Формула мощности цепи: Мощность электрического тока — Основы электроники

Мощность электрического тока — Основы электроники

Обычно электрический ток сравнивают с течением жид­кости по трубке, а напряжение или разность потенциалов — с разностью уровней жидкости.

В этом случае поток воды, падающий сверху вниз, несет с собой определенное количество энергии. В усло­виях свободного падения эта энергия растрачивается беспо­лезно для человека. Если же направить падающий поток во­ды на лопасти турбины, то последняя начнет вращаться и сможет производить полезную работу.

Работа, производимая потоком воды в течение определен­ного промежутка времени, например, в течение одной секун­ды, будет тем больше, чем с большей высоты падает поток и чем больше масса падающей воды.

Точно так же и электрический ток, протекая по цепи от высшего потенциала к низшему, совершает работу. В каждую данную секунду времени будет совершаться тем больше рабо­ты, чем больше разность потенциалов и чем большее количе­ство электричества ежесекундно проходит через поперечное сечение цепи.

Мощность электрического тока это количество работы, совершаемой за одну секунду времени, или скорость совершения работы.

Количество электричества, проходящего через поперечное сечение цепи в течение одной секунды, есть не что иное, как сила тока в цепи. Следовательно, мощность электрического тока будет прямо пропорциональна разности потенциалов (на­пряжению) и силе тока в цепи.

Для измерения мощности электрического тока принята еди­ница, называемая ватт (Вт).

Мощностью в 1 Вт обладает ток силой в 1 А при разности потенциалов, равной 1 В.

Для вычисления мощности постоянного тока в ваттах нуж­но силу тока в амперах умножить на напряжение в вольтах.

Если обозначить мощность электрического тока буквой P, то приведенное выше правило можно записать в виде формулы

P = I*U. (1)

Воспользуемся этой формулой для решения числового при­мера. Требуется определить, какая мощность электрического тока необходима для накала нити радиолампы, если напряжение накала равно 4 в, а ток накала 75 мА

Определим мощность электрического тока, поглощаемую нитью лампы:

Р= 0,075 А*4 В = 0,3 Вт.

Мощность электрического тока можно вычислить и другим путем. Предположим, что нам известны сила тока в цепи и сопротивление цепи, а напряжение неизвестно.

В этом случае мы воспользуемся знакомым нам соотноше­нием из закона Ома:

U=IR

и подставим правую часть этого равенства (IR) в формулу (1) вместо напряжения U.

Тогда формула (1) примет вид:

P = I*U =I*IR

или

Р = I²*R. (2)

Например, требуется узнать, какая мощность теряется в реостате сопротивлением в 5 Ом, если через него проходит ток, силой 0,5 А. Пользуясь формулой (2), найдем:

P= I²*R = (0,5)²*5 =0,25*5 = 1,25 Вт.

Наконец, мощность электрического тока может быть вычислена и в том слу­чае, когда известны напряжение и сопротивление, а сила тока неизвестна. Для этого вместо силы тока I в формулу (1) подставляется известное из закона Ома отношение U/R и тогда формула (1) приобретает следующий вид:

Р = I*U=U²/R (3)

Например, при 2,5 В падения напряжения на реостате сопро­тивлением в 5 Ом поглощаемая реостатом мощность будет равна:

Р = U²/R=(2,5)²/5=1,25 Вт

Таким образом, для вычисления мощности требуется знать любые две из величин, входящих в формулу закона Ома.

Мощность электрического тока равна работе электрического тока, производимой в течение одной секунды.

P = A/t

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

Формула мощности тока в физике

Содержание:

Электрический ток, на каком угодно участке цепи совершает некоторую работу (А). Допустим, что у нас есть произвольный участок цепи (рис.1) между концами которого имеется напряжение U.

Работа, которая выполняется при перемещении заряда равного 1 Кл между точками A и B (рис.1) будет равна U. В том случае, если через проводник протекает ток силой I за время равное $\Delta t$ по указанному выше участку пройдет заряд (q) равный:

$$q=I \Delta t(1)$$

Следовательно, работа, которую совершает электрический ток на данном участке, равна:

$$A=U \cdot I \cdot \Delta t(2)$$

Надо отметить, что выражение (2) является справедливым при I=const для любого участка цепи (в таком участке могут содержаться проводники 1–го и 2–го рода).

{2}(6)$$

где j – плотность тока, $\rho$ – удельное сопротивление.

Единицы измерения мощности тока

Основной единицей измерения мощности тока (как и мощности вообще) в системе СИ является: [P]=Вт=Дж/с.

В СГС: [P]=эрг/с.

1 Вт=10⁷ эрг/( с).

Выражение (4) применяют в системе СИ для того, чтобы дать определение единицы напряжения. Так, единицей напряжения (U) является вольт (В), который равен: 1 В= (1 Вт)/(1 А).

Вольтом называют электрическое напряжение, которое порождает в электроцепи постоянный ток силы 1 А при мощности 1 Вт.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какой должна быть сила тока, которая течет через обмотку электрического мотора для того, чтобы полезная мощность двигателя (P_A) стала максимальной?Какова максимальная полезная мощность? Если двигатель постоянного тока подключен к напряжению U, сопротивление обмотки якоря – R.

Решение.

Мощность, которую потребляет электроприбор, идет на нагревание (P_Q) и совершение работы (P_A):

$$P=P_{Q}+P_{A}(1. {2}}{P_{2}}}$$

Читать дальше: Формула напряжения электрического поля.

Как рассчитать мощность электрического тока?

Большинство бытовых приборов, подключаемых к сети, характеризуются таким параметром, как электрическая мощность устройства. С физической точки зрения мощность представляет собой количественное выражение совершаемой работы. Поэтому для оценки эффективности того или иного устройства вам необходимо знать нагрузку, которую он будет создавать в цепи. Далее мы рассмотрим особенности самого понятия и как найти мощность тока, обладая различными характеристиками самого устройства и электрической сети.

Понятие электрической мощности и способы ее расчета

С электротехнической точки зрения она представляет собой количественное выражение взаимодействия энергии с материалом проводников и элементами при протекании тока в электрической цепи. Из-за наличия электрического сопротивления во всех деталях, задействованных в проведения электротока, направленное движение заряженных частиц встречает препятствие на пути следования.

Это и обуславливает столкновение носителей заряда, электроэнергия переходит в другие виды и выделяется в виде излучения, тепла или механической энергии в окружающее пространство. Преобразование одного вида в другой и есть потребляемая мощность прибора или участка электрической цепи.

В зависимости от параметров источника тока и напряжения мощность также имеет отличительные характеристики. В электротехнике обозначается S, P и Q, единица измерения согласно международной системы СИ – ватты. Вычислить мощность можно через различные параметры приборов и электрических приборов. Рассмотрим каждый из них более детально.

Через напряжение и ток

Наиболее актуальный способ, чтобы рассчитать мощность в цепях постоянного тока – это использование данных о силе тока и приложенного напряжения. Для этого вам необходимо использовать формулу расчета:

P = U*I

Где:

Этот вариант подходит только для активной нагрузки, где постоянный ток не обеспечивает взаимодействия с реактивной составляющей цепи. Чтобы найти мощность вам нужно выполнить произведение силы тока на напряжение. Обе величины должны находиться в одних единицах измерения – Вольты и Амперы, тогда результат также получится в Ваттах. Можно использовать и другие способы кВ, кА, мВ, мА, мкВ, мкА и т.д., но и параметр мощности пропорционально изменит свой десятичный показатель.

Через напряжение и сопротивление

Для большинства электрических устройств известен такой параметр, как внутреннее сопротивление, которое принимается за константу на весь период их эксплуатации. Так как бытовые или промышленные единицы подключаются к источнику с известным номиналом напряжения, определять мощность достаточно просто. Активная мощность находится из предыдущего соотношения и закона Ома, согласно которого ток на участке прямо пропорционален величине приложенного напряжения и имеет обратную пропорциональность к сопротивлению:

I = U/R

Если выражение для вычисления токовой нагрузки подставить в предыдущую формулу, то получится такое выражение для определения мощности:

P = U*(U/R)=U²/R

Где,

• P – величина нагрузки;
• U – приложенная разность потенциалов;
• R – сопротивление нагрузки.

Через ток и сопротивление

Бывает ситуация, когда разность потенциалов, приложенная к электрическому прибору, неизвестна или требует трудоемких вычислений, что не всегда удобно. Особенно актуален данный вопрос, если несколько устройств подключены последовательно и вам неизвестно, каким образом потребляемая электроэнергия распределяется между ними. Подход в определении здесь ничем не отличается от предыдущего способа, за основу берется базовое утверждение, что электрическая нагрузка рассчитывается как

P = U×I, с той разницей, что напряжение нам не известно.

Поэтому ее мы также выведем из закона Ома, согласно которого нам известно, что падение напряжения на каком-либо отрезке линии или электроустановки прямо пропорционально току, протекающему по этому участку и сопротивлению отрезка цепи:

U=I*R

после того как выражение подставить в формулу мощности, получим:

P = (I*R)*I =I²*R

Как видите, мощность будет равна квадрату силы тока умноженной на сопротивление.

Полная мощность в цепи переменного тока

Сети переменного тока кардинально отличаются от постоянного тем, что изменение электрических величин, приводит к появлению не только активной, но и реактивной составляющей. В итоге суммарная мощность будет также состоять активной и реактивной энергии:

Где,

• S – полная мощность
• P – активная составляющая – возникает при взаимодействии электротока с активным сопротивлением;
• Q – реактивная составляющая – возникает при взаимодействии электротока с реактивным сопротивлением.

Также составляющие вычисляются через тригонометрические функции, так:

P = U*I*cosφ

Q = U*I*sinφ

что активно используется в расчете электрических машин.

Рис. 1. Треугольник мощностей

Пример расчета полной мощности для электродвигателя

Отдельный интерес представляет собой нагрузка, подключенная к трехфазной сети, так как электрические величины, протекающие в ней, напрямую зависят от номинальной нагрузки каждой из фаз. Но для наглядности примера мы не будем рассматривать, как найти мощность несимметричного прибора, так как это довольно сложная задача, а приведем пример расчета трехфазного двигателя.

Особенность питания и асинхронной и синхронной электрической машины заключается в том, что на обмотки может подаваться и фазное и линейное напряжение. Тот или иной вариант, как правило, обуславливается способом соединения обмоток электродвигателя. Тогда мощность будет вычисляться по формуле:

S = 3*U_ф*I_ф

В случае выполнения расчетов с линейным напряжением, чтобы найти мощность формула примет вид:

Активная и реактивная мощности будут вычисляться по аналогии с сетями переменного тока, как было рассмотрено ранее.

Теперь рассмотрим вычисления на примере конкретной электрической машины асинхронного типа. Следует отметить, что официальная производительность, указываемая в паспортных данных электродвигателя – это полезная мощность, которую двигатель может выдать при совершении оборотов вала. Однако полезная кардинально отличается от полной, которую можно вычислить за счет коэффициента мощности.

Рис. 2. Шильд электродвигателя

Как видите, для вычислений с шильда мы возьмем следующую информацию об электродвигателе:

• полезная производительность – 3 кВт, а в переводе на систему измерения – 3000 Вт;
• коэффициент полезного действия – 80%, а в пересчете для вычислений будем пользоваться показателем 0,8;
• тригонометрическая функция соотношения активных и реактивных составляющих – 0,74%;
• напряжение, при соединении обмоток треугольником составит 220 В;
• сила тока при том же способе соединения – 13,3 А.

С таким перечнем характеристик можно воспользоваться несколькими способами:

S = 1,732*220*13,3 = 5067 Вт

Чтобы найти искомую величину, сначала определяем активную составляющую:

P = P_{полезная} / КПД = 3000/0.8 = 3750 Вт

Далее полную по способу деления активной  на коэффициент cos φ:

S = P/cos φ = 3750/0. 74 = 5067 Вт

Как видите, и в первом, и во втором случае искомая величина получилась одинакового значения.

Примеры задач

Для примера рассмотрим вычисление на участках электрической цепи с последовательным и параллельным соединением элементов. Первый вариант предусматривает ситуацию, когда все детали соединяются друг за другом от одного полюса источника питания до другого.

Рис. 3. Последовательная расчетная цепь

Как видите на рисунке, в качестве источника мы используем батарейку с номинальным напряжением 9 В и три резистора по 10, 20 и 30 Ом соответственно. Так как номинальный ток нам не известен, расчет произведем через напряжение и сопротивление:

P = U²/R = 81 / (10+20+30) = 1.35 Вт

Для параллельной схемы подключения возьмем в качестве примера участок цепи с двумя резисторами и одним источником тока:

Рис. 4. Параллельная схема подключения

Как видите, для удобства расчетов нам нужно привести параллельно подключенные резисторы к схеме замещения, из чего получится:

R_общ = (R₁*R₂) / (R₁+R₂) = (10*15) / (10+15) = 6 Ом

Тогда искомый номинал нагрузки мы можем узнать через значение тока и сопротивления:

P = I²*R = 25*6 = 150 Вт

Видео по теме

Формула мощности электрического тока. Как узнать, найти, вычислить, рассчитать мощность.

Электрическая мощность является одной из наиболее важных и значимых характеристик, которая показывает величину, силу той электротехники, систем, цепей, что работают, выполняя ту или иную функцию. Естественно, как и любая другая физическая величина электрическая мощность должна иметь свою меру, благодаря которой появляется возможность ее рассчитывать, делая заведомо точные, экономичные, эффективные устройства, системы и т.д. Для расчетов существуют определенные формулы, по которым и находятся нужные значения мощности.

Формула мощности тока (электрического) достаточно проста и выражается как произведение напряжения на силу тока. То есть, чтобы найти электрическую мощность достаточно просто напряжение умножить на ток. Если воспользоваться законом ома, то ее можно найти и через сопротивление. В этом случае электрическая мощность будет равна силе тока в квадрате умноженный на сопротивление или же напряжение в квадрате деленное на сопротивление.

Напомню, что при использовании формул подразумевается применение основных единиц измерения физических величин. В нашем случае основными единицами будут:

Электрическая мощность — Ватт;
Сила тока — Ампер;
Напряжение — Вольт;
Сопротивление — Ом.

