

Таким образом, исходная сложная электрическая цепь может быть разбита на ряд простых, получаемых путем последовательного исключения из схемы всех источников кроме одного. При исключении источников они удаляются из схемы, а на их месте остаются только их внутренние сопротивления. Соответственно, на месте идеального источника ЭДС остается закороченный участок, а на месте идеального источника тока – разрыв.

В полученных простых цепях рассчитываются частичные токи во всех ветвях от действия каждого источника в отдельности, а действительные токи ветвей исходной сложной цепи находятся как алгебраическая сумма соответствующих частичных токов.

При применении метода наложения к цепи (см. рис.1.16) последовательность действий выглядит следующим образом:

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е3 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС

Е2;

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е3;

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2 и источник ЭДС Е3 (замыкаем их зажимы) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только источника тока J2;

находим полные токи в ветвях исходной сложной схемы как алгебраическую сумму соответствующих частичных токов.

Недостатком метода наложения является его громоздкость в случае расчета достаточно сложной схемы с большим количеством источников.

 

1.6.5. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Метод эквивалентного генератора рационально применять в том случае, когда требуется определить ток (или найти его аналитическое выражение) лишь в одной ветви цепи, без нахождения токов в остальных ветвях.

В основе метода лежит замена части цепи, подключенной к зажимам заданной ветви, эквивалентным источником и определение параметров этого источника. В зависимости от выбора вида эквивалентного источника различают метод эквивалентного генератора напряжения (источник ЭДС) или эквивалентного генератора тока (источник тока).

Расчёт методом эквивалентного генератора напряжения заключается в определении ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного источника и состоит в следующем.

1. В заданной схеме обрывается ветвь, в которой требуется определить ток, и любым из известных методов определяется напряжение холостого хода UХХ на разрыве.

Получаем ЭДС эквивалентного источника: EЭ = UХХ.

2. Определяется входное сопротивление RВХ цепи относительно заданной ветви. Для этого исключаем из схемы все источники и полученную схему преобразовываем (сворачиваем) к одному эквивалентному сопротивлению.

Получаем внутреннее сопротивление эквивалентного источника: rЭ = RВХ.

3. С помощью этих двух преобразований исходная сложная электрическая цепь заменяется эквивалентной одноконтурной схемой (рис.1.20).

Здесь R – сопротивление ветви, в которой необходимо найти ток.

Ток заданной ветви

 

Преобразовав в схеме (см. рис.1.20) источник ЭДС в источник тока, получим схему эквивалентного генератора тока, ток которого равен току короткого замыкания в заданной ветви. Для определения этого тока необходимо замкнуть накоротко сопротивление R заданной ветви и найти ток в ней любым известным методом [2].

Ток заданной ветви в этом случае находится по формуле

В качестве примера применения метода эквивалентного генератора рассмотрим нахождение тока I1 в схеме (см. рис.1.19).

1. Обрывая первую ветвь, получим схему (рис.1.21).

 

 

Найдём напряжение на разрыве UХХ методом узловых потенциалов.

Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю:
j4 = 0. Тогда система уравнений по методу узловых напряжений в общем виде выглядит следующим образом:

Коэффициенты и свободные члены в системе

Здесь ЭДС .

Подставляем эти значения в систему уравнений. Решив её, получим значения потенциалов всех узлов: , , и .

Тогда напряжение холостого хода будет

2. Определим входное сопротивление цепи RВХ относительно первой ветви. Для этого исключим из схемы оба источника, оставив только их внутреннее сопротивление (внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю).

Полученная схема (рис.1.22) не содержит ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений, поэтому для решения задачи необходимо применить преобразование «звезды» в «треугольник» или наоборот.

 

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R2R4R5 в эквивалентную «звезду» R24R25R45 (рис.1.23):

 
 

 

В результате этого преобразования получаем новую схему. Преобразуя последовательно и параллельно соединенные сопротивления (рис.1.24), найдем входное сопротивление схемы RВХ относительно оборванной ветви:

 

 
 

 

 

 

Таким образом, зная параметры эквивалентного генератора, находим ток I1:

 

Проверим расчёт цепи балансом мощностей.

Для схемы (см. рис.1.16) составим уравнение энергетического баланса:

Для учёта мощности источника тока найдём напряжение на его зажимах

и его мощность

.

Так как направления токов через оба источника ЭДС совпадают с направлениями этих ЭДС, то мощности этих источников E2I2 и E3I3 войдут в баланс мощностей со знаком «+»:

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется электрической цепью?

2. Что такое источник ЭДС? Что такое источник тока?

3. Закон Ома для участка цепи.

4. Первый закон Кирхгофа.

5. Второй закон Кирхгофа.

6. Отличительный признак последовательного соединения.

7. Что называется эквивалентным сопротивлением?

8. Как находится эквивалентное сопротивление участка цепи при последовательном соединении?

9. Отличительный признак параллельного соединения.

10. Как находится эквивалентное сопротивление (проводимость) участка цепи при параллельном соединении?

11. Что такое смешанное соединение потребителей?

12. Какая задача называется прямой? Какая задача называется обратной?

13. В чем заключается расчет методом пропорциональных величин?

14. В чем заключается расчет методом законов Кирхгофа?

15. В чем заключается расчет методом контурных токов?

16. В чем заключается расчет методом узловых напряжений?

17. В чем заключается расчет методом эквивалентного генератора?

18. В чем заключается расчет методом наложения?

19. Какими способами можно проверить правильность расчёта цепи?

20. В чём заключается баланс мощностей?

21. Что представляет собой потенциальная диаграмма?



Узнать еще:

Второй закон Кирхгофа, теория и примеры

Большое количество электрических цепей на практике являются сложными. Однако в цепь любого уровня сложности имеет элементы двух простейших видов. Это узлы и замкнутые контуры. Узел – это любая точка разветвления цепи, в которой сошлось три или более проводников, по которым текут токи.

Второе правило (закон) Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома. Так, если в изолированной замкнутой цепи есть один источник ЭДС, то сила тока в цепи будет такой, что сумма падения напряжения на внешнем сопротивлении и внутреннем сопротивлении источника будет равна сторонней ЭДС источника. Если источников ЭДС несколько, то берут их алгебраическую сумму. Знак ЭДС выбирается положительным, если при движении по контуру в положительном направлении первым встречается отрицательный полюс источника. (За положительное направление обхода контура принимают направление обхода цепи либо по часовой стрелке, либо против нее).

Формулировка второго закона Кирхгофа

Произведение алгебраической величины силы тока (I) на сумму вешних и внутренних сопротивлений всех участков замкнутого контура равно сумме алгебраических значений сторонних ЭДС () рассматриваемого контура:

   

Каждое произведение определяет разность потенциалов, которая существовала бы между концами соответствующего участка, если бы ЭДС в нем была равно нулю. Величину называют падением напряжения, которое вызывается током.

Второй закон Кирхгофа иногда формулируют следующим образом:

Для замкнутого контура сумма падений напряжения есть сума ЭДС в рассматриваемом контуре.

Правила Кирхгофа служат для того, чтобы составить систему уравнений, позволяющих найти силу тока для сложной цепи. Направление положительного обхода выбирают для всех контуров одинаковым. При составлении уравнений, используя правила Кирхгофа необходимо внимательно следить за расстановкой знаков токов и ЭДС.

Система уравнений, которая получается при использовании первого и второго закона Кирхгофа является полной и дает возможность отыскать все токи. При составлении уравнений, используя правила Кирхгофа, надо следить за тем, чтобы новое уравнение имело хотя бы одну величину, которая еще не вошла в предыдущие уравнения. Кроме того, необходимо, чтобы система уравнений имела число уравнений равное количеству неизвестных.

Второй закон Кирхгофа следует из того, что электрическое напряжение по замкнутому контуру равно нулю, то есть это правило является следствием основного свойства электростатического поля, которое заключается в том, что работа поля при движении заряда по замкнутой траектории равна нулю.

Примеры решения задач

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

$$ \sum{i} = 0, $$

или в комплексной форме

$$ \sum{\underline{I}} = 0. $$

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

$$ \sum{\underline{Z} \cdot \underline{I}} = \sum{\underline{E}}. $$

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{у}-1 $, где $ N_\textrm{у} $ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{в}-N_\textrm{у}+1 $, где $ N_\textrm{в} $ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.


Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).


Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline{J}_{1} $, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0; $$

для узла «3 у.»:

$$ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0; $$

для узла «4 у.»:

$$ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1}; $$

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2}; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3}; $$

где $ \underline{Z}_{C} = -\frac{1}{\omega C} $, $ \underline{Z}_{L} = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0 \\ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0 \\ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0 \\ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0 \\ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1} \\ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2} \\ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3} \end{cases} $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline{Z}_{C1} & R_{2} & 0 & -\underline{Z}_{L1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_{2} & R_{4} & 0 & \underline{Z}_{C2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{Z}_{L1} & 0 & R_{1}+\underline{Z}_{L2} & R_{3} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \underline{I}_{1} \\ \underline{I}_{2} \\ \underline{I}_{3} \\ \underline{I}_{4} \\ \underline{I}_{5} \\ \underline{I}_{6} \\ \underline{I}_{7} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline{J}_{1} \\ \underline{E}_{1} \\ \underline{E}_{2} \\ \underline{E}_{3} \\ \end{bmatrix} $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> A = [1  -1 -1    0   0        0  0;
       -1   0  0   -1   0        1  0;
        0   1  0    1   1        0 -1;
        0   0  1    0  -1        0  0;
      Zc1  R2  0 -Zl1   0        0  0;
        0 -R2 R4    0 Zc2        0  0;
        0   0  0  Zl1   0 (R1+Zl2) R3];
>> b = [0;
        0;
        0;
       J1;
       E1;
       E2;
       E3];
>> I = A\b

В результате получим вектор-столбец $ \underline{\bold{I}} $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Второй закон Кирхгофа

Господа, всем привет!

Сегодня мы рассмотрим второй закон Кирхгофа. Он чуть сложнее, чем первый закон Кирхгофа, который мы уже рассматривали ранее, поэтому я сперва дам общую формулировку, а потом мы постараемся аккуратно разобраться во всем этом деле. 

Итак, второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Может быть сложновато для восприятия, если вы читаете это в первый раз, не спорю. Но сейчас попробуем разобраться более детально во всем этом. Для начала давайте определим, что же такое контур электрической цепи, где эти самые ЭДС действуют. Пожалуй, это тот случай, когда проще нарисовать картинку, чем объяснять словами. Взглянем на рисунок 1.

Рисунок 1 – Контура в схеме

На нем мы можем видеть три контура: я обозначил их красным, оранжевым и синим цветами. То есть контур –  это некоторая замкнутая часть электрической цепи, состоящая из нескольких ветвей.

