| Сила ЛоренцаLorentz Force Сила Лоренца — сила, действующая на точечный электрический заряд q во внешнем электромагнитном поле — сила [ньютон], q — величина электрического заряда [кулон],
— напряжённость
электрического поля [вольт·метр–1],
— скорость
частицы [м·с–1] относительно системы координат, в которой вычисляются
величины
,
и
,
— магнитная
индукция [тесла]. В отсутствие электрического поля = 0 и движения частицы в направлении перпендикулярном направлению магнитного поля ┴, радиус её вращения в магнитном поле определяется соотношением где T — кинетическая энергия частицы, α = T/mc2, mc2 — энергия покоя частицы. В случае T >> mc2 или T = RqB. В случае T << mc2 Для расчётов удобно использовать соотношение где Z — заряд частицы q в единицах элементарного заряда. См. также
|
Боттомоний
Чармоний
Сила Лоренца правило левой руки – определение кратко, формулы и примеры
4.
2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 168.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 168.
Опыты показывают, что на заряд, движущийся в магнитном поле, со стороны этого поля действует сила, которая называется силой Лоренца. Рассмотрим кратко особенности этой силы.
Открытие силы Лоренца
Магнитное поле не взаимодействует с покоящимися зарядами, и долгое время связь между магнитными и электрическими явлениями не обнаруживалась. Впервые такую связь — влияние проводника с током на стрелку компаса — обнаружил в первой половине XIX в. Х. Эрстед. Обратное явление — влияние поля магнита на проводник с током (а также взаимодействие двух проводников с током) — было открыто вскоре А. Ампером.
Рис. 1. Действие магнитного поля на проводник с током.Однако механизм возникновения силы Ампера был изучен лишь к концу XIX в. К этому времени стало ясно, что электрический ток — это упорядоченное движение заряженных частиц. Следовательно, сила Ампера возникает из-за того, что магнитное поле оказывает силовое влияние на движущиеся заряды.
Такая сила была обнаружена Х. Лоренцем. Он же вывел ее формулу.
Особенности силы Лоренца
Поскольку сила Лоренца — это сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле, то ее величина зависит от всех трех значений: от величины заряда, от скорости и от индукции магнитного поля:
$$F_L = qvB sin \alpha$$
Однако в формулу входит еще один параметр — угол $\alpha$, характеризующий направление силы Лоренца. Это угол между направлением движения носителя заряда (вектором его скорости) и вектором магнитной индукции.
Дело в том, что в отличие от многих других сил, направление силы Лоренца не совпадает ни с направлением движения носителя заряда, ни с направлением на источник магнитного поля, а ее возникновение зависит от взаимного направления магнитного поля и скорости движения заряда. Сила Лоренца перпендикулярна плоскости, образуемой векторами магнитной индукции и скорости движения заряда.
Обратите внимание, что, если направление движения заряда и направление линий магнитной индукции совпадают, то угол $\alpha$ равен нулю, и сила Лоренца отсутствует.
Правило левой руки
Для силы Лоренца правило левой руки формулируется следующим образом.
Если четыре вытянутых пальца левой руки указывают направление движения положительного заряда, а линии магнитного поля входят в ладонь, «прокалывая» ее, то отставленный большой палец покажет направление силы Лоренца.
Рассмотрим, как работает для определения силы Лоренца правило левой руки. Допустим, электрон движется «на нас», спереди назад, северный магнитный полюс расположен справа, а южный — слева. Куда направлена сила Лоренца?
Правило сформулировано для положительного заряда, например, для протона. Электрон заряжен отрицательно, следовательно, четыре вытянутых пальца левой руки должны быть направлены против его движения — вперед.
Линии магнитного поля направлены от северного к южному полюсу, то есть справа налево. Располагаем левую руку так, чтобы эти линии входили в ладонь. Четыре вытянутых пальца по-прежнему направлены вперед, то есть ладонь лежит на столе «на ребре», четырьмя пальцами вперед.
Отставленный большой палец будет направлен вверх. Таким образом, на электрон будет действовать сила Лоренца, направленная вверх.
Для закрепления правила левой руки можно придумать другие примеры с другими направлениями.
Рис. 3. Правило левой руки.Что мы узнали?
На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Величина этой силы пропорциональная величине заряда, его скорости, индукции магнитного поля и зависит от взаимной направленности этих векторов. Для определения направления силы Лоренца используется правило левой руки.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 168.