Исходя из этого формула мощности электрического тока будет звучать так — 1 Ватт равен 1 Вольт умноженный на 1 Ампер. Думаю вы смысл поняли. Меньшими единицами измерения мощности является милливатты (1000 мВт = 1 Вт), большими единицами являются киловатты и мегаватты (1 кВт = 1000 Вт, 1 МВт = 1000 000 Вт). Милливатты это достаточно маленькая мощность, ее используют в электронике, радиотехнике. К примеру мощность слухового аппарата измеряется именно в милливаттах. Мощность в ваттах можно встретить в звуковых усилителях, у небольших блоках питания, мини электродвигателях. Киловатты это мощность, которая часто встречается в бытовых и технических устройствах (электрочайники, электродвигатели, обогреватели и т.д.). Мегаватты это уже достаточно большая мощность, ее можно встретить на электроподстанциях, электростанциях, у потребителях электроэнергии размером с город и т.д.

Если говорить о формуле более научной, которая электрическую мощность тока выражает через работу и время, то она будет звучать так — электрическая мощность равна отношению работы тока на участке цепи ко времени, в течении которого совершается эта работа.

То есть, работа деленная на время будет определять мощность. Кроме этого часто путают такие величины как ватты и ватт-час. В ваттах измеряется электрическая мощность — скорость изменения энергии (передачи, преобразования, потребления). А ватт-час являются единицей измерения самой энергии (работы). В ватт-часах выражается энергия, произведенная (переданная, преобразованная, потребленной) за определенное время.

Мощность также разделяется на активную и реактивную. Активная мощность — часть полной мощности, что удалось передать в нагрузку за период переменного тока. Она равна произведению действующих значений напряжения и тока на cosφ (косинус угла сдвига фаз между ними). Электрическая мощность, что не была передана в нагрузку, а привела к некоторым потерям (на излучение, нагрев) называется реактивной мощностью. Она равна произведению действующих значений напряжения и тока на sinφ (синус угла сдвига фаз между ними).

P.S. Электрическая мощность является одной из главных величин и характеристик, используемые в электротехнике. Именно ее мы узнаем при покупки того или иного электрического устройства. Ведь она определяет силу, с которой электротехника может работать. К примеру электродрель. Если мы купим дрель недостаточной мощности, то она просто не сможет обеспечить нам нормальную работу при сверлении. Хотя гнаться за слишком большой мощностью также не следует, ведь это ведет к излишней трате электроэнергии, за которую вы будете платить. Так что у всего должна быть своя мера и мощность.

формула, как определить — Asutpp

Мощностные характеристики установки или сети являются основными для большинства известных электрических приборов. Активная мощность (проходящая, потребляема) характеризует часть полной мощности, которая передается за определенный период частоты переменного тока.

Определение

Активная и реактивная мощность может быть только у переменного тока, т. к. характеристики сети (силы тока и напряжения) у постоянного всегда равны. Единица измерений активной мощности  Ватт, в то время, как реактивной – реактивный вольтампер и килоВАР (кВАР). Стоит отметить, что как полная, так и активная характеристики могут измеряться в кВт и кВА, это зависит от параметров конкретного устройства и сети. В промышленных цепях чаще всего измеряется в килоВаттах.

Соотношение энергий

Электротехника используется активную составляющую в качестве измерения передачи энергии отдельными электрическими приборами. Рассмотрим, сколько мощности потребляют некоторые из них:

Прибор	Мощность бытовых приборов, Вт/час
Зарядное устройство	2
Люминесцентная лампа ДРЛ	От 50
Акустическая система	30
Электрический чайник	1500
Стиральной машины	2500
Полуавтоматический инвертор	3500
Мойка высокого давления	3500

 

Исходя из всего, сказанного выше, активная мощность – это положительная характеристика конкретной электрической цепи, которая является одним из основных параметров для выбора электрических приборов и контроля расхода электричества.

Генерация активной составляющей

Обозначение реактивной составляющей:

Это  номинальная величина, которая характеризует нагрузки в электрических устройствах при помощи колебаний ЭМП и потери при работе прибора. Иными словами, передаваемая энергия переходит на определенный реактивный преобразователь (это конденсатор, диодный мост и т. д.) и проявляется только в том случае, если система включает в себя эту составляющую.

Расчет

Для выяснения показателя активной мощности, необходимо знать полную мощность, для её вычисления используется следующая формула:

S = U \ I, где U – это напряжение сети, а I – это сила тока сети.

Этот же расчет выполняется при вычислении уровня передачи энергии катушки при симметричном подключении. Схема имеет следующий вид:

Схема симметричной нагрузки

Расчет активной мощности учитывает угол сдвига фаз или коэффициент (cos φ), тогда:

S = U * I * cos φ.

Очень важным фактором является то, что эта электрическая величина может быть как положительной, так и отрицательной. Это зависит от того, какие характеристики имеет cos φ. Если у синусоидального тока угол сдвига фаз находится в пределах от 0 до 90 градусов, то активная мощность положительная, если от 0 до -90 – то отрицательная. Правило действительно только для синхронного (синусоидального) тока (применяемого для работы асинхронного двигателя, станочного оборудования).

Также одной из характерных особенностей этой характеристики является то, что в трехфазной цепи (к примеру, трансформатора или генератора), на выходе активный показатель полностью вырабатывается.

Расчет трехфазной сети

Максимальная и активная обозначается P, реактивная мощность – Q.

Из-за того, что реактивная обуславливается движением и энергией магнитного поля, её формула (с учетом угла сдвига фаз) имеет следующий вид:

Q_L = U_LI = I²x_L

Для несинусоидального тока очень сложно подобрать стандартные параметры сети. Для определения нужных характеристик с целью вычисления активной и реактивной мощности используются различные измерительные устройства. Это вольтметр, амперметр и прочие. Исходя от уровня нагрузки, подбирается нужная формула.

Из-за того, что реактивная и активная характеристики связаны с полной мощностью, их соотношение (баланс) имеет следующий вид:

S = √P² + Q², и все это равняется U*I .

Но если ток проходит непосредственно по реактивному сопротивлению. То потерь в сети не возникает. Это обуславливает индуктивная индуктивная составляющая – С и сопротивление – L. Эти показатели рассчитываются по формулам:

Сопротивление индуктивности: x_L = ωL = 2πfL,

Сопротивление емкости: хc = 1/(ωC) = 1/(2πfC).

Для определения соотношения активной и реактивной мощности используется специальный коэффициент. Это очень важный параметр, по которому можно определить, какая часть энергии используется не по назначению или «теряется» при работе устройства.

При наличии в сети активной реактивной составляющей обязательно должен рассчитываться коэффициент мощности. Эта величина не имеет единиц измерения, она характеризует конкретного потребителя тока, если электрическая система содержит реактивные элементы. С помощью этого показателя становится понятным, в каком направлении и как сдвигается энергия относительно напряжения сети. Для этого понадобится диаграмма треугольников напряжений:

Диаграмма треугольников напряжений

К примеру, при наличии конденсатора формула коэффициента имеет следующий вид:

cos φ = r/z = P/S

Для получения максимально точных результатов рекомендуется не округлять полученные данные.

Компенсация

Учитывая, что при резонансе токов реактивная мощность равняется 0:

Q = QL — QC = ULI – UCI

Для того чтобы улучшить качество работы определенного устройства применяются специальные приборы, минимизирующие воздействие потерь на сеть. В частности, это ИБП. В данном приборе не нуждаются электрические потребители со встроенным аккумулятором (к примеру, ноутбуки или портативные устройства), но для большинства остальных источник бесперебойного питания является необходимым.

При установке такого источника можно не только установить негативные последствия потерь, но и уменьшить траты на оплату электричества. Специалисты доказали, что в среднем, ИБП поможет экономить от 20 % до 50 %. Почему это происходит:

1. Значительно уменьшается нагрузка силовых трансформаторов;
2. Провода меньше нагреваются, это не только положительно влияет на их работу, но и повышает безопасность;
3. У сигнальных и радиоустройств уменьшаются помехи;
4. На порядок уменьшаются гармоники в электрической сети.

В некоторых случаях специалисты используют не полноценные ИБП, а специальные компенсирующие конденсаторы. Они подходят для бытового использования, доступны и продаются в каждом электротехническом магазине. Для расчета планируемой и полученной экономии можно использовать все вышеперечисленные формулы.

Мощность переменного тока: измерение, формула

Мощность — то, что характеризует скорость передачи с преобразованием электроэнергии. Какие есть нормы мощности в сети переменного тока и виды, что такое активная и реактивная мощность? Об этом и другом далее.

Нормы мощности в сети переменного тока

Напряжение и мощность — то, что нужно знать каждому человеку, живущему в квартире или частном доме. Стандартное напряжение сети переменного тока в квартире и частном доме выражается в количестве 220 и 380 ватт. Что касается определения количественной меры силы электрической энергии, необходимо сложить электрический ток с напряжением или же измерить необходимый показатель ваттметром. При этом чтобы сделать измерения последним аппаратом, нужно использовать щупы и специальные программы.

Что такое мощность переменного тока

Мощность переменного тока определяется соотношением величины тока со временем, которая производит работу за определенное время. Обычный пользователь использует мощностный показатель, передаваемый ему поставщиком электрической энергии. Как правило, он равен 5-12 киловатт. Этих цифр хватает, чтобы обеспечить работоспособность необходимого бытового электрооборудования.

Этот показатель зависит от того, какие внешние условия поступления энергии в дом, какие поставлены ограничительные токовые устройства (автоматы или полуавтоматы), регулирующие момент поступления мощностных емкостей к потребительскому источнику. Это совершается на разных уровнях, от бытового электрощита до центрального устройства электрического распределения.

Мощностные нормы в сети переменного тока

Характеристики

Переменный ток течет по цепи и меняет свое направление с величиной. Создает магнитное поле. Поэтому его нередко называют периодическим синусоидальным переменным электротоком. Согласно закону кривой линии, величина его меняется через конкретный промежуток времени. Поэтому он называется синусоидным. Имеет свои параметры. Из важных стоит указать период с частотой, амплитудой и мгновенным значением.

Период — это то время, на протяжении которого происходит изменение электротока, а затем оно повторяется вновь. Частота — период течение за секунду. Измеряется в герцах, килогерцах и миллигерцах.

Амплитуда — токовое максимальное значение с напряжением и эффективностью протекания на протяжении полного периода. Мгновенное значение — переменный ток или напряжение, возникающее за конкретное время.

Характеристики переменного тока

Виды мощностей

Мощностью называется измеряемая физическая величина, которая равна скорости изменения с преобразованием, передачей или потреблением системной энергии. Согласно более узкому понятию, это показатель, который равен отношению затраченного времени на работы к самому периоду, который тратится на работу. Обозначается в механике символом N. В электротехнической науке используется буква P. Нередко можно увидеть также символ W, от слова ватт.

Мощность переменного тока -это произведение силы тока с напряжением и косинусом сдвига фаз. При этом беспрепятственно можно посчитать только активную и реактивную разновидность. Узнать полное мощностное значение можно через векторную зависимость этих показателей и площади.

Основные мощностные разновидности

Активная мощность

Активной называется полезная сила, определяющая процесс прямого преобразования электроэнергии в необходимый вид силы. В каждом электроприборе преобразовывается она по-своему. К примеру, в лампочке получается свет с теплом, в утюге — тепло, а в электрическом двигателе — механическая энергия. Соответственно, показывает КПД устройства.

Активная разновидность

Реактивная мощность

Реактивной называется та, которая определяется при помощи электромагнитного поля. Образуется при работе электроприборов. Обратите внимание! Это вредная и паразитная мощностная характеристика, которая определяется тем, каков характер нагрузки. Для лампочки она равняется нулю, а для электродвигателя она может быть равна большим значением.

Разница между величинами в том, что активно действующая мощностная характеристика показывает КПД устройств, а реактивная является передачей этого КПД. Разница также наблюдается в определении, символе, формуле и значимости.

Обратите внимание! Что касается значения, то вторая нужна лишь для того, чтобы управлять создавшимся напряжением от первой величины и преодолевать мощностные колебания. Обе измеряются в ваттах и имеют большое значение в электромагнитном излучении, механической форме генератора или акустической волне. Активно применяются в промышленности.

Реактивная разновидность

Полная мощность

Полная — это сумма активной с реактивной мощностью. Равна сетевому мощностному показателю. Это произведение напряжения с током в момент игнорирования фазы угла между ними. Вся рассеиваемая с поглощаемой и возвращаемой энергией — это полная энергия.

Это произведение напряжения и тока, единица измерения которого это ватт, перемноженный на ампер. При активности цепи, полная равняется активной. Если речь идет об индуктивной или емкостной схеме, то полная больше, чем активная.

Полная разновидность

Комплексная мощность

Это сумма всех мощностных показателей фаз источника электроэнергии. Это комплексный показатель, модуль которого равняется полному мощностному показателю электроцепи. Аргументом является фазовый сдвиг между электротоком с сетевым напряжением. Может быть выражена уравнением, где суммарный мощностный показатель, который генерируют источники электроэнергии, равен суммарному мощностному показателю, который потребляется в электроцепи.

Обратите внимание! Вычисляется посредством использования соответствующей формулы. Так, необходимо комплексное напряжение перемножить на комплексны ток или же удвоенное значение комплексного тока перемножить на импеданс. Также можно удвоенное значение комплексного напряжения поделить на удвоенное значение импеданса.

Комплексная разновидность

Как узнать какая мощность в цепи переменного тока

Стоит указать, что это величина, которая прямо связывается с иными показателями. К примеру, она находится в прямой зависимости от времени, силы, скорости, вектора силы и скорости, модуля силы и скорости, момента силы и частоты вращения. Часто в формулах во время вычисления электромощности используется также число Пи с показателем сопротивления, мгновенным током, напряжением на конкретном участке электрической сети, активной, полной и реактивной силой. Непосредственно участник вычисления это амплитуда, угловая скорость и начальная сила тока с напряжением.