То есть что говорит второй закон Кирхгофа? У нас есть большая и сложная электрическая схема. В ней много различных контуров. Будем рассматривать подробно один из этих контуров, любой на выбор. И вот если мы в этом контуре сложим ЭДС всех источников, какие там есть, то их сумма будет равна сумме падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура. И это верно для любого контура в нашей схеме. Довольно интересный факт. И если про первый закон Кирхгофа можно говорить, что он интуитивно очевиден, то здесь, вообще говоря, это не совсем так. А поскольку он не очевиден на первый взгляд, тем больше поводов показать его верность математически.

Господа, прошу обратить внимание на рисунок 2. На нем изображен один из контуров какой-то сложной электрической схемы.

Рисунок 2 – Контур схемы

Почему он именно такой, можете вы спросить? Да просто так! Я рисовал его так, как подскажет фантазия в тот момент. Вы можете смело заявить, что ваша фантазия лучше и нарисовать какой-либо другой контур с другими компонентами. Потом повторите все действия, которые я буду производить над этим контуром, и в конечном счете у вас должен получиться точно такой же результат, как и у меня.

Первым делом давайте зададимся направлением обхода контура. Это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода контура у нас по часовой стрелке, и я показал его синей стрелочкой на рисунке 2.

Следующим шагом нам надо расставить предполагаемое направление токов в каждой ветви. Тут опять же все целиком отдается вашей фантазии. На данном этапе можно рисовать любое направление токов. Если мы угадали – отлично, если нет – в конце всех расчетов получим ток с другим знаком. Я расставил на рисунке 2 все токи черными стрелками и рядом с ними подписал их величины (I1…I4).

А теперь внимание, господа. Пришло время вспомнить то выражение, ради получения которого я написал предыдущую статью. На всякий случай, если вдруг кто забыл, напоминаю его

Оно означает, что если потенциалы на концах ветви равны φ1 и φ2, то их разность равна ЭДС источника в ветви минус произведение тока в ветви на сопротивление в ветви.

Применим это выражение для каждой ветви нашего контура, изображенного на рисунке 2. Поскольку у нас в контуре четыре ветви, то всего мы получим четыре уравнения. Резонный вопрос – а как быть со знаками при записи этих уравнений? Правила тут два.

  • Если направление работы источника напряжения совпадает с направлением обхода контура, то берем его со знаком плюс. Если не совпадает – со знаком минус. Совсем просто: если стрелка в источнике напряжения совпадает со стрелкой обхода, то Е в уравнении пишется без изменения знака, если стрелки в разные стороны – то надо поставить минус перед E.
  • Если направление тока, которое мы сами выбрали чуть раньше, совпадает с направлением обхода, то в нашем уравнении перед произведением тока на сопротивление так и остается знак минус. Если они направлены в разные стороны, то знак минус меняем на плюс.

Пользуясь этими простыми правилами, запишем уравнения для каждой ветви.

Очевидно, что если в цепи нет источника ЭДС, то у нас не будет первого слагаемого в правой части. А если нет сопротивления, то не будет второго слагаемого в правой части. Собственно, это и видно из составленных уравнений.

Господа, надеюсь вы помните, что с уравнениями в одной системе можно творить всякие интересные штуки? Например, можно все их сложить между собой (правые и левые части). Легко заметить, что при сложении всех этих четырех уравнений в левой части будет нолик, то есть все потенциалы волшебным образом самоликвидируются. Сделаем это! Получим

А теперь давайте перенесем все слагаемые с ЭДС в одну сторону, а с током и сопротивлением – в другую. Имеем

А имеем мы, собственно, второй закон Кирхгофа. Все честно, как я и писал в начале – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Надеюсь, господа, после статьи про закон Ома у вас не возникает вопросов, почему произведение тока на сопротивление – это падение напряжения на сопротивлении?  Если возникает – срочно, очень срочно, прямо сейчас пройдитесь по этой ссылке и разрешите эти вопросы!

А что же все-таки тут понимается под словом алгебраическая сумма? Это словосочетание нам уже встречалось. Это значит, что складывать надо с учетом знака. А как выбирать правильно этот самый знак? Господа, взгляните еще разок на рисунок 2. Там у нас задано направление обхода контура и направление токов. Все это мы выбирали (я бы даже сказал придумывали) сами. Ну и направление работы источника еще видно по его графическому изображению.

Так вот, если направление работы источника ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то мы ему приписываем знак плюс, а если не совпадает – минус. Аналогично и для правой части. Если направление тока совпадет с направлением обхода, то мы пишем произведение тока на сопротивление со знаком плюс. Иначе – со знаком минус.

Специально для труЪ-математиков привожу запись второго закона Кирхгофа с использованием хитрых значков суммирования. Вне всякого сомнения, если вы будете использовать эту запись, то произведете впечатление человека, который шарит в теме!

Здесь у нас N источников c ЭДС Ei и M ветвей с сопротивлениями Rj и токами Ij. Разумеется, суммирование идет все так же с учетом знаков.

Может возникнуть резонный вопрос: «Как же так? Получается, я сам все придумываю: и направление обхода, и направление токов и это значит, что знак может получиться любой. Поверну стрелку тока в другую сторону и сразу знак у слагаемого поменяется! Но ведь в реальной схеме токи всегда текут в своем направлении вне зависимости от того, что я там нарисую на листочке! Какое-то противоречие!» Господа, вопрос весьма справедливый. Но предлагаю разобраться в нем в следующей статье. Сохраним некоторую интригу на текущий момент, как принято во всяких этих сериальчиках . А сейчас – спасибо, что прочитали статью, огромной вам всем удачи, и пока!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.


Законы Кирхгофа




В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, ЭДС и сопротивлением всей цепи или , между напряжением и сопротивлением на каком-либо участке цепи определяется законом Ома.

На практике в цепях, токи, от какой-либо точки, идут по разным путям.
Точки, где сходятся несколько проводников, называются узлами, а участки цепи, соединяющие два соседних узла, ветвями.

В замкнутой электрической цепи ни в одной ее точке не могут скапливаться электрические заряды так, как это вызвало бы изменение потенциалов точек цепи. Поэтому электрические заряды притекающие к какому-либо узлу в единицу времени, равны зарядам, утекающим от этого узла за ту же единицу.
Разветвлённая цепь.
В узле А цепь разветвляется на четыре ветви, которые сходятся в узел В.

Обозначим токи в неразветвленной части цепи - I, а в ветвях соответственно

I1

, I2, I3, I4.

У этих токов в такой цепи будет соотношение:

I = I1+I2+I3+I4;

Cумма токов, подходящих к узловой точке электрической цепи,
равна сумме токов, уходящих от этого узла.

При параллельном соединении резисторов ток проходит по четырем направлениям, что уменьшает общее сопротивление или увеличивает общую проводимость цепи, которая равна сумме проводимостей ветвей.

Обозначим силу тока в неразветвленной ветви буквой I.
Силу тока в отдельных ветвях соответственно I1, I2, I3 и I4.
Напряжение между точками A и B - U.
Общее сопротивление между этими точками — R.

По закону Ома напишем:

I = U/R; I1 = U/R1; I2 = U/R2; I3 = U/R3; I4 = U/R4;

Согласно первому закону Кирхгофа:

I = I1+I2+I3+I4; или U/R = U/R1+U/R2+U/R3+U/R4.

Сократив обе части полученного выражения на U получим:

1/R = 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4, что и требовалось доказать.

Cоотношение для любого числа параллельно соединенных резисторов.
В случае, если в цепи содержится два параллельно соединенных резистора
R1 и R2, то можно написать равенство:

1/R =1/R1+1/R2;

Из этого равенства найдем сопротивление R, которым можно заменить два параллельно соединенных резистора:

Полученное выражение имеет большое практическое применение.
Благодаря этому закону производятся расчёты электрических цепей.

Второй закон Кирхгофа

В замкнутом контуре электрической цепи сумма всех эдс равна
сумме падения напряжения в сопротивлениях того же контура.


E1 + E2 + E3 +...+ En = I1R1 + I2R2 + I3R3 +...+ InRn
.При составлении уравнений выбирают направление обхода цепи и произвольно задаются направлениями токов.

Если в электрической цепи включены два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, т. е. согласно изо1, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников,
т. е.
E = E1+E2
.

Если же в цепь включено два источника, эдс которых имеют противоположные направления, т. е. включены встречно изо2, то общая эдс цепи равна разности эдс этих источников
Е = Е1—Е2
.


Благодаря этим  законам производятся расчёты электрических цепей.
Существует несколько методов расчёта, один из них "Метод узловых напряжений"


Скачать можно здесь

(Подробно и доходчиво в видеокурсе "В мир электричества - как в первый раз!")


Первый и второй законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

 

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I1- ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

I1 = I2 + I3  (1)

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:

I1 - I2 - I3 = 0   (2)

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

- ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

- напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

E1- Е2 = -UR1 - UR2 или E1 = Е2 - UR1 - UR2   (3)

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

I = I1 + I2,

так как I1 и I2 втекают в узел А, а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

E1-E2 = Ur1 – Ur2 или E1-E2 = I1*r1 – I2*r2

Для внутреннего левого контура:

E1 = Ur1 + UR или E1 = I1*r1 + I*R

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

I = I1 + I2;

E1-E2 = I1*r1 – I2*r2;

E1 = I1*r1 + I*R.

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

I = I1 + I2;

7 = 0,1I1 – 0,1I2;

12 = 0,1I1 +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2

I2=I - I1;

I2 = I1 – 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

I - I1= I1 – 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I1– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

12 = 0,1I1 + 2(2I1 – 70).

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

12 + 140= 4,1I1

I1=152/4,1

I1=37,073 (А)

Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

I1=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I - I1

I2=4,146 - 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I2 вытекает из узла А.

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

 Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

Закон кирхгофа для электрической цепи для чайников

По каждому проводнику, составляющему электрическую цепь, течет ток. В точке, где проводники сходятся, называемой узлом, справедливо правило: ток суммарный, подтекающий к нему, равняется сумме, оттекающих.

Законы кирхгофа

Другими словами – сколько зарядов подтечет к этой точке за единицу времени, столько же оттечет. Если принять, что приходящий будет «+», а оттекающий – «-», то суммарная его величина будет нулевой.

Это и есть Первый закон кирхгофа для электрической цепи. Смысл его в том состоит, что заряд не накапливается.

Закон Второй, применим к цепи электрической разветвленной.

Эти универсальные законы Кирхгофа применяют очень широко, поскольку позволяют решить множество задач. Большим их достоинство считают простую и понятную всем формулировку, несложные вычисления.

История

Пополнил ряды немецких ученых Кирхгоф в девятнадцатом столетии, когда в стране, находившаяся на пороге революции индустриальной, требовались новейших технологии. Ученые занимались поиском решений, которые могли бы ускорить развитие промышленности.