А какая ваша оценка?
Закон силы Лоренца и его связь со скрытым импульсом,
%PDF-1.5
%
1 0 объект
>/Метаданные 2 0 R/PageLayout/OneColumn/Pages 3 0 R/StructTreeRoot 5 0 R/Тип/Каталог>>
эндообъект
2 0 объект
>поток
2014-04-11T23:35:43-07:002014-04-11T23:35:34-07:002014-04-11T23:35:43-07:00Acrobat PDFMaker 10.
1 для Worduuid:5a99cd16-f560-44f3-8879- 581755803e11uuid:39dabff8-1fd2-42b4-a54d-f34a7574a28c
5.
1: Квантование закона силы Лоренца- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 34659
- Ю. Д. Чонг
- Наньянский технологический университет 9{-19}\,\mathrm{C}\) — элементарный заряд. Для описания частиц с произвольным электрическим зарядом \(q\) просто выполните замену \(e \rightarrow -q\) в формулах, с которыми вы столкнетесь впоследствии.
Мы хотим сформулировать гамильтониан, управляющий квантовой динамикой такой частицы, с учетом двух упрощающих предположений: (i) частица имеет заряд и массу, но в остальном она «бесхарактерна» (т. е. мы игнорируем спиновый угловой момент и магнитный диполь момента, которым обладают реальные электроны), и (ii) электромагнитное поле рассматривается как классическое поле, что означает, что электрическое и магнитное поля являются определенными величинами, а не операторами.
(Позже мы увидим, как выйти за пределы этих упрощений.)Классически электромагнитное поле действует на частицу по закону силы Лоренца,
\[\mathbf{F}(\mathbf{r},t) = -e\Big(\mathbf{E}(\mathbf{ r},t) + \dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)\Big),\]
, где \(\mathbf{r}\) и \(\dot{\mathbf{r}}\) обозначают положение и скорость частицы, \(t\) — время, а \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\ ) — электрическое и магнитное поля. Если другие силы отсутствуют, второй закон Ньютона дает уравнение движения
\[m\ddot{\mathbf{r}} = -e\Big(\mathbf{E}(\mathbf{r},t) + \dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{B }(\mathbf{r},t)\Big), \label{eom}\]
, где \(m\) — масса частицы. Чтобы квантовать это, мы должны сначала преобразовать уравнение движения в форму уравнений движения Гамильтона.
Введем электромагнитный скалярный и векторный потенциалы \(\Phi(\mathbf{r},t)\) и \(\mathbf{A}(\mathbf{r},t)\):
\[ \begin{align} \mathbf{E}(\mathbf{r},t) &= — \nabla \Phi(\mathbf{r},t) — \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},t) &= \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r},t).
\label{Bfield}\end{align}\] 92 + e \Big[\Phi(\mathbf{r},t) — \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A}(\mathbf{r},t) \Big]. \label{Lag}\]Это соответствует обычному рецепту для лагранжиана как кинетическая энергия минус потенциальная энергия, где \(-e\Phi\) служит функцией потенциальной энергии, за исключением \(-e\dot{ \mathbf{r}} \cdot \mathbf{A}\) термин. Чтобы проверить, работает ли этот лагранжиан, подставьте его в уравнения Эйлера-Лагранжа \точка{r}_i}. \label{Эйлер-Лагранж}\]
Частные производные лагранжиана:
\[\begin{align} \begin{align} \frac{\partial L}{\partial r_i} &= e\Big[\partial_i \Phi — \dot{ r}_j \,\partial_i A_j \Big]\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{r}_i} &= m\dot{r}_i — e A_i. \end{aligned}\end{align}\]
Теперь мы хотим взять полных производных по времени от \(\partial L /\partial \dot{r}_i\). При этом обратите внимание, что поле \(\mathbf{A}\) имеет свою собственную \(t\)-зависимость, а также меняется в зависимости от \(t\)-зависимого положения частицы.