Формула мощности в цепи переменного тока

В однофазной цепи

Понять, какой мощностный показатель есть в однофазной цепи переменного тока, можно при помощи применения трансформатора тока. Для этого необходимо воспользоваться ваттметром, который включен через токовый трансформатор. Показания следует перемножить на трансформаторный коэффициент тока. В момент измерения мощности в высоком напряжении трансформатор тока необходим, чтобы заизолировать ваттметр и обеспечить безопасность пользователя. Параллельна цепь включается не непосредственным способом, а благодаря трансформатору напряжения. Вторичные обмотки с корпусами измерительных трансформаторных установок необходимо заземлять во избежание случайного изоляционного повреждения и попадания высокого напряжения на приборы.

Обратите внимание! Для определения параметров в сети необходимо амперметр перемножить на трансформаторный коэффициент тока, а цифры, полученные вольтметром, перемножить на трансформаторный коэффициент напряжения.

В однофазной цепи

В трехфазной цепи

В цепи переменного тока мощностный показатель в трехфазной цепи определить можно, перемножив ток на напряжение. Поскольку это непостоянный электроток, он зависит от времени и других параметров, поэтому необходимо использовать другие проверенные схемы. Так, можно использовать ваттметр.

Измерение должно быть проведено только в одной фазе и по формуле умножено на три. Этот способ экономит приборы и уменьшает габариты измерения. Применяется для высокой точности измерения каждой фазы. В случае несимметричной нагрузки, нужно использовать соответствующую схему подключения ваттметра. Это более точный способ, но требует наличие трех ваттметров.

Обратите внимание! Если цепь не предусматривает наличие нулевого проводника, нужна также соответствующая схема.

Стоит указать, что сегодня измерить можно необходимые показатели не только аналоговым, но и цифровым прибором. Отличие второго в уменьшенных размерах и легкости. Кроме того, цифровые агрегаты способы осуществлять фиксацию тока с напряжением, косинусом сети и другим. Это позволяет на дистанции осуществлять отслеживание различных величин и передавать предупреждения, если есть отклонение. Это удобно, поскольку не нужно измерять ток с напряжением, а потом, используя формулы, все досконально просчитывать.

В трехфазной цепи

В целом, мощность — это величина, основное предназначение которой показывать силу работы конкретного прибора и во многих случаях скорость деятельности, взаимодействуя с ним. Она бывает механической, электрической, гидравлической и для постоянного с переменным током. Измеряется по международной системе в ваттах и киловаттах.

Мощность переменного тока. Мощность тока через катушку, резистор, конденсатор

 

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания.

Переменный ток несёт энергию. Поэтому крайне важным является вопрос о мощности в цепи переменного тока.

Пусть и — мгновенные значение напряжения и силы тока на данном участке цепи. Возьмём малый интервал времени — настолько малый, что напряжение и ток не успеют за это время сколько-нибудь измениться; иными словами, величины и можно считать постоянными в течение интервала .

Пусть за время через наш участок прошёл заряд (в соответствии с правилом выбора знака для силы тока заряд считается положительным, если он переносится в положительном направлении, и отрицательным в противном случае). Электрическое поле движущихся зарядов совершило при этом работу

Мощность тока — это отношение работы электрического поля ко времени, за которое эта работа совершена:

(1)

Точно такую же формулу мы получили в своё время для постоянного тока. Но в данном случае мощность зависит от времени, совершая колебания вместе током и напряжением; поэтому величина (1) называется ещё мгновенной мощностью.

Из-за наличия сдвига фаз сила тока и напряжение на участке не обязаны совпадать по знаку (например, может случиться так, что напряжение положительно, а сила тока отрицательна, или наоборот). Соответственно, мощность может быть как положительной, так и отрицательной. Рассмотрим чуть подробнее оба этих случая.

1. Мощность положительна: . Напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки. Это означает, что направление тока совпадает с направлением электрического поля зарядов, образующих ток. В таком случае энергия участка возрастает: она поступает на данный участок из внешней цепи (например, конденсатор заряжается).

2. Мощность отрицательна: . Напряжение и сила тока имеют разные знаки. Стало быть, ток течёт против поля движущихся зарядов, образующих этот самый ток.

Как такое может случиться? Очень просто: электрическое поле, возникающее на участке, как бы «перевешивает» поле движущихся зарядов и «продавливает» ток против этого поля. В таком случае энергия участка убывает: участок отдаёт энергию во внешнюю цепь (например, конденсатор разряжается).

Если вы не вполне поняли, о чём только что шла речь, не переживайте — дальше будут конкретные примеры, на которых вы всё и увидите.

 

Мощность тока через резистор

 

Пусть переменный ток протекает через резистор сопротивлением . Напряжение на резисторе, как нам известно, колеблется в фазе с током:

Поэтому для мгновенной мощности получаем:

(2)

График зависимости мощности (2) от времени представлен на рис. 1. Мы видим, что мощность всё время неотрицательна — резистор забирает энергию из цепи, но не возвращает её обратно в цепь.

Рис. 1. Мощность переменного тока через резистор

Максимальное значение нашей мощности связано с амплитудами тока и напряжения привычными формулами:

На практике, однако, интерес представляет не максимальная, а средняя мощность тока. Это и понятно. Возьмите, например, обычную лампочку, которая горит у вас дома. По ней течёт ток частотой Гц, т. е. за секунду совершается колебаний силы тока и напряжения. Ясно, что за достаточно продолжительное время на лампочке выделяется некоторая средняя мощность, значение которой находится где-то между и . Где же именно?

Посмотрите ещё раз внимательно на рис. 1. Не возникает ли у вас интуитивное ощущение, что средняя мощность соответствует «середине» нашей синусоиды и принимает поэтому значение ?

Это ощущение совершенно верное! Так оно и есть. Разумеется, можно дать математически строгое определение среднего значения функции (в виде некоторого интеграла) и подтвердить нашу догадку прямым вычислением, но нам это не нужно. Достаточно интуитивного понимания простого и важного факта:

среднее значение квадрата синуса (или косинуса) за период равно .

Этот факт иллюстрируется рисунком 2.

Рис. 2. Среднее значение квадрата синуса равно

Итак, для среднего значения мощности тока на резисторе имеем:

(3)

В связи с этими формулами вводятся так называемые действующие (или эффективные) значения напряжения и силы тока (на самом деле это есть не что иное, как средние квадратические значения напряжения и тока. Такое у нас уже встречалось: средняя квадратическая скорость молекул идеального газа (листок «Уравнение состояния идеального газа»):

(4)

Формулы (3), записанные через действующие значения, полностью аналогичны соответствующим формулам для постоянного тока:

Поэтому если вы возьмёте лампочку, подключите её сначала к источнику постоянного напряжения , а затем к источнику переменного напряжения с таким же действующим значением , то в обоих случаях лампочка будет гореть одинаково ярко.

Действующие значения (4) чрезвычайно важны для практики. Оказывается, вольтметры и амперметры переменного тока показывают именно действующие значения (так уж они устроены). Знайте также, что пресловутые вольт из розетки — это действующее значение напряжения бытовой электросети.

 

Мощность тока через конденсатор

 

Пусть на конденсатор подано переменное напряжение . Как мы знаем, ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на :

Для мгновенной мощности получаем:

График зависимости мгновенной мощности от времени представлен на рис. 3.

Рис. 3. Мощность переменного тока через конденсатор

Чему равно среднее значение мощности? Оно соответствует «середине» синусоиды и в данном случае равно нулю! Мы видим это сейчас как математический факт. Но интересно было бы с физической точки зрения понять, почему мощность тока через конденсатор оказывается нулевой.

Для этого давайте нарисуем графики напряжения и силы тока в конденсаторе на протяжении одного периода колебаний (рис. 4).

Рис. 4. Напряжение на конденсаторе и сила тока через него

Рассмотрим последовательно все четыре четверти периода.

1. Первая четверть, . Напряжение положительно и возрастает. Ток положителен (течёт в положительном направлении), конденсатор заряжается. По мере увеличения заряда на конденсаторе сила тока убывает.

Мгновенная мощность положительна: конденсатор накапливает энергию, поступающую из внешней цепи. Эта энергия возникает за счёт работы внешнего электрического поля, продвигающего заряды на конденсатор.

2. Вторая четверть, . Напряжение продолжает оставаться положительным, но идёт на убыль. Ток меняет направление и становится отрицательным: конденсатор разряжается против направления внешнего электрического поля.В конце второй четверти конденсатор полностью разряжен.

Мгновенная мощность отрицательна: конденсатор отдаёт энергию. Эта энергия возвращается в цепь: она идёт на совершение работы против электрического поля внешней цепи (конденсатор как бы «продавливает» заряды в направлении, противоположном тому, в котором внешнее поле «хочет» их двигать).

3. Третья четверть, . Внешнее электрическое поле меняет направление: напряжение отрицательно и возрастает по модулю. Сила тока отрицательна: идёт зарядка конденсатора в отрицательном направлении.

Ситуация полностью аналогична первой четверти, только знаки напряжения и тока — противоположные. Мощность положительна: конденсатор вновь накапливает энергию.

4. Четвёртая четверть, . Напряжение отрицательно и убывает по модулю. Конденсатор разряжается против внешнего поля: сила тока положительна.

Мощность отрицательна: конденсатор возвращает энергию в цепь. Ситуация аналогична второй четверти — опять-таки с заменой заменой знаков тока и напряжения на противоположные.

Мы видим, что энергия, забранная конденсатором из внешней цепи в ходе первой четверти периода колебаний, полностью возвращается в цепь в ходе второй четверти. Затем этот процесс повторяется вновь и вновь. Вот почему средняя мощность, потребляемая конденсатором, оказывается нулевой.

 

Мощность тока через катушку

 

Пусть на катушку подано переменное напряжение . Ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на :

Для мгновенной мощности получаем:

Снова средняя мощность оказывается равной нулю. Причины этого, в общем-то, те же, что и в случае с конденсатором. Рассмотрим графики напряжения и силы тока через катушку за период (рис. 5).

Рис. 5. Напряжение на катушке и сила тока через неё

Мы видим, что в течение второй и четвёртой четвертей периода энергия поступает в катушку из внешней цепи. В самом деле, напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки, сила тока возрастает по модулю; для создания тока внешнее электрическое поле совершает работу против вихревого электрического поля, и эта работа идёт на увеличение энергии магнитного поля катушки.

В первой и третьей четвертях периода напряжение и сила тока имеют разные знаки: катушка возвращает энергию в цепь. Вихревое электрическое поле, поддерживающее убывающий ток, двигает заряды против внешнего электрического поля и совершает тем самым положительную работу. А за счёт чего совершается эта работа? За счёт энергии, накопленной ранее в катушке.

Таким образом, энергия, запасаемая в катушке за одну четверть периода, полностью возвращается в цепь в ходе следующей четверти. Поэтому средняя мощность, потребляемая катушкой, оказывается равной нулю.

 

Мощность тока на произвольном участке

 

Теперь рассмотрим самый общий случай. Пусть имеется произвольный участок цепи — он может содержать резисторы, конденсаторы, катушки…На этот участок подано переменное напряжение .

Как мы знаем из предыдущего листка «Переменный ток. 2», между напряжением и силой тока на данном участке имеется некоторый сдвиг фаз . Мы записывали это так:

Тогда для мгновенной мощности имеем:

(5)

Теперь нам хотелось бы определить, чему равна средняя мощность. Для этого мы преобразуем выражение (5), используя формулу:

В результате получим:

(6)

Но среднее значение величины равно нулю! Поэтому средняя мощность оказывается равной:

(7)

Данную формулу можно записать с помощью действующих значений (4) напряжения и силы тока:

Формула (7) охватывает все три рассмотренные выше ситуации. В случае резистора имеем , и мы приходим к формуле (3). Для конденсатора и катушки , и средняя мощность равна нулю.

Кроме того, формула (7) даёт представление о весьма общей проблеме, связанной с передачей электроэнергии. Чрезвычайно важно, чтобы у потребителя был как можно ближе к единице. Иначе потребитель начнёт возвращать значительную часть энергии назад в сеть (что ему совсем невыгодно), и к тому же возвращаемая энергия будет безвозвратно расходоваться на нагревание проводов и других элементов цепи.

С этой проблемой приходится сталкиваться разработчикам электрических схем, содержащих электродвигатели. Обмотки электродвигателей обладают большими индуктивностями, и возникает ситуация, близкая к «чистой» катушке. Чтобы избежать бесполезного циркулирования энергии по сети, в цепь включают дополнительные элементы, сдвигающие фазу — например, так называемые компенсирующие конденсаторы.

Правило цепочки

: общее правило мощности — концепция

Общее правило мощности — это частный случай цепного правила. Это полезно при нахождении производной функции, возведенной в n-ю степень. Общее правило утверждает, что эта производная равна n-кратному значению функции, возведенной в (n-1) -ю степень, умноженной на производную функции.

Цепное правило — одна из самых сложных тем в исчислении, поэтому не расстраивайтесь, если у вас возникли проблемы с ним.Поскольку это так сложно, я разделил правило цепочки на несколько подтем и хочу разобраться с кучей особых случаев правила цепочки, и это правило будет называться общим правилом мощности. Мы рассмотрим это через секунду, вызов с цепным правилом — это метод для дифференциации составных функций, таких как f от g от x, и я имел привычку кодировать свои составные функции цветом, чтобы внутренняя часть синий, а внешняя часть красная. В любом случае, это цепное правило, которое я хочу познакомить вас с тем, что я называю общей степенной функцией, поэтому h of x является общей степенной функцией, если бы ее можно было записать как некоторую функцию g от x, любую функцию, возведенную в n-ю степень.Итак, как вы можете отличить одно из них, мы собираемся использовать версию цепного правила, которое я называю общим правилом мощности. Таким образом, производная g от x до n равна n раз g от x до n минус 1, умноженная на производную g от x.
Это просто частный случай цепного правила, поэтому давайте попробуем его на этой функции: h of x равняется этой функции 2x в кубе плюс 3x-1, все в степени отрицательной 7. И поэтому, чтобы быть абсолютно ясным, я собираюсь закодировать эту функцию цветом, чтобы мы могли видеть, что внутри, а что снаружи.Обычно лучший способ отличить внутреннее от внешнего — подумать о вычислении ценностей. Например, если бы я собирался подключить 5 к этой функции, я бы возводил 5 в третью степень, умножал на 2, прибавлял 3 раза 5, я бы работал над этой частью функции. Итак, это внутренняя функция, так что equals, а внешняя функция — это возведение в минус 7, это внешняя функция, а внутри я сделаю синий 2x в кубе плюс 3x-1. Итак, в соответствии с этим правилом h простое число будет производной от этого числа, поэтому я беру это n как экспоненту, вытаскиваемую впереди, так что я получаю отрицательное 7 умноженное на это количество 2x в кубе плюс 3x-1.
И новый показатель будет старым показателем минус 1, поэтому отрицательное 7-1 будет отрицательным 8 раз, а затем производная внутренней функции, и это будет 6x в квадрате плюс 3, я помещу это здесь и ваш учитель возможно, вы захотите упростить это. Итак, давайте сделаем наблюдение, что эта величина здесь, поскольку у меня отрицательная 8 экспонента, она попадет в знаменатель. Итак, у меня есть дробь, и у меня будет 2x в кубе плюс 3x-1 в восьмой степени. И в числителе у меня будет минус 7, умноженный на 6x в квадрате плюс 3.Это отрицательные 42 x в квадрате ой минус, потому что я должен распределить отрицательные 7 на эти 2 члена, поэтому отрицательные 7 умножить на 3 будут отрицательными 21, и это мой ответ. Так что не забывайте, что общее правило мощности — это просто частный случай цепного правила. Производная g от x до n равна n g от x до n-1 умноженного на g простого числа x.