Активно занимались исследованиями в области электричества, поскольку понимали, что в будущем оно будет широко использоваться. Проблема состояла на тот момент не в том, как составлять электрические цепи из возможных элементов, а в проведении математических вычислений. Тут и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.

Алгебраическая сумма приходящих к узлам токов и исходящих из него равна нулю. Эта одновременно вытекает из другого закона — постоянства энергии.

К узлу подходят 2 провода, а отходит один. Значение тока, текущего от узла, такое же, как сумма его, протекающего по двум остальным проводникам, т.е. идущим к нему. Правило Кирхгофа объясняет, что, при ином раскладе, накапливался бы заряд, но такого не бывает. Все знают, что всякую сложную цепь легко разделить на отдельные участки.

Но, при этом непросто определить путь, по которому он проходит. Тем более, что на различных участках сопротивления не одинаковы, поэтому и распределение энергии не будет равномерным.

В соответствие со Вторым правилом Кирхгофа, энергия электронов на каждом из замкнутых участков электрической цепи равняется нулю – нулю равняется всегда в таком контуре суммарное значение напряжений. Если бы нарушилось данное правило, энергия электронов при прохождении определенных участков, уменьшалась бы или увеличивалась. Но, этого не наблюдается.

Применение

Таким образом, благодаря этим двум, выдвинутым Кирхгофом утверждениям, установлено зависимость токов от напряжений в разветвленных участках.

Формула Первого закона такова:

Для схемы, приведенной ниже, справедливо:


I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

Плюсовые — это токи, идущие к точке, а те, что выходят из нее «-».

Записывается это так:

  • k — количество ЭДС источников;
  • m – ветви замкнутого контура;
  • Ii,Ri – их сопротивление i-й и ток.

В данной схеме: Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4.

  • ЭДС принимается «+» при совпадении ее направления с выбранным направлением обхода.
  • При совпадении направления тока и обхода на резисторе, с плюсом будет также напряжение.

Расчет цепи

Способ заключается в умении составления систем уравнений, а также решении их, для нахождения токов в каждой ветви (b), а уже, зная их, умении нахождения величины напряжений.

Проще говоря, количество ветвей совпадать должно с неизвестными величинами в системе. Вначале записывают их, исходя из первого правила: число их идентично с количеством узлов.

Но, независимыми будут (y – 1) выражений. Обеспечивается это выбором, а происходит он так, чтобы разнились они (последующий со смежными) минимум одной ветвью.

Далее, составляются уравнения с использованием второго закона: b — (y — 1) = b — y +1.

Независимым считают контур, содержащий одну (или больше) ветвь, которая в другие не входит.

В качестве примера можно рассмотреть такую схему:

Сдержит она:

узлов – 4;

ветвей –6.

По Первому закону записывают три выражения, т.е. y — 1 = 4 – 1=3.

И столько же на основании Второго, поскольку b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3.

В ветвях выбирают плюсовое направление и путь обхода (у нас — по стрелке часовой).

Получается:

Осталось относительно токов решить получившуюся систему, понимая, что, когда в процессе решения он получается отрицательным, это свидетельствует о том, что направлен он будет в противоположную сторону.

Правило Кирхгофа применительно к синусоидальным токам

Правила для синусоидального, такие же, как для тока постоянного. Правда, учитываются величины напряжений с комплексными токами.

Первое звучит: «в электрической цепи нулю равна сумма алгебраическая комплексных токов в узле».

Второе правило выглядит так: «алгебраическая сумма ЭДС комплексных в контуре замкнутом равняется сумме алгебраической значений комплексных напряжений, имеющихся на пассивных составляющих данного контура.

Видео: Законы Кирхгофа

Анализ цепи

- законы Кирхгофа с источником тока, последовательно подключенным к резистору

Итак, вот ваша схема без всех странных стрелок, которые вы добавили:

смоделировать эту схему - Схема создана с помощью CircuitLab


Первый шаг - выбрать узел и назвать его нулем (землей). Вы можете сделать это ровно с одним узлом любой схемы. Если я вижу узел с МНОЖЕСТВОМ ветвей, заканчивающихся на нем, я часто выбираю его как основу, поскольку он уменьшает количество терминов в некоторых выражениях.Но в конце концов, это не имеет значения.

Учитывая, как вы назначаете имена узлов, я выбрал это основание:

смоделировать эту схему


Второй шаг - сбросить \ $ R_1 \ $. Это бесполезно. Источник тока имеет бесконечный импеданс, и любое конечное сопротивление, включенное последовательно с ним, совершенно не имеет значения. Целью только является изменение напряжения согласования источника тока (изменение которого, конечно же, немедленно отменяется изменением сопротивления.)

Так что просто сбросьте это.

смоделировать эту схему


Третий шаг - пометить оставшиеся узлы.

Там я последовал вашим указаниям:

смоделировать эту схему

Учитывая, что мы оба достигли одинакового количества узлов, я подозреваю, что у вас уже есть навыки, чтобы применить то, что я сделал выше. Так что хорошо.


Теперь, в качестве четвертого шага, просто запишите уравнения для каждого из отмеченных узлов:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_A} {R_3} & = \ frac {V_C} {R_3} + I_ {E_2} + I_ {A_1} \ tag {$ V_A $} \\\\ \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_B} {R_6} + I_ {A_1} & = \ frac {V_D} {R_4} + \ frac {0 \: \ textrm {V}} {R_6} \ tag {$ V_B $} \\\\ \ frac {V_C} {R_3} + \ frac {V_C} {R_5} & = \ frac {V_A} {R_3} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ {E_6} \ tag {$ V_C $} \\ \\ \ frac {V_D} {R_4} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ {E_2} & = \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_C} {R_5} \ tag {$ V_D $} \ end {align *} $$

Это достигается за счет удержания всех исходящих токов с левой стороны и всех входящих токов с правой стороны.Давайте обсудим модифицированный узловой метод jonk , который вы не часто увидите, но который на самом деле намного легче отслеживать.

Для каждого узла «представьте», что вы сидите в середине узел (который похож на плоский маленький квадратный пол, сидящий на каком-то высота, которую вы еще не знаете, на длинном шесте "оттуда" где-нибудь. ") Сверху на ваш пол льется вода. знаю, с какой высоты, но вы можете сказать, что он падает на ваш пол.Кроме того, вода, попадающая на ваш маленький пол, теперь стекает с края и проливается на другие этажи ниже вашего. Ты не знаешь где они тоже. Но вы знаете, что они должны быть там. (В "вода" течет, высота этих небольших этажей / узлов равна напряжение этажа / узла.)

Таким образом, левая сторона представляет собой токи, текущие и вытекающие из края вашего пола и на другие близлежащие этажи. И правая сторона представляет собой токи, текущие внутрь и на ваш пол от других близлежащие этажи.

(В соответствии с этой ментальной моделью вы можете представить, что текущая и Источники напряжения могут быть подобны конвейерам, которые могут перемещать воду обратно вверх, чтобы верхние этажи, так сказать. Кроме того, вода никогда не теряется, и все это остается в игре, и вода не может скапливаться на полу - сетка поток на пол должен равняться чистому потоку с него - KCL! -- и поэтому обоснование для установки левой стороны равной правой.)

Я выбрал "направление" для \ $ I_ {E_2} \ $ и \ $ I_ {E_6} \ $, что становится очевидным по тому, поместил ли я этот ток в левую или правую часть уравнения.Единственное правило - я последовательна в этом. Здесь я решил, что ток вытекает из клеммы (+) источника напряжения.

Итак, именно в этот момент может показаться, что есть шесть неизвестных, \ $ V_A \ $, \ $ V_B \ $, \ $ V_C \ $, \ $ V_D \ $, \ $ I_ {E_2} \ $, и \ $ I_ {E_6} \ $, и всего четыре уравнения. Один из способов решить эту проблему - использовать так называемые «суперузлы» при разработке приведенного выше уравнения. Но это просто вводит еще одну терминологию, которую я хотел бы здесь избежать. Итак, давайте придерживаться приведенных выше уравнений.

Что еще мы знаем? Как насчет того, что \ $ V_A = V_D + V_ {E_2} \ $ и что \ $ V_C = V_ {E_6} \ $? Хороший. Теперь у нас есть шесть неизвестных и шесть уравнений. Так что это работает. Мы можем либо подставить эти два уравнения в другие четыре, уменьшив количество переменных до четырех, либо оставить шесть неизвестных и скопировать эти два добавленных уравнения. Как вы подойдете к этому - решать вам. Но давайте выполним замены, так как это дает меньше уравнений и это легко сделать без особого шанса на недоразумение:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_D + V_ {E_2}} {R_3} & = \ frac {V_ {E_6}} {R_3} + I_ {E_2} + I_ {A_1} \ tag {$ V_A $} \\\\ \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_B} {R_6} + I_ {A_1} & = \ frac {V_D} {R_4} \ tag {$ V_B $} \\\\ \ frac {V_ {E_6}} {R_3} + \ frac {V_ {E_6}} {R_5} & = \ frac {V_D + V_ {E_2}} {R_3} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ { E_6} \ tag {$ V_C $} \\\\ \ frac {V_D} {R_4} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ {E_2} & = \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_ {E_6}} {R_5} \ tag {$ V_D $ } \ end {align *} $$

Теперь неизвестными являются просто \ $ V_B \ $, \ $ V_D \ $, \ $ I_ {E_2} \ $ и \ $ I_ {E_6} \ $.{-1} \ begin {bmatrix} \ frac {V_ {E_6} -V_ {E_2}} {R_3} + I_ {A_1} \\ - I_ {A_1} \\ \ frac {V_ {E_2} -V_ {E_6}} {R_3 } - \ frac {V_ {E_6}} {R_5} \\\ frac {V_ {E_6}} {R_5} \ end {bmatrix} \ end {align *} $$

Если вы вставите эти уравнения в какой-нибудь решатель или сделаете это вручную, вы должны получить:

$$ \ begin {align *} V_B & = - \ frac {5} {8} \: \ textrm {V} \\ V_D & = 8 \ frac {3} {4} \: \ textrm {V} \\ I_ {E_2} & = - 8 \ frac {1} {8} \: \ textrm {A} \\ I_ {E_6} & = - \ frac {5} {8} \: \ textrm {A} \ end {align *} $$

И оттуда вы сможете ответить на любые количественные вопросы об остальной части схемы, например о значении для \ $ V_A-V_B \ $.

Напряжение

- Схема не складывается согласно законам Кирхгофа

На самом деле у вас сейчас две проблемы, но давайте сначала поговорим об одной (о той, которую вы отчасти знаете. Вы, кажется, не обращаете внимания на другую прямо сейчас, но в конце концов мы ее разберем).