Таким образом,\[\begin{align} \begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}_i} &= m\ddot{r}_i — e \, \frac{d}{dt} A_i(\mathbf{r}(t),t) \\ &= m\ddot{r}_i — e\, \partial_t A_i — e\, \dot{r} _j \partial_j A_i. \end{aligned}\end{align}\]
(В приведенных выше уравнениях \(\partial_i \equiv \partial/\partial r_i\), где \(r_i\) — это \(i\)-й компонента вектора положения, в то время как \(\partial_t \equiv \partial/\partial t\).) Подстановка этих выражений в уравнения Эйлера-Лагранжа \(\eqref{EulerLagrange}\) дает
\[\begin{align} \begin{align} m\ddot{r}_i &= -e\Big[\Big(-\partial_i \Phi — \partial_t A_i\Big) + \dot{r}_j \Big( \partial_i A_j — \partial_j A_i\Big) \Big] \\ &= -e \Big[E_i(\mathbf{r},t) + \big(\dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t) \big)_i\, \Big]. \end{aligned}\end{align}\]
(Последний шаг можно получить, выразив векторное произведение с помощью символа Леви-Чевита и используя тождество \(\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk} = \delta_{il} \delta_{jm} — \delta_{im} \delta_{jl}\).
2}{2m} + e\Phi — \ frac{e}{m}(\mathbf{p}+e\mathbf{A})\cdot \mathbf{A}\right). \end{выравнивание}\end{выравнивание}\] 92}{2m} + V(\mathbf{r},t).\]В уравнении \(\eqref{H0}\) член \(-e\Phi\) действует как потенциальная энергия, которая нет ничего удивительного. Что еще более интересно, векторный потенциал появляется в результате замены
\[\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p} + e\mathbf{A}(\mathbf{r},t).\]
Что это значит? иметь в виду? Подумайте о том, что означает «импульс» для заряженной частицы в электромагнитном поле. Теорема Нётер утверждает, что каждая симметрия системы (классическая или квантовая) связана с законом сохранения. Импульс — это величина, сохраняющаяся, когда система симметрична при пространственных переносах. Одно из уравнений Гамильтона утверждает, что
\[\frac{dp_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial r_i},\]
, что означает, что если \(H\) равно \(\mathbf{r}\)- независимыми, то \(d\mathbf{p}/dt = 0\). Но когда электромагнитные потенциалы \(\mathbf{r}\)-независимы, величина \(m\dot{\mathbf{r}}\) (которую мы обычно называем импульсом) не обязательно сохраняется! Возьмем потенциалы
\[\Phi(\mathbf{r}, t) = 0, \;\;\; \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = Ct \hat{z},\]
, где \(C\) — некоторая константа.
Эти потенциалы \(\mathbf{r}\)-независимы, но векторный потенциал зависит от времени, поэтому член \(-\dot{\mathbf{A}}\) в уравнении \(\eqref{Bfield} \) дает неисчезающее электрическое поле:\[\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = — C\hat{z}, \;\;\;\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = 0. \]
Закон силы Лоренца тогда говорит, что
\[\frac{d}{dt}(m\dot{\mathbf{r}}) = eC\hat{z},\]
и, таким образом, \ (m\dot{\mathbf{r}}\) не сохраняется. С другой стороны, величина \(\mathbf{p} = m\dot{\mathbf{r}} — e \mathbf{A}\) сохраняется в :
\[\frac{d}{dt }(m\dot{\mathbf{r}} — e\mathbf{A}) = eC\hat{z} — eC\hat{z} = 0.\]
Следовательно, это подходящий канонический импульс для частица в электромагнитном поле. 92}{2m} — e\Phi(\hat{\mathbf{r}},t). \label{quantumH}\]
Примечание
Оператор импульса, как обычно, равен \(\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\) в представлении волновой функции.
Калибровочная симметрия
Гамильтониан \(\eqref{quantumH}\) обладает тонким свойством, известным как калибровочная симметрия .