Производные правила

Производная сообщает нам наклон функции в любой точке.

Есть правил , которым мы можем следовать, чтобы найти множество производных.

Например:

• Наклон постоянной значения (например, 3) всегда 0
• Наклон линии , например, 2x равен 2, или 3x равен 3 и т. Д.
• и так далее.

Вот полезные правила, которые помогут вам вычислить производные многих функций (с примерами ниже). Примечание: маленькая метка означает , производную от , а f и g — это функции.

Общие функции	Функция	Производная
Константа	с	0
Линия	х	1
	топор	а
Квадрат	х 2	2x
Квадратный корень	√x	(½) x -½
Экспоненциальная	e x	e x
	а x	ln (а) x
Логарифмы	лин (х)	1 / х
	журнал a (x)	1 / (x ln (а))
Тригонометрия (x в радианах)	грех (х)	cos (x)
	cos (x)	−sin (x)
	желто-коричневый (x)	сек 2 (x)
Обратная тригонометрия	грех -1 (х)	1 / √ (1 − x 2 )
	cos -1 (х)	-1 / √ (1-х 2 )
	желто-коричневый -1 (х)	1 / (1 + х 2 )
Правила	Функция	Производная
Умножение на константу	cf	cf ’
Правило питания	x n	нкс н — 1
Правило суммы	ж + г	f ’+ g’
Правило разницы	ф — г	f ’- g’
Правило продукта	fg	f g ’+ f’ g
Правило частного	ф / г	f ’g — g’ f g 2
Взаимное правило	1 / f	-f ’/ f 2
Правило цепочки (как «Состав функций»)	f º g	(f ’º g) × g’
Цепное правило (используя ’)	ф (г (х))	f ’(g (x)) g’ (x)
Цепное правило (с использованием d dx )	dy dx знак равно dy и du dx

Также пишется «Производная от» d dx

Так d dx sin (x) и sin (x) ’оба означают« производную sin (x) »

Примеры

Пример: какова производная sin (x)?

Из приведенной выше таблицы это указано как cos (x)

Его можно записать как:

d dx sin (x) = cos (x)

или:

sin (x) ’= cos (x)

Правило мощности

Пример: что такое

d dx x ³ ?

Возникает вопрос «какая производная от x ³ ?»

Мы можем использовать правило мощности, где n = 3:

d dx x ⁿ = nx ^{n − 1}

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

(Другими словами, производная от x ³ равна 3x ² )

Это просто:

«умножить на мощность
, затем уменьшить мощность на 1″

Его также можно использовать в таких случаях:

Пример: что такое

d dx (1 / x)?

1 / x также x ^-1

Мы можем использовать правило мощности, где n = −1:

d dx x ⁿ = nx ^{n − 1}

d dx x ^-1 = -1x ^-1-1

= −x ^-2

= −1 x ²

Итак, мы только что сделали это:

, что упрощается до −1 / x ²

Умножение на константу

Пример: Что такое

d dx 5x ³ ?

производная от cf = cf ’

производная 5f = 5f ’

Мы знаем (из правила власти):

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

Итак:

d dx 5x ³ = 5 d dx x ³ = 5 × 3x ² = 15x ²

Правило о сумме

Пример: Какова производная от x

² + x ³ ?

Правило суммы говорит:

производная от f + g = f ’+ g’

Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем добавить их.

Использование правила мощности:

А так:

производная от x ² + x ³ = 2x + 3x ²

Правило разницы

То, что мы различаем, не обязательно должно быть x , это может быть что угодно. В данном случае v :

Пример: Что такое

d dv (v ³ −v ⁴ )?

Правило разницы говорит:

производная от f — g = f ’- g’

Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем вычесть их.

Использование правила мощности:

А так:

производная от v ³ — v ⁴ = 3v ² — 4v ³

Правила суммы, разности, постоянного умножения и мощности

Пример: Что такое

d dz (5z ² + z ³ — 7z ⁴ )?

Использование правила мощности:

• d dz z ² = 2z
• d dz z ³ = 3z ²
• d dz z ⁴ = 4z ³

А так:

d dz (5z ² + z ³ — 7z ⁴ ) = 5 × 2z + 3z ² — 7 × 4z ³
= 10z + 3z ² — 28z ³

Правило продукта

Пример: Какая производная от cos (x) sin (x)?

Правило продукта гласит:

производная от fg = f g ’+ f’ g

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

• d dx cos (x) = −sin (x)
• d dx sin (x) = cos (x)

Итак:

производная cos (x) sin (x) = cos (x) cos (x) — sin (x) sin (x)

= cos ² (x) — sin ² (x)

Правило частного

Чтобы помочь вам запомнить:

( f г ) ’= gf’ — fg ’ г ²

Производная от максимума над минимальным:

«Low dHigh минус High dLow, над линией и квадрат минимума»

Пример: Какая производная от cos (x) / x?

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

Итак:

производная от cos (x) x = Low dHigh минус High dLow возвести в квадрат Low

= x (−sin (x)) — cos (x) (1) x ²

= — xsin (x) + cos (x) x ²

Взаимное правило

Пример: что такое

d dx (1 / x)?

Взаимное правило говорит:

производная от 1 f = −f ’ f ²

Если f (x) = x, мы знаем, что f ’(x) = 1

Итак:

производная от 1 x = −1 x ²

Это тот же результат, который мы получили выше, используя правило мощности.

Правило цепочки

Пример: Что такое

d dx грех (х ² )?

sin (x ² ) состоит из sin () и x ² :

Цепное правило говорит:

производная от f (g (x)) = f ‘(g (x)) g’ (x)

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(г) = cos (г)
• г ‘(x) = 2x

Итак:

d dx sin (x ² ) = cos (g (x)) (2x)

= 2x cos (x ² )

Другой способ написания правила цепочки: dy dx знак равно dy и du dx

Давайте повторим предыдущий пример, используя эту формулу:

Пример: Что такое

d dx грех (х ² )?

dy dx знак равно dy и du dx

Пусть u = x ² , поэтому y = sin (u):

d dx sin (x ² ) = d и грех (у) d dx х ²

Различия по каждому:

d dx sin (x ² ) = cos (u) (2x)

Заменить обратно u = x ² и упростить:

d dx sin (x ² ) = 2x cos (x ² )

Тот же результат, что и раньше (слава богу!)

Еще пара примеров цепного правила:

Пример: Что такое

d dx (1 / cos (x))?

1 / cos (x) состоит из 1 / g и cos () :

Цепное правило говорит:

производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(г) = -1 / (г ² )
• г ‘(x) = −sin (x)

Итак:

(1 / cos (x)) ’= −1 г (x) ² (−sin (x))

= sin (x) cos ² (x)

Примечание: sin (x) cos ² (x) также является tan (x) cos (x) или многими другими формами.

Пример: Что такое

d dx (5x − 2) ³ ?

Цепное правило говорит:

производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)

(5x − 2) ³ состоит из г ³ и 5x − 2 :

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(g) = 3g ² (по правилу мощности)
• г ‘(х) = 5

Итак:

d dx (5x − 2) ³ = (3g (x) ² ) (5) = 15 (5x − 2) ²

6800, 6801, 6802, 6803, 6804, 6805, 6806, 6807, 6808, 6809, 6810, 6811, 6812

3.6 Правило цепочки — Исчисление Том 1

Цели обучения

• 3.6.1 Сформулируйте правило цепочки для композиции двух функций.
• 3.6.2 Примените правило цепочки вместе с правилом мощности.
• 3.6.3 Правильно применять правило цепочки и правила продукта / отношения в комбинации, когда необходимы оба правила.
• 3.6.4 Распознавать цепное правило для композиции из трех или более функций.
• 3.6.5 Опишите доказательство цепного правила.

Мы познакомились с методами различения основных функций (xn, sinx, cosx и т. Д.).) (xn, sinx, cosx и т. д.), а также суммы, разности, произведения, частные и постоянные кратные этих функций. Однако эти методы не позволяют нам различать композиции функций, такие как h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3) или k (x) = 3×2 + 1.k (x) = 3×2 +1. В этом разделе мы изучаем правило нахождения производной композиции двух или более функций.

Правило получения цепочки

Когда у нас есть функция, которая представляет собой композицию из двух или более функций, мы могли бы использовать все методы, которые мы уже изучили, чтобы различать ее.Однако использование всех этих техник для разбиения функции на более простые части, которые мы можем различать, может оказаться громоздким. Вместо этого мы используем цепное правило, которое гласит, что производная сложной функции является производной внешней функции, вычисленной как внутренняя функция, умноженная на производную внутренней функции.

Чтобы поместить это правило в контекст, давайте рассмотрим пример: h (x) = sin (x3) .h (x) = sin (x3). Мы можем думать о производной этой функции относительно x как о скорости изменения sin (x3) sin (x3) относительно изменения x.Икс. Следовательно, мы хотим знать, как sin (x3) sin (x3) изменяется при изменении xx. Мы можем думать об этом событии как о цепной реакции: при изменении xx изменяется x3x3, что приводит к изменению sin (x3) .sin (x3). Эта цепная реакция дает нам подсказки относительно того, что участвует в вычислении производной sin (x3) .sin (x3). Прежде всего, изменение xx, вызывающее изменение x3x3, предполагает, что каким-то образом задействована производная x3x3. Кроме того, изменение x3x3, вызывающее изменение sin (x3) sin (x3), предполагает, что производная sin (u) sin (u) по u, u, где u = x3, u = x3, также равна часть окончательной производной.

Мы можем более формально взглянуть на производную h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3), установив предел, который даст нам производную при конкретном значении aa в области h (x) = sin (x3). h (x) = sin (x3).

h ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) ​​x − a.h ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) ​​x − a.

Это выражение не кажется особенно полезным; однако мы можем изменить его, умножив и разделив на выражение x3 − a3x3 − a3, чтобы получить

h ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) ​​x3 − a3 · x3 − a3x − ah ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) ​​x3 − a3 · x3 − a3x− а.

Из определения производной мы можем видеть, что второй множитель является производной от x3x3 при x = a.x = a. То есть

limx → ax3 − a3x − a = ddx (x3) x = a = 3a2.limx → ax3 − a3x − a = ddx (x3) x = a = 3a2.

Однако было бы немного сложнее признать, что первый член также является производным инструментом. В этом можно убедиться, положив u = x3u = x3 и заметив, что при x → a, u → a3: x → a, u → a3:

limx → asin (x3) −sin (a3) ​​x3 − a3 = limu → a3sinu − sin (a3) ​​u − a3 = ddu (sinu) u = a3 = cos (a3) ​​.limx → asin (x3) −sin (a3 ) x3 − a3 = limu → a3sinu − sin (a3) ​​u − a3 = ddu (sinu) u = a3 = cos (a3).

Таким образом, h ′ (a) = cos (a3) ​​· 3a2.h ′ (a) = cos (a3) ​​· 3a2.

Другими словами, если h (x) = sin (x3), h (x) = sin (x3), то h ′ (x) = cos (x3) · 3×2.h ′ (x) = cos (x3) · 3×2. Таким образом, если мы думаем о h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3) как о композиции (f∘g) (x) = f (g (x)) (f∘g) (x ) = f (g (x)), где f (x) = f (x) = sin xx и g (x) = x3, g (x) = x3, то производная h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3) — произведение производной функции g (x) = x3g (x) = x3 и производной функции f (x) = sinxf (x) = sinx, вычисленной с помощью функции g ( х) = х3. g (х) = х3. На этом этапе мы ожидаем, что для h (x) = sin (g (x)), h (x) = sin (g (x)) вполне вероятно, что h ′ (x) = cos (g (x )) g ′ (x).h ′ (x) = cos (g (x)) g ′ (x). Как мы определили выше, это имеет место для h (x) = sin (x3). H (x) = sin (x3).

Теперь, когда мы вывели частный случай цепного правила, мы сформулируем общий случай, а затем применим его в общей форме к другим составным функциям. Неофициальное доказательство приводится в конце раздела.

Правило

: правило цепочки

Пусть ff и gg — функции. Для всех x в области gg, для которых gg дифференцируем в x и ff дифференцируем в g (x), g (x), производная сложной функции

h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x)) h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x))

выдается

h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x).h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x).

(3,17)

В качестве альтернативы, если yy является функцией u, u, а uu является функцией x, x, то

dydx = dydu · dudx.dydx = dydu · dudx.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: применение правила цепочки

1. Чтобы дифференцировать h (x) = f (g (x)), h (x) = f (g (x)), начните с определения f (x) f (x) и g (x) .g (x).
2. Найдите f ′ (x) f ′ (x) и оцените его в g (x) g (x), чтобы получить f ′ (g (x)). F ′ (g (x)).
3. Найдите g ′ (x) .g ′ (x).
4. Запишите h ′ (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x).h ′ (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x).

Примечание : применяя правило цепочки к композиции двух или более функций, имейте в виду, что мы работаем извне, функция внутри. Также полезно помнить, что производная композиции двух функций может считаться состоящим из двух частей; производная от композиции трех функций состоит из трех частей; и так далее. Кроме того, помните, что мы никогда не оцениваем производный инструмент по производному.