Это сводится к следующему: вы не можете узнать направления токов или напряжений в цепи, пока не решите ее. У вас может быть идея для более простых схем, но для более сложных схем - нет.

Вместо этого вы ПРИНИМАЕТЕ направление падения напряжения (или направление тока). Если вы предположили, что это правильно, тогда ваши числа окажутся положительными. Если вы где-то ошиблись, тогда ваши числа окажутся отрицательными, что просто означает, что они находятся в противоположном направлении от того, что вы изначально думали / предполагали.

Важно то, что вы последовательны.

(1) - это то, что вы, вероятно, ожидали. Схема проста, поэтому вы заранее знаете, в каком направлении будут происходить события, и можете предполагать их соответственно, чтобы все ваши числа были положительными.Используется пассивное подписанное соглашение. Здесь нет проблем, правда?

(2) - это то, где это может быть для вас магией ума. Посмотри на окончательный ответ. Это неправильно? В конце концов, окончательное уравнение такое же, как # 1. Но подождите, текущее направление на схеме обратное. Поскольку окончательное уравнение для №2 положительное, а положительное значение для №2 отличается от значения для №1, то это не может быть правильным ... верно? Ответ здесь в том, что №2 не ошибается, но все определяется по-другому. Он не использует соглашение о пассивных знаках.

Он использует активное соглашение о знаках (которое вы, вероятно, никогда больше не увидите после этого). Это означает, что ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ падение напряжения интерпретируется как источник, а отрицательное падение напряжения интерпретируется как нагрузка. Важная вещь, которую следует вынести из этого: Схематические направления придают значение числам полярности. Пока вы знаете, на что смотрите на схеме, и уравнения согласуются со схемой, это все, что имеет значение. Математика знает только то, что падение напряжения на источнике и резисторе противоположно.Вы тот, кто заранее заявляет, какой путь следует интерпретировать как предложение или потребление. Вверх противоположность вниз? Или наоборот, если вверх? Что касается математики, то здесь нет различий. ВЫ, человек, определяете и придаете ему физический смысл.


Теперь поговорим о (3). Обратите особое внимание, потому что эта часть будет самой запутанной. Все дело в том, как вы приписываете значение между вашей схемой и полярностью ваших чисел. Есть несколько способов интерпретации того, что положительно, а что отрицательно, и вы должны быть очень осторожны, чтобы не перепутать их, иначе ваши окончательные ответы будут трудно интерпретировать.Здесь мы будем использовать только пассивное соглашение о знаках:

В соглашении о пассивных знаках:

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ = нагрузка

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ = источник

Аналогичным образом мы определим, что ток, протекающий в направлении стрелки, положительный. Это означает, что если в результате вы получите отрицательный ток, это означает, что истинное направление тока противоположно тому, что вы предполагали. Это просто. (Вы можете определить положительный ток, противоположный направлению стрелки, если хотите, и это не имеет математического значения.Однако его интерпретация гораздо менее интуитивна, поэтому мы не делаем того, что является основой всего этого раздела).

Но положительное и отрицательное также имеет второе значение:

ПОЛОЖИТЕЛЬНО предположение о направлении / полярности было правильным

ОТРИЦАТЕЛЬНО предположение о направлении / полярности было неверным.

У нас есть две конкурирующие интерпретации положительного и отрицательного. Что произойдет, если вы предположите, что что-то является источником? Положительное означает правильное предположение, но правильное предположение означает отрицательное падение напряжения.Вы начинаете понимать, где может произойти путаница?

В любой токовой петле есть только один ток, так что интерпретация очевидна. Однако в контуре вы можете легко иметь как источники, так и нагрузки, которые будут иметь отрицательные и положительные падения напряжения соответственно. Здесь вы должны быть очень осторожны, потому что положительное значение может иметь два значения: нагрузка или правильное предположение, а отрицательное может иметь два значения: нагрузка или неправильное предположение.

Вы НЕ хотите путать их, иначе вы не сможете правильно интерпретировать свои числа и схемы в правильном направлении.В лучшем случае ваш ответ не будет математически неправильным, но будет действительно сложно и запутанно интерпретировать его правильно в том, что происходит на вашей схеме.

Теперь посмотрите на схему №3. Мы приняли направление тока и предположили полярность падения напряжения на \ $ V_ {r} \ $. Обратите внимание, как мы определили полярность напряжения резистора как источник, а не как нагрузку. В этом случае это глупо, поскольку мы знаем, что резистор должен быть нагрузкой, но это не всегда так для каждого компонента, с которым вы столкнетесь.Это не математически неверно. В конце концов, числа получатся и будут соответствовать схеме, но их будет трудно интерпретировать.

Иногда у вас могут быть основания подозревать, что что-то вроде конденсатора или катушки индуктивности разряжается и действует как источник. Или вы можете попытаться выяснить неизвестный источник напряжения или тока и думаете, что знаете, в какой полярности / направлении он на самом деле будет. В любом случае у вас может возникнуть соблазн предположить, что падение напряжения на нем соответствует вашим подозрениям.Но вот мой совет: НЕ ДЕЛАЙТЕ ЭТОГО! НЕ ДЕЛАЙТЕ ЭТО! .

Вместо этого просто предположите, что все является тем, что вы определили как положительное падение напряжения (в соглашении о пассивных знаках положительное падение напряжения - это нагрузка, поэтому предполагает, что ВСЕ неизвестное является нагрузкой ). Таким образом, положительный результат всегда означает, что ваши предположения верны, будь то направление тока или падение напряжения (и, в более широком смысле, предположение, что это была нагрузка, если вы использовали соглашение о пассивных знаках). Положительное имеет очень последовательное значение, а отрицательное имеет очень последовательное значение для всех компонентов по всем направлениям.

Если вы получите отрицательный ток, это означает, что это противоположное направление. Если вы получаете отрицательное падение напряжения, это означает, что ваше предположение о том, что это нагрузка, было ошибочным и что это на самом деле источник. «Отрицательное» число, которое вы получаете для падения напряжения, одновременно указывает на то, что ваше предположение о том, что это нагрузка, было неверным, и что падение напряжения на компоненте отрицательное в смысле соглашения о пассивном знаке, как и должно быть для источника. Это упрощает интерпретацию.

Я не следовал этому руководству для № 3. Посмотри, что происходит. Мы определили, что ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число означает, что наше предположение об ОТРИЦАТЕЛЬНОМ падении напряжения было правильным. Вы можете видеть, где начинается путаница, и это простейшая из схем. Представьте себе большую схему с большим количеством компонентов.

Поскольку наше предположение в данном случае было явно неверным, это означает, что мы вычисляем число для падения напряжения, которое является отрицательным (поскольку предположение было неверным).Но это отрицательное число затем применяется к тому, как мы рисовали нашу схему, которая также была отрицательным падением напряжения из-за того, как она была нарисована. Два отрицательных элемента дают положительный результат, что приводит к положительному падению напряжения, соответствующему положительному знаку нагрузки. В вашем рассчитанном числе есть отрицательный знак, и отрицательный результат присущ тому, как вы пометили свою схему. Они сводятся на нет, чтобы получить позитив. Это означает, что если вы записываете номер напряжения на своей схеме, оно должно быть отрицательным, если только вы не перевернете метки на схеме.В этом нет ничего плохого, но за этим действительно сложно уследить. Представьте себе большую схему с большим количеством компонентов.

А затем добавьте тот факт, что вы также используете положительные и отрицательные значения для своих предположений о текущем направлении и формулу V = IR. Было ли это неправильным текущим направлением? Или это было падение напряжения? Вы можете понять, поскольку математика не ошибочна, но будет сложно ее интерпретировать. Представьте себе большую схему с большим количеством компонентов.

Мой совет: Предположите, что каждое неизвестное падение напряжения является положительным, независимо от того, что положительное значение может быть определено как (для соглашения о пассивных знаках это означает нагрузку).Таким образом, если вы увидите положительное число, вы будете знать, что это означает, что ваше предположение было правильным и что это нагрузка с положительным падением напряжения, что соответствует соглашению о пассивных знаках.


Теперь выше показано, как это ДЕЙСТВИТЕЛЬНО должно выглядеть, если вы используете соглашение о пассивных знаках, но предполагаете неправильное направление тока. Вы не знали, в каком направлении будет течь, поэтому просто предположили. И предполагаемое направление падения напряжения для \ $ V_ {R} \ $ в основном означает, что вы предполагали, что напряжение будет падать как нагрузка.Ваш окончательный ответ относительно тока был отрицательным, что означает, что ток на самом деле идет в направлении, противоположном тому, что вы предполагали. Число, которое вы получите, будет правильным, но направление на схеме неправильное (полярность числа в уравнении бессмысленна без схемы).

Один из способов быть последовательным - это проводить ток в каждом контуре, как я, а затем следовать своим путем между падениями напряжения в направлении этого контура. Технически вы можете сложить падения напряжения в противоположном направлении, но тогда все ваши числа будут отрицательными, поскольку вы движетесь в противоположном направлении, которое вы определили как положительный ток.


Вторая проблема связана с текущими циклами и их разделением. Ты дважды считаешь токи и не считаешь других.

Вы видите проблему на схеме ниже? Каждое из двух написанных вами уравнений следует красному и синему пути. Каждое уравнение действует так, как будто оно единственное проходит через R1 или R2, и это нормально, но как насчет зеленого кружка? Они по-прежнему действуют так, как если бы они были единственным существующим током. Каждое уравнение действует так, как будто оно единственное, проходящее через общие части схемы, когда вы можете ясно видеть из схемы, что это не так.

Точно так же вы можете заметить, что есть петля для R3. И это тоже нельзя игнорировать. Он встречается с другими петлями внутри текущего источника. Игнорирование самого правого контура означает, что весь ток от текущего источника течет где-то влево.

Уравнения контура складывают падение напряжения вокруг контура, да. Но не забывайте, что путь, по которому вы фактически путешествуете, определяется ТЕКУЩИМ. Когда вы начинаете разбивать элементы напряжения в уравнениях контура на члены «V = IR», вы должны учитывать тот факт, что в определенных частях схемы присутствует более одной токовой петли.


Каждый цвет ниже - это другой способ изготовления петель в комплекте, и это не охватывает все возможные комбинации. Вы также можете сделать так, чтобы все петли шли в противоположных разных направлениях, или перемешать. Это не имеет значения, если ваши уравнения соответствуют схеме и друг другу. Я просто выбираю то же направление, потому что это не имеет значения и меньше думать.

Вы можете определить свои петли, чтобы они были рядом, или вы можете определить свои петли как меньшие петли внутри больших петель (супер-сетка).Пока вы покрываете все ответвления и петли в цепи, это не имеет значения.

Вы не можете выбрать только несколько петель для решения и игнорировать другие для частичного решения. Вы можете видеть, что все они взаимодействуют по всей цепи в ветвях, где встречаются.