Предположим, мы изменили скалярный и векторный потенциалы с помощью замен\[\begin{align} \Phi(\mathbf{r},t) &\rightarrow \Phi(\mathbf{r},t) — \dot{\ Лямбда}(\mathbf{r},t) \label{gauge-subst-1} \\ \mathbf{A}(\mathbf{r},t) &\стрелка вправо \mathbf{A}(\mathbf{r} ,t) + \nabla{\Lambda}(\mathbf{r},t), \label{gauge-subst-2}\end{align}\] 92}{2m} — e\Phi(\hat{\mathbf{r}},t) \right]\psi(\mathbf{r},t).\]
Тогда можно показать, что волновая функция \ (\psi\, \exp(-ie\Lambda/\hbar)\) автоматически удовлетворяет уравнению Шредингера для преобразованного гамильтониана \(\hat{H}_\Lambda\):
\[i\hbar\frac{ \partial}{\partial t} \left[\psi(\mathbf{r},t) \, \exp\left(-\frac{ie\Lambda(\mathbf{r},t)}{\hbar} \right)\right] = \hat{H}_\Lambda(t) \left[\psi(\mathbf{r},t) \, \exp\left(-\frac{ie\Lambda(\mathbf{ r},t)}{\hbar}\right)\right]. \label{gaugeschrod}\]
Чтобы доказать это, посмотрите, как производные по времени и пространству действуют на новую волновую функцию: \exp\left(-\frac{ie\Lambda}{\hbar}\right)\right] &= \left[\frac{\partial\psi}{\partial t} \;-\; \frac{ie}{\hbar} \dot{\Lambda}\, \psi \,\, \right] \exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar}\right)\\ \nabla \ влево[\psi \, \exp\left(-\frac{ie\Lambda}{\hbar}\right)\right] &= \left[\nabla \psi — \frac{ie}{\hbar} \nabla \Lambda \,\psi \right] \exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar}\right).
\end{выравнивание}\end{выравнивание}\]Когда дополнительные члены, порожденные фактором \(\exp(ie\Lambda/\hbar)\), вставляются в уравнение Шрёдингера, они сокращают калибровочные члены в скалярном и векторном потенциалах. Например,
\[\begin{align} \Big(-i\hbar\nabla + e\mathbf{A} + e\nabla\Lambda\Big) \left[\psi \, \exp\left(- \frac{ie\Lambda}{\hbar}\right)\right] &= \Big[\left(-i\hbar\nabla + e\mathbf{A}\right)\psi\Big]\; \exp\left(-\frac{ie\Lambda}{\hbar}\right) \label{first_gauge_action}\end{align}\]
2}{2m} — e\Phi(\hat{\mathbf{r}})\]имеет тот же энергетический спектр \(\{E_m\}\) с собственными функциями \(\{\,\psi_m( \mathbf{r}) \exp[-ie\Lambda(\mathbf{r})/\hbar]\,\}\).
Эффект Ааронова-Бома
В квантовой электродинамике именно электромагнитный скалярный и векторный потенциалы появляются непосредственно в гамильтониане, а не в электрическом и магнитном полях. Это имеет глубокие последствия. Например, даже если заряженная квантовая частица находится в области с нулевым магнитным полем, она может ощутить влияние ненулевого векторных потенциалов , создаваемых магнитными потоками в другом месте в космосе, явление, называемое эффектом Ааронова-Бома .
Простая установка для наблюдения эффекта Ааронова-Бома показана на рисунке ниже. Частица захватывается в кольцеобразную область («кольцо») радиусом \(R\) и шириной \(d \ll R\). Вне кольца мы устанавливаем \(-e\Phi\rightarrow\infty\) так, чтобы волновая функция обращалась в нуль; внутри кольца положим \(\Phi = 0\). Мы игнорируем \(z\)-зависимость всех полей и волновых функций, так что задача становится двумерной. Определим полярные координаты \((r,\phi)\) с началом в центре кольца.
Рисунок \(\PageIndex{1}\)Теперь предположим, что мы направляем магнитный поток (например, с помощью соленоида) через начало координат, которое находится в области, окруженной кольцом. Этот поток можно описать векторным потенциалом
\[\mathbf{A}(r,\phi) = \frac{\Phi_B}{2\pi r} \, \mathbf{e}_\phi, \label {Asolenoid}\]
, где \(\mathbf{e}_\phi\) — единичный вектор, указывающий в азимутальном направлении. Мы можем проверить из уравнения \(\eqref{Asolenoid}\), что полный магнитный поток через любую петлю радиуса \(r\), охватывающую начало координат, равен \((\Phi_B/2\pi r)(2\pi r) = \Phi_B\).