Объединение правил цепи и мощности

Теперь мы можем применить правило цепочки к составным функциям, но обратите внимание, что нам часто нужно использовать его с другими правилами.Например, чтобы найти производные функций вида h (x) = (g (x)) n, h (x) = (g (x)) n, нам нужно использовать цепное правило в сочетании с правилом мощности. Для этого мы можем представить h (x) = (g (x)) nh (x) = (g (x)) n как f (g (x)) f (g (x)), где f (x ) = xn.f (x) = xn. Тогда f ′ (x) = nxn − 1. f ′ (x) = nxn − 1. Таким образом, f ′ (g (x)) = n (g (x)) n − 1. f ′ (g (x)) = n (g (x)) n − 1. Это приводит нас к производной степенной функции с использованием цепного правила

h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x) h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x)

Правило: Правило мощности для композиции функций

Для всех значений x , для которых определена производная, если

ч (х) = (г (х)) п.ч (х) = (г (х)) п.

Затем

h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x). h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x).

(3,18)

Пример 3.48

Использование правил цепочки и мощности

Найти производную h (x) = 1 (3×2 + 1) 2. h (x) = 1 (3×2 + 1) 2.

Решение

Сначала перепишем h (x) = 1 (3×2 + 1) 2 = (3×2 + 1) −2.h (x) = 1 (3×2 + 1) 2 = (3×2 + 1) −2.

Применяя правило мощности с g (x) = 3×2 + 1, g (x) = 3×2 + 1, получаем

h ′ (x) = — 2 (3×2 + 1) −3 (6x). h ′ (x) = — 2 (3×2 + 1) −3 (6x).

Возврат к исходной форме дает нам

h ′ (x) = — 12x (3×2 + 1) 3.h ′ (x) = — 12x (3×2 + 1) 3.

КПП 3.34

Найти производную h (x) = (2×3 + 2x − 1) 4. h (x) = (2×3 + 2x − 1) 4.

Пример 3.49

Использование правил цепочки и степеней с тригонометрической функцией

Найдите производную от h (x) = sin3x.h (x) = sin3x.

Решение

Сначала вспомните, что sin3x = (sinx) 3, sin3x = (sinx) 3, поэтому мы можем переписать h (x) = sin3xh (x) = sin3x как h (x) = (sinx) 3.h (x) = ( sinx) 3.

Применяя правило мощности с g (x) = sinx, g (x) = sinx, получаем

h ′ (x) = 3 (sinx) 2cosx = 3sin2xcosx.h ′ (x) = 3 (sinx) 2cosx = 3sin2xcosx.

Пример 3.50

Нахождение уравнения касательной

Найдите уравнение прямой, касательной к графику h (x) = 1 (3x − 5) 2h (x) = 1 (3x − 5) 2 при x = 2.x = 2.

Решение

Поскольку мы находим уравнение прямой, нам нужна точка. Координата точки x равна 2. Чтобы найти координату y , подставьте 2 в h (x) .h (x). Поскольку h (2) = 1 (3 (2) −5) 2 = 1, h (2) = 1 (3 (2) −5) 2 = 1, точка равна (2,1).(2,1).

Для наклона нам понадобится h ′ (2) .h ′ (2). Чтобы найти h ′ (x), h ′ (x), сначала мы перепишем h (x) = (3x − 5) −2h (x) = (3x − 5) −2 и применим правило мощности, чтобы получить

h ′ (x) = — 2 (3x − 5) −3 (3) = — 6 (3x − 5) −3.h ′ (x) = — 2 (3x − 5) −3 (3) = — 6 (3х − 5) −3.

Подставляя, получаем h ′ (2) = — 6 (3 (2) −5) −3 = −6.h ′ (2) = — 6 (3 (2) −5) −3 = −6. Следовательно, прямая имеет уравнение y − 1 = −6 (x − 2) .y − 1 = −6 (x − 2). Переписывая, уравнение прямой имеет вид y = −6x + 13.y = −6x + 13.

КПП 3.35

Найдите уравнение касательной к графику функции f (x) = (x2−2) 3f (x) = (x2−2) 3 при x = −2.х = -2.

Объединение правила цепочки с другими правилами

Теперь, когда мы можем объединить цепное правило и правило мощности, мы исследуем, как объединить цепное правило с другими правилами, которые мы изучили. В частности, мы можем использовать его с формулами для производных тригонометрических функций или с правилом произведения.

Пример 3.51

Использование правила цепочки для функции общего косинуса

Найдите производную от h (x) = cos (g (x)). H (x) = cos (g (x)).

Решение

Думайте о h (x) = cos (g (x)) h (x) = cos (g (x)) как о f (g (x)) f (g (x)), где f (x) = cosx.f (x) = cosx. Поскольку f ′ (x) = — sinx.f ′ (x) = — sinx. имеем f ′ (g (x)) = — sin (g (x)). f ′ (g (x)) = — sin (g (x)). Затем делаем следующий расчет.

h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) Примените цепное правило. = — sin (g (x)) g ′ (x) Substitutef ′ (g (x)) = — sin ( g (x)). h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) Примените цепное правило. = — sin (g (x)) g ′ (x) Substitutef ′ (g (x )) = — sin (g (x)).

Таким образом, производная h (x) = cos (g (x)) h (x) = cos (g (x)) задается выражением h ′ (x) = — sin (g (x)) g ′ ( х) .h ′ (x) = — sin (g (x)) g ′ (x).

В следующем примере мы применяем только что выведенное правило.

Пример 3.52

Использование правила цепочки для функции косинуса

Найти производную h (x) = cos (5×2). H (x) = cos (5×2).

Решение

Пусть g (x) = 5×2.g (x) = 5×2. Тогда g ′ (x) = 10x.g ′ (x) = 10x. Используя результат из предыдущего примера,

h ′ (x) = — sin (5×2) · 10x = −10xsin (5×2) .h ′ (x) = — sin (5×2) · 10x = −10xsin (5×2).

Пример 3.53

Использование правила цепочки для другой тригонометрической функции

Найдите производную h (x) = sec (4×5 + 2x).h (x) = сек (4×5 + 2x).

Решение

Примените цепное правило к h (x) = sec (g (x)) h (x) = sec (g (x)), чтобы получить

h ′ (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g ′ (x). h ′ (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g ′ (x ).

В этой задаче g (x) = 4×5 + 2x, g (x) = 4×5 + 2x, поэтому мы имеем g ′ (x) = 20×4 + 2.g ′ (x) = 20×4 + 2. Следовательно, получаем

h ′ (x) = sec (4×5 + 2x) tan (4×5 + 2x) (20×4 + 2) = (20×4 + 2) sec (4×5 + 2x) tan (4×5 + 2x). h ′ (x) = sec ( 4×5 + 2x) загар (4×5 + 2x) (20×4 + 2) = (20×4 + 2) сек (4×5 + 2x) загар (4×5 + 2x).

КПП 3.36

Найдите производную h (x) = sin (7x + 2).ч (х) = грех (7х + 2).

На этом этапе мы предоставляем список производных формул, которые могут быть получены путем применения цепного правила в сочетании с формулами для производных тригонометрических функций. Их выводы аналогичны тем, которые использовались в Примере 3.51 и Примере 3.53. Для удобства формулы также даны в обозначениях Лейбница, которые некоторым студентам легче запомнить. (Мы обсуждаем цепное правило, используя обозначения Лейбница в конце этого раздела.) Не обязательно запоминать их как отдельные формулы, поскольку все они являются приложениями цепного правила к ранее изученным формулам.

Теорема 3.10

Использование правила цепочки с тригонометрическими функциями

Для всех значений xx, для которых определена производная,

ddx (sin (g (x))) = cos (g (x)) g ′ (x)) ddxsinu = cosududxddx (cos (g (x))) = — sin (g (x)) g ′ (x) ) ddxcosu = −sinududxddx (tan (g (x))) = sec2 (g (x)) g ′ (x)) ddxtanu = sec2ududxddx (cot (g (x))) = — csc2 (g (x)) g ′ (X)) ddxcotu = −csc2ududxddx (sec (g (x))) = sec (g (x) tan (g (x)) g ′ (x)) ddxsecu = secutanududxddx (csc (g (x))) = −csc (g (x)) кроватка (g (x)) g ′ (x)) ddxcscu = −cscucotududx.ddx (sin (g (x))) = cos (g (x)) g ′ (x) ) ddxsinu = cosududxddx (cos (g (x))) = — sin (g (x)) g ′ (x)) ddxcosu = −sinududxddx (tan (g (x))) = sec2 (g (x)) g ′ (X)) ddxtanu = sec2ududxddx (cot (g (x))) = — csc2 (g (x)) g ′ (x)) ddxcotu = −csc2ududxddx (sec (g (x))) = sec (g ( x) tan (g (x)) g ′ (x)) ddxsecu = secutanududxddx (csc (g (x))) = — csc (g (x)) cot (g (x)) g ′ (x)) ddxcscu = −cscucotududx.

Пример 3.54

Объединение правила цепочки с правилом продукта

Найти производную от h (x) = (2x + 1) 5 (3x − 2) 7. h (x) = (2x + 1) 5 (3x − 2) 7.

Решение

Сначала примените правило продукта, затем примените правило цепочки к каждому термину продукта.

h ′ (x) = ddx ((2x + 1) 5) · (3x − 2) 7 + ddx ((3x − 2) 7) · (2x + 1) 5 Примените правило произведения. = 5 (2x + 1) 4 · 2 · (3x − 2) 7 + 7 (3x − 2) 6 · 3 · (2x + 1) 5 Примените цепное правило. = 10 (2x + 1) 4 (3x − 2) 7 + 21 (3x− 2) 6 (2x + 1) 5 Упростить. = (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (10 (3x − 2) +21 (2x + 1)) Вынести за скобки (2x + 1) 4 (3x − 2) ) 6.= (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (72x + 1) Simplify.h ′ (x) = ddx ((2x + 1) 5) · (3x − 2) 7 + ddx ((3x − 2) 7) · (2x + 1) 5 Примените правило произведения. = 5 (2x + 1) 4 · 2 · (3x − 2) 7 + 7 (3x − 2) 6 · 3 · (2x + 1) 5 Примените правило цепочки . = 10 (2x + 1) 4 (3x − 2) 7 + 21 (3x − 2) 6 (2x + 1) 5 Упростить. = (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (10 (3x − 2) +21 (2x + 1)) Выносим за скобки (2x + 1) 4 (3x − 2) 6. = (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (72x + 1) Упростим.

КПП 3.37

Найти производную h (x) = x (2x + 3) 3. h (x) = x (2x + 3) 3.

Композиты из трех или более функций

Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза.Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем создать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.

В общем, сначала сдаем

k (x) = h (f (g (x))). k (x) = h (f (g (x))).

Затем, применяя цепное правило, мы получаем

k ′ (x) = ddx (h (f (g (x))) = h ′ (f (g (x))) · ddxf ((g (x))). k ′ (x) = ddx (h (е (g (x))) = h ′ (f (g (x))) · ddxf ((g (x))).

Применяя снова цепное правило, получаем

k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ (g (x)) g ′ (x)). k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ ( g (x)) g ′ (x)).

Правило: цепное правило для композиции из трех функций

Для всех значений x , для которых функция дифференцируема, если

k (x) = h (f (g (x))), k (x) = h (f (g (x))),

, затем

k ′ (x) = h ′ (f (g (x))) f ′ (g (x)) g ′ (x). k ′ (x) = h ′ (f (g (x))) f ′ (g (x)) g ′ (x).

Другими словами, мы применяем цепное правило дважды.

Обратите внимание, что производная от композиции трех функций состоит из трех частей. (Точно так же производная композиции четырех функций состоит из четырех частей и так далее.Кроме того, помните, мы всегда можем работать извне внутрь, беря по одной производной за раз.

Пример 3.55

Дифференциация трех функций

Найти производную k (x) = cos4 (7×2 + 1) .k (x) = cos4 (7×2 + 1).

Решение

Сначала перепишем k (x) k (x) как

k (x) = (cos (7×2 + 1)) 4. k (x) = (cos (7×2 + 1)) 4.

Затем несколько раз примените цепное правило.

k ′ (x) = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (ddxcos (7×2 + 1)) Примените цепное правило.= 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (ddx (7×2 + 1)) Примените цепное правило. = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (14x) Примените правило цепочки. = — 56xsin (7×2 + 1) cos3 (7×2 + 1) Simplify.k ′ (x) = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (ddxcos (7×2 + 1) ) Примените цепное правило. = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (ddx (7×2 + 1)) Примените цепное правило. = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (14x) Примените цепное правило. = — 56xsin (7×2 + 1) cos3 (7×2 + 1) Упростите.

КПП 3.38

Найти производную h (x) = sin6 (x3). H (x) = sin6 (x3).

Пример 3.56

Использование цепного правила в задаче скорости

Частица движется по координатной оси.Его положение в момент времени t определяется как s (t) = sin (2t) + cos (3t) .s (t) = sin (2t) + cos (3t). Какова скорость частицы в момент времени t = π6? T = π6?

Решение

Чтобы найти v (t), v (t), скорость частицы в момент времени t, t, мы должны дифференцировать s (t) .s (t). Таким образом,

v (t) = s ′ (t) = 2cos (2t) −3sin (3t). v (t) = s ′ (t) = 2cos (2t) −3sin (3t).

Подставляя t = π6t = π6 в v (t), v (t), получаем v (π6) = — 2.v (π6) = — 2.

КПП 3.39

Частица движется по координатной оси.Его положение в момент времени tt определяется выражением s (t) = sin (4t) .s (t) = sin (4t). Найдите его ускорение в момент времени t.t.

Доказательство

Здесь мы представляем очень неформальное доказательство цепного правила. Для простоты мы игнорируем некоторые вопросы: например, мы предполагаем, что g (x) ≠ g (a) g (x) ≠ g (a) для x ≠ ax ≠ a в некотором открытом интервале, содержащем a.a. Начнем с применения предельного определения производной к функции h (x) h (x), чтобы получить h ′ (a): h ′ (a):

h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) x − ah ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) x− а.

Переписывая, получаем

h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g (a) x − ah ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g (a) x − a.