Поскольку падение напряжения на источнике тока не сразу очевидно, удобно включить источник тока в небольшой контур (в результате чего ток в этом контуре будет мгновенно решен), а затем использовать большую супер-сетку (супер петлю). так что вы можете обойти неизвестное падение напряжения источника тока, а не две расположенные рядом петли, границы которых находятся у источника тока.

Решение цепей с законами Кирхгофа

Решение цепей с законами Кирхгофа

Пример 1: Найдите три неизвестных тока ( ) и три неизвестные напряжения ( ) в схеме ниже:

Примечание: Направление тока и полярность напряжения могут можно предположить произвольно. Чтобы определить фактическое направление и полярность, также следует учитывать знак значений. Например, текущий помеченный слева направо с отрицательным значением, на самом деле течет справа налево.

Все напряжения и токи в цепи можно определить одним из следующие два метода, основанные на KVL или KCL соответственно.

  • Метод токовой петли (анализ тока сетки) на основе KVL:
    1. Для каждого независимого контура в схеме определите контурный ток вокруг контура по часовой стрелке (или против часовой стрелки) направление. Эти токи контура являются неизвестными переменными для быть полученным.
    2. Оберните KVL вокруг каждой петли таким же образом по часовой стрелке. направление для получения уравнений.При расчете напряжения падение на каждом резисторе, разделяемом двумя контурами, токи обоих контуров (в противоположных позициях) следует учитывать.
    3. Решите систему уравнений с уравнениями относительно неизвестных петлевые токи.

    Найдите токи от a до b, от c до b и от от б до г

    • Предположим, что два контура тока и контуры вокруг контуров abda и bcdb и применить к ним КВЛ:

      Мы перепишем их как:
      (2)
      а потом получить, , а также .Имея найдены и, мы легко можем найти все напряжения в цепи: , ,, , , а также .
    • Мы также можем применить KVL вокруг третьей петли abcda с петлей ток, чтобы получить три уравнения:

      Однако ясно, что третье уравнение является суммой первого два уравнения, т.е. не является независимым.
    • В качестве альтернативы рассмотрите два контура тока и вокруг циклов abda и bcdb:

      т.е.
      (5)
      и мы получаем а также , как и предыдущий полученные результаты.
  • Метод узлового напряжения (анализ узлового напряжения) на основе KCL:
    1. Предположим, что в цепи есть узлы. Выберите один из них как земля, точка отсчета для всех напряжений цепи. Напряжение узла на каждом из оставшихся узлов неизвестно. чтобы получить.
    2. Выразите каждый ток в узел в терминах двух связанных узловые напряжения.
    3. Примените KCL к каждому из узлов, чтобы установить сумму всех токи в узел равны нулю, и получаем уравнения.
    4. Решите систему уравнений с уравнениями для неизвестные напряжения узлов.

    В той же схеме, рассмотренной ранее, всего 2 узла и (и не являются узлами). Мы предполагаем, что узел - это земля, и считайте только напряжение в узле как единственное неизвестное в проблема. Применим KCL к узлу, у нас есть

    (6)
    где каждый ток выражается как падение напряжения между двумя концы резистора в ветви, разделенные на сопротивление резистор (закон Ома):
    (7)
    Подставляя, и в уравнение, получаем
    (8)
    Решив это, мы получим, и все остальные токи и напряжения могут впоследствии будут найдены: , , .

    Мы также могли бы применить KCL к узлу d, но получившееся уравнение точно такой же как просто потому, что этот узел d не независимый.

    В качестве частного случая метода узлового напряжения только с двумя узлами мы имеем следующая теорема:

  • Теорема Миллмана

    Если между двумя узлами и есть несколько параллельных ветвей, например, схема ниже (слева), тогда напряжение на узле может можно найти, как показано ниже, если другой узел рассматривается как ссылка точка.

    Предположим, есть три типа ветвей:

    Применяя KCL к узлу, мы получаем:

    (9)
    Решая, получаем
    (10)
    где величина, обратная сопротивлению, - это проводимость.

    Двойственная форма теоремы Миллмана может быть получена на основе контурная петля справа. Применяя КВЛ к петле, имеем:

    (11)
    Решая, получаем
    (12)

Пример 2: Решите следующую схему:

  • Метод токовой петли: Пусть три петлевых тока в приведенном выше примере равны, и для петель 1 (верхний левый BACB), 2 (верхний правый ADCA) и 3 (нижний BCDB), соответственно, и применив КВЛ к трем петлям, получим
    (13)
    Затем мы можем решить эти 3 петлевых уравнения, чтобы найти 3 петлевых тока.
  • Метод напряжения узла: Если узел d выбран в качестве земли, мы можем применить KCL к оставшимся 3 узлам. в точках a, b и c и получить (при условии, что все токи покидают каждый узел):
    (14)
    Затем мы можем решить эти уравнения с тремя узлами, чтобы найти напряжения трех узлов.
Мы видим, что любой из методов петлевого тока и узлового напряжения требует решить линейную систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными.

Пример 3: Решите следующую схему с помощью,, , , , .Эта схема имеет 3 независимых контура и 3 независимых узла.

Таким образом, здесь мы воспользовались либо данным текущим источник следующим образом:
  • позволяет данному источнику тока быть в петле, не разделяемой ни с одним другая петля, чтобы ток петли был известен;
  • пусть один из двух концов данного источника напряжения будет земля, так что напряжение на другом конце известно.
Любым из этих методов количество неизвестных токов в контуре или узловые напряжения уменьшаются на единицу.

Другими словами, для упрощения анализа предпочтительнее

  • выберите независимые контуры, чтобы избежать совместного использования источника тока две и более петель,
  • выберите узел заземления так, чтобы один или несколько источников напряжения были подключен к земле.

Пример 4: В схеме ниже,,, , , , .

Найдите все узловые напряжения относительно левого верхнего угла. как земля. Затем сделайте то же самое, когда средний узел, где все три резисторы, и соединение рассматривается как заземление как землю.

Отвечать

Пример 5: Две схемы, показанные ниже, эквивалентны, но вы возможно, захочется выбрать с умом, с точки зрения того, что легче анализировать. Решать в этой схеме используются методы как узлового напряжения, так и тока контура. Предполагать , , , ,, а также .

Отвечать

Закон Кирхгофа для сложных схем | ОРЕЛ

Закон

Ома - ваш золотой билет для расчета напряжения, тока или сопротивления в простой последовательной или параллельной цепи, но что происходит, когда ваша схема более сложная? Возможно, вы разрабатываете электронику с параллельным и последовательным сопротивлением, и закон Ома начинает падать.Или что, если у вас нет источника постоянного тока? В таких ситуациях, когда нельзя использовать только V = IR, пора встать на плечи Ома и применить закон Кирхгофа. Здесь мы рассмотрим, что такое Закон Кирхгофа для цепей и как его использовать для анализа напряжения и тока сложных электрических цепей.

Что такое Окружной закон Кирхгофа?

Когда вы строите сложную схему, включающую мосты или тройники, вы не можете полагаться только на закон Ома, чтобы найти напряжение или ток.Здесь пригодится закон Кирхгофа, который позволяет рассчитывать как ток, так и напряжение для сложных цепей с помощью системы линейных уравнений. Существует два варианта закона Кирхгофа, в том числе:

  • Закон Кирхгофа: Для анализа полного тока сложной цепи
  • Закон Кирхгофа о напряжении : анализ общего напряжения для сложной цепи
  • Когда вы объединяете эти два закона, вы получаете Окружной закон Кирхгофа

Как и любой другой научный или математический закон, названный в честь их создателя, Закон Кирхгофа был изобретен немецким физиком Густавом Кирхгофом.Густав был известен многими достижениями при жизни, в том числе теорией спектрального анализа, которая доказала, что элементы излучают уникальный световой узор при нагревании. Когда Кирхгоф и химик Роберт Бунзен проанализировали эти световые узоры через призму, они обнаружили, что каждый элемент периодической таблицы имеет свою уникальную длину волны. Открытие этого паттерна позволило дуэту открыть два новых элемента, цезий и рубидий.

Густав Кирхгоф (слева) и Роберт Бунзен (справа)

Кирхгоф позже применил свою теорию спектрального анализа к изучению состава Солнца, где он обнаружил множество темных линий в спектре длин волн Солнца.Это было вызвано тем, что газ Солнца поглощал световые волны определенной длины, и это открытие ознаменовало начало новой эры исследований и исследований в области астрономии.

Немного ближе к дому в мире электроники, Кирхгоф объявил свой свод законов для анализа тока и напряжения в электрических цепях в 1845 году, известный сегодня как Закон Кирхгофа о цепях. Эта работа строится на основе, изложенной в законе Ома, и помогла проложить путь для анализа сложных схем, на который мы полагаемся сегодня.

Первый закон - Действующий закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа по току гласит, что величина тока, входящего в узел, равна величине тока, выходящего из узла. Почему? Потому что, когда ток входит в узел, ему некуда идти, кроме выхода. То, что входит, должно выходить наружу. Вы можете определить узел, в котором два или более пути соединены общей точкой. На схеме это будет точка соединения, соединяющая две пересекающиеся сетевые соединения.

Взгляните на изображение ниже, чтобы визуально понять этот Закон.Здесь у нас есть два тока, входящие в узел, и три тока, выходящие из узла. Согласно закону Кирхгофа, взаимосвязь между токами, входящими в узел и выходящими из него, может быть представлена ​​как I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 .

Текущий закон Кирхгофа, ток на входе должен равняться току на выходе. (Источник изображения)

Когда вы уравновешиваете это уравнение как алгебраическое выражение, вы делаете вывод, что текущий вход и выход из узла всегда будет равен 0, или I 1 + I 2 + (-I 3 + -I 4 + -I 5 ) = 0 Все должно уравновешиваться, и Кирхгоф назвал этот принцип Сохранением заряда .

Давайте посмотрим на пример схемы, чтобы увидеть, как это работает. Ниже представлена ​​схема с четырьмя узлами: A, C, E и F. Сначала ток течет от источника напряжения и отделяется в узле A, а затем протекает через резисторы R1 и R2. Оттуда ток рекомбинирует в узле C и снова разделяется, чтобы протекать через резисторы R3, R4 и R5, где он встречается с узлом E и узлом F.

(Источник изображения)

Чтобы подтвердить закон Кирхгофа в этой цепи, нам необходимо предпринять следующие шаги:

  1. Рассчитать полный ток цепи
  2. Рассчитайте ток, протекающий через каждый узел
  3. Сравните входные и выходные токи в определенных узлах, чтобы подтвердить закон Кирхгофа о токе.