Тот факт, что это не зависит от \(r\), означает, что плотность магнитного потока сосредоточена в инфинитезимальной области, окружающей начало координат, и равна нулю во всех остальных местах. Однако векторный потенциал \(\mathbf{A}\) везде отличен от нуля. 9{i k R \phi}, & r \in [R-d/2, R + d/2] \\ 0 & \textrm{иначе}. \end{cases}\]Описывает «волноводную моду» с полуволновым профилем волны в направлении \(r\) (чтобы обращаться в нуль при \(r = R \pm d/2\)) , путешествуя в азимутальном направлении с волновым числом \(k\). Константа нормализации \(\psi_0\) не имеет значения. Нам нужно, чтобы волновая функция была однозначной при изменении \(2\pi\) азимутальной координаты, поэтому
\[k \cdot 2\pi R = 2\pi n \;\;\;\Rightarrow \ ;\;\; k = \frac{n}{R}, \;\;\;\mathrm{where}\;\; n \in \mathbb{Z}.\] 92}. \label{abcurves}\end{align}\]
Эти энергетические уровни показаны в зависимости от магнитного потока \(\Phi_B\) на рисунке ниже:
Рисунок \(\PageIndex{2}\)Каждый энергетический уровень имеет квадратичная зависимость от \(\Phi_B\).
2\), фундаментальная единица магнитного потока, называемая квант магнитного потока . Другими словами, изменение \(\Phi_B\) на число, кратное \(h/e\), оставляет энергетический спектр неизменным! Это свойство инвариантности, не зависящее ни от ширины кольца, ни от каких-либо других геометрических параметров системы, можно объяснить с помощью калибровочной симметрии. Когда дополнительный поток \(nh/e\) (где \(n\in\mathbb{Z}\)) проходит через кольцо, уравнение \(\eqref{Asolenoid}\) говорит нам, что изменение вектора потенциал равен \(\Delta\mathbf{A} = (n\hbar/ e r) \mathbf{e}_\phi\). Но мы можем отменить последствия этого с помощью калибровочного поля 9.{дюйм\фи}. \end{cases}\]Обратите внимание, что \(\Lambda\) не однозначна, но это не проблема! И \(\nabla\Lambda\), и фазовый множитель \(\exp(-ie\Lambda/\hbar)\) являются однозначными, и это величины, которые входят в соотношения калибровочной симметрии \(\ eqref{gauge-subst-1}\)–\(\eqref{gauge-subst-2}\).
Эта страница под названием 5.1: Квантование закона силы Лоренца распространяется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована YD Chong через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Автор
- Ю. Д. Чонг
- Лицензия
- СС BY-SA
- Версия лицензии
- 4,0
- Показать оглавление
- нет
- Теги
- Эффект Ааронова-Бома
- измерительное поле
- калибровочная симметрия
- преобразование датчика
- сила Лоренца
- источник@http://www1.
(Позже мы увидим, как выйти за пределы этих упрощений.)
\label{Bfield}\end{align}\] 92 + e \Big[\Phi(\mathbf{r},t) — \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A}(\mathbf{r},t) \Big]. \label{Lag}\]
Таким образом,
2}{2m} + e\Phi — \ frac{e}{m}(\mathbf{p}+e\mathbf{A})\cdot \mathbf{A}\right). \end{выравнивание}\end{выравнивание}\] 92}{2m} + V(\mathbf{r},t).\]
Эти потенциалы \(\mathbf{r}\)-независимы, но векторный потенциал зависит от времени, поэтому член \(-\dot{\mathbf{A}}\) в уравнении \(\eqref{Bfield} \) дает неисчезающее электрическое поле:
Предположим, мы изменили скалярный и векторный потенциалы с помощью замен
\end{выравнивание}\end{выравнивание}\]
Тот факт, что это не зависит от \(r\), означает, что плотность магнитного потока сосредоточена в инфинитезимальной области, окружающей начало координат, и равна нулю во всех остальных местах. Однако векторный потенциал \(\mathbf{A}\) везде отличен от нуля. 9{i k R \phi}, & r \in [R-d/2, R + d/2] \\ 0 & \textrm{иначе}. \end{cases}\]
2\), фундаментальная единица магнитного потока, называемая квант магнитного потока . Другими словами, изменение \(\Phi_B\) на число, кратное \(h/e\), оставляет энергетический спектр неизменным! Это свойство инвариантности, не зависящее ни от ширины кольца, ни от каких-либо других геометрических параметров системы, можно объяснить с помощью калибровочной симметрии. Когда дополнительный поток \(nh/e\) (где \(n\in\mathbb{Z}\)) проходит через кольцо, уравнение \(\eqref{Asolenoid}\) говорит нам, что изменение вектора потенциал равен \(\Delta\mathbf{A} = (n\hbar/ e r) \mathbf{e}_\phi\). Но мы можем отменить последствия этого с помощью калибровочного поля 9.{дюйм\фи}. \end{cases}\]