Хотя понятно, что

limx → ag (x) −g (a) x − a = g ′ (a), limx → ag (x) −g (a) x − a = g ′ (a),

не очевидно, что

limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) = f ′ (g (a)). limx → af (g (x)) — f (g ( а)) g (x) −g (a) = f ′ (g (a)).

Чтобы убедиться, что это правда, сначала вспомним, что, поскольку g, дифференцируема в a, ga, g также непрерывна в a.a. Таким образом,

limx → ag (x) = g (a).limx → ag (x) = g (a).

Затем сделайте замену y = g (x) y = g (x) и b = g (a) b = g (a) и используйте замену переменных в пределе, чтобы получить

limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) = limy → bf (y) −f (b) y − b = f ′ (b) = f ′ (g (a)). limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) = limy → bf (y) −f (b) y − b = f ′ (B) = f ′ (g (a)).

Наконец,

h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g (a) x − a = f ′ (g (a)) g ′ (a) .h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g ( а) x − a = f ′ (g (a)) g ′ (a).

□

Пример 3.57

Использование правила цепочки с функциональными значениями

Пусть h (x) = f (g (x)).h (x) = f (g (x)). Если g (1) = 4, g ′ (1) = 3, g (1) = 4, g ′ (1) = 3 и f ′ (4) = 7, f ′ (4) = 7, найти h ′ (1) .h ′ (1).

Решение

Используйте цепное правило, затем замените.

h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) Примените цепное правило. = f ′ (4) · 3Substituteg (1) = 4andg ′ (1) = 3. = 7 · 3Substitutef ′ ( 4) = 7. = 21Simplify.h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) Примените цепное правило. = F ′ (4) · 3Substituteg (1) = 4andg ′ (1) = 3. = 7 · 3Substitutef ′ (4) = 7. = 21Simplify.

КПП 3,40

Дано h (x) = f (g (x)). H (x) = f (g (x)). Если g (2) = — 3, g ′ (2) = 4, g (2) = — 3, g ′ (2) = 4 и f ′ (- 3) = 7, f ′ (- 3) = 7 найти h ′ (2).h ′ (2).

Цепное правило с использованием обозначений Лейбница

Как и в случае с другими производными, которые мы видели, мы можем выразить цепное правило, используя обозначения Лейбница. Это обозначение цепного правила широко используется в физических приложениях.

Для h (x) = f (g (x)), Forh (x) = f (g (x)), пусть u = g (x) u = g (x) и y = h (x) = f ( u) .y = h (x) = f (u). Таким образом,

h ′ (x) = dydx, f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dyduandg ′ (x) = dudx.h ′ (x) = dydx, f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dydu и g ′ (x) = dudx.

Следовательно,

dydx = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dydu · dudx.dydx = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dydu · dudx. Правило

: правило цепочки с использованием нотации Лейбница

Если yy является функцией u, u, а uu является функцией x, x, то

dydx = dydu · dudx.dydx = dydu · dudx.

Пример 3.58

Получение производной с использованием обозначений Лейбница, пример 1

Найдите производную y = (x3x + 2) 5.y = (x3x + 2) 5.

Решение

Во-первых, пусть u = x3x + 2.u = x3x + 2. Таким образом, y = u5.y = u5. Далее найдите dudxdudx и dydu.dydu. Используя правило частного,

dudx = 2 (3x + 2) 2dudx = 2 (3x + 2) 2

и

Наконец, мы собрали все воедино.

dydx = dydu · dudx Примените цепное правило. = 5u4 · 2 (3x + 2) 2Substhibitedydu = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2. = 5 (x3x + 2) 4 · 2 (3x + 2) 2Substituteu = x3x + 2 . = 10×4 (3x + 2) 6Simplify.dydx = dydu · dudx Примените цепное правило. = 5u4 · 2 (3x + 2) 2Substhibitedydu = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2. = 5 (x3x + 2) 4 · 2 (3x + 2) 2Substituteu = x3x + 2. = 10×4 (3x + 2) 6 Упростить.

Важно помнить, что при использовании формы цепного правила Лейбница окончательный ответ должен быть полностью выражен в терминах исходной переменной, указанной в задаче.

Пример 3.59

Получение производной с использованием обозначений Лейбница, пример 2

Найдите производную y = tan (4×2−3x + 1) .y = tan (4×2−3x + 1).

Решение

Сначала пусть u = 4×2−3x + 1.u = 4×2−3x + 1. Тогда y = tanu.y = tanu. Далее находим dudxdudx и dydu: dydu:

dudx = 8x − 3anddydu = sec2u.dudx = 8x − 3anddydu = sec2u.

Наконец, мы собрали все воедино.

dydx = dydu · dudx Примените правило цепочки. = sec2u · (8x − 3) Usedudx = 8x − 3anddydu = sec2u. = sec2 (4×2−3x + 1) · (8x − 3) Substituteu = 4×2−3x + 1.dydx = dydu · dudx Примените правило цепочки. = sec2u · (8x − 3) Usedudx = 8x − 3anddydu = sec2u. = sec2 (4×2−3x + 1) · (8x − 3) Substituteu = 4×2−3x + 1.

КПП 3.41

Используйте обозначения Лейбница, чтобы найти производную y = cos (x3) .y = cos (x3). Убедитесь, что окончательный ответ полностью выражен в терминах переменной x.x.

Раздел 3.6. Упражнения

Для следующих упражнений, учитывая y = f (u) y = f (u) и u = g (x), u = g (x), найдите dydxdydx, используя обозначение Лейбница для цепного правила: dydx = dydududx.dydx = dydududx.

214.

y = 3u − 6, u = 2x2y = 3u − 6, u = 2×2

215.

y = 6u3, u = 7x − 4y = 6u3, u = 7x − 4

216.

y = sinu, u = 5x − 1y = sinu, u = 5x − 1

217.

y = cosu, u = −x8y = cosu, u = −x8

218.

y = тану, u = 9x + 2y = tanu, u = 9x + 2

219.

y = 4u + 3, u = x2−6xy = 4u + 3, u = x2−6x

За каждое из следующих упражнений

1. разложите каждую функцию в виде y = f (u) y = f (u) и u = g (x), u = g (x) и
2. найти dydxdydx как функцию от x.x.

227.

y = −6 (sin) −3xy = −6 (sin) −3x

Для следующих упражнений найдите dydxdydx для каждой функции.

228.

у = (3×2 + 3x − 1) 4y = (3×2 + 3x − 1) 4

229.

y = (5−2x) −2y = (5−2x) −2

231.

у = (2×3 − x2 + 6x + 1) 3y = (2×3 − x2 + 6x + 1) 3

233.

y = (tanx + sinx) −3y = (tanx + sinx) −3

238.

Пусть y = [f (x)] 2y = [f (x)] 2 и предположим, что f ′ (1) = 4f ′ (1) = 4 и dydx = 10dydx = 10 для x = 1.x = 1. Найдите f (1) .f (1).

239.

Пусть y = (f (x) + 5×2) 4y = (f (x) + 5×2) 4 и предположим, что f (−1) = — 4f (−1) = — 4 и dydx = 3dydx = 3, когда x = −1.х = -1. Найдите f ′ (- 1) f ′ (- 1)

240.

Пусть y = (f (u) + 3x) 2y = (f (u) + 3x) 2 и u = x3−2x.u = x3−2x. Если f (4) = 6f (4) = 6 и dydx = 18dydx = 18, когда x = 2, x = 2, найти f ′ (4) .f ′ (4).

241.

[T] Найдите уравнение касательной к y = −sin (x2) y = −sin (x2) в нуле. Используйте калькулятор, чтобы построить график функции и касательной линии.

242.

[T] Найдите уравнение касательной к y = (3x + 1x) 2y = (3x + 1x) 2 в точке (1,16). (1,16). Используйте калькулятор, чтобы построить график функции и касательной линии.

243.

Найдите координаты xx, при которых касательная к y = (x − 6x) 8y = (x − 6x) 8 горизонтальна.

244.

[T] Найдите уравнение прямой, нормальной к g (θ) = sin2 (πθ) g (θ) = sin2 (πθ) в точке (14,12). (14,12). Используйте калькулятор, чтобы построить график функции и нормальной линии.

Для следующих упражнений используйте информацию из следующей таблицы, чтобы найти h ′ (a) h ′ (a) при заданном значении для a.a.

хх	ф (х) ф (х)	ф ‘(х) ф’ (х)	г (x) г (x)	г ′ (х) г ′ (х)
0	2	5	0	2
1	1	-2	3	0
2	4	4	1	-1
3	3	−3	2	3

245.

h (x) = f (g (x)); a = 0 h (x) = f (g (x)); a = 0

246.

h (x) = g (f (x)); a = 0 h (x) = g (f (x)); a = 0

247.

h (x) = (x4 + g (x)) — 2; a = 1h (x) = (x4 + g (x)) — 2; a = 1

248.

h (x) = (f (x) g (x)) 2; a = 3h (x) = (f (x) g (x)) 2; a = 3

249.

h (x) = f (x + f (x)); a = 1h (x) = f (x + f (x)); a = 1

250.

h (x) = (1 + g (x)) 3; a = 2h (x) = (1 + g (x)) 3; a = 2

251.

h (x) = g (2 + f (x2)); a = 1h (x) = g (2 + f (x2)); a = 1

252.

h (x) = f (g (sinx)); a = 0h (x) = f (g (sinx)); a = 0

253.

[T] Функция положения грузового поезда определяется выражением s (t) = 100 (t + 1) −2, s (t) = 100 (t + 1) −2, с ss в метрах и tt. в секундах.В момент времени t = 6t = 6 с найти

поезда.

1. скорость и
2. разгон.
3. Использование файла. и б. поезд ускоряется или замедляется?

254.

[T] Масса, подвешенная на вертикальной пружине, находится в простом гармоническом движении, как это задается следующей функцией положения, где tt измеряется в секундах, а ss — в дюймах:

s (t) = — 3cos (πt + π4) .s (t) = — 3cos (πt + π4).

1. Определите положение пружины при t = 1,5t = 1.5 с.
2. Найдите скорость пружины при t = 1,5t = 1,5 с.

255.

[T] Общая стоимость производства xx коробок печенья Thin Mint Girl Scout составляет CC долларов, где C = 0,0001×3−0,02×2 + 3x + 300.C = 0,0001×3−0,02×2 + 3x + 300. В tt недель производство оценивается в x = 1600 + 100tx = 1600 + 100t коробок.

1. Найдите предельные затраты C ′ (x) .C ′ (x).
2. Используйте обозначение Лейбница для правила цепочки, dCdt = dCdx · dxdt, dCdt = dCdx · dxdt, чтобы найти скорость изменения стоимости относительно времени tt.
3. Использование b. чтобы определить, насколько быстро растут затраты при t = 2t = 2 недели. Включите единицы с ответом.

256.

[T] Формула площади круга: A = πr2, A = πr2, где rr — радиус круга. Предположим, круг расширяется, а это означает, что расширяются как площадь AA, так и радиус rr (в дюймах).

1. Предположим, что r = 2−100 (t + 7) 2r = 2−100 (t + 7) 2, где tt — время в секундах. Используйте правило цепочки dAdt = dAdr · drdtdAdt = dAdr · drdt, чтобы определить скорость расширения области.
2. Используйте. чтобы найти скорость расширения области при t = 4t = 4 с.

257.

[T] Формула объема сферы S = 43πr3, S = 43πr3, где rr (в футах) — радиус сферы. Предположим, сферический снежный ком тает на солнце.

1. Предположим, что r = 1 (t + 1) 2−112r = 1 (t + 1) 2−112, где tt — время в минутах. Используйте правило цепочки dSdt = dSdr · drdtdSdt = dSdr · drdt, чтобы найти скорость, с которой тает снежный ком.
2. Используйте. чтобы найти скорость изменения объема при t = 1t = 1 мин.

258.

[T] Дневную температуру в градусах Фаренгейта в Фениксе летом можно смоделировать с помощью функции T (x) = 94−10cos [π12 (x − 2)], T (x) = 94−10cos [π12 (x − 2)], где xx — часы после полуночи. Найдите скорость изменения температуры в 16:00.

259.

[T] Глубина (в футах) воды в доке меняется с приливом и отливом. Глубина моделируется функцией D (t) = 5sin (π6t − 7π6) + 8, D (t) = 5sin (π6t − 7π6) +8, где tt — количество часов после полуночи.2 \). Удивительное количество функций можно рассматривать как составные, и ко всем из них можно применить цепное правило.

Содержание

1. Как работает формула цепного правила
2. Примеры применения цепного правила
3. Сводка

реклама

Как работает формула цепного правила

Цепное правило гласит, что если \ (h \) и \ (g \) — функции и \ (f (x) = g (h (x)) \), то

Это выглядит сложным, поэтому давайте разберемся с этим.Основная функция \ (f (x) \) формируется путем подключения \ (h (x) \) к функции \ (g \). Вы можете думать о \ (g \) как о «внешней функции», а \ (h \) как о «внутренней функции». Используя цепное правило, если вы хотите найти производную основной функции \ (f (x) \), вы можете сделать это, взяв производную внешней функции \ (g \), а затем умножив ее на производную от внутренняя функция \ (h \). Другими словами, вы находите производную от \ (f (x) \), находя производную от его частей.

Примеры использования правила цепочки

Применяя правило цепочки, мы всегда будем сосредотачиваться на выяснении того, какие «внешние» и «внутренние» функции являются в первую очередь.2-2x + 1} \). Все это составные функции, и для каждой из них цепное правило было бы лучшим подходом к нахождению производной.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Исчисление I — Доказательство различных производных свойств

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-2: Доказательство различных производных свойств

В этом разделе мы собираемся доказать многие из различных производных фактов, формул и / или свойств, с которыми мы столкнулись в начале главы о производных финансовых инструментах.Не все из них будут здесь доказаны, а некоторые будут проверены только для особых случаев, но, по крайней мере, вы увидите, что некоторые из них не просто вытащили из воздуха.

Теорема из определения производной

Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \).

Проба

Поскольку \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), мы знаем, что

\ [f ‘\ left (a \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)}} { {х — а}} \]

существует.Нам это понадобится немного позже.