1. Рассчитайте общий ток

Здесь мы используем закон Ома, чтобы получить полный ток нашей цепи с I = V / R . У нас уже есть общее напряжение 132 В, и теперь нам просто нужно найти общее сопротивление во всех наших узлах. Для этого требуется простой метод расчета общего сопротивления резисторов, подключенных параллельно, которое составляет:

Начиная с узла AC, мы получаем следующее сопротивление для параллельных резисторов R1 и R2:

И переходя к узлу CEF, мы получаем следующее сопротивление для параллельных резисторов R3, R4 и R5:

Теперь у нас есть общее сопротивление 11 Ом для всей цепи, которое мы можем затем подключить к закону Ома I = V / R , чтобы получить полный ток в нашей цепи:

2.Расчет узловых токов

Теперь, когда мы знаем, что из нашей цепи выходит 12 ампер, мы можем рассчитать ток в каждом наборе узлов. Мы снова воспользуемся помощью закона Ома в форме I = V / R , чтобы получить ток для каждой ветви узла.

Для начала нам нужны напряжения для узловых ветвей AC и CF:

Затем мы можем рассчитать ток для каждой ветви узла:

3. Подтвердите действующий закон Кирхгофа

После вычисления тока для каждой ветви узла у нас теперь есть две отдельные опорные точки, которые мы можем использовать для сравнения наших входных и выходных токов.Это позволит нам проанализировать нашу схему и подтвердить текущий закон Кирхгофа следующим образом:

Второй закон - Закон Кирхгофа о напряжении

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что в любой цепи с замкнутым контуром полное напряжение всегда будет равно сумме всех падений напряжения в контуре. Вы обнаружите, что падение напряжения происходит всякий раз, когда ток проходит через пассивный компонент, такой как резистор, и Кирхгоф назвал этот закон Сохранением энергии .Опять же, то, что входит, должно выходить наружу.

Взгляните на изображение ниже, чтобы понять это визуально. В этой схеме у нас есть источник напряжения и четыре области в цепи, где напряжение столкнется с пассивным компонентом, что вызовет заметное падение напряжения.

Поскольку эти пассивные компоненты соединены последовательно, вы можете просто сложить общее падение напряжения и сравнить его с общим напряжением, чтобы получить соотношение, которое выглядит следующим образом:

Давайте начнем с простой схемы, чтобы продемонстрировать, как это работает.В приведенном ниже примере у нас есть две известные переменные: полное напряжение и падение напряжения на R1.

(Источник изображения)

Что нам нужно выяснить, так это падение напряжения на R2, и мы можем использовать закон напряжения Кирхгофа, чтобы выяснить это со следующей зависимостью:

Поскольку полное падение напряжения в цепи должно равняться общему напряжению источника, это обеспечивает простой способ вычисления нашей недостающей переменной. Если бы вы хотели выразить это соотношение в виде правильного алгебраического выражения, вы бы получили сумму всех падений напряжения и общее напряжение, равное нулю, как показано здесь:

Давайте посмотрим на другой пример.В схеме ниже у нас есть три резистора, подключенных последовательно с батареей на 12 В.

Чтобы проверить закон напряжения Кирхгофа в этой цепи, нам нужно предпринять следующие шаги:

  1. Вычислить полное сопротивление цепи
  2. Рассчитайте общий ток цепи
  3. Рассчитайте ток через каждого резистора
  4. Рассчитайте падение напряжения на каждом резисторе

Сравните источник напряжения с общим падением напряжения , чтобы подтвердить закон Кирхгофа о напряжении

1.Рассчитайте общее сопротивление

Поскольку все наши резисторы соединены последовательно, мы можем легко найти общее сопротивление, просто сложив все значения сопротивления вместе:

2. Рассчитайте общий ток

Теперь, когда мы знаем наше полное сопротивление, мы снова можем использовать закон Ома, чтобы получить полный ток нашей цепи в виде I = V / R, , который выглядит так:

3. Рассчитайте ток через каждый резистор

Поскольку все наши резисторы соединены последовательно, через них будет протекать одинаковый ток, который мы можем выразить как:

4.Рассчитайте падение напряжения на каждом резисторе

.

В нашем окончательном расчете мы снова будем использовать закон Ома, чтобы получить полное падение напряжения для каждого резистора в виде В = IR , которое выглядит следующим образом:

5. Подтвердите закон Кирхгофа о напряжении

Теперь у нас есть все необходимые данные, включая полное напряжение нашей цепи, а также каждое падение напряжения на каждом из наших резисторов. Собирая все это вместе, мы можем легко проверить закон напряжения Кирхгофа с помощью следующего соотношения:

Это также может быть выражено как:

Как видите, полное напряжение равно общему падению напряжения в нашей цепи.То, что входит, должно выйти наружу, и закон Кирхгофа снова работает!

Процесс использования закона Кирхгофа об округах

Понимая, как работает закон Кирхгофа, в вашем наборе инструментов теперь есть новый инструмент для анализа напряжения и тока в полных цепях. При использовании этих Законов в дикой природе рассмотрите возможность использования следующего пошагового процесса:

  1. Во-первых, начните с маркировки всех известных напряжений и сопротивлений вашей цепи.
  2. Затем назовите каждую ветвь в вашей цепи текущей меткой, например I1, I2, I3 и т. Д.Ветвь - это один или группа компонентов, соединенных между двумя узлами.
  3. Затем найдите текущий закон Кирхгофа для каждого узла в вашей цепи.
  4. Затем найдите закон напряжения Кирхгофа для каждого из независимых контуров в вашей цепи.

После того, как вы рассчитали законы Кирхгофа по току и напряжению, вы можете использовать свои уравнения, чтобы найти недостающие токи. Готовы попробовать это самостоятельно? Взгляните на схему ниже и посмотрите, сможете ли вы проверить закон тока Кирхгофа и закон напряжения с небольшой помощью Ома!

Оставьте свои ответы в комментариях ниже!

Стоя на плечах Ома

Имея в руках Закон Кирхгофа о цепях, теперь у вас есть все инструменты, необходимые для анализа напряжения и тока для сложных цепей.Как и многие другие научные и математические принципы, закон Кирхгофа стоит на плечах того, что было раньше - закона Ома. Вы обнаружите, что используете закон Ома для расчета отдельных сопротивлений, напряжений или токов, а затем, основываясь на этих расчетах с законом Кирхгофа, увидите, соответствует ли ваша схема этим принципам тока и напряжения.

Готовы применить закон Кирхгофа в своем собственном проекте по разработке электроники? Попробуйте Autodesk EAGLE бесплатно сегодня!

Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа

Ultimate Electronics: практическое проектирование и анализ схем


Как написать фундаментальные уравнения, описывающие структуру любой схемы из первых принципов.Читать 14 мин

В предыдущем разделе, посвященном последовательным и параллельным резисторам, мы выработали много интуитивного представления о том, как думать о токе и напряжении в цепи. (Если вы не читали этот раздел, вернитесь и сделайте это сейчас.)

Специальные правила комбинации резисторов для последовательно включенных и параллельных резисторов не распространяются на другие элементы схемы. Однако есть два основных принципа, которые можно обобщить:

  1. Два последовательно соединенных компонента будут иметь одинаковый ток через их.Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Текущим законом Кирхгофа .
  2. Два параллельно включенных компонента будут иметь одинаковое напряжение на компонентах. Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Законом о напряжении Кирхгофа .

Эти два закона Кирхгофа станут нашей основой для написания уравнений, описывающих поведение тока и напряжения в любой электронной схеме .

В этом разделе нас интересует только то, как записать этих уравнений.В других разделах, включая раздел «Системы уравнений» из предыдущей главы, мы обсудим, как решить этих уравнений после того, как они были написаны.


Текущий закон Кирхгофа - это заявление о сохранении заряда: то, что входит, должно выходить на каждом соединении (узле) в коммутационной сети.

Согласно модели сосредоточенных элементов, заряд не может храниться ни в каком узле схемы, поэтому, если заряд вытекает из одного элемента в узле A, то же количество тока должно мгновенно течь на вывод подключенного элемента в узле A.

В качестве интуиции, почему это должно быть правдой, помните, что электроны не могут никуда входить в систему или выходить из нее (нет никаких «утечек»), и электроны не могут нигде «скапливаться», потому что они отталкиваются друг от друга.

Это похоже на гидравлическую аналогию с потоком воды в трубопроводной сети: на любом стыке труб имеется 2 или более соединений, и любая поступающая вода должна уходить!

Направление тока тоже важно: мы должны определить токи с помощью входящих или исходящих стрелок и тщательно их пометить.(Мы обсудим это подробнее в следующем разделе, Маркировка напряжений, токов и узлов.)

Рассмотрим схему сети с тремя узлами и четырьмя элементами:

В схеме выше у нас есть три узла. Мы можем записать Текущий закон Кирхгофа на на каждые из трех узлов.

Математически один способ записать это в каждом узле:

∑i = 0

Это говорит о том, что все токи в узле равны нулю.

Мы должны отслеживать и использовать положительный знак , если ток течет в узел , и отрицательный знак , если ток течет из .

В приведенном выше примере, проходя через каждый узел, уравнения KCL:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

Другой способ сформулировать действующий закон Кирхгофа:

ini = ∑outi

В приведенном выше примере три уравнения будут следующими:

i1 = i2Node Ai2 + i4 = i3Node Bi3 = i1 + i4Node C

В этой формулировке мы говорим, что сумма токов в узле равна сумме токов из этого узла.

Это математически идентично первому способу определения KCL, потому что эти токи просто имеют отрицательный знак.

Будьте осторожны при выборе направления! Не имеет особого значения, какое направление вы выберете для маркировки каждого потока, но абсолютно важно, чтобы оно было последовательным; ток в один узел течет из другого.

Мы можем записать KCL на каждом узле схемы. Узел - это просто место, где элементы соединяются.

Обратите внимание, что узлы могут быть больше, чем кажется на первый взгляд: мы можем назвать узлы A, B, C и ссылаться на эти имена в нескольких местах на схеме, даже если между ними нет явно проведенных проводов.Кроме того, наземный узел является частным случаем именованного узла и также повсюду соединен вместе.

Мы можем написать уравнения KCL, ничего не зная о компонентах; он только определяет топологию (форму) того, как вещи соединяются друг с другом.

Вот немного более сложный пример с 5 узлами и 7 ребрами. Обратите внимание, что мы помечаем все узлы, а затем помечаем все токи и их направления:

Вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи до нуля:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 − i4 = 0 Узел Bi3 − i5 − i6 = 0 Узел Ci4 + i5 − i7 = 0 Узел Di6 + i7 − i1 = 0 Узел E

И, для полноты, вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи, равные всем выходным токам:

i1 = i2Node Ai2 = i3 + i4Node Bi3 = i5 + i6Node Ci4 + i5 = i7Node Di6 + i7 = i1Node E

Эти две системы уравнений алгебраически одинаковы.Присмотритесь к тому, что имеет для вас больше смысла, и понаблюдайте, как вы можете преобразовать одно в другое.

В следующем разделе мы поговорим о маркировке токов, чтобы они делались последовательно по направлению и знаку - обычная ловушка для новичков.

Как мы уже указывали в статьях «Линейные и нелинейные» и «Системы уравнений», полезно развить некоторую интуицию в линейной алгебре. Вышеупомянутая серия уравнений KCL для примера с пятью узлами может быть записана как:

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−10000001−1−10000010−1−10000110−1−1000011⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣i1i2i3i4i5i6i7⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ = 0

Сама по себе это еще не решаемая система уравнений, однако она вносит большой вклад в общую систему уравнений, составляющих решаемую схему.


Из действующего закона Кирхгофа нет исключений - по определению.

Обратите внимание, что в то время как электроны внутри проводников будут отталкиваться друг от друга, в случае изолятора электроны могут «застрять» - статический заряд. Статический заряд может накапливаться внутри и внутри цепи; однако, вместо того, чтобы рассматривать KCL как нарушенный, этот эффект лучше всего моделировать, добавляя емкости в рассматриваемых узлах.


Если у нас есть n узлов в нашей схеме, мы можем написать n Уравнения KCL - по одному на каждый узел.

Однако эти уравнения не будут линейно независимыми . (Для обзора линейной независимости и того, почему она критически важна, просмотрите «Системы уравнений».)

Рассмотрим эту простую схему с двумя узлами:

Мы можем записать KCL в узле A:

i1 − i2 + i3 = 0

А теперь мы можем записать KCL в узле B:

−i1 + i2 − i3 = 0

Должно быть очевидно, что на самом деле это одно и то же уравнение, записанное дважды; мы только что умножили одно из них на -1.

Запись дважды (по одному на узел) фактически не добавляла никакой информации. Второе уравнение не добавляло никаких новых ограничений, которые еще не были включены в первое уравнение.

Это потому, что каждое ребро на графике добавляет текущий член в уравнение KCL одного узла и вычитает этот текущий член из другого уравнения KCL. Мы дважды учитываем входящие и исходящие потоки везде, даже если весь заряд сохраняется, что приводит к этому бесполезному дополнительному уравнению.

Это также относится и к более сложным примерам.Снова рассмотрим пример с тремя узлами, который мы рассмотрели выше:

Мы можем записать KCL на каждом узле, как мы делали выше:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

В этом немного более сложном случае менее «очевидно», что они не являются линейно независимыми, но это все же верно. Чтобы убедиться в этом, сложите уравнение №1 и уравнение №2, затем умножьте его на -1, и вы получите уравнение №3.

Это обычная ловушка для начинающих решать проблемы, поэтому следите за ней.

На практике решением является не писать уравнение KCL для узла, выбранного в качестве наземного узла . Мы поговорим об этом подробнее в следующем разделе.


Закон Кирхгофа о напряжении можно сформулировать несколькими разными способами с тем же основным смыслом.

Мы уже обсуждали в разделе «Напряжение и ток», как напряжение всегда является разницей между двумя точками. Даже когда мы определяем узел заземления для удобства, мы все равно смотрим на разницу напряжений относительно этого произвольно определенного заземления.

Первый способ сформулировать закон Кирхгофа по напряжению состоит в том, что общая разница напряжений между двумя точками A и B одинакова, независимо от того, какой путь вы выберете.

Это все равно, что сказать, что разница между человеком ростом 5 футов и человеком ростом 6 футов всегда будет составлять 1 фут. Неважно, если мы:

  1. Поместите двух людей спиной к спине и измерьте разницу от макушки одной головы до другой, или
  2. Измерьте расстояние от головы до пят и выполните вычитание, или
  3. Измерьте их оба от потолка и выполните вычитание,
  4. Попросите обоих встать на коробку, измерить от нижней части коробки и выполнить вычитание.

Во всех четырех случаях мы получаем разницу в высоте в 1 фут.

Давайте поместим этих двух людей в комнату и скажем, что плоскость x-y - это пол, а ось z направлена ​​к потолку.

Теперь представьте себе, что все четыре способа измерения представляют собой разные пути в пространстве между точками A (верхняя часть головы первого человека) и B (верхняя часть головы второго человека). Мы собираемся пройти по кривой каждого пути и сложить только вертикальное расстояние по оси Z, отслеживая положительное и отрицательное, когда мы идем по этим четырем путям.У нас всегда будет разница в 1 фут, независимо от того, какой путь мы выберем между A и B.

Мы можем игнорировать движение в других направлениях, потому что имеет значение только разница в высоте. (И точно так же для напряжений имеют значение только электрические поля , параллельные пути .)

Это может показаться простым, но на самом деле это все, что касается Закона Кирхгофа о напряжении.

Существует второй распространенный способ определения KVL: сумма напряжений на любом контуре равна нулю.Цикл определяется как любой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке.

Чтобы применить к нашей аналогии с высотой, теперь говорится, что если вы начнете с вершины головы человека ростом 5 футов и сделаете любую петлю в пространстве, и вы сложите изменения высоты (ось z) по мере продвижения , вы получите ноль, когда вернетесь в исходную точку.

Утверждения «каждый цикл суммируется до нуля» и «каждый путь между A и B имеет одинаковую разницу напряжений» математически идентичны, потому что вы всегда можете выбрать путь от A до некоторой точки Q, а затем добавить любой путь обратно от Q обратно к A, чтобы сделать петлю.

Если вы изучали многомерное исчисление, это версия линейного интеграла в векторном поле - в данном случае электрическом поле - и существует потенциальная функция (само напряжение), поэтому линейный интеграл не зависит от пути, и электрическое поле - это градиент потенциальной функции. (Мы обсуждали это более подробно в разделе «Электроны в состоянии покоя».)

Мы только что говорили об измерении роста людей, но какое это имеет отношение к электронике?

Что ж, точно так же, как высота является способом измерения гравитационной потенциальной энергии массы в гравитационном поле , точно так же напряжение является способом измерения электрической потенциальной энергии заряда в электрическом поле .

Допустим, у нас есть высота A (выше) и высота B (ниже) и несколько маленьких стальных шарикоподшипников. Слева мы построили ящик, который принимает шары с высоты B и поднимает их на высоту A. Справа шары, выходящие из ящика, спускаются по пандусу с высоким коэффициентом трения, где они скатываются вниз и в конце концов останавливаются внизу, на высоте B. Оттуда они возвращаются в коробку слева, чтобы продолжить свой цикл.

Если мы сопоставим массы с зарядами, а высоту - с напряжениями, мы только что описали что-то вроде этой очень простой схемы с одним источником напряжения и одним резистором:

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что разница напряжений между двумя точками, которые мы обозначили A и B, одинакова, независимо от того, идем ли мы по пути через источник напряжения или по пути через резистор.Вот несколько взаимозаменяемых определений в математических терминах:

vAB = ндс A по отношению к B

vAB = ∑ любой путь от B до Av

vAB = vB → A, измеренное через источник напряжения = vB → A, измеренное через резистор

vAB = v1 = v2

Обратите особое внимание на знаки и определения направлений пути. Мы рассмотрим эти вопросы более подробно в следующем разделе.

Коробка слева похожа на источник напряжения: она берет шарикоподшипники (заряжает) и перемещает их из состояния с более низкой потенциальной энергией в состояние с более высокой.

Пандус справа похож на резистор: он переводит шарикоподшипники (заряды) из состояния с высокой потенциальной энергией обратно в более низкое, рассеивая эту энергию в виде тепла по пути.

Закон Кирхгофа о напряжении говорит нам, что потенциальная энергия (на единицу заряда), получаемая при «повышении» источника напряжения, равна потенциальной энергии (на единицу заряда), теряемой при «понижении» резистора. Вот способ сформулировать это предложение в виде петли: вы видите, что шарикоподшипники (заряды) образуют полную петлю.

Мы могли бы сделать петлевую версию KVL, сказав:

vBB = 0

vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + vA → B, измеренное через резистор

vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + (- vB → A, измеренное через резистор)

vBB = v1 + (- v2)

0 = v1 − v2

v1 = v2

Если это помогает вам понять, еще одна причина, по которой закон Кирхгофа должен выполняться, заключается в сохранении энергии: если бы это было не так, то заряд мог бы следовать по контуру, проходить через несколько компонентов и возвращаться обратно. откуда это началось, и набрались потенциальной энергии! Это было бы идеально для вечных двигателей, но не для законов термодинамики.

Обратите внимание, что закон Кирхгофа по напряжению определяется суммированием разностей напряжений . Как обсуждалось ранее в разделе «Напряжение и ток», все напряжения являются относительными, но иногда мы (для удобства) определяем землю, которая является нашим v = 0. Справка. В нашем примере измерения роста это все равно, что сказать, что не имеет значения, скажем ли мы z = 0. на полу, или z = 0 на пупке более короткого человека. Это произвольно. Несмотря ни на что, складываемые нами различия по оси Z будут одинаковыми.


Самое интересное в законе напряжения Кирхгофа заключается в том, что мы только что так сильно аргументировали, почему он «очевидно» истинен…

Однако вы можете удивиться, узнав, что в физике, лежащей в основе уравнений Максвелла, KVL на самом деле является ложным ! Закон индукции Фарадея:

∮ → E⋅ → dl = −dΦBdt

Это говорит о том, что напряжение, индуцированное в петле, равно скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную петлей.Таким образом, напряжение вокруг контура равно нулю только в том случае, если через этот контур отсутствует изменяющийся во времени магнитный поток.

Мы упоминали об этой проблеме при обсуждении покоящихся электронов. Подводя итог: наша модель сосредоточенных элементов требует, чтобы мы предполагали, что закон напряжения Кирхгофа выполняется, но иногда мы вносим некоторые корректировки.

Например, каждая катушка индуктивности и трансформатор обычно имеют изменяющийся во времени магнитный поток, но мы просто включаем их в модель самого элемента схемы.Напряжение катушки индуктивности на самом деле такое же, как и правый член в законе Фарадея, но вместо того, чтобы рассматривать его как корректировку KVL, мы рассматриваем его как сам источник напряжения.

Однако, если есть внешних изменяющихся во времени магнитных полей, нам, возможно, придется побеспокоиться о них. Это может стать источником помех в электронике. Это причина, по которой большие электронные системы с контурами внутри могут быть проблемой, и одна из причин, почему контуры заземления также являются проблемой: они образуют большую поверхность для изменяющегося во времени магнитного потока, вызывающего паразитные напряжения в нашей системе.Однако мы обычно можем смоделировать этот эффект как дополнительный источник напряжения, если захотим.