Если мы теперь предположим, что \ (x \ ne a \), мы можем написать следующее:

\ [f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right) = \ frac {{f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)}} {{x — a}} \ left ({x — a} \ right) \]

Тогда основные свойства пределов говорят нам, что у нас есть,

\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)} \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{\ frac {{f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)}} {{x — a}} \ left ( {x — a} \ right)} \ right] \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right )}} {{x — a}} \, \, \, \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({x — a} \ right) \ end {align *} \]

Первый предел справа равен \ (f ‘\ left (a \ right) \), как мы отметили выше, а второй предел явно равен нулю, поэтому

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)} \ right) = f ‘\ left (a \ right ) \ cdot 0 = 0 \]

Хорошо, нам удалось доказать, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)} \ right) ) = 0 \).Но как это помогает нам доказать, что \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \)?

Начнем со следующего.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right ) + е \ влево (а \ вправо) — е \ влево (а \ вправо)} \ вправо] \]

Обратите внимание, что мы только что добавили ноль с правой стороны. Небольшая переработка и использование предельных свойств дает,

\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{ f \ left (a \ right) + f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)} \ right] \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (a \ right) + \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)} \ right] \ end {выровнять *} \]

Итак, мы только что доказали выше, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)} \ right) = 0 \) и поскольку \ (f \ left (a \ right) \) является константой, мы также знаем, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (a \ right) = f \ left (a \ right) \) и получается, что

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (a \ right) + 0 = е \ влево (а \ вправо) \]

Или, другими словами, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \], но это именно то, что это означает для \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в точке \ (x = a \), и поэтому мы закончили.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) + g \ left ({x + h} \ right) — \ left ({f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right)} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac { {f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right) + g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} {h} \ конец {выравнивание *} \]

Теперь разделите дробь на две части и вспомните, что предел суммы — это сумма пределов. Используя этот факт, мы видим, что в итоге мы получаем определение производной для каждой из двух функций.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} + \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} {h} \\ & = f ‘ \ left (x \ right) + g ‘\ left (x \ right) \ end {align *} \]

Доказательство различия двух функций практически идентично, поэтому мы приведем его здесь без каких-либо пояснений. \ prime} = cf ‘\ left (x \ right) \)

Это свойство очень легко доказать, используя определение, если вы помните, что мы можем вынести константу за пределы.\ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{cf \ left ({x + h} \ right) — cf \ left (x \ right)}} {h} = c \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} = cf ‘\ left ( х \ вправо) \]

Доказательство производной константы: \ (\ displaystyle \ frac {d} {{dx}} \ left (c \ right) = 0 \)

Это очень легко доказать, используя определение производной, поэтому определите \ (f \ left (x \ right) = c \) и используйте определение производной.{n — 1}} \)

На самом деле есть три доказательства, которые мы можем здесь привести, и мы собираемся рассмотреть все три здесь, чтобы вы могли увидеть их все. Однако, сказав, что для первых двух нам нужно будет ограничить \ (n \) положительным целым числом. В то время, когда было введено правило мощности, было дано достаточно информации, чтобы позволить доказательство только для целых чисел. \ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left ({x + h} \ right) — f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) + f \ left ({x + h} \ right) g \ left ( x \ right) — f \ left (x \ right) g \ left (x \ right)}} {h} \]

Обратите внимание, что мы добавили два члена в середину числителя.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) \ left ({g \ left ({x + h} \ right ) — g \ left (x \ right)} \ right)}} {h} + \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left (x \ right) \ left ({ f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left ({x + h} \ right) \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} {h} + \ mathop {\ lim} \ limits_ { h \ to 0} g \ left (x \ right) \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} \ end {align *} \ ]

На этом этапе мы можем использовать свойства limit для записи,

\ [{\ left ({f \, g} \ right) ^ \ prime} = \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left ({x + h} \ right) } \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} { h}} \ right) + \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right)} \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ { h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h}} \ right) \]

Индивидуальные ограничения здесь:

\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} { h} & = g ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0.75 дюймов} & \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right) = g \ left (x \ right) \\ \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} & ​​= f ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0,75 дюйма} & \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left ({x + h} \ right) = f \ left (x \ right) \ end {align *} \]

Два предела слева — это не что иное, как определение производной для \ (g \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) соответственно.Верхний предел справа кажется немного сложным, но помните, что предел константы — это просто константа. В этом случае, поскольку предел касается только разрешения \ (h \) стремиться к нулю. Ключевым моментом здесь является осознание того, что изменение \ (h \) не изменит \ (x \), и что касается этого предела, \ (g \ left (x \ right) \) является константой. Обратите внимание, что функция, вероятно, не является константой, однако, что касается ограничения, функцию можно рассматривать как константу.\ prime} = f \ left (x \ right) g ‘\ left (x \ right) + g \ left (x \ right) f’ \ left (x \ right) \]

Проба 2

Это гораздо более быстрое доказательство, но предполагает, что вы прочитали и поняли разделы «Неявное дифференцирование» и «Логарифмическое дифференцирование». Если вы этого не сделали, то это доказательство не будет иметь для вас большого смысла.

Сначала запишите, вызовите произведение \ (y \), возьмите логарифм с обеих сторон и используйте свойство логарифмов с правой стороны.

\ [\ begin {align *} y & = f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) \\ \ ln \ left (y \ right) & = \ ln \ left ({f \ left ( x \ right) g \ left (x \ right)} \ right) = \ ln f \ left (x \ right) + \ ln g \ left (x \ right) \ end {align *} \]

Затем мы берем производную от обеих частей и решаем относительно \ (y ‘\).

\ [\ frac {{y ‘}} {y} = \ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} + \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y ‘= y \ left ({\ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left) (x \ right)}} + \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) \]

Наконец, все, что нам нужно сделать, это вставить для \ (y \), а затем умножить это на круглые скобки, и мы получим Правило произведения.

\ [y ‘= f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) \ left ({\ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)] }} + \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) \ hspace {0.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ frac {{f \ left ({x + h} \ right)}} {{g \ left ({x + h} \ right)}} — \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \, \, \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) — f \ left (x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} {{g \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right)}} \ end {align *} \]

Чтобы немного облегчить нашу жизнь, мы переместили \ (h \) в знаменателе первого шага вперед как \ (\ frac {1} {h} \).\ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {{g \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right)}} \, \ , \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) — f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) + f \ left (x \ right ) g \ left (x \ right) — f \ left (x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} {h} \]

Обратите внимание, что все, что мы сделали, это поменяли местами два знаменателя. Поскольку мы умножаем дроби, мы можем это сделать.

Далее, большую дробь можно разбить следующим образом.\ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {{g \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right)}} \, \ , \ left ({\ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) — f \ left (x \ right) g \ left (x \ right)}} {h } + \ frac {{f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) — f \ left (x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} {h}} \ верно)\]

В первой дроби мы вычленим \ (g \ left (x \ right) \), а во второй мы вычленим \ (- f \ left (x \ right) \). \ prime} & = \ frac {1} {{\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left ({x + h} \ right) \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right)}} \, \ left ({\ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right)} \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ( {x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h}} \ right) -} \ right.\\ & \ hspace {2.25in} \ left. {\ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left (x \ right)} \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ гидроразрыв {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} {h}} \ right)} \ right) \ end {align *} \]

Индивидуальные лимиты:

\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} { h} & = g ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0.5in} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left ({x + h} \ right) & = g \ влево (х \ вправо) и \ hпространство {0.5in} & \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right) = g \ left (x \ right) \\ \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} & ​​= f ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0.5in} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left (x \ right) & = f \ left (x \ right) & & \ end {align *} \]

Первые два предела в каждой строке — это не что иное, как определение производной для \ (g \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) соответственно.Средний предел в верхнем ряду мы получаем, просто вставив \ (h = 0 \). Последний предел в каждой строке может показаться немного сложным. Напомним, что предел константы — это просто константа. Ну, так как предел касается только разрешения \ (h \) стремиться к нулю, насколько это касается, \ (g \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) являются константами поскольку изменение \ (h \) не изменится \(Икс\). Обратите внимание, что функция, вероятно, не является константой, однако, что касается ограничения, функцию можно рассматривать как константу.2}}} \ end {выровнять *} \]

Есть правило частного.

Проба 2

Теперь давайте проведем доказательство, используя логарифмическое дифференцирование. Сначала мы вызовем частное \ (y \), возьмем журнал с обеих сторон и воспользуемся свойством журналов с правой стороны.

\ [\ begin {align *} y & = \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \\ \ ln y & = \ ln \ left ({ \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) = \ ln f \ left (x \ right) — \ ln g \ left (x \ вправо) \ end {align *} \]

Затем мы берем производную от обеих частей и решаем относительно \ (y ‘\).

\ [\ frac {{y ‘}} {y} = \ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} — \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y ‘= y \ left ({\ frac {{f ‘\ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} — \ frac {{g’ \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) \]

Затем вставьте \ (y \) и сделайте некоторое упрощение, чтобы получить правило частного. 2 }}} \ end {align *} \]

Правило цепочки

Если \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) обе дифференцируемые функции, и мы определяем \ (F \ left (x \ right) = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \), то производная F (x) равна \ (F ‘\ left (x \ right) = f’ \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \, \, \, g ‘\ left (x \ right) \).

Проба

Мы начнем доказательство с определения \ (u = g \ left (x \ right) \) и заметим, что в терминах этого определения нас просят доказать, что

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left (u \ right)} \ right] = f ‘\ left (u \ right) \ frac {{du}} {{dx}} \]

Давайте посмотрим на производную от \ (u \ left (x \ right) \) (опять же, помните, что мы определили \ (u = g \ left (x \ right) \), и поэтому \ (u \) действительно является функцией от \ (x \)), которая, как мы знаем, существует, потому что мы предполагаем, что \ (g \ left (x \ right) \) дифференцируема.По определению имеем

\ [u ‘\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{u \ left ({x + h} \ right)] — u \ left (x \ right )}}{час}\]

Отметим также, что,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ left ({\ frac {{u \ left ({x + h} \ right) — u \ left (x \ right)}} {h}) — u ‘\ left (x \ right)} \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{u \ left ({x + h} \ right) — u \ left ( x \ right)}} {h} — \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} u ‘\ left (x \ right) = u’ \ left (x \ right) — u ‘\ left (x \ right) = 0 \]

Теперь определимся,

\ [v \ left (h \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ displaystyle \ frac {{u \ left ({x + h} \ right) — u \ left (x \ right)}} {h} — u ‘\ left (x \ right)} & {{\ mbox {if}} h \ ne 0} \\ 0 & {{\ mbox {if}} h = 0} \ end {array}} \ right.\]

и обратите внимание, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} v \ left (h \ right) = 0 = v \ left (0 \ right) \) и поэтому \ (v \ left (h \ right) \) непрерывна в точке \ (h = 0 \)

Теперь, если мы предположим, что \ (h \ ne 0 \), мы можем переписать определение \ (v \ left (h \ right) \), чтобы получить,

\ [\ begin {уравнение} u \ left ({x + h} \ right) = u \ left (x \ right) + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ label {eq: eq1} \ end {Equation} \]

Теперь обратите внимание, что \ (\ eqref {eq: eq1} \) на самом деле действительно, даже если мы допустим \ (h = 0 \), и поэтому действительно для любого значения \ (h \).

Затем, поскольку мы также знаем, что \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируемо, мы можем сделать нечто подобное. Однако мы собираемся использовать здесь другой набор букв / переменных по причинам, которые станут очевидны позже. Итак, определим,

\ [ш \ влево (к \ вправо) = \ влево \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ displaystyle \ frac {{е \ left ({z + k} \ right) — f \ left (z \ right)}} {k} — f ‘\ left (z \ right)} & {{\ mbox {if}} k \ ne 0} \\ 0 & {{\ mbox {if}} k = 0} \ end {array}} \ right.\]

, мы можем провести рассуждение, аналогичное тому, что мы сделали выше, чтобы показать, что \ (w \ left (k \ right) \) непрерывно в точке \ (k = 0 \) и что

\ [\ begin {уравнение} f \ left ({z + k} \ right) = f \ left (z \ right) + k \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left (z \ right)} \ right) \ label {eq: eq2} \ end {Equation} \]

Не волнуйтесь, что здесь разные буквы, все, что мы сделали, это использовали \ (k \) вместо \ (h \) и позволили \ (x = z \). Ничего особенного, но смена букв пригодится в будущем.

Хорошо, на данный момент не похоже, что мы действительно сделали что-то, что приближает нас к доказательству цепного правила. Вышеупомянутая работа окажется очень важной в нашем доказательстве, поэтому приступим к доказательству.

Здесь нам нужно использовать определение производной и оценить следующий предел.

\ [\ begin {уравнение} \ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right] = \ mathop {\ lim} \ limit_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left [{u \ left ({x + h} \ right)} \ right] — f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]) }} {h} \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что даже при том, что обозначения более чем беспорядочные, если мы используем \ (u \ left (x \ right) \) вместо \ (u \), нам нужно напомнить себе здесь, что \ (u \) действительно является функция \ (x \).

Давайте теперь воспользуемся \ (\ eqref {eq: eq1} \), чтобы переписать \ (u \ left ({x + h} \ right) \), и да, обозначение будет неприятным, но у нас будет чтобы с этим справиться. Используя \ (\ eqref {eq: eq1} \), числитель в приведенном выше пределе становится

. \ [f \ left [{u \ left ({x + h} \ right)} \ right] — f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] = f \ left [{u \ left (x \ right) + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right)} \ right] — f \ left [{u \ left (x \ right )} \верно]\]

Если затем мы определим \ (z = u \ left (x \ right) \) и \ (k = h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right ) \) мы можем использовать \ (\ eqref {eq: eq2} \), чтобы далее записать это как,

\ [\ begin {align *} f \ left [{u \ left ({x + h} \ right)} \ right] — f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] & = f \ left [{u \ left (x \ right) + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right)} \ right] — f \ left [{ u \ left (x \ right)} \ right] \\ & = f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘ \ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right) — f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] \\ & = h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы смогли отменить \ (f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] \), чтобы немного упростить ситуацию.Также обратите внимание, что \ (w \ left (k \ right) \) был намеренно оставлен таким образом, чтобы свести беспорядок здесь к минимуму, просто помните, что \ (k = h \ left ({v \ left (h \ right ) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \) здесь, поскольку это будет здесь немного важно. Давайте вернемся назад и вспомним, что все это было числителем нашего предела, \ (\ eqref {eq: eq3} \). Вставив это в \ (\ eqref {eq: eq3} \), вы получите

\ [\ begin {align *} \ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right] & = \ mathop {\ lim } \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f’ \ left [{u \ left (x \ right) )} \ right]} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что \ (h \) погашен.Затем напомним, что \ (k = h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \) и, следовательно,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} k = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) = 0 \]

Но, если \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} k = 0 \), как мы определили \ (k \) в любом случае, то по определению \ (w \) и Тот факт, что мы знаем, что \ (w \ left (k \ right) \) непрерывен в \ (k = 0 \), мы также знаем, что,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} w \ left (k \ right) = w \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} k} \ right) = w \ left (0 \ right) = 0 \]

Также напомним, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} v \ left (h \ right) = 0 \).Используя все эти факты, наш предел составляет

. \ [\ begin {align *} \ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right] & = \ mathop {\ lim } \ limits_ {h \ to 0} \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f’ \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right) \\ & = u ‘\ left (x \ right) f’ \ left [{u \ left (x \ right)} \ right ] \\ & = f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right] \ frac {{du}} {{dx}} \ end {align *} \]

Это именно то, что нам нужно было доказать, и мы закончили.

Правила продуктов, питания и цепочки — лучше объяснение

Беспорядок правил получения деривативов никогда меня не устраивал. Правило сложения, правило продукта, правило частного — как они сочетаются друг с другом? Что мы вообще пытаемся сделать ?

Вот мой взгляд на деривативы:

• У нас есть система для анализа, наша функция f
• Производная f ‘(также известная как df / dx) — это поведение от момента к моменту
• Оказывается, f является частью более крупной системы (h = f + g)
• Используя поведение частей, можем ли мы выяснить поведение целого?

Да. У каждой части есть «точка зрения» на то, сколько изменений она внесла. Комбинируйте все точки зрения, чтобы получить общее поведение. Каждое производное правило является примером объединения различных точек зрения.

А почему бы нам не проанализировать сразу всю систему? По той же причине не съешь гамбургер за один раз: мелкими кусочками легче обернуть голову.

Вместо того, чтобы запоминать отдельные правила, давайте посмотрим, как они сочетаются друг с другом:

Цель состоит в том, чтобы по-настоящему понять понятие «комбинирование перспектив».2 «и пихает вам в лицо график. Неужели это помогает нашей интуиции?

Не для меня. Отображает входные и выходные данные в виде единой кривой и скрывает механизмы, которые превращают одно в другое. Но производные правила около машин, так что давайте посмотрим!

Я представляю функцию как процесс «input (x) => f => output (y)».

Это не только я. Взгляните на этот невероятный компьютер с механическим прицелом (начало серии YouTube).

Машина вычисляет такие функции, как сложение и умножение с шестеренками — вы можете увидеть, как разворачивается механика !

Думайте о функции f как о машине с входным рычагом «x» и выходным рычагом «y». Когда мы регулируем x, f устанавливает высоту для y. Другая аналогия: x — это входной сигнал, f принимает его, творит чудеса и выдает сигнал y. Используйте любую аналогию, которая помогает щелкнуть мышью.

Покачивание Покачивание Покачивание

Производная — это «момент за моментом» поведение функции.Что это обозначает? (И не бормочите бездумно: «Производная — это наклон». Видите графики вокруг этих частей, приятель? )

Производная — это то, насколько мы покачиваемся. Рычаг находится в точке x, мы «покачиваем» его и смотрим, как изменяется y. «О, мы переместили входной рычаг на 1 мм, а выходной — на 5 мм. Интересно».

Результат может быть записан как «выходное покачивание на входное покачивание» или «dy / dx» (в нашем случае 5 мм / 1 мм = 5). Обычно это формула, а не статическое значение, потому что оно может зависеть от ваших текущих настроек ввода.2 производная равна 2x. Да, вы это запомнили. Что это значит?

Если наш входной рычаг находится в положении x = 10 и мы слегка покачиваем его (перемещая его на dx = 0,1–10,1), выход должен измениться на dy. 2 и (10.2 составляет около 2. Производная оценивает, как далеко может переместиться выходной рычаг (идеальное бесконечно малое покачивание переместило бы 2 единицы; мы переместились на 2,01).

Ключ к пониманию производных правил:

• Настройте вашу систему
• Покачивайте каждую часть системы отдельно, смотрите, как далеко перемещается вывод
• Объединить результаты

Общее покачивание — это сумма покачиваний каждой части.

Сложение и вычитание

Время для нашей первой системы:

Что происходит при изменении входа (x)?

В голове я думаю: «Функция h принимает один вход.Он подает один и тот же вход на f и g и добавляет рычаги вывода. f и g двигаются независимо и даже не знают друг о друге! »

Функция f знает, что она будет способствовать некоторому покачиванию (df), g знает, что она будет способствовать некоторому покачиванию (dg), и мы, бродячие надзиратели, которыми мы являемся, знаем, что их индивидуальное покачивающееся поведение добавляется:

Опять же, опишем каждую «точку зрения»:

• Общая система имеет поведение dh
• С точки зрения f, он способствует df в целом [он не знает о g]
• С точки зрения g, он способствует dg в целом [он не знает о f]

Каждое изменение в системе происходит из-за изменения некоторых частей (f и g).Если мы добавим вклады от каждой возможной переменной, мы описали всю систему.

df против df / dx

Иногда мы используем df, иногда df / dx — что дает? (Это меня на время смутило)

• df — это общее понятие «сколько бы f ни изменилось»
• df / dx — это конкретное понятие «сколько бы f не изменилось, с точки зрения того, насколько изменилось x»

Общий «df» помогает нам увидеть общее поведение.

Аналогия: представьте, что вы едете по пересеченной местности и хотите измерить топливную экономичность вашего автомобиля.Вы измеряете пройденное расстояние, проверяете свой баллон, чтобы узнать, сколько бензина вы использовали, и, наконец, выполняете деление, чтобы вычислить «миль на галлон». Вы измеряли расстояние и бензин отдельно — вы не прыгали в бензобак, чтобы получить скорость на ходу!

В расчетах иногда мы хотим думать о фактических изменениях, а не о соотношении. Работа на уровне «df» дает нам возможность подумать о том, как функция в целом колеблется. Мы можем в конечном итоге уменьшить его с точки зрения конкретного ввода.

И мы сделаем это сейчас. Приведенное выше правило сложения может быть записано на основе «на dx» как:

Умножение (правило произведения)

Следующая загадка: предположим, наша система умножает части «f» и «g». Как она себя ведет?

Хм, хитрость — детали более тесно взаимодействуют. Но стратегия та же: посмотрите, как каждая часть вносит свой вклад со своей точки зрения, и объедините их:

• общее изменение h = вклад f (с точки зрения f) + вклад g (с точки зрения g)

Посмотрите на диаграмму:

Что происходит?

• У нас есть система: f и g умножаются, давая h (площадь прямоугольника)
• Ввод «x» изменяется на dx off на расстоянии.f изменяется на некоторую величину df (подумайте об абсолютном изменении, а не о скорости!). Точно так же g изменяется на свою собственную величину dg. Поскольку f и g изменились, изменится и площадь прямоугольника.
• Какое изменение площади с точки зрения f? Что ж, f знает, что он изменился с помощью df, но не знает, что случилось с g. С точки зрения f, он единственный, кто переместился и добавит кусок площади = df * g
• Точно так же g не знает, как изменилось f, но знает, что добавит как часть области «dg * f»

Общее изменение в системе (dh) — это два среза площади:

Теперь, как и в нашем примере миль на галлон, мы «делим на dx», чтобы записать это в терминах того, насколько изменился x:

(В сторону: Делить на dx? Инженеры кивают, математики нахмурились.Технически df / dx — это не дробь: это вся операция взятия производной (с ограничением и всем остальным). Но с точки зрения бесконечно малых, интуитивно мы «масштабируемся на dx». Я улыбаюсь.)

Ключ к правилу продукта: добавьте два «кусочка площади», по одному с каждой точки обзора.

Попался: Но разве нет какого-то эффекта от одновременного изменения f и g (df * dg)?

Ага. Однако эта область бесконечно малая * бесконечно малая («бесконечно малая 2-го порядка») и невидима на текущем уровне.Это сложная концепция, но (df * dg) / dx исчезает по сравнению с обычными производными, такими как df / dx. Мы изменяем f и g независимо и объединяем результаты и игнорируем результаты их совместного движения.

Цепное правило: это не так уж и плохо

Допустим, g зависит от f, которое зависит от x:

Цепное правило позволяет нам «приблизить» функцию и увидеть, как начальное изменение (x) может повлиять на конечный результат по строке (g).

Интерпретация 1: преобразование курсов

Распространенное толкование — умножение ставок:

x покачивание f.Это создает скорость изменения df / dx, которая изменяет g на dg / df. Тогда весь покачивание будет:

Аналогичен методу «фактор-метка» в классе химии:

Если ваша скорость «миль в секунду» изменилась, умножьте ее на коэффициент пересчета, чтобы получить новое «миль в час». Второй не знает о часе напрямую — он проходит через преобразование секунда => минута.

Точно так же g не знает напрямую о x, только f. Функция g знает, что ей следует масштабировать свой ввод на dg / df, чтобы получить результат.Начальная скорость (df / dx) изменяется по мере продвижения вверх по цепочке.

Интерпретация 2: преобразование покачивания

Я предпочитаю видеть цепное правило на основе «покачивания»:

• x покачивается на dx, поэтому
• f покачивается по df, поэтому
• г покачивается, автор: dg

Cool. Но как они на самом деле связаны? Ах да, производная! (Это выходное покачивание за входное покачивание):

Помните, производная от f (df / dx) — это то, насколько масштабировать начальное покачивание.То же самое и с g:

Он будет масштабировать любое покачивание, происходящее вдоль его входного рычага (f), на dg / df. Если мы запишем df wiggle в терминах dx:

У нас есть другая версия правила цепочки: dx запускает цепочку, что приводит к некоторому окончательному результату dg. Если мы хотим окончательное покачивание с точки зрения dx, разделите обе стороны на dx:

Цепное правило — это не просто отмена единицы фактор-метка — это распространение покачивания, которое корректируется на каждом шаге.2). На входе было f, и он рассматривает f как одно значение. Позже мы спешим и перепишем f в терминах x. Но g не имеет к этому никакого отношения — его не волнует, что f можно переписать в терминах меньших частей.

Во многих примерах переменная «x» является «концом строки».

Вопросы спрашивают о df / dx, т.е. «Дайте мне изменения с точки зрения x». Теперь x может зависеть от чего-то более глубокого, но этого не просят. Это как сказать: «Я хочу миль в час.Меня не волнуют мили в минуту или мили в секунду. Просто дай мне мили в час ». Df / dx означает« перестань смотреть на входные данные, как только дойдёшь до x ».

Почему мы умножаем производные по цепному правилу, но складываем их для остальных?

Обычные правила — это примерно совмещающих точек зрения для получения общей картины. Какие изменения он видит? Какое изменение видит? Сложите их и получите общую сумму.

Цепное правило заключается в том, чтобы углубиться в одну часть (например, f) и посмотреть, контролируется ли она другой переменной.4 действительно x * x * x * x. Это умножение 4 «независимых» переменных. Каждый x не знает о других, с таким же успехом это может быть x * u * v * w.

А теперь подумайте о точке зрения первого x:

• Меняется с x на x + dx
• Изменение общей функции: [(x + dx) — x] [u * v * w] = dx [u * v * w]
• Изменение «на dx» составляет [u * v * w]

Аналогично

• С точки зрения u, меняется на du.4 объединены четыре идентичные «точки зрения». Буйа!

  Возьми передышку

  Надеюсь, вы видите производную в новом свете: у нас есть система частей, мы качаем наши входные данные и смотрим, как движется все это. Речь идет об объединении перспектив: что каждая часть добавляет к целому?

  В следующей статье мы рассмотрим еще более действенные правила (экспоненты, частные и другие). Счастливая математика.

  Другие сообщения из этой серии

  1. Нежное введение в изучение исчисления
  2. Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
  3. Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
  4. Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
  5. Исчисление: построение интуиции для производных
  6. Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
  7. Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
  8. Интуитивное знакомство с ограничениями
  9. Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
  10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
  11. Исчисление обучения: преодоление нашей искусственной потребности в точности
  12. Дружеский чат о том, 0.999 … = 1
  13. Аналогия: камера исчисления
  14. Практика абстракции: графы исчисления
  15. Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
  16. Как сложить от 1 до 100 с помощью исчисления
  17. Интеграл греха (x): геометрическая интуиция

  3.1 Формулы дифференцирования

  3.1 Формулы дифференцирования

  3.1 Формулы дифференцирования

  Следующие правила позволяют нам находить алгебраические формулы для производной наиболее дифференцируемых функций мы умеем записывать.

  3.1.1 Производная постоянной функции

  , г. для любой постоянной c Доказательство 1

  3.1.2 Производная функции идентичности

  Доказательство 2

  3.1.3 Правило суммы

  Доказательство правила сумм

  Пример правила сумм

  3.1.4 Правило продукта

  В частности

  Подтверждение правила продукта

  Пример правила продукта

  3.1.5 Правило цепочки

  y = f (u), u = g (x), f и g дифференцируемы.

  Затем

  Пример цепного правила

  Доказательство цепного правила

  3.1.6 Неявное дифференцирование

  Предположим, что функция f (x) определяется уравнением: g (f (x), x) = 0, а не по явной формуле.

  Тогда g является функцией двух переменных, x и f.

  Таким образом, g может измениться, если f изменяется, а x — нет, или если x изменяется, а f — нет.

  Пусть изменение g, возникающее из-за изменения df, в f и отсутствия в x, будет a (f, x) df, и пусть изменение в g от изменения, dx, в x, а не в f, равно b (f, x).

  Полное изменение g должно равняться нулю, поскольку g является константой (0), что дает нас

  а (f, x) df + b _{(f, x) dx = 0}

  или

  Комментарий к неявной дифференциации

  Примеры неявного дифференцирования

  3.1.7 Правило частного

  В частности,

  Доказательство правила частного

  Пример правила частного

  3.