А пока вы должны предположить, что закон напряжения Кирхгофа верен в вашем исследовании электроники. Просто сохраните эту деталь на тот случай, если вы начнете работать с изменяющимися во времени магнитными полями позже!


Сейчас мы находимся в той точке, где мы начинаем собирать воедино многие элементы, которые мы построили в предыдущих разделах:

  • Модель сосредоточенных элементов и «Термодинамика, энергия и равновесие» обеспечивают концептуальную основу высокого уровня для рассмотрения систем, включая схемы.
  • Системы уравнений предоставляет инструменты, чтобы знать, когда и как мы можем решить множество одновременных ограничений.
  • Электроны в состоянии покоя дает нам понимание электрических сил, полей и потенциалов (напряжений).
  • Электроны в движении помогает нам задуматься о том, как эти силы заставляют заряды двигаться и создавать токи.
  • Напряжение и ток - основные переменные потенциальной энергии и расхода в электрических цепях.
  • Последовательные и параллельные резисторы
  • дают нам интуитивное представление о том, как ведут себя напряжение и ток, когда мы объединяем несколько элементов.
  • И, наконец, Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа о токе (этот раздел) формализует эту интуицию и позволяет нам описывать ограничения на напряжение и ток в архитектуре любой схемной сети.

Следующие части головоломки состоят в том, чтобы объединить уравнения KCL и KVL с конкретными уравнениями элементов схемы (например, закон Ома), при этом тщательно пометив все токи и напряжения, а затем решив эти полные системы уравнений, чтобы понять, как эти ограничения и компоненты взаимодействуют, чтобы произвести определенное поведение схемы.


В следующем разделе «Обозначение напряжений, токов и узлов» мы обсудим, как правильно маркировать имена и направления всех напряжений и токов в цепи, что необходимо для создания согласованного набора уравнений схемы.


Роббинс, Майкл Ф. Ultimate Electronics: Практическое проектирование и анализ схем. CircuitLab, Inc., 2021, ultimateelectronicsbook.com. Доступно. (Авторское право © CircuitLab, Inc., 2021)

Что такое закон Кирхгофа и закон напряжения Кирхгофа?

Закон Кирхгофа: Немецкий физик Густав Кирхгоф разработал два закона, позволяющих легко анализировать взаимосвязь любого количества элементов схемы.Первый закон касается протекания тока и широко известен как Закон Кирхгофа ( KCL), а второй закон касается падения напряжения в замкнутой сети и известен как Закон Кирхгофа напряжения (KVL).

KCL утверждает, что сумма тока в переходе остается нулевой, и согласно KVL сумма электродвижущей силы и падения напряжения в замкнутой цепи остается нулевой.

При применении KCL входящий ток принимается как положительный, а исходящий - как отрицательный.Аналогично, при применении KVL повышение потенциала принимается как положительное, а падение потенциала - как отрицательное.

KVL и KCL помогают найти аналогичное электрическое сопротивление и импедансы сложной системы. Он также определяет ток, протекающий через каждую ветвь сети.

Состав:

Эти два закона описаны ниже

Действующий закон Кирхгофа

Текущий закон Кирхгофа гласит, что «алгебраическая сумма всех токов в любой узловой точке или стыке цепи равна нулю».

Σ I = 0

Принимая во внимание приведенную выше цифру в соответствии с действующим законодательством Кирхгофа:

i 1 + i 2 - i 3 - i 4 - i 5 + i 6 = 0 ……… (1)

Направление входящих токов к узлу считается положительным, а исходящие токи - отрицательным. Также можно принять обратное, т. Е. Входящий ток как отрицательный, а исходящий как положительный. Это зависит от вашего выбора.

Уравнение (1) также можно записать как:

i 1 + i 2 + i 6 = i 3 + i 4 + i 5

Сумма входящих токов = Сумма исходящих токов

Согласно закону Кирхгофа по току , алгебраическая сумма токов, входящих в узел, должна быть равна алгебраической сумме токов, покидающих узел в электрической сети.

Закон Кирхгофа о напряжении

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что алгебраическая сумма напряжений (или падений напряжения) на любом замкнутом пути сети, которая является поперечной в одном направлении, равна нулю.Другими словами, в замкнутой цепи алгебраическая сумма всех ЭДС и алгебраическая сумма всех падений напряжения (произведение тока (I) и сопротивления (R)) равна нулю.

Σ E + Σ V = 0

На приведенном выше рисунке показан замкнутый контур, также называемый сеткой. В соответствии с законом Кирхгофа о напряжении:

Здесь предполагаемый ток I вызывает положительное падение напряжения при переходе от положительного к отрицательному потенциалу, в то время как отрицательное падение потенциала происходит при протекании тока от отрицательного к положительному потенциалу.

Учитывая другой рисунок, показанный ниже, и предполагая направление тока i

Следовательно,

Видно, что напряжение V 1 отрицательно как в уравнении (2), так и в уравнении (3), тогда как V 2 отрицательно в уравнении (2), но положительно в уравнении (3). Это происходит из-за изменения направления тока, принятого на обоих рисунках.

На рисунке A ток в обоих источниках V 1 и V 2 течет с отрицательной полярности на положительную, в то время как на рисунке B ток в источнике V 1 является отрицательным на положительный, но для V 2 равен от положительной к отрицательной полярности.

Для зависимых источников в цепи также может применяться KVL. В случае расчета мощности любого источника, когда ток входит в источник, мощность поглощается источниками, в то время как источник подает мощность, если ток выходит из источника.

Важно знать некоторые термины, используемые в схеме при применении KCL и KVL, такие как узел, соединение, ветвь, петля, сетка. Они объясняются с помощью схемы, показанной ниже:

Узел

Узел - это точка в сети или цепи, где соединяются два или более элемента схемы.Например, на приведенной выше принципиальной схеме A и B - узловые точки.

Переход

Соединение - это точка в сети, в которой соединяются три или более элемента схемы. Это точка, где разделяется ток. В приведенной выше схеме B и D - это переходы.

Филиал

Часть сети, которая находится между двумя точками соединения, называется ветвью. В приведенной выше схеме DAB, BCD и BD являются ветвями схемы.

Петля

Замкнутый путь сети называется петлей.ABDA, BCDB - это петли на приведенной выше принципиальной схеме.

Сетка

Самая простая форма петли, которую нельзя разделить дальше, называется сеткой.

Анализ сетки

с помощью Supermesh

Найдите значение i в схеме ниже, используя анализ сетки.

Первое, что вы должны заметить в этой схеме, это то, что существует два разных типа источников: зависимый источник (стрелка в ромбе) и независимый источник (стрелка в круге).Независимые источники не зависят от схемы, поэтому источник всегда будет давать ток 15 А в схему, независимо от элементов схемы. Зависимый источник состоит из коэффициента усиления, в данном случае 2, и значения некоторого тока или напряжения в цепи, в данном случае тока (i_a). Какой ток он пропускает через цепь, изменяется в зависимости от (i_a). Поскольку это источник тока, зависящий от другого тока, это источник тока, управляемый током. У вас также могут быть источники тока, управляемые напряжением, источники напряжения, управляемые током, и источники напряжения, управляемые напряжением.

Второе, на что нужно обратить внимание, это то, как на самом деле работает анализ сетки. Анализ сетки - это приложение закона Кирхгофа о напряжении (KVL), который гласит, что сумма напряжений в любом контуре в цепи должна равняться 0.

Анализ сетки в основном просто решение уравнений KVL с использованием произвольно определенных токов (в основном вы указываете кем я должен быть).

ПРИМЕЧАНИЕ: При применении KVL обычно напряжение должно быть положительным, когда ток проходит от отрицательного к положительному концу элемента (например, источник напряжения), и отрицательным, когда он проходит от положительного к отрицательному концу элемента ( вроде резисторы).

Теперь к актуальной проблеме. Первое, что вы хотите сделать при применении анализа сетки, - это нарисовать токи сетки (сетка - это просто причудливое слово для обозначения цикла).

Я только что назвал их i1, i2, i3. Было бы неплохо, если бы все они двигались в одном направлении. Это упростит расчеты. Я решил, что все они идут вправо, поскольку i1) будет соответствовать направлению двух источников тока.

Затем запишите, что мы знаем на основе диаграммы, и пометьте положительный и отрицательный концы резисторов (чтобы мы знали, что положительно, а что отрицательно в наших уравнениях).Всякий раз, когда у вас есть два тока сетки, идущие параллельно друг другу через провод или элемент, фактический общий ток, протекающий через этот провод или элемент, представляет собой сумму или разность токов сетки в зависимости от того, идут ли они в одном (сумме) или противоположные (разностные) направления, вот пример использования закона Ома (V = IR)

Направление, которое вы выбираете для плюса и минуса, не имеет значения, просто оставайтесь последовательными при решении задачи. Поскольку это резисторы, я просто решил, что токи сетки идут от положительного к отрицательному концам, это упростит дальнейшие шаги, но в любом случае это сработает.

На этом этапе вы обычно записываете уравнения сетки (поскольку есть три сетки, у вас будет три уравнения), но в этом случае вы быстро столкнетесь с проблемой. Анализ сетки - это приложение KVL, поэтому нам нужно знать все напряжения, но на самом деле у нас нет простого способа вычислить напряжения на источниках тока, как в случае с резисторами, поскольку они устанавливают ток только через себя. Не волнуйтесь, мы можем обойти эту проблему, используя supermesh.Суперсетка - это просто цикл, который включает в себя меньшие петли, избегая при этом текущих источников. Здесь помогает то, что все токи нашей меньшей сетки идут в одном направлении, поскольку мы будем «связывать» их все вместе в супермешке.

Пунктирная линия - наша супермеш.

Помните, KVL заявляет, что суммирование напряжений в любой петле внутри схемы будет в сумме 0. Супер-сетка - это просто большая петля, поэтому теперь мы можем применить KVL к этой суперсети / петле.Итак, набор уравнений, которые мы будем решать, выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что все три части / напряжения в уравнении KVL отрицательны, поскольку ток сетки проходит от положительного к отрицательному концам резисторов.

Проблема решена, остальное математика.

Мы хотим найти i1, поскольку оно равно -i. Итак, мы решаем первое уравнение для i2 и второе уравнение для i3.

Мы можем подставить их в третье уравнение и просто решить относительно i1.

И, используя одно из первых соотношений:

ПРИМЕЧАНИЕ. Анализ сетки - мощный инструмент для решения более сложных схем.В общем, вы хотите использовать анализ сетки, когда, подобно этой задаче, вы получаете простой набор уравнений (поскольку вам нужно было выполнить KVL только один раз из-за наличия супермеша) или когда вы можете легко решить одну из токи сетки из-за наличия источника тока за пределами схемы:

Поскольку ток сетки, i1, пересекает одиночный источник тока, 5A, сразу вы знаете, что i1 = 5A.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *